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Deriva»~o em cadeia e deriva»~o
       ca                   ca
impl¶
    ³cita

A regra da cadeia ¶ uma regra de deriva»~o que nos permite calcular a derivada de
                  e                          ca
uma composi»~o (ou um encadeamento) de fun»~es, tais como f (g(x)) ou f (g(h(x))),
            ca                                     co
conhecendo-se as derivadas f 0 (x), g 0 (x) e h0 (x).
     Quando temos uma fun»~o composta, tal como y = (x3 + x ¡ 1)10 , podemos
                           ca
decomp^-la em fun»~es elementares. Simplesmente escrevemos
      o          co
                           y = u10 ;     u = x3 + x ¡ 1:

     Na nota»~o de Leibniz, a regra da cadeia nos diz que
            ca
                                   dy   dy du
                                      =   ¢
                                   dx   du dx

     No caso, teremos ent~o
                         a
                          dy   dy du
                             =    ¢
                          dx   du dx
                             = 10u9 ¢ (3x2 + 1)
                             = 10(x3 + x ¡ 1)9 (3x2 + 1)

     Repetindo tudo, passando da nota»~o de Leibniz para a nota»~o de Lagrange,
                                     ca                        ca
temos
                             y = f (u); u = g(x)
e ent~o
     a
                               dy   dy du
                                  =       ¢
                               dx   du dx
                                  = f 0 (u) ¢ g 0 (x)
                                  = f 0 (g(x)) ¢ g 0 (x)

                                         19
Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
      »~                    »~      ³cita                                      20


Regra 3.1 (Deriva»~o em cadeia) Se y = f (u) e u = g(x) ent~o
                 ca                                        a

                                     dy   dy du
                                        =   ¢
                                     dx   du dx
Em outras palavras, sendo y = f (g(x)), tem-se

                         y 0 = [f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) ¢ g 0 (x):

Observa»~o 3.1 A id¶ia intuitiva que inspira a regra da cadeia ¶ a seguinte: sendo
         ca            e                                       e
y = f (u) e u = g(x), temos ¢u = g(x + ¢x) ¡ g(x) e, ¢y = f (u + ¢u) ¡ f (u)
      Assumindo, para simpli¯car, que ¢u 60 sempre que ¢x = 0 (o que nem sempre
                                         =                6
ocorre!), temos
                                   ¢y    ¢y ¢u
                                      =    ¢
                                   ¢x    ¢u ¢x
Quando ¢x tende a 0, ¢u tamb¶m tende a 0 (observa»~o 2.1), e assim
                                e                  ca

                               ¢y       ¢y       ¢u
                          lim     = lim    ¢ lim
                          ¢x!0 ¢x  ¢u!0 ¢u ¢x!0 ¢x

e portanto
                                   dy   dy du
                                      =    ¢
                                   dx   du dx
Nos dispensaremos da tarefa de fazer uma dedu»~o mais rigorosa da regra da cadeia,
                                             ca
um procedimento poss¶ mas deveras so¯sticado.
                    ³vel

                       dy
Exemplo 3.1 Calcular      , sendo y = ((x2 + 1)10 + 1)8 .
                       dx
Solu»~o. Escrevemos
    ca

                        y = u8 ;    u = v10 + 1;      v = x2 + 1

Assim, estamos compondo (encadeando) tr^s fun»oes. Aplicando a regra da cadeia
                                       e     c~
temos
                       dy   dy du
                          =    ¢
                       dx   du dx
                            dy du dv
                          =    ¢     ¢
                            du dv dx
                          = 8u7 ¢ 10v 9 ¢ 2x
                          = 160(v 10 + 1)7 (x2 + 1)9 x
                          = 160x((x2 + 1)10 + 1)7 (x2 + 1)9
Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
      »~                    »~      ³cita                                           21


3.1       Derivadas de fun»~es dadas implicitamente
                          co
Muitas vezes, duas vari¶veis x e y s~o tais que, em um certo intervalo de valores de x,
                       a            a
y depende de x, ou seja, y ¶ uma fun»~o da vari¶vel x, mas em lugar de uma f¶rmula
                            e         ca          a                             o
y = f (x), temos uma equa»~o F (x; y) = c, inter-relacionando ambas as vari¶veis, tal
                            ca                                                a
como nos dois exemplos abaixo.

