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Aula 16

Integra»~o por partes
       ca

H¶ essencialmente dois m¶todos empregados no c¶lculo de integrais inde¯nidas (primi-
  a                       e                      a
tivas) de fun»~es elementares. Um deles ¶ a integra»~o por substitui»~o, explorada na
             co                          e          ca              ca
aula 15, que retomaremos adiante, em novos casos. O outro m¶todo ¶ chamado de
                                                                e      e
integra»~o por partes, que exploraremos nesta aula.
       ca
      Suponhamos que u = u(x) e v = v(x) s~o duas fun»~es deriv¶veis em um certo
                                             a       co        a
intervalo I ½ R. Ent~o, para cada x em I, temos
                    a

                         [u(x) ¢ v(x)]0 = u0 (x) ¢ v(x) + u(x) ¢ v 0 (x)

Assim sendo,         Z
                         [u0 (x)v(x) + u(x)v0 (x)] dx = u(x)v(x) + C

ou seja,         Z                      Z
                             0
                     v(x)u (x) dx +         u(x)v 0 (x) dx = u(x)v(x) + C

Podemos escrever ainda
                   Z                          Z
                     u(x)v (x) dx = u(x)v(x) ¡ v(x)u0 (x) dx
                          0
                                                                                (16.1)

aqui considerando que a constante gen¶rica C j¶ est¶ impl¶
                                     e        a a        ³cita na ultima integral.
                                                                  ¶
      Sendo u = u(x) e v = v(x), temos
      du = u0 (x) dx e dv = v0 (x) dx, e passamos a f¶rmula 16.1 µ forma abreviada
                                                     o           a
                                 Z                      Z
                                     u ¢ dv = u ¢ v ¡       v ¢ du              (16.2)

As f¶rmulas 16.1 e 16.2 s~o chamadas f¶rmulas de integra»~o por partes.
    o                    a            o                 ca




                                              138
»~
Integracao por partes                                                            139

                         R
Exemplo 16.1 Calcular        x sen x dx.

Solu»~o. Tomaremos u = x, e dv = sen x dx.
    ca
                                   R
     Teremos du = 1 dx = dx, e v = sen x dx.
      Para os prop¶sitos da integra»~o por partes, basta tomar v = ¡ cos x, menospre-
                  o                ca       R
zando a constante arbitr¶ria da integral v = sen x dx, pois uma tal escolha da fun»~o
                         a                                                        ca
v ¶ su¯ciente para validar a f¶rmula 16.2.
  e                           o
     Temos ent~o
              a
                    Z                     Z
                        x sen x dx =      u ¢ dv
                                               Z
                                    = u ¢ v ¡ v ¢ du
                                                     Z
                                    = x ¢ (¡ cos x) ¡ (¡ cos x) dx
                                                  Z
                                    = ¡x cos x + cos x dx

                                    = ¡x cos x + sen x + C
                         R
Exemplo 16.2 Calcular        x ln x dx.

Solu»~o. Tomamos u = ln x, e dv = x dx.
    ca
                 1           R                       x2
     Teremos du = dx, e v = x dx. Tomamos v = .
                 x                                    2
     Temos ent~o
              a
                   Z              Z
                      x ln x dx = u ¢ dv
                                           Z
                                = u ¢ v ¡ v ¢ du
                                               Z 2
                                  x2              x 1
                                =     ¢ ln x ¡       ¢ dx
                                   2              2 x
                                               Z
                                  x2              x
                                =     ¢ ln x ¡      dx
                                   2              2
                                  x2           x2
                                =     ¢ ln x ¡    +C
                                   2            4
                         R
Exemplo 16.3 Calcular        arc tg x dx.

Solu»~o. Faremos u = arc tg x, e dv = dx.
    ca
                     1
     E ent~o du =
          a               dx, v = x. Da¶³,
                   1 + x2
»~
Integracao por partes                                                                140


                    Z                     Z              Z
                        arc tg x dx =         u dv = uv ¡ v du
                                                        Z
                                                               1
                                        = x ¢ arc tg x ¡ x ¢        dx
                                                             1 + x2
                               Z
                                          1
Para calcular a integral J =       x¢          dx, procedemos a uma mudan»a de vari¶vel:
                                                                         c         a
                                        1 + x2
     Fazendo w = 1 + x2 , temos dw = 2x dx, e ent~o x dx = 1 dw. Da¶
                                                   a         2
                                                                    ³,
         Z                  Z
                1             1
     J = x¢           dx =       dw = ln jwj + C = ln(1 + x2 ) + C.
               1+x  2         w
              R
     Portanto, arc tg x dx = x ¢ arc tg x ¡ ln(1 + x2 ) + C.


