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Profª Débora Bastos
2º Caso) Se o grau do numerador g(x) é
 menor que o grau do denominador h(x) ,
                                  g x)
                                   (
Então transformamos a fração              numa soma de frações:
                                  h x)
                                   (

a) As raízes do denominador são reais e diferentes
h(x) = an(x-a)(x-b)...(x-n),
onde an é o coeficiente da maior potência de x que aparece no
polinômio h(x) e a, b, c, ..., n são as raízes da equação h(x) = 0.
Temos, então:
g x)
 (                   g x)
                      (                          A                B                 N
                                                                          ...
h x)
 (      an(x    a)(x    b)...(x      n)      an(x    a)       x       b         x       n

 g x)
  (                   A                         B                                   N
     dx                         dx                       dx       ...                           dx
 h x)
  (               an(x     a)               x        b                          x           n
Exemplos:
          2x        3
1                              dx
     3         2
    x      x            2x

           dx
2
    2x3        x2       x

           (2x          1)dx
3
    x3     3x2          13x         15
b) As raízes do denominador são reais, mas algumas
 repetidas, então:
 g(x) = an(x a)(x b)m...(x k)n,

 onde an é o coeficiente da maior potência de x e a, b, c,..., k são as
 raízes da equação h(x) = 0.
 Daí:
g x)
 (                            g x)
                               (
h x)
 (         an(x        a)(x    b)m...(x               k)n


      A                B1            B2                              B3                        K1                    K2                    Kn
                                                     ...                        ...                                         ...
  an(x     a)     (x    b)m   (x     b)m 1                      (x        b)              (x      k)n
                                                                                                                (x   k) 1
                                                                                                                       n               x        k


 Então:
 g x)
  (                 A                B1                          B2                                   B3                         K1
      dx               dx                      dx                              dx   ...                         dx   ...                  dx
 h x)
  (             an(x a)                    m                          m 1                        (x        b)                         n
                                (x        b)               (x        b)                                                     (x    k)

                                               K2                                       Kn
                                                          dx         ...                         dx
                                                    n 1                             x        k
                                     (x        k)
Exemplos:
    X4       x3          x   1
1                                dx
             3           2
         x           x

         3x          5
2                                dx
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                                      ln                k
     xx
     (    2
               4)                            x


     x3       1                      x -12         x
 2                  dx   Resposta :
                                  ln                        k
               3                                        2
     xx
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Transformação de frações parciais em soma de frações

  • 2. 2º Caso) Se o grau do numerador g(x) é menor que o grau do denominador h(x) , g x) ( Então transformamos a fração numa soma de frações: h x) ( a) As raízes do denominador são reais e diferentes h(x) = an(x-a)(x-b)...(x-n), onde an é o coeficiente da maior potência de x que aparece no polinômio h(x) e a, b, c, ..., n são as raízes da equação h(x) = 0. Temos, então: g x) ( g x) ( A B N ... h x) ( an(x a)(x b)...(x n) an(x a) x b x n g x) ( A B N dx dx dx ... dx h x) ( an(x a) x b x n
  • 3. Exemplos: 2x 3 1 dx 3 2 x x 2x dx 2 2x3 x2 x (2x 1)dx 3 x3 3x2 13x 15
  • 4. b) As raízes do denominador são reais, mas algumas repetidas, então: g(x) = an(x a)(x b)m...(x k)n, onde an é o coeficiente da maior potência de x e a, b, c,..., k são as raízes da equação h(x) = 0. Daí: g x) ( g x) ( h x) ( an(x a)(x b)m...(x k)n A B1 B2 B3 K1 K2 Kn ... ... ... an(x a) (x b)m (x b)m 1 (x b) (x k)n (x k) 1 n x k Então: g x) ( A B1 B2 B3 K1 dx dx dx dx ... dx ... dx h x) ( an(x a) m m 1 (x b) n (x b) (x b) (x k) K2 Kn dx ... dx n 1 x k (x k)
  • 5. Exemplos: X4 x3 x 1 1 dx 3 2 x x 3x 5 2 dx 3 2 x x x 1
  • 6. Exercícios 4 x2 4 1 dx Resposta : ln k xx ( 2 4) x x3 1 x -12 x 2 dx Resposta : ln k 3 2 xx ( 1) x (x 1)