 (1) x2 + y 2 = 2

 (2) x3 + y 3 = x + y + xy

     µ
     As vezes, ¶ poss¶ resolver a equa»~o dada em y, ou seja, isolar" y no primeiro
               e     ³vel              ca
membro da equa»~o, expressando explicitamente y como vari¶vel dependendo de x. Por
                ca                                       a
exemplo, no caso da equa»~o (1), podemos fazer
                          ca

                                      y 2 = 2 ¡ x2

e ent~o
     a                                   p
                                    y = § 2 ¡ x2
Neste caso, deduzimos ent~o que as fun»oes
                          a           c~
                              p                       p
                  y = f1 (x) = 2 ¡ x2 e y = f2 (x) = ¡ 2 ¡ x2

ambas satisfazem a equa»~o x2 + y 2 = 2.
                       ca
      No caso da equa»~o (2), podemos veri¯car que, por exemplo, o par (1; 0) satisfaz
                      ca
a equa»~o, mas n~o nos ¶ ¶bvio como resolver a equa»~o em y e obter uma fun»~o
       ca          a       e o                        ca                          ca
                                   3        3
y = f (x) satifazendo f (1) = 0 e x + (f(x)) = x + f(x) + xf (x).
                                                                           dy
     No entanto, em ambos os casos, ¶ quase sempre poss¶ obter a derivada
                                    e                  ³vel                   , em
                                                                           dx
um determinado ponto x0 , se conhecemos tamb¶m o valor correspondente y0 .
                                             e
Para isto, derivamos ambos os membros da equa»~o F (x; y) = c, considerando y como
                                              ca
fun»~o de x, e usamos as regras de deriva»~o, bem como a regra da cadeia, quando
   ca                                    ca
necess¶rio.
       a

                        dy
Exemplo 3.2 Obtendo        , a partir da equa»~o x2 + y 2 = 2, por deriva»~o impl¶
                                             ca                          ca      ³cita.
                        dx
     Denotaremos por (¤)0 a derivada da express~o ¤ (a express~o que estiver entre
                                                  a                a
par^nteses), em rela»~o a x. Inicialmente notamos que, sendo y uma fun»~o de x,
   e                ca                                                        ca
                               2 0         0
temos, pela regra da cadeia, (y ) = 2y ¢ y .
                      dy
      Para obtermos      (ou y 0 ) no caso da equa»~o x2 + y 2 = 2, fazemos
                                                  ca
                      dx
Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
      »~                    »~      ³cita                                              22




                                       x2 + y 2 = 2
                                       (x2 + y 2 )0 = (2)0
                                       (x2 )0 + (y 2 )0 = 0
                                       2x + 2yy 0 = 0
                                       yy 0 = ¡x
                                               x
                                       y0 = ¡
                                               y
                                                                     dy   x
Isto quer dizer que, se y ¶ fun»~o de x satisfazendo x2 + y 2 = 2, ent~o
                          e    ca                                     a =¡ .
                                                                     dx   y
                                          p                          p
       Como vimos, as fun»~es y = f1 (x) = 2 ¡ x2 e y = f2 (x) = ¡ 2 ¡ x2 ambas
                         co
            2   2
satisfazem x + y = 2. Pela deriva»~o impl¶
                                  ca       ³cita" efetuada acima, temos

                               dy   x     x                             x
     1. Se y = f1 (x), ent~o
                          a       =¡ =¡        . Neste caso, y 0 = ¡ p       ;
                               dx   y   f1 (x)                        2 ¡ x2
                               dy   x     x                           x
     2. Se y = f2 (x), ent~o
                          a       =¡ =¡        . Neste caso, y 0 = p
                               dx   y   f2 (x)                      2 ¡ x2

                    dy
Exemplo 3.3 Obtendo    , a partir da equa»~o x3 + y 3 = x2 y 2 + x + y, por deriva»~o
                                         ca                                       ca
                    dx
impl¶
    ³cita.
                       dy
       Para obtermos      (ou y 0 ) no caso da equa»~o x3 + y 3 = x2 y 2 + x + y, fazemos
                                                   ca
                       dx


                         x3 + y 3 = x2 y 2 + x + y
                         (x3 + y 3 )0 = (x2 y 2 + x + y)0
                         3x2 + 3y 2 y 0 = (x2 y 2 )0 + 1 + y 0
                         3x2 + 3y 2 y 0 = (x2 )0 y 2 + x2 (y 2 )0 + 1 + y 0
                         3x2 + 3y 2 y 0 = 2xy 2 + x2 ¢ 2yy 0 + 1 + y 0

Obtemos ent~o y 0 , deixando no primeiro membro somente os termos com y 0 :
           a

                          3y 2 y 0 ¡ 2x2 yy 0 ¡ y 0 = 1 + 2xy 2 ¡ 3x2
                          (3y 2 ¡ 2x2 y ¡ 1)y 0 = 1 + 2xy 2 ¡ 3x2
                                  1 + 2xy 2 ¡ 3x2
                          y0 = 2
                                  3y ¡ 2x2 y ¡ 1

Exemplo 3.4 Obter a reta tangente µ curva x3 +y 3 = x2 y 2 +x+y no ponto P = (1; 0).
                                  a
     Note que o problema s¶ faz sentido porque o ponto (1; 0) de fato pertence µ curva:
                          o                                                    a
 3   3    2   2
1 + 0 = 1 ¢ 0 + 1 + 0.
Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
      »~                    »~      ³cita                                             23