16.1      Um estrat¶gia para integrar por partes
                   e
Poder¶ R dizer que o prop¶sito da integra»~o R partes ¶ transferir o c¶lculo de uma
      ³amos                  o              ca por        e             a
integral u ¢ dv para o c¶lculo de uma integral Rv ¢ du (a qual espera-se que saibamos
                         a                                     R
calcular), pela f¶rmula de integra»~o por partes, u dv = uv ¡ v du.
                 o                ca
                                                      R
      Ao integrar por partes, uma integral da forma f (x)g(x) dx, devemos sempre
escolher, dentre as duas fun»~es da express~o f (x)g(x) dx, uma delas como sendo o
                              co             a
fator u e a outra como parte de uma diferencial dv.
       Em outras palavras, podemos fazer u = f (x) e dv = g(x) dx, ou u = g(x) e
dv = f (x) dx (ou ainda u = f(x)g(x) e dv = 1 dx !). Mas esta escolha n~o pode ser
                                                                         a
feita de modo aleat¶rio. Temos queR espertos em nossa escolha para que, ao passarmos
            R      o               ser
da integral u dv para a integral v du, passemos a uma integral tecnicamente mais
simples de ser calculada.
      Uma sugest~o que funciona bem na grande maioria das vezes ¶ escolher as fun»~es
                 a                                                 e             co
u e v segundo o crit¶rio que descreveremos abaixo. Ele foi publicado como uma pequena
                    e
nota em uma edi»~o antiga da revista American Mathematical Monthly.
                 ca
     Considere o seguinte esquema de fun»~es elementares:
                                        co


         L                 I                  A              T               E
    Logar¶
         ³tmicas       Inversas de  Alg¶bricas Trigonom¶tricas Exponenciais
                                       e               e
                    trigonom¶tricas
                              e

      No esquema acima, as letras do anagrama LIATE s~o iniciais de diferentes tipos
                                                     a
de fun»~es.
      co
       Uma estrat¶gia que funciona bem ¶: ao realizar uma integra»~o por partes, esco-
                  e                     e                          ca
lher, dentre as duas fun»~es que aparecem sob o sinal de integral,
                        co
»~
Integracao por partes                                                              141


     ² como fun»~o u: a fun»~o cuja letra inicial de caracteriza»~o posiciona-se mais µ
                ca         ca                                   ca                    a
       esquerda no anagrama;

     ² como formando a diferencial dv: a fun»~o cuja letra inicial de caracteriza»~o
                                                ca                               ca
       posiciona-se mais µ direita no anagrama.
                         a

     Sumarizando, u deve caracterizar-se pela letra mais pr¶xima de L, e dv pela letra
                                                           o
mais pr¶xima de E.
       o
       Esta estrat¶gia j¶ foi adotada nos exemplos desenvolvidos anteriormente !
                  e     a
                   R
    1. Na integral x sen x dx, exemplo 16.1, ¯zemos
       u = x (Alg¶brica) e dv = sen x dx (Trigonom¶trica).
                  e                                  e
       No anagrama LIATE, A precede T.
                   R
    2. Na integral x ln x dx, exemplo 16.2, ¯zemos
       u = ln x (Logar¶³tmica) e dv = x dx (Alg¶brica).
                                                e
       No anagrama LIATE, L precede precede A.
                   R
    3. Na integral arc tg x dx, exemplo 16.3, ¯zemos
       u = arc tg x (Inversa de trigonom¶trica), e dv = 1 dx (Alg¶brica).
                                         e                       e
       No anagrama LIATE, I precede A.

       Passaremos agora a um exemplo interessante e imprescind¶
                                                              ³vel.
                          R
Exemplo 16.4 Calcular         ex sen x dx.

Solu»~o. Seguindo a sugest~o dada acima, faremos
    ca                    a
     u = sen x (trigonom¶trica), dv = ex dx (exponencial). T vem antes de E no
                        e
anagrama LIATE.
       Temos ent~o du = (sen x)0 dx = cos x dx, e tomamos v = ex . Da¶
                a                                                    ³,
                      Z                Z              Z
                         e sen x dx = u dv = uv ¡ v du
                          x

                                                   Z
                                     = e sen x ¡ ex cos x dx
                                        x




