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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
                                             CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE – CEPLAN
                                                     Bacharel em Sistema de Informação
                  Planalto Norte
                                             Exercícios – Lista 3

    1) Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

              x 2 − 2x + 4                                                          x +1
    a) lim                                                   i) xlim1
        x →2 x 2 − x − 2                                          →−   2 x + 2 x + 3x 2 + 2 x − 1
                                                                        4      3


                  x 2 + 6x                                               5 − 5x 3
    b) lim 3                                                 j) lim
        x →0 x + 7 x 2 + 5 x                                    x→− ∞ 2 − 2 x 3


              6 − 2 x + 3x 2 − x 3                                       5 − x + x2
    c) lim 4                                                 l) lim
        x →3 x − 3 x 3 − x + 3                                  x→+ ∞ 2 − x − 2 x 2


               x 2 − 6x + 7                                                  2x
    d) lim 3                                                 m) lim x
        x → +∞ x + 7 x − 1                                         x→+ ∞ 2 − 1


                  7x5 − 6                                                  x
    e) lim                                                   n) lim
                                                                 x →0 1 − e x
        x → +∞ 4 x 2 − 2 x + 4
                                                                        1 − x + ln x
             1            1                                o) lim 3
    f) lim            −                                         x →1 x − 3 x + 2
       x→2 2 x − 4       x−2
            
                                                                        2 x − 3x
                  x2 −1                                      p) lim
    g) lim 2                                                      x →0       x
        x→− 1 x + 4 x + 3
                                                                        2            1 
               2x 2 + x − 1                                  q) lim 2            −      
    h) 1lim 2                                                     x →1 x − 1
                                                                                   x − 1
        x→ 4 x − 4 x + 1
            2


    Respostas:

    1) a. 2/3 b. 6/5 c. -11/26 d. 0 e. ∞ f. ∞ g. -1 h. ∞ i. -1/6 j. 5/2 l. -1/2 m. 1 n. -1
         o. -1/6 p. ln 2/3         q. -1/2


    2) Em cada um das seguintes funções, determine o intervalo onde a função é
       (a) crescente e decrescente, (b) côncavo para cima e côncavo para baixo.
       Esboce as curvas, especificando os pontos de (c) máximos e mínimos, (d)
       pontos de inflexão, (e) possíveis assíntotas e (f) pontos de descontinuidade
       (quando existir).

                    x 3 5x 2                                 h) f ( x) = ( x − 1) 4
    a)    f ( x) =       −       + 4x + 2
                     3        2                                           1
                                                             i) f ( x ) = + 4
    b)    f ( x) = x 3 − 3x                                               x
    c)    f ( x) = 5 + x − x 3                                              1
                                                             j) f ( x ) =
    d)    f ( x) = x 3 + x 2 − x − 1                                      x −1
                                                                                 1
    e)    f ( x) = 2 x 4 − 4 x 2                             l) f ( x ) = 2 x +
                                                                                2x
    f)   f ( x) = −3 x 4 − 6 x 2
    g)    f ( x ) = ( x − 1) 3

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
                                 CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE – CEPLAN
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                Planalto Norte
                   1 x                                            x2
     m) f ( x ) =    +                            q) f ( x) =
                   x 9                                        ( x − 2) 2
                  1 x                                            x
     n) f ( x) = + + 2                            r) f ( x) = 2
                  x 9                                         x +1
                  4
     o) f ( x ) = + x + 5
                  x
                  16
     p) f ( x ) =    + x ;x >0
                   x

3) Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine
  os eventuais pontos de máximo e de mínimo:

a)   f(x) = 3x + 4                                          x3
b)   f(x) = -2x + 6                           i) f(x) = −      + 4 x 2 + 10
                                                            3
c)   f(x) = x2 – 3x                           j) f(x) = - 2x3
d)   f(x) = 1 – x2                                       x −1
e)   f(x) = x2 -4x +6                         k) f(x) =
                                                         x−2
          x3 7 2                                              2
f) f(x) =    − x + 12 x + 3                   l) f(x) = e − x
           3 2
                                              m) f(x) = (x – 1)(x - 2)(x - 3)
          x3 3 2                              n) f(x) = x.ex
g) f(x) =    − x + 2x + 1
           3 2                                             2x
            x3                                o) f(x) =
h) f(x) = − + 4 x + 6                                     x +1
                                                            2

            3

                                     Aplicações

Funções Marginais – Em Economia e Administração, dada uma função f(x),
                   costuma-se utilizar o conceito de função marginal para
                   avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação
                   de x.