                         dy
      Primeiro obtemos                          ³cita, a partir da equa»~o x3 + y 3 =
                            , por deriva»~o impl¶
                                        ca                             ca
                         dx
x2 y 2 + x + y.
                                                              0   1 + 2xy 2 ¡ 3x2
      Isto j¶ foi feito no exemplo anterior, em que calculamos y = 2
            a                                                                     .
                                                                  3y ¡ 2x2 y ¡ 1
      O coe¯ciente angular da reta tangente procurada ¶
                                                      e
                        ¯                       ¯
                     dy ¯
                        ¯       1 + 2xy 2 ¡ 3x2 ¯
                                                ¯     1¡3
                     dx ¯x=1 = 3y 2 ¡ 2x2 y ¡ 1 ¯x=1 = ¡1 = 2
                          y=0                         y=0


      Assim sendo, a reta procurada tem equa»~o y ¡ 0 = 2(x ¡ 1), ou seja, y = 2x ¡ 2.
                                            ca


3.2        Derivada da fun»~o pot^ncia f (x) = xr , sendo r
                          ca     e
           um n¶mero racional
                u
Da ¶lgebra elementar, temos
    a
  1   p
x 2 = x (x ¸ 0)
  1   p
x 3 = 3 x (x real qualquer)
  1   p
x n = n x (n > 0, x ¸ 0 se n ¶ par, x qualquer se n ¶ ¶
                              e                     e ³mpar)
  p   p p
x q = q x   (q > 0; quando q ¶ par, x ¸ 0 se p ¶ ¶
                             e                 e ³mpar positivo, e x > 0 se p ¶ impar
                                                                              e
negativo)

Regra 3.2
                                       1        1     1
                                    (x n )0 =     ¢ x n ¡1
                                                n
ou seja,
                                     p             1
                                    ( n x)0 =    p
                                                 n
                                                n xn¡1

Regra 3.3 Sendo p e q inteiros, com q > 0,
                                       p        p p ¡1
                                    (x q )0 =     ¢ xq
                                                q
Portanto, se r ¶ um expoente racional,
               e

                                      (xr )0 = rxr¡1
Demonstra»~o da regra 3.2.
         ca
                  1
      Se y = x n , ent~o y n = x.
                      a
      Aplicando deriva»~o impl¶
                      ca      ³cita obtemos

                                       ny n¡1 y 0 = 1
Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
      »~                    »~      ³cita                              24

                   1     1         1     1       1   1¡n 1    1
Portanto y 0 =      n¡1
                        = ¢ y 1¡n = ¢ (x n )1¡n = ¢ x n = ¢ x n ¡1
                 ny      n         n             n       n
Demonstra»~o da regra 3.3.
         ca
                                              p
     Sendo p e q inteiros, q > 0, se y = x q , ent~o y q = xp .
                                                  a
     Por deriva»~o impl¶
               ca      ³cita, obtemos ent~o
                                         a
     (y q )0 = (xp )0 ou, equivalentemente qy q¡1 y 0 = pxp¡1 .
                    pxp¡1   pxp x¡1 pxp x¡1 p    p          p p
     Assim, y 0 =          = q ¡1 = p ¡1 = yx¡1 = xp=q x¡1 = x q ¡1
                    qy q¡1  qy y    qx y    q    q          q

                                                  p
Exemplo 3.5 Calcular a derivada de f (x) =        3
                                                    3x2 + 3x + 5
                                          1
Solu»~o. Temos f (x) = (3x2 + 3x + 5) 3 .
    ca
     Aplicando deriva»~o em cadeia e a regra 3.3, temos
                     ca


                                                  1
                       f 0 (x) = [(3x2 + 3x + 5) 3 ]0
                                 1                    2
                               = (3x2 + 3x + 5)¡ 3 (3x2 + 3x + 5)0
                                 3
                                 1                    2
                               = (3x2 + 3x + 5)¡ 3 (6x + 3)
                                 3
                                                  2
                               = (3x2 + 3x + 5)¡ 3 (2x + 1)
                                       2x + 1
                               =
                                 (3x 2 + 3x + 5)2=3

                                       2x + 1
                               =p 3
                                    (3x2 + 3x + 5)2

Solu»~o alternativa. Sendo y = f(x), temos
    ca
                                     p3
                                y = 3x2 + 3x + 5

e portanto
                                    y 3 = 3x2 + 3x + 5
Aplicando deriva»~o impl¶
                ca      ³cita, obtemos
                                                              6x + 3
                          3y 2 y 0 = 6x + 3, ou seja, y 0 =
                                                               3y 2
de onde
                             2x + 1             2x + 1
                     y0 = p 2            = p
                         ( 3x + 3x + 5)
                          3            2   3
                                             (3x2 + 3x + 5)2
Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
      »~                    »~      ³cita                                        25


3.3    Problemas
             dy
  1. Calcule
             dx
              µ 3   ¶5 µ 2    ¶4
                x       x
      (a) y =     +1 +     +1
                3       2
              ((x3 + 7)4 + x)5
      (b) y =
                   x2 + 1
              µ       ¶10
                  x
      (c) y =
                x+1
  2. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
                                           c~

      (a) f(x) = (x2 ¡ 3x + 8)3
                     x
      (b) f(x) = 2
                 (x ¡ 1)4
      (c) F (v) = (17v ¡ 5)1000
      (d) s(t) = (4t5 ¡ 3t3 + 2t)¡2
                   (u2 + 1)3
      (e) k(u) =
                   (4u ¡ 5)5
  3. Determine (i) a equa»~o da reta tangente µ curva no ponto indicado e (ii) os
                         ca                    a
     pontos do gr¶¯co em que reta tangente µ curva ¶ horizontal, nos casos
                 a                         a       e

      (a) y = (4x2 ¡ 8x + 3)4 , P = (2; 81).
      (b) y = (2x ¡ 1)10 , P = (1; 1).