R       Parece que voltamos ao ponto de partida, n~o ¶ mesmo? Passamos da integral
                          R                          a e
    ex sen x dx µ integral ex cos x dx, equivalente µ primeira em n¶ de di¯culdade.
                a                                   a              ³vel
       Continuaremos, no entanto, a seguir a receita do anagrama.
                      R
       Na integral J = ex cos x dx faremos
      u = cos x, dv = ex dx. (Estas fun»~es u e v s~o de¯nidas em um novo contexto.
                                       co          a
Referem-se µ esta segunda integral.)
           a
»~
Integracao por partes                                                        142


      Teremos du = (cos x)0 dx = ¡ sen x dx, e v = ex, e ent~o
                                                            a
                      Z                Z               Z
                 J = e cos x dx = u dv = uv ¡ v du
                          x

                                                  Z
                                     = e cos x ¡ (¡ sen x)ex dx
                                        x

                                                  Z
                                     = e cos x + ex sen x dx
                                        x



                                                    R
      O resultado ¯nal ¶ interessante. Chamando I = ex sen x dx,
                       e
                  Z
              I = ex sen x dx = ex sen x ¡ J
                                            µ         Z           ¶
                                 = e sen x ¡ e cos x + e sen x dx
                                    x         x          x


                              = ex sen x ¡ ex cos x ¡ I

Portanto,
                            I = ex sen x ¡ ex cos x ¡ I
ou seja,
                           2I = ex sen x ¡ ex cos x + C
e ent~o obtemos
     a
                             1
                          I = (ex sen x ¡ ex cos x) + C
                             2
                        Rp
Exemplo 16.5 Calcular     a2 ¡ x2 dx (a > 0).

Aqui podemos integrar por partes, mas o anagrama LIATE n~o nos ¶ de serventia, j¶
                                                              a      e          a
que a integral involve apenas express~es alg¶bricas.
                                     o      e
                    p
     Faremos u = a2 ¡ x2 , dv = dx.
                      ¡x
     Ent~o du = p 2
         a                   dx, e tomamos v = x. Da¶  ³,
                     a ¡ x2
                      Z p                Z
                  I=       a2 ¡ x2 dx =     u dv
                                               Z
                                      = uv ¡ v du
                                          p            Z
                                                             ¡x2
                                      = x a2 ¡ x2 ¡ p 2            dx
                                                            a ¡ x2
                                          p            Z
                                                             x2
                                      =x a    2 ¡ x2 +    p        dx
                                                           a2 ¡ x2
»~
Integracao por partes                                                         143


Agora fazemos
                Z                    Z
                       x2           ¡(a2 ¡ x2 ) + a2
                     p        dx =     p               dx
                      a2 ¡ x2              a2 ¡ x2
                                   Z                    Z
                                       a2 ¡ x2               a2
                                =¡ p 2            dx + p 2         dx
                                   Z p   a ¡ x2           Z a ¡ x2
                                           2 ¡ x2 dx + a2
                                                                1
                                =¡      a                   p         dx
                                           Z                  a2 ¡ x2
                                         2         1
                                = ¡I + a      p          dx
                                                a 2 ¡ x2
                                                     x
                                = ¡I + a2 ¢ arc sen + C
                                                     a
Portanto,                     p                          x
                         I = x a2 ¡ x2 ¡ I + a2 ¢ arc sen + C
                                                         a
de onde ent~o
           a
                    Z p
                                        xp 2      a2      x
                       a2 ¡ x2 dx = I =   a ¡ x2 + arc sen + C
                                        2         2       a

      Um modo mais apropriado de abordar integrais com express~es da forma x2 §
                                                              o
a , ou a2 ¡ x2 , ser¶ retomado adiante, quando ¯zermos um estudo de substitui»~es
 2
                    a                                                        co
trigonom¶tricas.
        e


16.2        Problemas
     1. Repetindo procedimento an¶logo ao usado no exemplo 16.5, mostre que
                                  a
                    Z p
                                     xp 2        ¸       p
                         x2 + ¸ dx =    x + ¸ + ln jx + x2 + ¸j + C
                                     2           2

     2. Calcule as seguintes integrais.
             R
         (a) xex dx. Resposta. ex(x ¡ 1) + C.
             R
         (b) ln x dx. Resposta. x(ln x ¡ 1) + C.
             R                                   n+1 ¡         1
                                                                 ¢
         (c) xn ln x dx (n 6¡1). Resposta. x
                             =                  n+1
                                                       ln x ¡ n+1 + C.
             R          2                     2
         (d) ln(1 + x ) dx. Resposta. x ln(x + 1) ¡ 2x + 2 arc tg x + C.
             R
         (e) x arc tg x dx. Resposta. 1 [(x2 + 1) arc tg x ¡ x] + C.
                                         2
             R                                       p
         (f) arc sen x dx. Resposta. x arc sen x + 1 ¡ x2 + C.
             Rp                                         p
         (g)     1 ¡ x2 dx. Resposta. 1 arc sen x + x 1 ¡ x2 + C.
                                        2            2
             Sugest~o. Imite os procedimentos usados no exemplo 16.5.
                    a
»~
Integracao por partes                                                                   144

