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Value at Risk
  Não-linear

      Análise de Risco (4)
                R.Vicente




                             1
Resumo


 Portfolios Lineares
 Portfolios Não-lineares: Aproximação Delta
 Portfolios Não-lineares: Aproximação Delta-quadrática
 Portfolios Não-lineares: Caso Multivariado
 Bibliografia




                                                         2
Portfolios Lineares
 Seja uma carteira consistindo das quantidades
                   x = (x 1,..., x n )
 de ativos 1,...,n. Seja vt = (vt 1,..., vtn ) os valores de
 mercado de cada ativo em t. Passado um intervalo de tempo Δt
 a mudança no valor total da carteira é:
                             n
                   ΔV = ∑ x i Δvi
                            i =1
  Risco

              P {ΔV ≤ ΔV           *
                                          }=α
                                       (α )
                                                           3
Portfolios Lineares


 p(Δv1,..., Δvn ) =
                    {    1          T
                    exp − (Δv − Δv) C−1 (Δv − Δv)
                         2
                                 n       n
                                                          }
                            (2π ) (det C)2
                                 2



                                                      n
             ⎧ 1
             ⎪
             ⎪−              2⎫
                              ⎪          ΔV = ∑ x j Δv j
         exp ⎨
             ⎪ 2σV
                 2 (ΔV − ΔV ) ⎪
                              ⎬
                              ⎪                   j =1
p(ΔV ) =     ⎪
             ⎩                ⎪
                              ⎭
                      2
                   2πσV                  σV = ∑ x j x kC jk
                                          2

                                                 jk


                          ΔV *

            F (ΔV * ) =   ∫      d (ΔV ) p (ΔV ) = α
                                                              4
                          −∞
Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Delta
                                    n
     V ( f1,..., fK , t ) = ∑ x j v j ( f1,..., fK , t )
                                   j =1

     Aproximação Delta:
           n      ∂v j ( f , t )          K       n           ∂v j ( f , t )
ΔV = ∑xj
 δ
                                   Δt + ∑ Δfk    ∑x     j
          j =1           ∂t               k =1   j =1                ∂fk
                 Θ( f ,t )                                  δk ( f ,t )


                                                                           5
Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Delta


   p(Δf1,..., ΔfK ) =
                       {   1           T
                      exp − (Δf − Δ f ) C−1 (Δf − Δ f )
                           2
                                  K        K
                                                                    }
                              (2π) (det C) 2
                                  2




                                                             K
              ⎧ 1               2⎫
              ⎪
              ⎪−
          exp ⎨
                                 ⎪
                    (Δ V − Δ V ) ⎪
                      δ     δ
                                 ⎬
                                                Δ V = ∑ δj Δfj
                                                   δ

              ⎪ 2σV
              ⎪
                  2
                                 ⎪
                                 ⎪                           j =1
   δ
p(Δ V ) =     ⎩                  ⎭
                    2πσV2
                                                σ = ∑ δj δkC jk
                                                  2
                                                  V
                           δ
                                                        jk

                               ΔδV *

             F (ΔδV * ) =       ∫      d (ΔδV ) p (ΔδV ) = α
                                                                        6
                               −∞
Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Linear-Quadrática.
Caso Univariado: Apenas um fator de risco (K=1)

                                      n
              V (f , t ) = ∑ x jv j ( f , t )
                                     j =1



          ∂v i ( f , t )          ∂v i ( f , t )          1 ∂ 2vi ( f , t )       2
   γ
 Δ vi =                    Δt +                    Δf +               2
                                                                              (Δf )
              ∂t                      ∂f                  2      ∂f
                                            1                 2
       = θi ( f , t ) Δt + δi ( f , t ) Δf + γi ( f , t )(Δf )
                                            2
                                                                                      7
Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Linear-Quadrática.
Caso Univariado: Apenas um fator de risco (K=1)

              n                     n                          n
                                                     1
Δ V = Δt ∑ x i θi ( f , t ) + Δf ∑ x i δi ( f , t ) + (Δf ) ∑ x i γi ( f , t )
  γ                                                        2

             i =1                  i =1              2       i =1

                                 1      2
= Δt Θ( f , t ) + Δf δ( f , t ) + (Δf ) γ ( f , t )
                                 2

             ⎧ 1
             ⎪                  ⎫
                               2⎪
             ⎪−       Δf − Δf ) ⎪                ⎛⎛                 ⎞
                     (
                                                                2
         exp ⎨                  ⎬                ⎜⎜ Δf − Δf    ⎞
                                                               ⎟    ⎟
             ⎪ 2σ f2            ⎪              p ⎜⎜            ⎟    ⎟ = χ2 (1)
                                                                    ⎟
             ⎪
             ⎩                  ⎪
                                ⎭                ⎜⎜
                                                 ⎜⎜            ⎟
                                                               ⎟    ⎟
p(Δf ) =                                         ⎜⎝
                                                 ⎜     σf      ⎟
                                                               ⎠    ⎟
                                                                    ⎟
                    2πσ f2                       ⎝                  ⎠

                                                                            8
Portfolios Não-Lineares:
 Aproximação Linear-Quadrática.
 Caso Univariado: Apenas um fator de risco (K=1)

Qual é a distribuição da soma de uma normal com uma Qui-
                         quadrado ?