Custo marginal (Cmg) – Variação do custo total decorrente da variação de uma
                      unidade na quantidade produzida.

Receita marginal (Rmg) – Variação na receita total decorrente da venda de uma
                      unidade na quantidade vendida do bem.
                             R(x) = p.x     onde p é a produção
                                        x é a unidade
Lucro marginal (Lmg) – Variação do lucro total.
                         L(x) = R(x) – C(x)

     1) Dada a receita R(x) = -2x2 + 10x, obtenha o valor de x que a maximiza. x =
         5/2



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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
                                       CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE – CEPLAN
                                               Bacharel em Sistema de Informação
               Planalto Norte
    2)    Dada a função de demanda p = 40 – 2x, obtenha o preço que deve ser
         cobrado para maximizar a receita. p = 20

    3) Com relação ao exercício anterior, qual o preço que deve ser cobrado para
       maximizar o lucro, se a função custo for C = 40 + 2x? p = 21
                                                                           x3
    4) A função custo mensal de fabricação de um produto é C =                − 2 x 2 + 10 x + 10 ,
                                                                           3
         e o preço de venda é p = 13. Qual a quantidade que deve ser produzida e
         vendida mensalmente para dar o máximo lucro? x = 4,65 aproximadamente

    5) Dada a função custo anual de uma empresa C(x) = 40x – 10x2 + x3:
                                             C ( x)
    a) Ache o custo médio Cme (x) =                 . Cme =40 – 10x + x2
                                               x
    b) Ache os intervalos de crescimento e decrescimento do custo médio,
       indicando eventuais pontos de máximo e mínimo. x < 5 decres; x > 5 cresc.; 5 é
         MIN

    6) A função demanda mensal de um produto é p = 40 – 0,1x, e a função custo
                                x3
         mensal é C =              − 7 x 2 + 60 x + 50 . Obtenha o valor de x que maximiza o
                                3
         lucro, e o correspondente preço. x = 12,16

    7) Uma empresa opera num mercado em que o preço de venda é constante e
       igual a $ 20,00. Seu custo marginal mensal é dado por Cmg = 3x2 – 6x + 15.
       Qual a produção mensal que dá o máximo lucro? x = 2,63

    8) Uma empresa produz um produto com custo mensal dado por C(x) =
        x3
           − 2 x 2 + 10 x + 20 . Cada unidade do produto é vendida a $ 31,00. Qual a
        3
       quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro
       mensal? x = 7

    9) Dada a função receita R(x) = -2x2 + 1000x, obtenha a receita marginal no
       ponto x = 50. R’(50) = 800

    10) Dada a função custo C(x) = 0,1x3 – 18x2 + 1500x + 10000, obtenha:
    a) o custo marginal Cmg; C’(x) = 0,3x2 – 36x + 1500
    b) Cmg(65) e a interpretação do resultado; C’(65) = 427,5
    c) Cmg(150) e a interpretação do resultado. C’(150) = 2850

    11) O custo de fabricação de x unidades de um produto é C(x) = 2x2 + 5x + 8.
       Atualmente o nível de produção é de 25 unidades. Calcule,
       aproximadamente, usando diferencial de função, quanto varia o custo se
       forem produzidas 26 unidades. df = 105


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                              CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE – CEPLAN
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    12) A receita mensal de vendas de um produto é R(x) = 26x – 5x2 e seu custo é
       C(x) = 14 + 6x. Obtenha a quantidade x que maximiza o lucro e o seu
       correspondente preço. xmáx = 2 e p = $ 16

    13) A função receita de uma empresa é R(x) = 6x2 + 2x +1, em que x é o
       número de unidades produzidas. Atualmente o nível de produção é de 6
       unidades, e a empresa pretende reduzir a produção em 0,5 unidades.
       Usando a diferencial de função, dê aproximadamente a variação da receita.
       E interprete os resultados. df = - 37

    14) Em uma fábrica de ventiladores, o preço de um tipo de ventilador é dado
       por p = -2x + 800, onde 0 ≤ x ≤ 400. Suponha que o custo para a produção
       dos ventiladores seja dado por C(x) = 200x + 25000.
          a. Obtenha a função lucro marginal     L’(x) = -4x + 600
          b. Obtenha o valor de x que dá o lucro máximo xmáx. = 150
          c. Obtenha o preço que deverá maximizar o lucro. p(150) = $ 500