            R                                                                p
      (h)     x arc sen x dx. Resposta. 1 [(2x2 ¡ 1) arc sen x + x 1 ¡ x2 ] + C.
                                                 4
            R px                        p p
      (i)     e dx. Resposta. 2e ( x ¡ 1) + C.
                                           x
            R          p                                        p      p
      (j)     arc tg x dx. Resposta. (x + 1) arc tg x ¡ x + C.
                                                     R                         p
            Sugest~o. Ao deparar-se com 2px(1+x) dx, fa»a z = x.
                     a                                     x
                                                                      c
            R arc sen px                      p              p       p
      (k)         p
                    x
                          dx. Resposta. 2 x arc sen x + 2 1 ¡ x + C.
            R            p x                                   p x        p           p
      (l)     arc sen x+1 dx. Resposta. x arc sen x+1 ¡ x + arc tg x + C.
                                                                                        p x
            Sugest~o. N~o se deixe intimidar. Comece fazendo u = arc sen x+1 ,
                     a       a
            dv = dx.
            R                                 2
     (m)      x cos2 x dx. Resposta. x + 1 x sen 2x + 1 cos 2x + C.
                                             4       4             8
            Sugest~o. cos2 x = 1 (1 + cos 2x).
                     a              2
            R 2
      (n)     (x + 7x ¡ 5) cos 2x dx.
            Resposta. (x2 + 7x ¡ 5) sen 2x + (2x + 7) cos 2x ¡ sen 2x + C.
                                              2                    4       4
            R ax                                   1
      (o)     e cos bx dx. Resposta. a2 +b2 e (b sen bx + a cos bx) + C.
                                                        ax
            R ax                                   1
      (p)     e sen bx dx. Resposta. a2 +b2 eax (a sen bx ¡ b cos bx) + C.
            R x arc sen x                           p
                       2 dx. Resposta. x ¡             1 ¡ x2 arc sen x + C.
      (q)       p
                  1¡x
            R arc sen x
      (r)               dx.
                 x2           ¯ p        ¯                              ¯ p       ¯
                              ¯       2¯                                ¯    1¡x2 ¯
            Resposta. 1 ln ¯ 1¡p1¡x2 ¯ ¡ x arc sen x + C = ln ¯ 1¡ x ¯ ¡ x arc sen x + C.
                          2     1+ 1¡x
                                                1                                   1
                                  R    1
                                                         R
            Sugest~o. Fa»a xp1¡x2 dx = x2 px 2 dx, quando necess¶rio, e ent~o
                     a        c                                                       a    a
                 p                                            1¡x
            z = 1 ¡ x2 .
            R           p                                          p            p
      (s)     ln(x + 1 + x2 ) dx. Resposta. x ln(x + 1 + x2 ) ¡ 1 + x2 + C.
            R x arc sen x                                      ¯ ¯
      (t)      p          dx. Resposta. arc sen2x + 1 ln ¯ 1¡x ¯ + C.
                                              p
                                                1¡x    2    1+x
                (1¡x2 )3

                                 R   1
  3. Ao calcular a integral          x
                                       dx,   Jo~ozinho procedeu da seguinte maneira.
                                               a
                      1                                                      1
     Fazendo u =      x
                        ,   e dv = dx, podemos tomar v = x, e teremos du = ¡ x2 dx.
                            Z        Z             Z
                               1
                                 dx = u dv = uv ¡ v du
                               x
                                            Z µ       ¶           Z
                                     1              1               1
                                    = ¢ x ¡ x ¡ 2 dx = 1 +            dx
                                     x             x                x
                  R   1
     Sendo J =        x
                        dx,    temos ent~o J = 1 + J, logo 0 = 1.
                                        a
     Onde est¶ o erro no argumento de Jo~ozinho ?
             a                             a
                Z                                Z
                        x2             ¡x            dx
  4. Mostre que               dx =             +          .
                   (x 2 + ¸)2       2(x 2 + ¸)     x2+¸
                    Z                    Z
                            x2                      x
     Sugest~o. Fa»a
           a     c                dx = |{z} ¢ 2
                                             x            dx.
                        (x2 + ¸)2                (x + ¸)2
                                             u   |   {z     }
                                                                  dv
»~
Integracao por partes                                                                                     145


