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Profª Débora Bastos
Derivada da função Implícita
O que é uma função implícita?
É uma função em que não podemos ou é trabalhoso colocar y em função somente de x.
É o oposto a função explícita:
y = 3x2+5x+1  explícita
xy + y6 = x6 – seny  implícita
Calculo da função implícita:
                                                                dy
Considere y = f(x) derivável em D(f), para encontrar f ' ( x) =
                                                                dx
 siga os seguintes passos:
1- Derive cada termo como algo independente, considerando
y=f(x);
2- Separe o que tiver dy no 1º membro da equação e o que não
tiver no 2º membro. dx
3-Coloque dy em evidência no 1º membro da equação;
               dx
         dy
4- Isole dx na equação e teremos a derivada de f.
Derivada da função Implícita
Observação: Provavelmente a derivada dy                    também será uma
função implícita, ou seja,           dx

                        dy
                           = g ( x, y )
                        dx

Exemplo: Encontre dy para a equação abaixo:
                       dx
                                    un              senu

                      xy +         y6 = x6 – seny
                                           xn
                   produto
                     u.v
                dy               dy                 dy
            x      + y.1 + 6 y 5    = 6 x 5 − cos y
                dx               dx                 dx
                 dy        dy         dy
             x      + 6 y5    + cos y    = 6x5 − y
                 dx        dx         dx
Derivada da função Implícita
                    dy      dy     5 dy
                   x + cos y + 6 y      = 6 x5 − y
                    dx      dx       dx
                    dy
                    dx
                       (                 )
                       x + 6 y 5 + cos y = 6 x 5 − y

                           dy    6x5 − 6 y5
                              =
                           dx x + 6 y 5 + cos y

Exercícios:
Considere y=f(x) derivável em D(f), determine dy para:
                                                       dx
3x4y2 – 7xy3 = 4 – 8y
(x+y)2 – (x – y)2 = x4 + x4
xcosy + ycosx = 1
Problemas de Taxa de variação
Interpretação geométrica de f ’:

           ∆y f ( x + ∆x) − f ( x)
   tgα =      =
           ∆x            ∆x
            ∆y         f ( x + ∆x) − f ( x)
tgβ = lim      = lim                        = f ' ( x)
      ∆x →0 ∆x   ∆x →0          ∆x                            β



Taxa de variação:
(a) Média: Se y= f(x) então a taxa média de variação de y em
relação a x no intervalo [a,b] é:
                                  f (b) − f (a) ∆y
                         tvm =                 =         ou
                                      b−a        ∆x

                               f ( x + ∆x) − f ( x) ∆y
                         tvm =                     =
                                        ∆x           ∆x
Problemas de Taxa de variação
Exemplo: 1. Seja a função f(t) = t2 + 5, onde t é o tempo (s) e
f(t) é o deslocamento de um ponto móvel no tempo t (m).
Determine o taxa de variação média do deslocamento em t ∈
[2,5]?
            ∆f   f (5) − f (2) 30 − 9 21
               =              =      =   = 7m / s
            ∆t       5−2         3     3


Ou seja, a tvm do deslocamento de um ponto em relação ao
tempo é a velocidade média do ponto no intervalo calculado.
                        v média = 7 m/s
Problemas de Taxa de variação
Exemplo: 2. A velocidade (m/s) de um móvel em relação ao
tempo (s) é dado por v(t) = 14 + 3t. Determine a taxa média da
variação de velocidade em relação ao tempo para t ∈ [1.3].

            ∆v v(3) − v(1) 23 − 17 6
               =          =       = = 3m / s 2
            ∆t    3 −1        2    2
Ou seja, a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo
é a aceleração média no intervalo calculado.
                          amédia = 3m/s2
(b) Instantânea: Obtemos a taxa instantânea para um valor x
se ∆x  0, ou seja, aplicando o limite quando ∆x  0.
                       ∆y         f ( x + ∆x ) − f ( x )
                 lim      = lim                          = f ' ( x)
                 ∆x →0 ∆x   ∆x →0          ∆x
Problemas de Taxa de variação
A taxa de variação instantânea de f em relação a x0 é dado por :
                            f ’(x0)

Exemplo: Se um objeto é solto em queda de uma altura de 100
pés e se a resistência do ar pode ser desprezada, a altura h do
objeto no instante t (s) é dado por h(t) = − 16t2 + 100.
Determine a taxa de variação de h no instante t = 1s, ou seja, a
velocidade instantânea do objeto quando t = 1s.

h’(t) = − 32t
h’(1) = − 32 pés/s.

Neste caso a velocidade é negativa, pois o móvel está se
deslocando para baixo.
Problemas de Taxa de variação
As aplicações das taxas de variação não são exclusividade do
campo da física. É possível obter uma taxa de variação
instantânea (ou média) desde que se tenha a expressão que
determine o que se quer investigar.