  4. Se k(x) = f (g(x)), com f(2) = ¡4, g(2) = 2, f 0 (2) = 3 e g 0 (2) = 5, calcule
     k 0 (2).

  5. Determine y 0 sendo y uma fun»~o de x dada implicitamente pela equa»~o
                                  ca                                    ca

      (a) 2x3 + x2 y + y 3 = 1
           1     1
      (b) 2 + 2 = 1
          x      y
      (c) (y 2 ¡ 9)4 = (4x2 + 3x ¡ 1)2

  6. Veri¯que primeiramente que o ponto P pertence µ curva dada e ache a equa»~o
                                                   a                         ca
     da reta tangente µ curva no ponto P .
                      a

      (a) xy = ¡16,     P = (¡2; 8);
      (b) 2x ¡ x y + y 3 ¡ 1 = 0,
               3   2
                                       P = (2; ¡3).

  7. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes.
                                           c~
Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
      »~                    »~      ³cita                                         26

                     p
        (a) f(x) =    3
                         8x3 + 27
                              p
        (b)   f(x) = (7x + x2 + 3)6
                             4
        (c)   f(t) =
                     (9t  2 + 16)2=3
                     p3
                        2z + 3
        (d)   g(z) = p
                        3z + 2
                            5
        (e)   F (v) = p5
                         v 5 ¡ 32

                dy
  8. Calcule     se
                dx
                 p
        (a) 6x + xy ¡ 3y = 4
                  p
        (b) 3x2 + 3 xy = 2y 2 + 20

  9. Uma fun»~o ¶ par se f(¡x) = f (x) para todo x em seu dom¶
             ca e                                               ³nio, e ¶ ¶
                                                                        e ³mpar se
     f (¡x) = ¡f (x) para todo x em seu dom¶
                                           ³nio. Sendo f deriv¶vel, demonstre que
                                                              a

        (a) Se f ¶ par, ent~o f 0 ¶ ¶
                  e        a      e ³mpar (ou seja, se f (¡x) = f (x) para todo x no
            dom¶ de f), ent~o f 0 (¡x) = ¡f 0 (x);
                ³nio         a
                 e ³mpar, ent~o f 0 ¶ par.
        (b) Se f ¶ ¶         a      e


3.3.1      Respostas e sugest~es
                             o
                      µ 3      ¶4       µ 2     ¶3
            dy      2 x                   x
  1.    (a)    = 5x        + 1 + 4x          +1
            dx          3                  2
            dy
        (b)    =
            dx
            5((x3 + 7)4 + x)4 (12x2 (x3 + 7)3 + 1)(x2 + 1) ¡ 2x((x3 + 7)4 + x)5
                                          (x2 + 1)2
              dy     10x9
        (c)      =
              dx   (x + 1)11
  2.    (a) f 0 (x) = 3(x2 ¡ 3x + 8)2 (2x ¡ 3)
                        ¡(7x2 + 1)
        (b) f 0 (x) =
                         (x2 ¡ 1)5
        (c) F 0 (v) = 17000(17v ¡ 5)999
        (d) s0 (t) = ¡2(4t5 ¡ 3t3 + 2t)¡3 (20t4 ¡ 9t2 + 2)
                        (u2 + 1)2 (4u2 ¡ 30u ¡ 20)
        (e) k0 (u) =
                                (4u ¡ 5)6
  3.    (a) (i) y ¡ 81 = 864(x ¡ 2), (ii) (1; 1), (1=2; 0) e (3=2; 0).
        (b) (i) y ¡ 1 = 20(x ¡ 1), (ii) (1=2; 0).