  5. Usando o resultado do problema 4, calcule (considere a > 0)
         Z                       Z
               x2                       x2
     (a)               dx.   (b)               dx.
           (x2 + a2 )2             (a2 ¡ x2 )2
                                                                                           ¯     ¯
     Respostas. (a)        ¡x
                        2(x2 +a2 )
                                     +    1
                                         2a
                                              arc tg x + C. (b)
                                                     a
                                                                      x
                                                                  2(a2 ¡x2 )
                                                                               ¡    1
                                                                                   4a
                                                                                        ln ¯ a+x ¯ + C.
                                                                                             a¡x

  6. Mostre que             Z                                             Z
                                    dx              x       1                    dx
                                            =             +
                                 (x2 + ¸)2      2¸(x2 + ¸) 2¸                  x2 + ¸
                 R                R 2         2
     Sugest~o.
           a            dx
                     (x2 +¸)2
                                = (x +¸)¡x dx.
                                     (x2 +¸)2

  7. Usando a redu»~o mostrada no problema 6, calcule as integrais (considere a > 0).
                     ca
         Z                         Z
                 dx                        dx
     (a)                  .   (b)                  .
            (x 2 + a2 )2               (a2 ¡ x2 )2
                                                                                 ¯     ¯
     Respostas. (a) 2a2 (xx +a2 ) + 2a3 arc tg x + C. (b) 2a2 (ax ¡x2 ) + 4a3 ln ¯ a+x ¯ + C.
                            2
                                     1
                                               a                2
                                                                           1
                                                                                   a¡x
             R x arc tg x
  8. Calcule (x2 +1)2 dx. Resposta. 4(x2 +1) + 1 arc tg x ¡ 1 arc tg2x + C.
                                            x
                                                     4           2 1+x