Exemplo: Os economistas se referem a lucro marginal, receita
marginal e custo marginal como taxas de variação do lucro,
receita e custo em relação ao número x de unidades
produzidas ou vendidas.
              dP
P é lucro :         lucro marginal
             dx
             dR
R é receita:       receita marginal
             dx
C é custo: dC      custo marginal
             dx
Problemas de Taxa de variação
Exemplo: O lucro resultante da venda de x unidades de um
artigo é dado por: P(x) = 0,0002x3 + 10x.
(b)Ache o lucro marginal para um nível de produção de 50
unidades.
(c)Comparar com o aumento do lucro decorrente do aumento
de produção de 50 para 51 unidades.
       dP
(a)       = 0,0006 x ² +10
       dx
       dP
          = 0,0006( 50 ) ² +10 = 11,50
       dx

$11,50 por unidade
Problemas de Taxa de variação
(b) Para x = 50 o lucro efetivo é P(50) = 0,0002(50)3+10.50=525
Para x = 51 o lucro efetivo é P(51) = 0,0002(51)3 + 10.51= 536,53
Note que o aumento efetivo de lucro de $11,53 (quando x
aumenta de 50 para 51 unidades) pode ser aproximado pelo
lucro marginal de $11,50 por unidade (quando x = 50).

Exemplo: Suponha que, em certo mercado, x milhares de
caixas de laranja sejam fornecidos diariamente sendo p o
preço por caixa e a equação da oferta:
                      px – 20p – 3x + 105 = 0
Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de
250 caixas por dia, com que taxa os preços estarão variando
quando o fornecimento diário for de 5.000 caixas?
Problemas de Taxa de variação
 x – fornecimento de caixas (milhares) por dia;
 p – preço por caixa;
 t – dias;
 dx = − 250 = − 1 - variação de caixas fornecidas por dia;
  dt      1000        4
  dP
 dt    - variação do preço por dia;
 x= 5 (mil)
 Se x = 5, então p.5 – 20.5 – 3x + 105 = 0 logo p = 6.
Calculando a derivada (implícita) da função oferta:
                     dP    dx      dP    dx
                 x      +P    − 20    −3    =0
                     dt    dt      dt    dt
                               dP       1     dP    1
                             5
 Substituindo as informações: dt + 6. − − 20    −3−  = 0
                                        4     dt    4
Problemas de Taxa de variação
           dP 1      dP      3      dP    1
       −15    = ⋅3 ⇒    =         ⇒    =−
           dt  4     dt   4( −15)   dt    20
Assim o preço de uma caixa de laranja estará decrescendo a uma
taxa $0,005 por dia, quando o fornecimento diário for de 5.000
caixas.

Exercícios:
1- No instante t=0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés
de altura. Sua função posição é h = − 16t2 + 16t + 32, onde t é tempo
(s) e h é altura (pés). (a) Em que instante o mergulhador atinge a
água? (b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do
impacto?
2-A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV = C onde P é
pressão (kg/m2), V é volume (m3) e C é uma constante. Num certo
instante, a pressão é de 150 kg/m2, o volume é de 1,5m3 e está
crescendo a uma taxa de 1m3/min. Ache a taxa de variação da
Problemas de Taxa de variação