  4. k0 (2) = 15.
Derivacao em cadeia e derivacao impl¶
      »~                    »~      ³cita                                                27

                    ¡(6x2 + 2xy)
  5.   (a) y0 =
                      x2 + 3y2
                  y3
       (b) y0 = ¡
                  x3
                (4x2 + 3x ¡ 1)(8x + 3)
       (c) y0 =
                     4y(y2 ¡ 9)3
  6.   (a) 4x ¡ y + 16 = 0
       (b) y + 3 = ¡ 36 (x ¡ 2)
                     23

                                                        8x2
  7.   (a) f 0 (x) = 8x2 (8x3 + 27)¡2=3 = p
                                          3
                                                     (8x3 + 27)2
                               p              µ               ¶
                                                        x
       (b) f 0 (x) = 6(7x +        x2 + 3)5       7+ p
                                                       x2 + 3
                           ¡48t
       (c) f 0 (t) = p
                     3
                      (9t2 + 16)5
                        p
             0 (z) = ¡3 2z + 3 +           2
                        3
       (d) g          p            p      p
                     2 (3z + 2)3  3 3z + 2 3 (2z + 3)2
                                                       ¡5v 4
       (e) F 0 (v) = ¡5v 4 (v 5 ¡ 32)¡6=5 = p
                                            5
                                                      (v 5 ¡ 32)6
                     p
                   12 xy + y
  8.   (a)   y0   = p
                    6 xy ¡ x
                    18x5=3 y 2=3 + y
       (b) y0 =
                    12x2=3 y 5=3 ¡ x
  9.   (a) Se f ¶ uma fun»~o par, temos a igualdade f (¡x) = f (x). Derivando ambos
                   e          ca
           os membros em rela»~o a x, temos [f (¡x)]0 = f 0 (x). Por deriva»~o em cadeia,
                                   ca                                         ca
           aplicada ao primeiro membro, temos f 0 (¡x) ¢ (¡x)0 = f 0 (x), logo ¡f 0 (¡x) =
           f 0 (x), ou seja f 0 (¡x) = ¡f 0 (x). Conclu¶
                                                       ³mos ent~o que se f ¶ fun»~o par, sua
                                                               a           e     ca
           derivada f 0 ¶ fun»~o ¶
                         e      ca ³mpar.