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Calculo1 aula16

  • 1. Aula 16 Integra»~o por partes ca H¶ essencialmente dois m¶todos empregados no c¶lculo de integrais inde¯nidas (primi- a e a tivas) de fun»~es elementares. Um deles ¶ a integra»~o por substitui»~o, explorada na co e ca ca aula 15, que retomaremos adiante, em novos casos. O outro m¶todo ¶ chamado de e e integra»~o por partes, que exploraremos nesta aula. ca Suponhamos que u = u(x) e v = v(x) s~o duas fun»~es deriv¶veis em um certo a co a intervalo I ½ R. Ent~o, para cada x em I, temos a [u(x) ¢ v(x)]0 = u0 (x) ¢ v(x) + u(x) ¢ v 0 (x) Assim sendo, Z [u0 (x)v(x) + u(x)v0 (x)] dx = u(x)v(x) + C ou seja, Z Z 0 v(x)u (x) dx + u(x)v 0 (x) dx = u(x)v(x) + C Podemos escrever ainda Z Z u(x)v (x) dx = u(x)v(x) ¡ v(x)u0 (x) dx 0 (16.1) aqui considerando que a constante gen¶rica C j¶ est¶ impl¶ e a a ³cita na ultima integral. ¶ Sendo u = u(x) e v = v(x), temos du = u0 (x) dx e dv = v0 (x) dx, e passamos a f¶rmula 16.1 µ forma abreviada o a Z Z u ¢ dv = u ¢ v ¡ v ¢ du (16.2) As f¶rmulas 16.1 e 16.2 s~o chamadas f¶rmulas de integra»~o por partes. o a o ca 138
  • 2. »~ Integracao por partes 139 R Exemplo 16.1 Calcular x sen x dx. Solu»~o. Tomaremos u = x, e dv = sen x dx. ca R Teremos du = 1 dx = dx, e v = sen x dx. Para os prop¶sitos da integra»~o por partes, basta tomar v = ¡ cos x, menospre- o ca R zando a constante arbitr¶ria da integral v = sen x dx, pois uma tal escolha da fun»~o a ca v ¶ su¯ciente para validar a f¶rmula 16.2. e o Temos ent~o a Z Z x sen x dx = u ¢ dv Z = u ¢ v ¡ v ¢ du Z = x ¢ (¡ cos x) ¡ (¡ cos x) dx Z = ¡x cos x + cos x dx = ¡x cos x + sen x + C R Exemplo 16.2 Calcular x ln x dx. Solu»~o. Tomamos u = ln x, e dv = x dx. ca 1 R x2 Teremos du = dx, e v = x dx. Tomamos v = . x 2 Temos ent~o a Z Z x ln x dx = u ¢ dv Z = u ¢ v ¡ v ¢ du Z 2 x2 x 1 = ¢ ln x ¡ ¢ dx 2 2 x Z x2 x = ¢ ln x ¡ dx 2 2 x2 x2 = ¢ ln x ¡ +C 2 4 R Exemplo 16.3 Calcular arc tg x dx. Solu»~o. Faremos u = arc tg x, e dv = dx. ca 1 E ent~o du = a dx, v = x. Da¶³, 1 + x2
  • 3. »~ Integracao por partes 140 Z Z Z arc tg x dx = u dv = uv ¡ v du Z 1 = x ¢ arc tg x ¡ x ¢ dx 1 + x2 Z 1 Para calcular a integral J = x¢ dx, procedemos a uma mudan»a de vari¶vel: c a 1 + x2 Fazendo w = 1 + x2 , temos dw = 2x dx, e ent~o x dx = 1 dw. Da¶ a 2 ³, Z Z 1 1 J = x¢ dx = dw = ln jwj + C = ln(1 + x2 ) + C. 1+x 2 w R Portanto, arc tg x dx = x ¢ arc tg x ¡ ln(1 + x2 ) + C. 16.1 Um estrat¶gia para integrar por partes e Poder¶ R dizer que o prop¶sito da integra»~o R partes ¶ transferir o c¶lculo de uma ³amos o ca por e a integral u ¢ dv para o c¶lculo de uma integral Rv ¢ du (a qual espera-se que saibamos a R calcular), pela f¶rmula de integra»~o por partes, u dv = uv ¡ v du. o ca R Ao integrar por partes, uma integral da forma f (x)g(x) dx, devemos sempre escolher, dentre as duas fun»~es da express~o f (x)g(x) dx, uma delas como sendo o co a fator u e a outra como parte de uma diferencial dv. Em outras palavras, podemos fazer u = f (x) e dv = g(x) dx, ou u = g(x) e dv = f (x) dx (ou ainda u = f(x)g(x) e dv = 1 dx !). Mas esta escolha n~o pode ser a feita de modo aleat¶rio. Temos queR espertos em nossa escolha para que, ao passarmos R o ser da integral u dv para a integral v du, passemos a uma integral tecnicamente mais simples de ser calculada. Uma sugest~o que funciona bem na grande maioria das vezes ¶ escolher as fun»~es a e co u e