    15) Um monopolista (produtor único de um certo bem) tem um custo mensal
       dado por C(x) = 5 +2x + 0,01x2. A função de demanda mensal é p = - 0,05x
       + 400.
          a. Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro?; $ 234,17
          b. Analise a situação. E se a capacidade máxima de produção for de
              2000 unidades por mês, qual o preço a ser cobrado?; $ 300,00
          c. Analise a situação. E se a capacidade máxima de produção for de
              4000 unidades por mês, qual o preço a ser cobrado?; $ 234,17


                                                              Aos interessados:
                                    Cálculo – Funções de uma e várias variáveis
            Pedro A. Morettin – Samuel Hazzan – Wilton de O. Bussab Ed. Saraiva




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  • 1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE – CEPLAN Bacharel em Sistema de Informação Planalto Norte Exercícios – Lista 3 1) Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. x 2 − 2x + 4 x +1 a) lim i) xlim1 x →2 x 2 − x − 2 →− 2 x + 2 x + 3x 2 + 2 x − 1 4 3 x 2 + 6x 5 − 5x 3 b) lim 3 j) lim x →0 x + 7 x 2 + 5 x x→− ∞ 2 − 2 x 3 6 − 2 x + 3x 2 − x 3 5 − x + x2 c) lim 4 l) lim x →3 x − 3 x 3 − x + 3 x→+ ∞ 2 − x − 2 x 2 x 2 − 6x + 7 2x d) lim 3 m) lim x x → +∞ x + 7 x − 1 x→+ ∞ 2 − 1 7x5 − 6 x e) lim n) lim x →0 1 − e x x → +∞ 4 x 2 − 2 x + 4 1 − x + ln x  1 1  o) lim 3 f) lim −  x →1 x − 3 x + 2 x→2 2 x − 4 x−2  2 x − 3x x2 −1 p) lim g) lim 2 x →0 x x→− 1 x + 4 x + 3  2 1  2x 2 + x − 1 q) lim 2 −  h) 1lim 2 x →1 x − 1  x − 1 x→ 4 x − 4 x + 1 2 Respostas: 1) a. 2/3 b. 6/5 c. -11/26 d. 0 e. ∞ f. ∞ g. -1 h. ∞ i. -1/6 j. 5/2 l. -1/2 m. 1 n. -1 o. -1/6 p. ln 2/3 q. -1/2 2) Em cada um das seguintes funções, determine o intervalo onde a função é (a) crescente e decrescente, (b) côncavo para cima e côncavo para baixo. Esboce as curvas, especificando os pontos de (c) máximos e mínimos, (d) pontos de inflexão, (e) possíveis assíntotas e (f) pontos de descontinuidade (quando existir). x 3 5x 2 h) f ( x) = ( x − 1) 4 a) f ( x) = − + 4x + 2 3 2 1 i) f ( x ) = + 4 b) f ( x) = x 3 − 3x x c) f ( x) = 5 + x − x 3 1 j) f ( x ) = d) f ( x) = x 3 + x 2 − x − 1 x −1 1 e) f ( x) = 2 x 4 − 4 x 2 l) f ( x ) = 2 x + 2x f) f ( x) = −3 x 4 − 6 x 2 g) f ( x ) = ( x − 1) 3 1
  • 2. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE – CEPLAN Bacharel em Sistema de Informação Planalto Norte 1 x x2 m) f ( x ) = + q) f ( x) = x 9 ( x − 2) 2 1 x x n) f ( x) = + + 2 r) f ( x) = 2 x 9 x +1 4 o) f ( x ) = + x + 5 x 16 p) f ( x ) = + x ;x >0 x 3) Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e de mínimo: a) f(x) = 3x + 4 x3 b) f(x) = -2x + 6 i) f(x) = − + 4 x 2 + 10 3 c) f(x) = x2 – 3x j) f(x) = - 2x3 d) f(x) = 1 – x2 x −1 e) f(x) = x2 -4x +6 k) f(x) = x−2 x3 7 2 2 f) f(x) = − x + 12 x + 3 l) f(x) = e − x 3 2 m) f(x) = (x – 1)(x - 2)(x - 3) x3 3 2 n) f(x) = x.ex g) f(x) = − x + 2x + 1 3 2 2x x3 o) f(x) = h) f(x) = − + 4 x + 6 x +1 2 3 Aplicações Funções Marginais – Em Economia e Administração, dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x. Custo marginal (Cmg) – Variação do custo total decorrente da variação de uma unidade na quantidade produzida. Receita marginal (Rmg) – Variação na receita total decorrente da venda de uma unidade na quantidade vendida do bem. R(x) = p.x onde p é a produção x é a unidade Lucro marginal (Lmg) – Variação do lucro total. L(x) = R(x) – C(x) 1) Dada a receita R(x) = -2x2 + 10x, obtenha o valor de x que a maximiza. x = 5/2 2