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Derivação em cadeia

  • 1. Aula 3 Deriva»~o em cadeia e deriva»~o ca ca impl¶ ³cita A regra da cadeia ¶ uma regra de deriva»~o que nos permite calcular a derivada de e ca uma composi»~o (ou um encadeamento) de fun»~es, tais como f (g(x)) ou f (g(h(x))), ca co conhecendo-se as derivadas f 0 (x), g 0 (x) e h0 (x). Quando temos uma fun»~o composta, tal como y = (x3 + x ¡ 1)10 , podemos ca decomp^-la em fun»~es elementares. Simplesmente escrevemos o co y = u10 ; u = x3 + x ¡ 1: Na nota»~o de Leibniz, a regra da cadeia nos diz que ca dy dy du = ¢ dx du dx No caso, teremos ent~o a dy dy du = ¢ dx du dx = 10u9 ¢ (3x2 + 1) = 10(x3 + x ¡ 1)9 (3x2 + 1) Repetindo tudo, passando da nota»~o de Leibniz para a nota»~o de Lagrange, ca ca temos y = f (u); u = g(x) e ent~o a dy dy du = ¢ dx du dx = f 0 (u) ¢ g 0 (x) = f 0 (g(x)) ¢ g 0 (x) 19
  • 2. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶ »~ »~ ³cita 20 Regra 3.1 (Deriva»~o em cadeia) Se y = f (u) e u = g(x) ent~o ca a dy dy du = ¢ dx du dx Em outras palavras, sendo y = f (g(x)), tem-se y 0 = [f (g(x))]0 = f 0 (g(x)) ¢ g 0 (x): Observa»~o 3.1 A id¶ia intuitiva que inspira a regra da cadeia ¶ a seguinte: sendo ca e e y = f (u) e u = g(x), temos ¢u = g(x + ¢x) ¡ g(x) e, ¢y = f (u + ¢u) ¡ f (u) Assumindo, para simpli¯car, que ¢u 60 sempre que ¢x = 0 (o que nem sempre = 6 ocorre!), temos ¢y ¢y ¢u = ¢ ¢x ¢u ¢x Quando ¢x tende a 0, ¢u tamb¶m tende a 0 (observa»~o 2.1), e assim e ca ¢y ¢y ¢u lim = lim ¢ lim ¢x!0 ¢x ¢u!0 ¢u ¢x!0 ¢x e portanto dy dy du = ¢ dx du dx Nos dispensaremos da tarefa de fazer uma dedu»~o mais rigorosa da regra da cadeia, ca um procedimento poss¶ mas deveras so¯sticado. ³vel dy Exemplo 3.1 Calcular , sendo y = ((x2 + 1)10 + 1)8 . dx Solu»~o. Escrevemos ca y = u8 ; u = v10 + 1; v = x2 + 1 Assim, estamos compondo (encadeando) tr^s fun»oes. Aplicando a regra da cadeia e c~ temos dy dy du = ¢ dx du dx dy du dv = ¢ ¢ du dv dx = 8u7 ¢ 10v 9 ¢ 2x = 160(v 10 + 1)7 (x2 + 1)9 x = 160x((x2 + 1)10 + 1)7 (x2 + 1)9
  • 3. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶ »~ »~ ³cita 21 3.1 Derivadas de fun»~es dadas implicitamente co Muitas vezes, duas vari¶veis x e y s~o tais que, em um certo intervalo de valores de x, a a y depende de x, ou seja, y ¶ uma fun»~o da vari¶vel x, mas em lugar de uma f¶rmula e ca a o y = f (x), temos uma equa»~o F (x; y) = c, inter-relacionando ambas as vari¶veis, tal ca a como nos dois exemplos abaixo. (1) x2 + y 2 = 2 (2) x3 + y 3 = x + y + xy µ As vezes, ¶ poss¶ resolver a equa»~o dada em y, ou seja, isolar" y no primeiro e ³vel ca membro da equa»~o, expressando explicitamente y como vari¶vel dependendo de x. Por ca a exemplo, no caso da equa»~o (1), podemos fazer ca y 2 = 2 ¡ x2 e ent~o a p y = § 2 ¡ x2 Neste caso, deduzimos ent~o que as fun»oes a c~ p p y = f1 (x) = 2 ¡ x2 e y = f2 (x) = ¡ 2 ¡ x2 ambas satisfazem a equa»~o x2 + y 2 = 2. ca No caso da equa»~o (2), podemos veri¯car que, por exemplo, o par (1; 0) satisfaz ca a equa»~o, mas n~o nos ¶ ¶bvio como resolver a equa»~o em y e obter uma fun»~o ca a e o ca ca 3 3 y = f (x) satifazendo f (1) = 0 e x + (f(x)) = x + f(x) + xf (x). dy No entanto, em ambos os casos, ¶ quase sempre poss¶ obter a derivada e ³vel , em dx um determinado ponto x0 , se conhecemos tamb¶m o valor correspondente y0 . e Para isto, derivamos ambos os membros da equa»~o F (x; y) = c, considerando y como ca fun»~o de x, e usamos as regras de deriva»~o, bem como a regra da cadeia, quando ca ca necess¶rio. a dy Exemplo 3.2 Obtendo , a partir da equa»~o x2 + y 2 = 2, por deriva»~o impl¶ ca ca ³cita. dx Denotaremos por (¤)0 a derivada da express~o ¤ (a express~o que estiver entre a a par^nteses), em rela»~o a x. Inicialmente notamos que, sendo y uma fun»~o de x, e ca ca 2 0 0 temos, pela regra da cadeia, (y ) = 2y ¢ y . dy Para obtermos (ou y 0 ) no caso da equa»~o x2 + y 2 = 2, fazemos ca dx