v segundo o crit¶rio que descreveremos abaixo. Ele foi publicado como uma pequena e nota em uma edi»~o antiga da revista American Mathematical Monthly. ca Considere o seguinte esquema de fun»~es elementares: co L I A T E Logar¶ ³tmicas Inversas de Alg¶bricas Trigonom¶tricas Exponenciais e e trigonom¶tricas e No esquema acima, as letras do anagrama LIATE s~o iniciais de diferentes tipos a de fun»~es. co Uma estrat¶gia que funciona bem ¶: ao realizar uma integra»~o por partes, esco- e e ca lher, dentre as duas fun»~es que aparecem sob o sinal de integral, co
  • 4. »~ Integracao por partes 141 ² como fun»~o u: a fun»~o cuja letra inicial de caracteriza»~o posiciona-se mais µ ca ca ca a esquerda no anagrama; ² como formando a diferencial dv: a fun»~o cuja letra inicial de caracteriza»~o ca ca posiciona-se mais µ direita no anagrama. a Sumarizando, u deve caracterizar-se pela letra mais pr¶xima de L, e dv pela letra o mais pr¶xima de E. o Esta estrat¶gia j¶ foi adotada nos exemplos desenvolvidos anteriormente ! e a R 1. Na integral x sen x dx, exemplo 16.1, ¯zemos u = x (Alg¶brica) e dv = sen x dx (Trigonom¶trica). e e No anagrama LIATE, A precede T. R 2. Na integral x ln x dx, exemplo 16.2, ¯zemos u = ln x (Logar¶³tmica) e dv = x dx (Alg¶brica). e No anagrama LIATE, L precede precede A. R 3. Na integral arc tg x dx, exemplo 16.3, ¯zemos u = arc tg x (Inversa de trigonom¶trica), e dv = 1 dx (Alg¶brica). e e No anagrama LIATE, I precede A. Passaremos agora a um exemplo interessante e imprescind¶ ³vel. R Exemplo 16.4 Calcular ex sen x dx. Solu»~o. Seguindo a sugest~o dada acima, faremos ca a u = sen x (trigonom¶trica), dv = ex dx (exponencial). T vem antes de E no e anagrama LIATE. Temos ent~o du = (sen x)0 dx = cos x dx, e tomamos v = ex . Da¶ a ³, Z Z Z e sen x dx = u dv = uv ¡ v du x Z = e sen x ¡ ex cos x dx x R Parece que voltamos ao ponto de partida, n~o ¶ mesmo? Passamos da integral R a e ex sen x dx µ integral ex cos x dx, equivalente µ primeira em n¶ de di¯culdade. a a ³vel Continuaremos, no entanto, a seguir a receita do anagrama. R Na integral J = ex cos x dx faremos u = cos x, dv = ex dx. (Estas fun»~es u e v s~o de¯nidas em um novo contexto. co a Referem-se µ esta segunda integral.) a
  • 5. »~ Integracao por partes 142 Teremos du = (cos x)0 dx = ¡ sen x dx, e v = ex, e ent~o a Z Z Z J = e cos x dx = u dv = uv ¡ v du x Z = e cos x ¡ (¡ sen x)ex dx x Z = e cos x + ex sen x dx x R O resultado ¯nal ¶ interessante. Chamando I = ex sen x dx, e Z I = ex sen x dx = ex sen x ¡ J µ Z ¶ = e sen x ¡ e cos x + e sen x dx x x x = ex sen x ¡ ex cos x ¡ I Portanto, I = ex sen x ¡ ex cos x ¡ I ou seja, 2I = ex sen x ¡ ex cos x + C e ent~o obtemos a 1 I = (ex sen x ¡ ex cos x) + C 2 Rp Exemplo 16.5 Calcular a2 ¡ x2 dx (a > 0). Aqui podemos integrar por partes, mas o anagrama LIATE n~o nos ¶ de serventia, j¶ a e a que a integral involve apenas express~es alg¶bricas. o e p Faremos u = a2 ¡ x2 , dv = dx. ¡x Ent~o du = p 2 a dx, e tomamos v = x. Da¶ ³, a ¡ x2 Z p Z I= a2 ¡ x2 dx = u dv Z = uv ¡ v du p Z ¡x2 = x a2 ¡ x2 ¡ p 2 dx a ¡ x2 p Z x2 =x a 2 ¡ x2 + p dx a2 ¡ x2
