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Profª Débora Bastos
Regra de L’Hospital
 Teorema 7: (Teorema de L’Hospital): Sejam f e g funções
 diferenciáveis num intervalo aberto I, exceto
 possivelmente em um número a em I. Suponha que, para
 todo x ≠ a em I, g’(x) ≠ 0. Então se xlima f ( x ) = 0 e xlima g( x ) = 0
                                                →           →
         f ' (x)                   f ( x)
 e se→ a g' ( x ) = L segue que→ a g( x ) = L .
    x
     lim
                              x
                               lim



 Observação: O teorema também é válido para limites
 laterais.

 Tem enorme repercussão no cálculo de limites
 indeterminados:        0    ∞
                                        0∞
                               ∞0
                                               1∞     ∞−∞ 0 ⋅ ∞
                        0    ∞
Exemplos
 Calcule os limites abaixo:

          senx                    cos x
a)      lim
     x →0   x
                       = lim
                             x →0   1
                                                  =1


          a kx − 1        a kx (ln a.)k             = lim a kx (ln a.) = ln a.
b)    lim
     x →0    kx
                   = lim
                     x →0       k                      x →0


          e x −2 − e2− x        e x −2 + e2− x                         1+ 1
                         = lim                                     =        =2
c)    lim
     x → 0 sen( x − 2)     x → 0 cos( x − 2)                            1




               e x senx − x             e x senx + e x cos x − 1                e x ( senx + cos x ) − 1
d)      lim
        x →0       2
                3x + x   5
                               = lim
                                 x →0         6x + 5x   4
                                                                       = lim
                                                                        x →0          6x + 5x 4
         e x ( senx + cos x ) + e x (cos x − senx )                2e x cos x             2   1
= lim                                                  = lim                          =     =
 x →0                    6 + 20 x 3                         x →0   6 + 20 x 3             6   3
lim [ f ( x ) − g( x )] = ∞ − ∞
 Se       x →a           ou se xlima[ f ( x) • g( x )] = ∞ • 0 , então
                                  →
   através de artifícios algébricos, transforma-se estas
   indeterminações em 0 ou ∞ .
                                              0       ∞

 Exemplos:                                                       1                    
                                                                                         
                                                                                                            
                                                                                                            
                                                            x ⋅ + ln x − 1                1 + ln x − 1
          x         1           x ln x − x + 1                x              = lim                   
a) xlim1 x − 1 − ln x  = xlim1 ( x − 1) ln x  = xlim1
                                                                                   x →1 x − 1            
      →                     →                       →
                                                            ( x − 1) ⋅ 1 + ln x 
                                                                                        
                                                                                          x
                                                                                                   + ln x   
                                                                                                            
                                                                       x        
                                                                                    1            
                                                                                x ⋅ + ln x 
 = lim 
             ln x       = lim        ln x       = lim 
                                                         
                                                                x ln x      = lim 
                                                                           
                                                                                         x            
   x →1 x − 1          x →1 x − 1 + x ln x  x →1 x − 1 + x ln x  x →1 1 + x ⋅ + ln x 
                                                                                          1
               + ln x                                                                            
        x                            x                                                x          

       1. + ln x             1
= lim                    =
  x →1 1 + 1 + ln x          2

                                   x              1           cos 2 2x
b) x → 0
     lim x cot g2x       = lim
                           x → 0 tg2x
                                      = lim
                                                   2
                                        x → 0 2 sec 2x
                                                       = lim           =
                                                                         1
                                                         x →0    2       2
Diferencial
 Seja y=f(x) uma função derivável no intervalo (a,b),
   então para todo x ∈ (a,b), temos que a derivada de
                      f ( x + ∆x ) − f ( x )
   f(x) é dada por: 0
                 lim
                ∆x →           ∆x
                                             = f ' (x)


              f ( x + ∆x ) − f ( x ) 
         lim
Então: ∆x → 0          ∆x             − f ' (x) = 0
                                     

          f ( x + ∆x ) − f ( x ) 
Daí:               ∆x             − f ' ( x ) = g( ∆x )
                                                        onde g(∆x) é uma função
                                 
   infinitesimal.
Logo: f ( x + ∆x ) − f ( x ) − f ' ( x )∆x = g( ∆x )∆x
 Como ∆x  0 e g(∆x) 0, temos ∆x g(∆x) 0, ou
  fseja, x ) − f ( x ) − f ' ( x )∆x ≈ 0
    (x + ∆                                          f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ' ( x )∆x
                                            ou
Atenção:                        f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ' ( x )∆x
 Exemplo:
Encontre um valor aproximado para 3 128