  • 4. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶ »~ »~ ³cita 22 x2 + y 2 = 2 (x2 + y 2 )0 = (2)0 (x2 )0 + (y 2 )0 = 0 2x + 2yy 0 = 0 yy 0 = ¡x x y0 = ¡ y dy x Isto quer dizer que, se y ¶ fun»~o de x satisfazendo x2 + y 2 = 2, ent~o e ca a =¡ . dx y p p Como vimos, as fun»~es y = f1 (x) = 2 ¡ x2 e y = f2 (x) = ¡ 2 ¡ x2 ambas co 2 2 satisfazem x + y = 2. Pela deriva»~o impl¶ ca ³cita" efetuada acima, temos dy x x x 1. Se y = f1 (x), ent~o a =¡ =¡ . Neste caso, y 0 = ¡ p ; dx y f1 (x) 2 ¡ x2 dy x x x 2. Se y = f2 (x), ent~o a =¡ =¡ . Neste caso, y 0 = p dx y f2 (x) 2 ¡ x2 dy Exemplo 3.3 Obtendo , a partir da equa»~o x3 + y 3 = x2 y 2 + x + y, por deriva»~o ca ca dx impl¶ ³cita. dy Para obtermos (ou y 0 ) no caso da equa»~o x3 + y 3 = x2 y 2 + x + y, fazemos ca dx x3 + y 3 = x2 y 2 + x + y (x3 + y 3 )0 = (x2 y 2 + x + y)0 3x2 + 3y 2 y 0 = (x2 y 2 )0 + 1 + y 0 3x2 + 3y 2 y 0 = (x2 )0 y 2 + x2 (y 2 )0 + 1 + y 0 3x2 + 3y 2 y 0 = 2xy 2 + x2 ¢ 2yy 0 + 1 + y 0 Obtemos ent~o y 0 , deixando no primeiro membro somente os termos com y 0 : a 3y 2 y 0 ¡ 2x2 yy 0 ¡ y 0 = 1 + 2xy 2 ¡ 3x2 (3y 2 ¡ 2x2 y ¡ 1)y 0 = 1 + 2xy 2 ¡ 3x2 1 + 2xy 2 ¡ 3x2 y0 = 2 3y ¡ 2x2 y ¡ 1 Exemplo 3.4 Obter a reta tangente µ curva x3 +y 3 = x2 y 2 +x+y no ponto P = (1; 0). a Note que o problema s¶ faz sentido porque o ponto (1; 0) de fato pertence µ curva: o a 3 3 2 2 1 + 0 = 1 ¢ 0 + 1 + 0.
  • 5. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶ »~ »~ ³cita 23 dy Primeiro obtemos ³cita, a partir da equa»~o x3 + y 3 = , por deriva»~o impl¶ ca ca dx x2 y 2 + x + y. 0 1 + 2xy 2 ¡ 3x2 Isto j¶ foi feito no exemplo anterior, em que calculamos y = 2 a . 3y ¡ 2x2 y ¡ 1 O coe¯ciente angular da reta tangente procurada ¶ e ¯ ¯ dy ¯ ¯ 1 + 2xy 2 ¡ 3x2 ¯ ¯ 1¡3 dx ¯x=1 = 3y 2 ¡ 2x2 y ¡ 1 ¯x=1 = ¡1 = 2 y=0 y=0 Assim sendo, a reta procurada tem equa»~o y ¡ 0 = 2(x ¡ 1), ou seja, y = 2x ¡ 2. ca 3.2 Derivada da fun»~o pot^ncia f (x) = xr , sendo r ca e um n¶mero racional u Da ¶lgebra elementar, temos a 1 p x 2 = x (x ¸ 0) 1 p x 3 = 3 x (x real qualquer) 1 p x n = n x (n > 0, x ¸ 0 se n ¶ par, x qualquer se n ¶ ¶ e e ³mpar) p p p x q = q x (q > 0; quando q ¶ par, x ¸ 0 se p ¶ ¶ e e ³mpar positivo, e x > 0 se p ¶ impar e negativo) Regra 3.2 1 1 1 (x n )0 = ¢ x n ¡1 n ou seja, p 1 ( n x)0 = p n n xn¡1 Regra 3.3 Sendo p e q inteiros, com q > 0, p p p ¡1 (x q )0 = ¢ xq q Portanto, se r ¶ um expoente racional, e (xr )0 = rxr¡1 Demonstra»~o da regra 3.2. ca 1 Se y = x n , ent~o y n = x. a Aplicando deriva»~o impl¶ ca ³cita obtemos ny n¡1 y 0 = 1
  • 6. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶ »~ »~ ³cita 24 1 1 1 1 1 1¡n 1 1 Portanto y 0 = n¡1 = ¢ y 1¡n = ¢ (x n )1¡n = ¢ x n = ¢ x n ¡1 ny n n n n Demonstra»~o da regra 3.3. ca p Sendo p e q inteiros, q > 0, se y = x q , ent~o y q = xp . a Por deriva»~o impl¶ ca ³cita, obtemos ent~o a (y q )0 = (xp )0 ou, equivalentemente qy q¡1 y 0 = pxp¡1 . pxp¡1 pxp x¡1 pxp x¡1 p p p p Assim, y 0 = = q ¡1 = p ¡1 = yx¡1 = xp=q x¡1 = x q ¡1 qy q¡1 qy y qx y q q q p Exemplo 3.5 Calcular a derivada de f (x) = 3 3x2 + 3x + 5 1 Solu»~o. Temos f (x) = (3x2 + 3x + 5) 3 . ca Aplicando deriva»~o em cadeia e a regra 3.3, temos ca 1 f 0 (x) = [(3x2 + 3x + 5) 3 ]0 1 2 = (3x2 + 3x + 5)¡ 3 (3x2 + 3x + 5)0 3 1 2 = (3x2 + 3x + 5)¡ 3 (6x + 3) 3 2 = (3x2 + 3x + 5)¡ 3 (2x + 1) 2x + 1 = (3x 2 + 3x + 5)2=3 2x + 1 =p 3 (3x2 + 3x + 5)2 Solu»~o alternativa. Sendo y = f(x), temos ca p3 y = 3x2 + 3x + 5 e portanto y 3 = 3x2 + 3x + 5 Aplicando deriva»~o impl¶ ca ³cita, obtemos 6x + 3 3y 2 y 0 = 6x + 3, ou seja, y 0 = 3y 2 de onde 2x + 1 2x + 1 y0 = p 2 = p ( 3x + 3x + 5) 3 2 3 (3x2 + 3x + 5)2