        ⎛       1 δ2 ⎞       ⎛δ     ⎞
                                           2         ⎛⎛ δ    ⎞ ⎞
                                                              2

  ΔγV − ⎜Δt Θ −      ⎟       ⎜ + Δf ⎟                ⎜⎜ + Δf ⎟ ⎟
        ⎜            ⎟
                     ⎟       ⎜      ⎟
                                    ⎟                ⎜⎜
                                                     ⎜⎝ γ    ⎟ ⎟
                                                             ⎟ ⎟
        ⎜
        ⎝       2 γ⎠         ⎜γ
                             ⎝      ⎠                ⎜⎜
                                                    2⎜       ⎠ ⎟  ⎟
                         =                     ≡w ∼χ ⎜          ,1⎟
                                                                  ⎟
           2
         γσ / 2                 σ f2                 ⎜
                                                     ⎜
                                                           2
                                                          σf      ⎟
                                                                  ⎟
           f                                         ⎜
                                                     ⎜            ⎟
                                                                  ⎟
                                                     ⎜
                                                     ⎝            ⎟
                                                                  ⎟
                                                                  ⎠

                                       *
                   P (w ≤ w (α)) = α
                                                                 9
Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Linear-Quadrática.
Caso Univariado: Apenas um fator de risco (K=1)



                P (w ≤ w * (α)) = α


               ⎛       1 δ2 ⎞ 1 2 *
                            ⎟
               ⎜
   ΔγV * (α) = ⎜Δt Θ −      ⎟ + γσ f w (α)
               ⎜
               ⎝       2 γ⎠ ⎟ 2



                                                  10
Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Linear-Quadrática.
Caso Univariado: Venda de Call e Venda de Put




                                                11
Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Linear-Quadrática.
Caso Univariado:Venda de Put e Call




                                      12
Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Linear-Quadrática.
Caso Univariado: Venda de Put e Call




                                       13
Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Linear-Quadrática.
Caso Univariado: Venda de Put e Call (1 dia)




                                               14
Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Linear-Quadrática.
Caso Univariado: Venda de Put e Call (5 dias)




                                                15
Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Linear-Quadrática.
Caso Univariado: Venda de Put e Call (10 dias)




                                                 16
Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Linear-Quadrática.
Caso Univariado: Venda de Put e Call, Compra de
Call com strike maior




                                                  17
Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Linear-Quadrática.
Caso Univariado: Venda de Put e Call, Compra de
Call com strike maior




                                                  18
Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Linear-Quadrática.
Caso Univariado: Venda de Put e Call, Compra de
Call com strike maior




                                                  19
Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado


                    Δf ∼ N n ( μ f , Σ )

                  ∂V ′     1       ∂V2
         ΔV ≡ μ +
           γ
                       Δf + Δ f ′         Δf
                  ∂f       2      ∂f ∂f ′

         ⎛ ∂V   ⎞                     ⎛ ∂ 2V      ∂ 2V ⎞
         ⎜ ∂f   ⎟                     ⎜                    ⎟
     ∂V  ⎜ 1    ⎟              ∂V2    ⎜ ∂f1∂f1   ∂f1∂f K ⎟
  δ=    =⎜      ⎟          Γ=        =⎜                    ⎟
     ∂f ⎜       ⎟             ∂f ∂f ′ ⎜ 2                  ⎟
         ⎜ ∂V                         ⎜ ∂V        ∂V ⎟
                                                     2
                ⎟
         ⎜ ∂f   ⎟                     ⎜ ∂f ∂f    ∂f K ∂f K ⎟
         ⎝ K    ⎠                     ⎝ K 1                ⎠
                                                               20
Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.
Variância do Portfolio


                     ∂V ′     1       ∂V2
            ΔV ≡ μ +
              γ
                          Δf + Δ f ′         Δf
                     ∂f       2      ∂f ∂f ′

                  ⎡ ′      1         ⎤
var ⎣ ΔV ⎤ = var ⎢δ Δf + Δf ′ΓΔf ⎥
    ⎡   γ
         ⎦
                  ⎣        2         ⎦
                    ′Δf ] + var [ Δf ′ΓΔf ] + covar ⎢δ Δf , Δf ΓΔf ⎤
                                                    ⎡ ′ 1 ′
                           1
           = var [δ                                                ⎥
                           4                        ⎣      2       ⎦
                                                      =0
                                                   Lema de
                                                    Stein
                                                                 21
Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.
Variância do Portfolio. Decomposição de
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                               −1/ 2
                     Δy = Σ            Δf

                    Σ −1 ≡ Σ −1/ 2 Σ −1/ 2

                     Δy ∼ N n ( 0, 1n )



                                              22
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                              −1/ 2
                     Δy = Σ           Δf

     1          1               1
       Δf ′ΓΔf = Δy ′Σ ΓΣ Δy = Δy ′AΔy
                      1/ 2 1/ 2

     2          2               2
               A ≡ Σ ΓΣ
                      1/ 2   1/ 2
                                    = CΛC′
    Onde C é uma matriz composta por colunas que são
     autovetores de A e Λ é uma matriz diagonal com
                    os autovalores de A                23
Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.
Variância do Portfolio


 1          1
   Δf ′ΓΔf = Δy ′AΔy
 2          2
             1            1      1 n
           = Δy  ′CΛC′Δy = x′Λx = ∑ λ j x 2
                                          j
             2            2      2 j =1


          Combinação linear de variáveis
       distribuídas conforme Qui-quadrado.
                                              24
Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.
Variância do Portfolio




                                              25
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Variância do Portfolio




                                              26
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ativos




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Exemplo: venda de call e compra de put em dois
ativos




                                                 29
Bibliografia

•   Alexander, C. Market Models 2001
• Britten-Jones, M. e Shaefer S.M., Non-linear
Value-at-Risk, European Finance Review 2: 161-
187, 1999.




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