Considere f(x) = 3 x                 , x = 125 e ∆x = 3.
                −   2
            x       3
                                1
f ' (x) =               =
                3           3
                            3 x2
                                                1                1
f(128)≈ f(125)+f´(125).3=5+                 3
                                                     ⋅3 = 5 +
                                                                25
                                           3 125 2

3
    128         ≈5,04
Atenção:           f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ' ( x )∆x
 Exemplo:
Encontre um valor aproximado para ln(1,02)

Considere f(x) = lnx      , x = 1 e ∆x =0,02
            1
f ' (x) =
            x

                                   1
f(1,02)≈ f(1)+f´(1).(0,02)=   0+
                                   1
                                     ⋅ 0,02 = 0,02



ln(1,02)≈0,02
 Definição 14: Se a função f for definida pro y= f(x),
     então a diferencial de y, denotada por dy, será dada
     por
                              dy= f´(x)∆x
 Onde x está no domínio de f´ e ∆x é um incremento
     arbitrário de x.
 f ( x +x )x ) ≈ f ' ( x )∆x
  ∆ − f (
         
         ∆y
∆y ≈ f ' ( x )∆x ⇒ dy = f ' ( x )∆x



  Definição 15: Se a função f for definida por y=f(x), então
   a diferencial x, denotada por dx, será dada por dx =
   ∆x, onde ∆x é um incremento arbitrário de x e x é
Decorre das definições 14 e 15:

Definição 16: dy = f´(x)dx
Dividindo ambos os membros por dx, temos:
  dy
     = f´( x )
  dx

Essa relação expressa a derivada como quociente de
                                  dy
  diferenciais, quando usávamos dx , dy e dx não
  tinham significado independentes.
A definição de diferencial é necessário para o conceito
  de integral, nosso próximo assunto.
Mais aplicação: Cálculo de erros
 Seja y=f(x) uma função derivável, temos que:
      erro aproximado    dy                           dy
                            = erro relativo   100 x      = erro percentual
 dy = valor aproximado    y                            y
      erro máximo
      
 Exemplo: Mediu-se o diâmetro de um círculo e achou-
  se 5,2 cm, com um erro máximo de 0,05 cm. Achar o
  máximo erro aproximado da área deste círculo. Achar
  também os erros relativo e percentual.
 f(d)=A(d) função área , d diâmetro ⇒ A(d) = π(d/2)2
A(d)=πd2/4 ⇒ dA=(πd/2)dD
dA=π.5,2.0,05 ≅ 0,4084 cm2 ⇒ máximo erro da área
Erro relativo: 0,01923          Erro percentual: 1,923%

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Regra de L'Hospital e diferenciais