  • 3. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE – CEPLAN Bacharel em Sistema de Informação Planalto Norte 2) Dada a função de demanda p = 40 – 2x, obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita. p = 20 3) Com relação ao exercício anterior, qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro, se a função custo for C = 40 + 2x? p = 21 x3 4) A função custo mensal de fabricação de um produto é C = − 2 x 2 + 10 x + 10 , 3 e o preço de venda é p = 13. Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para dar o máximo lucro? x = 4,65 aproximadamente 5) Dada a função custo anual de uma empresa C(x) = 40x – 10x2 + x3: C ( x) a) Ache o custo médio Cme (x) = . Cme =40 – 10x + x2 x b) Ache os intervalos de crescimento e decrescimento do custo médio, indicando eventuais pontos de máximo e mínimo. x < 5 decres; x > 5 cresc.; 5 é MIN 6) A função demanda mensal de um produto é p = 40 – 0,1x, e a função custo x3 mensal é C = − 7 x 2 + 60 x + 50 . Obtenha o valor de x que maximiza o 3 lucro, e o correspondente preço. x = 12,16 7) Uma empresa opera num mercado em que o preço de venda é constante e igual a $ 20,00. Seu custo marginal mensal é dado por Cmg = 3x2 – 6x + 15. Qual a produção mensal que dá o máximo lucro? x = 2,63 8) Uma empresa produz um produto com custo mensal dado por C(x) = x3 − 2 x 2 + 10 x + 20 . Cada unidade do produto é vendida a $ 31,00. Qual a 3 quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal? x = 7 9) Dada a função receita R(x) = -2x2 + 1000x, obtenha a receita marginal no ponto x = 50. R’(50) = 800 10) Dada a função custo C(x) = 0,1x3 – 18x2 + 1500x + 10000, obtenha: a) o custo marginal Cmg; C’(x) = 0,3x2 – 36x + 1500 b) Cmg(65) e a interpretação do resultado; C’(65) = 427,5 c) Cmg(150) e a interpretação do resultado. C’(150) = 2850 11) O custo de fabricação de x unidades de um produto é C(x) = 2x2 + 5x + 8. Atualmente o nível de produção é de 25 unidades. Calcule, aproximadamente, usando diferencial de função, quanto varia o custo se forem produzidas 26 unidades. df = 105 3
  • 4. UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE – CEPLAN Bacharel em Sistema de Informação Planalto Norte 12) A receita mensal de vendas de um produto é R(x) = 26x – 5x2 e seu custo é C(x) = 14 + 6x. Obtenha a quantidade x que maximiza o lucro e o seu correspondente preço. xmáx = 2 e p = $ 16 13) A função receita de uma empresa é R(x) = 6x2 + 2x +1, em que x é o número de unidades produzidas. Atualmente o nível de produção é de 6 unidades, e a empresa pretende reduzir a produção em 0,5 unidades. Usando a diferencial de função, dê aproximadamente a variação da receita. E interprete os resultados. df = - 37 14) Em uma fábrica de ventiladores, o preço de um tipo de ventilador é dado por p = -2x + 800, onde 0 ≤ x ≤ 400. Suponha que o custo para a produção dos ventiladores seja dado por C(x) = 200x + 25000. a. Obtenha a função lucro marginal L’(x) = -4x + 600 b. Obtenha o valor de x que dá o lucro máximo xmáx. = 150 c. Obtenha o preço que deverá maximizar o lucro. p(150) = $ 500 15) Um monopolista (produtor único de um certo bem) tem um custo mensal dado por C(x) = 5 +2x + 0,01x2. A função de demanda mensal é p = - 0,05x + 400. a. Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro?; $ 234,17 b. Analise a situação. E se a capacidade máxima de produção for de 2000 unidades por mês, qual o preço a ser cobrado?; $ 300,00 c. Analise a situação. E se a capacidade máxima de produção for de 4000 unidades por mês, qual o preço a ser cobrado?; $ 234,17 Aos interessados: Cálculo – Funções de uma e várias variáveis Pedro A. Morettin – Samuel Hazzan – Wilton de O. Bussab Ed. Saraiva 4