  • 6. »~ Integracao por partes 143 Agora fazemos Z Z x2 ¡(a2 ¡ x2 ) + a2 p dx = p dx a2 ¡ x2 a2 ¡ x2 Z Z a2 ¡ x2 a2 =¡ p 2 dx + p 2 dx Z p a ¡ x2 Z a ¡ x2 2 ¡ x2 dx + a2 1 =¡ a p dx Z a2 ¡ x2 2 1 = ¡I + a p dx a 2 ¡ x2 x = ¡I + a2 ¢ arc sen + C a Portanto, p x I = x a2 ¡ x2 ¡ I + a2 ¢ arc sen + C a de onde ent~o a Z p xp 2 a2 x a2 ¡ x2 dx = I = a ¡ x2 + arc sen + C 2 2 a Um modo mais apropriado de abordar integrais com express~es da forma x2 § o a , ou a2 ¡ x2 , ser¶ retomado adiante, quando ¯zermos um estudo de substitui»~es 2 a co trigonom¶tricas. e 16.2 Problemas 1. Repetindo procedimento an¶logo ao usado no exemplo 16.5, mostre que a Z p xp 2 ¸ p x2 + ¸ dx = x + ¸ + ln jx + x2 + ¸j + C 2 2 2. Calcule as seguintes integrais. R (a) xex dx. Resposta. ex(x ¡ 1) + C. R (b) ln x dx. Resposta. x(ln x ¡ 1) + C. R n+1 ¡ 1 ¢ (c) xn ln x dx (n 6¡1). Resposta. x = n+1 ln x ¡ n+1 + C. R 2 2 (d) ln(1 + x ) dx. Resposta. x ln(x + 1) ¡ 2x + 2 arc tg x + C. R (e) x arc tg x dx. Resposta. 1 [(x2 + 1) arc tg x ¡ x] + C. 2 R p (f) arc sen x dx. Resposta. x arc sen x + 1 ¡ x2 + C. Rp p (g) 1 ¡ x2 dx. Resposta. 1 arc sen x + x 1 ¡ x2 + C. 2 2 Sugest~o. Imite os procedimentos usados no exemplo 16.5. a
  • 7. »~ Integracao por partes 144 R p (h) x arc sen x dx. Resposta. 1 [(2x2 ¡ 1) arc sen x + x 1 ¡ x2 ] + C. 4 R px p p (i) e dx. Resposta. 2e ( x ¡ 1) + C. x R p p p (j) arc tg x dx. Resposta. (x + 1) arc tg x ¡ x + C. R p Sugest~o. Ao deparar-se com 2px(1+x) dx, fa»a z = x. a x c R arc sen px p p p (k) p x dx. Resposta. 2 x arc sen x + 2 1 ¡ x + C. R p x p x p p (l) arc sen x+1 dx. Resposta. x arc sen x+1 ¡ x + arc tg x + C. p x Sugest~o. N~o se deixe intimidar. Comece fazendo u = arc sen x+1 , a a dv = dx. R 2 (m) x cos2 x dx. Resposta. x + 1 x sen 2x + 1 cos 2x + C. 4 4 8 Sugest~o. cos2 x = 1 (1 + cos 2x). a 2 R 2 (n) (x + 7x ¡ 5) cos 2x dx. Resposta. (x2 + 7x ¡ 5) sen 2x + (2x + 7) cos 2x ¡ sen 2x + C. 2 4 4 R ax 1 (o) e cos bx dx. Resposta. a2 +b2 e (b sen bx + a cos bx) + C. ax R ax 1 (p) e sen bx dx. Resposta. a2 +b2 eax (a sen bx ¡ b cos bx) + C. R x arc sen x p 2 dx. Resposta. x ¡ 1 ¡ x2 arc sen x + C. (q) p 1¡x R arc sen x (r) dx. x2 ¯ p ¯ ¯ p ¯ ¯ 2¯ ¯ 1¡x2 ¯ Resposta. 1 ln ¯ 1¡p1¡x2 ¯ ¡ x arc sen x + C = ln ¯ 1¡ x ¯ ¡ x arc sen x + C. 2 1+ 1¡x 1 1 R 1 R Sugest~o. Fa»a xp1¡x2 dx = x2 px 2 dx, quando necess¶rio, e ent~o a c a a p 1¡x z = 1 ¡ x2 . R p p p (s) ln(x + 1 + x2 ) dx. Resposta. x ln(x + 1 + x2 ) ¡ 1 + x2 + C. R x arc sen x ¯ ¯ (t) p dx. Resposta. arc sen2x + 1 ln ¯ 1¡x ¯ + C. p 1¡x 2 1+x (1¡x2 )3 R 1 3. Ao calcular a integral x dx, Jo~ozinho procedeu da seguinte maneira. a 1 1 Fazendo u = x , e dv = dx, podemos tomar v = x, e teremos du = ¡ x2 dx. Z Z Z 1 dx = u dv = uv ¡ v du x Z µ ¶ Z 1 1 1 = ¢ x ¡ x ¡ 2 dx = 1 + dx x x x R 1 Sendo J = x dx, temos ent~o J = 1 + J, logo 0 = 1. a Onde est¶ o erro no argumento de Jo~ozinho ? a a Z Z x2 ¡x dx 4. Mostre que dx = + . (x 2 + ¸)2 2(x 2 + ¸) x2+¸ Z Z x2 x Sugest~o. Fa»a a c dx = |{z} ¢ 2 x dx. (x2 + ¸)2 (x + ¸)2 u | {z } dv
  • 8. »~ Integracao por partes 145 5. Usando o resultado do problema 4, calcule (considere a > 0) Z Z x2 x2 (a) dx. (b) dx. (x2 + a2 )2 (a2 ¡ x2 )2 ¯ ¯ Respostas. (a) ¡x 2(x2 +a2 ) + 1 2a arc tg x + C. (b) a x 2(a2 ¡x2 ) ¡ 1 4a ln ¯ a+x ¯ + C. a¡x 6. Mostre que Z Z dx x 1 dx = + (x2 + ¸)2 2¸(x2 + ¸) 2¸ x2 + ¸ R R 2 2 Sugest~o. a dx (x2 +¸)2 = (x +¸)¡x dx. (x2 +¸)2 7. Usando a redu»~o mostrada no problema 6, calcule as integrais (considere a > 0). ca Z Z dx dx (a) . (b) . (x 2 + a2 )2 (a2 ¡ x2 )2 ¯ ¯ Respostas. (a) 2a2 (xx +a2 ) + 2a3 arc tg x + C. (b) 2a2 (ax ¡x2 ) + 4a3 ln ¯ a+x ¯ + C. 2 1 a 2 1 a¡x R x arc tg x 8. Calcule (x2 +1)2 dx. Resposta. 4(x2 +1) + 1 arc tg x ¡ 1 arc tg2x + C. x 4 2 1+x