  • 2. Regra de L’Hospital  Teorema 7: (Teorema de L’Hospital): Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um número a em I. Suponha que, para todo x ≠ a em I, g’(x) ≠ 0. Então se xlima f ( x ) = 0 e xlima g( x ) = 0 → → f ' (x) f ( x) e se→ a g' ( x ) = L segue que→ a g( x ) = L . x lim x lim  Observação: O teorema também é válido para limites laterais.  Tem enorme repercussão no cálculo de limites indeterminados: 0 ∞ 0∞ ∞0 1∞ ∞−∞ 0 ⋅ ∞ 0 ∞
  • 3. Exemplos  Calcule os limites abaixo: senx cos x a) lim x →0 x = lim x →0 1 =1 a kx − 1 a kx (ln a.)k = lim a kx (ln a.) = ln a. b) lim x →0 kx = lim x →0 k x →0 e x −2 − e2− x e x −2 + e2− x 1+ 1 = lim = =2 c) lim x → 0 sen( x − 2) x → 0 cos( x − 2) 1 e x senx − x e x senx + e x cos x − 1 e x ( senx + cos x ) − 1 d) lim x →0 2 3x + x 5 = lim x →0 6x + 5x 4 = lim x →0 6x + 5x 4 e x ( senx + cos x ) + e x (cos x − senx ) 2e x cos x 2 1 = lim = lim = = x →0 6 + 20 x 3 x →0 6 + 20 x 3 6 3
  • 4. lim [ f ( x ) − g( x )] = ∞ − ∞  Se x →a ou se xlima[ f ( x) • g( x )] = ∞ • 0 , então → através de artifícios algébricos, transforma-se estas indeterminações em 0 ou ∞ . 0 ∞  Exemplos:  1       x ⋅ + ln x − 1  1 + ln x − 1  x 1   x ln x − x + 1   x  = lim   a) xlim1 x − 1 − ln x  = xlim1 ( x − 1) ln x  = xlim1   x →1 x − 1  →   →   →  ( x − 1) ⋅ 1 + ln x     x + ln x    x       1       x ⋅ + ln x  = lim  ln x  = lim  ln x  = lim   x ln x  = lim   x  x →1 x − 1  x →1 x − 1 + x ln x  x →1 x − 1 + x ln x  x →1 1 + x ⋅ + ln x   1  + ln x       x   x   x   1. + ln x  1 = lim   = x →1 1 + 1 + ln x  2 x 1 cos 2 2x b) x → 0 lim x cot g2x = lim x → 0 tg2x = lim 2 x → 0 2 sec 2x = lim = 1 x →0 2 2
  • 5. Diferencial  Seja y=f(x) uma função derivável no intervalo (a,b), então para todo x ∈ (a,b), temos que a derivada de f ( x + ∆x ) − f ( x ) f(x) é dada por: 0 lim ∆x → ∆x = f ' (x)  f ( x + ∆x ) − f ( x )  lim Então: ∆x → 0 ∆x  − f ' (x) = 0    f ( x + ∆x ) − f ( x )  Daí:  ∆x  − f ' ( x ) = g( ∆x ) onde g(∆x) é uma função   infinitesimal. Logo: f ( x + ∆x ) − f ( x ) − f ' ( x )∆x = g( ∆x )∆x  Como ∆x  0 e g(∆x) 0, temos ∆x g(∆x) 0, ou fseja, x ) − f ( x ) − f ' ( x )∆x ≈ 0 (x + ∆ f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ' ( x )∆x ou
  • 6. Atenção: f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ' ( x )∆x  Exemplo: Encontre um valor aproximado para 3 128 Considere f(x) = 3 x , x = 125 e ∆x = 3. − 2 x 3 1 f ' (x) = = 3 3 3 x2 1 1 f(128)≈ f(125)+f´(125).3=5+ 3 ⋅3 = 5 + 25 3 125 2 3 128 ≈5,04
  • 7. Atenção: f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ' ( x )∆x  Exemplo: Encontre um valor aproximado para ln(1,02) Considere f(x) = lnx , x = 1 e ∆x =0,02 1 f ' (x) = x 1 f(1,02)≈ f(1)+f´(1).(0,02)= 0+ 1 ⋅ 0,02 = 0,02 ln(1,02)≈0,02
  • 8.  Definição 14: Se a função f for definida pro y= f(x), então a diferencial de y, denotada por dy, será dada por dy= f´(x)∆x Onde x está no domínio de f´ e ∆x é um incremento arbitrário de x. f ( x +x )x ) ≈ f ' ( x )∆x  ∆ − f (  ∆y ∆y ≈ f ' ( x )∆x ⇒ dy = f ' ( x )∆x Definição 15: Se a função f for definida por y=f(x), então a diferencial x, denotada por dx, será dada por dx = ∆x, onde ∆x é um incremento arbitrário de x e x é
  • 9. Decorre das definições 14 e 15: Definição 16: dy = f´(x)dx Dividindo ambos os membros por dx, temos: dy = f´( x ) dx Essa relação expressa a derivada como quociente de dy diferenciais, quando usávamos dx , dy e dx não tinham significado independentes. A definição de diferencial é necessário para o conceito de integral, nosso próximo assunto.
  • 10. Mais aplicação: Cálculo de erros  Seja y=f(x) uma função derivável, temos que: erro aproximado dy dy  = erro relativo 100 x = erro percentual dy = valor aproximado y y erro máximo   Exemplo: Mediu-se o diâmetro de um círculo e achou- se 5,2 cm, com um erro máximo de 0,05 cm. Achar o máximo erro aproximado da área deste círculo. Achar também os erros relativo e percentual.  f(d)=A(d) função área , d diâmetro ⇒ A(d) = π(d/2)2 A(d)=πd2/4 ⇒ dA=(πd/2)dD dA=π.5,2.0,05 ≅ 0,4084 cm2 ⇒ máximo erro da área Erro relativo: 0,01923 Erro percentual: 1,923%