  • 7. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶ »~ »~ ³cita 25 3.3 Problemas dy 1. Calcule dx µ 3 ¶5 µ 2 ¶4 x x (a) y = +1 + +1 3 2 ((x3 + 7)4 + x)5 (b) y = x2 + 1 µ ¶10 x (c) y = x+1 2. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes. c~ (a) f(x) = (x2 ¡ 3x + 8)3 x (b) f(x) = 2 (x ¡ 1)4 (c) F (v) = (17v ¡ 5)1000 (d) s(t) = (4t5 ¡ 3t3 + 2t)¡2 (u2 + 1)3 (e) k(u) = (4u ¡ 5)5 3. Determine (i) a equa»~o da reta tangente µ curva no ponto indicado e (ii) os ca a pontos do gr¶¯co em que reta tangente µ curva ¶ horizontal, nos casos a a e (a) y = (4x2 ¡ 8x + 3)4 , P = (2; 81). (b) y = (2x ¡ 1)10 , P = (1; 1). 4. Se k(x) = f (g(x)), com f(2) = ¡4, g(2) = 2, f 0 (2) = 3 e g 0 (2) = 5, calcule k 0 (2). 5. Determine y 0 sendo y uma fun»~o de x dada implicitamente pela equa»~o ca ca (a) 2x3 + x2 y + y 3 = 1 1 1 (b) 2 + 2 = 1 x y (c) (y 2 ¡ 9)4 = (4x2 + 3x ¡ 1)2 6. Veri¯que primeiramente que o ponto P pertence µ curva dada e ache a equa»~o a ca da reta tangente µ curva no ponto P . a (a) xy = ¡16, P = (¡2; 8); (b) 2x ¡ x y + y 3 ¡ 1 = 0, 3 2 P = (2; ¡3). 7. Calcule as derivadas das seguintes fun»oes. c~
  • 8. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶ »~ »~ ³cita 26 p (a) f(x) = 3 8x3 + 27 p (b) f(x) = (7x + x2 + 3)6 4 (c) f(t) = (9t 2 + 16)2=3 p3 2z + 3 (d) g(z) = p 3z + 2 5 (e) F (v) = p5 v 5 ¡ 32 dy 8. Calcule se dx p (a) 6x + xy ¡ 3y = 4 p (b) 3x2 + 3 xy = 2y 2 + 20 9. Uma fun»~o ¶ par se f(¡x) = f (x) para todo x em seu dom¶ ca e ³nio, e ¶ ¶ e ³mpar se f (¡x) = ¡f (x) para todo x em seu dom¶ ³nio. Sendo f deriv¶vel, demonstre que a (a) Se f ¶ par, ent~o f 0 ¶ ¶ e a e ³mpar (ou seja, se f (¡x) = f (x) para todo x no dom¶ de f), ent~o f 0 (¡x) = ¡f 0 (x); ³nio a e ³mpar, ent~o f 0 ¶ par. (b) Se f ¶ ¶ a e 3.3.1 Respostas e sugest~es o µ 3 ¶4 µ 2 ¶3 dy 2 x x 1. (a) = 5x + 1 + 4x +1 dx 3 2 dy (b) = dx 5((x3 + 7)4 + x)4 (12x2 (x3 + 7)3 + 1)(x2 + 1) ¡ 2x((x3 + 7)4 + x)5 (x2 + 1)2 dy 10x9 (c) = dx (x + 1)11 2. (a) f 0 (x) = 3(x2 ¡ 3x + 8)2 (2x ¡ 3) ¡(7x2 + 1) (b) f 0 (x) = (x2 ¡ 1)5 (c) F 0 (v) = 17000(17v ¡ 5)999 (d) s0 (t) = ¡2(4t5 ¡ 3t3 + 2t)¡3 (20t4 ¡ 9t2 + 2) (u2 + 1)2 (4u2 ¡ 30u ¡ 20) (e) k0 (u) = (4u ¡ 5)6 3. (a) (i) y ¡ 81 = 864(x ¡ 2), (ii) (1; 1), (1=2; 0) e (3=2; 0). (b) (i) y ¡ 1 = 20(x ¡ 1), (ii) (1=2; 0). 4. k0 (2) = 15.
  • 9. Derivacao em cadeia e derivacao impl¶ »~ »~ ³cita 27 ¡(6x2 + 2xy) 5. (a) y0 = x2 + 3y2 y3 (b) y0 = ¡ x3 (4x2 + 3x ¡ 1)(8x + 3) (c) y0 = 4y(y2 ¡ 9)3 6. (a) 4x ¡ y + 16 = 0 (b) y + 3 = ¡ 36 (x ¡ 2) 23 8x2 7. (a) f 0 (x) = 8x2 (8x3 + 27)¡2=3 = p 3 (8x3 + 27)2 p µ ¶ x (b) f 0 (x) = 6(7x + x2 + 3)5 7+ p x2 + 3 ¡48t (c) f 0 (t) = p 3 (9t2 + 16)5 p 0 (z) = ¡3 2z + 3 + 2 3 (d) g p p p 2 (3z + 2)3 3 3z + 2 3 (2z + 3)2 ¡5v 4 (e) F 0 (v) = ¡5v 4 (v 5 ¡ 32)¡6=5 = p 5 (v 5 ¡ 32)6 p 12 xy + y 8. (a) y0 = p 6 xy ¡ x 18x5=3 y 2=3 + y (b) y0 = 12x2=3 y 5=3 ¡ x 9. (a) Se f ¶ uma fun»~o par, temos a igualdade f (¡x) = f (x). Derivando ambos e ca os membros em rela»~o a x, temos [f (¡x)]0 = f 0 (x). Por deriva»~o em cadeia, ca ca aplicada ao primeiro membro, temos f 0 (¡x) ¢ (¡x)0 = f 0 (x), logo ¡f 0 (¡x) = f 0 (x), ou seja f 0 (¡x) = ¡f 0 (x). Conclu¶ ³mos ent~o que se f ¶ fun»~o par, sua a e ca derivada f 0 ¶ fun»~o ¶ e ca ³mpar.