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  • 2. Derivada da função Implícita O que é uma função implícita? É uma função em que não podemos ou é trabalhoso colocar y em função somente de x. É o oposto a função explícita: y = 3x2+5x+1  explícita xy + y6 = x6 – seny  implícita Calculo da função implícita: dy Considere y = f(x) derivável em D(f), para encontrar f ' ( x) = dx siga os seguintes passos: 1- Derive cada termo como algo independente, considerando y=f(x); 2- Separe o que tiver dy no 1º membro da equação e o que não tiver no 2º membro. dx 3-Coloque dy em evidência no 1º membro da equação; dx dy 4- Isole dx na equação e teremos a derivada de f.
  • 3. Derivada da função Implícita Observação: Provavelmente a derivada dy também será uma função implícita, ou seja, dx dy = g ( x, y ) dx Exemplo: Encontre dy para a equação abaixo: dx un senu xy + y6 = x6 – seny xn produto u.v dy dy dy x + y.1 + 6 y 5 = 6 x 5 − cos y dx dx dx dy dy dy x + 6 y5 + cos y = 6x5 − y dx dx dx
  • 4. Derivada da função Implícita dy dy 5 dy x + cos y + 6 y = 6 x5 − y dx dx dx dy dx ( ) x + 6 y 5 + cos y = 6 x 5 − y dy 6x5 − 6 y5 = dx x + 6 y 5 + cos y Exercícios: Considere y=f(x) derivável em D(f), determine dy para: dx 3x4y2 – 7xy3 = 4 – 8y (x+y)2 – (x – y)2 = x4 + x4 xcosy + ycosx = 1
  • 5. Problemas de Taxa de variação Interpretação geométrica de f ’: ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) tgα = = ∆x ∆x ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) tgβ = lim = lim = f ' ( x) ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x β Taxa de variação: (a) Média: Se y= f(x) então a taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [a,b] é: f (b) − f (a) ∆y tvm = = ou b−a ∆x f ( x + ∆x) − f ( x) ∆y tvm = = ∆x ∆x
  • 6. Problemas de Taxa de variação Exemplo: 1. Seja a função f(t) = t2 + 5, onde t é o tempo (s) e f(t) é o deslocamento de um ponto móvel no tempo t (m). Determine o taxa de variação média do deslocamento em t ∈ [2,5]? ∆f f (5) − f (2) 30 − 9 21 = = = = 7m / s ∆t 5−2 3 3 Ou seja, a tvm do deslocamento de um ponto em relação ao tempo é a velocidade média do ponto no intervalo calculado. v média = 7 m/s
  • 7. Problemas de Taxa de variação Exemplo: 2. A velocidade (m/s) de um móvel em relação ao tempo (s) é dado por v(t) = 14 + 3t. Determine a taxa média da variação de velocidade em relação ao tempo para t ∈ [1.3]. ∆v v(3) − v(1) 23 − 17 6 = = = = 3m / s 2 ∆t 3 −1 2 2 Ou seja, a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo é a aceleração média no intervalo calculado. amédia = 3m/s2 (b) Instantânea: Obtemos a taxa instantânea para um valor x se ∆x  0, ou seja, aplicando o limite quando ∆x  0. ∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) lim = lim = f ' ( x) ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
  • 8. Problemas de Taxa de variação A taxa de variação instantânea de f em relação a x0 é dado por : f ’(x0) Exemplo: Se um objeto é solto em queda de uma altura de 100 pés e se a resistência do ar pode ser desprezada, a altura h do objeto no instante t (s) é dado por h(t) = − 16t2 + 100. Determine a taxa de variação de h no instante t = 1s, ou seja, a velocidade instantânea do objeto quando t = 1s. h’(t) = − 32t h’(1) = − 32 pés/s. Neste caso a velocidade é negativa, pois o móvel está se deslocando para baixo.
  • 9. Problemas de Taxa de variação As aplicações das taxas de variação não são exclusividade do campo da física. É possível obter uma taxa de variação instantânea (ou média) desde que se tenha a expressão que determine o que se quer investigar. Exemplo: Os economistas se referem a lucro marginal, receita marginal e custo marginal como taxas de variação do lucro, receita e custo em relação ao número x de unidades produzidas ou vendidas. dP P é lucro : lucro marginal dx dR R é receita: receita marginal dx C é custo: dC custo marginal dx
  • 10. Problemas de Taxa de variação Exemplo: O lucro resultante da venda de x unidades de um artigo é dado por: P(x) = 0,0002x3 + 10x. (b)Ache o lucro marginal para um nível de produção de 50 unidades. (c)Comparar com o aumento do lucro decorrente do aumento de produção de 50 para 51 unidades. dP (a) = 0,0006 x ² +10 dx dP = 0,0006( 50 ) ² +10 = 11,50 dx $11,50 por unidade
  • 11. Problemas de Taxa de variação (b) Para x = 50 o lucro efetivo é P(50) = 0,0002(50)3+10.50=525 Para x = 51 o lucro efetivo é P(51) = 0,0002(51)3 + 10.51= 536,53 Note que o aumento efetivo de lucro de $11,53 (quando x aumenta de 50 para 51 unidades) pode ser aproximado pelo lucro marginal de $11,50 por unidade (quando x = 50). Exemplo: Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranja sejam fornecidos diariamente sendo p o preço por caixa e a equação da oferta: px – 20p – 3x + 105 = 0 Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia, com que taxa os preços estarão variando quando o fornecimento diário for de 5.000 caixas?
  • 12. Problemas de Taxa de variação  x – fornecimento de caixas (milhares) por dia;  p – preço por caixa;  t – dias;  dx = − 250 = − 1 - variação de caixas fornecidas por dia; dt 1000 4 dP  dt - variação do preço por dia;  x= 5 (mil)  Se x = 5, então p.5 – 20.5 – 3x + 105 = 0 logo p = 6. Calculando a derivada (implícita) da função oferta: dP dx dP dx x +P − 20 −3 =0 dt dt dt dt dP 1 dP  1 5  Substituindo as informações: dt + 6. − − 20 −3−  = 0 4 dt  4
  • 13. Problemas de Taxa de variação dP 1 dP 3 dP 1 −15 = ⋅3 ⇒ = ⇒ =− dt 4 dt 4( −15) dt 20 Assim o preço de uma caixa de laranja estará decrescendo a uma taxa $0,005 por dia, quando o fornecimento diário for de 5.000 caixas. Exercícios: 1- No instante t=0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura. Sua função posição é h = − 16t2 + 16t + 32, onde t é tempo (s) e h é altura (pés). (a) Em que instante o mergulhador atinge a água? (b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto? 2-A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV = C onde P é pressão (kg/m2), V é volume (m3) e C é uma constante. Num certo instante, a pressão é de 150 kg/m2, o volume é de 1,5m3 e está crescendo a uma taxa de 1m3/min. Ache a taxa de variação da
  • 14. Problemas de Taxa de variação