Profª Débora Bastos
Recapitulação <ul><li>Interpretação geométrica da derivada: f’(c) = tg    , desde que    seja o ângulo da reta tangente ...
Teoremas importantes. <ul><li>Teorema 3 (Teorema do valor médio): Seja f uma função tal que: </li></ul><ul><li>Seja contín...
Exemplo <ul><li>Verifique o TVM para f(x) = x -1  , x    [2,3] </li></ul><ul><li>f é contínua em lR*    contínua em [2,3...
<ul><li>Teorema 4: (Teorema de Rolle) Seja f uma função tal que: </li></ul><ul><li>Contínua em [a,b] </li></ul><ul><li>Der...
O TR garante a existência e não a unicidade. <ul><li>Exemplos: </li></ul><ul><li>Importante satisfazer as condições  </li>...
Funções Crescentes e Decrescentes. <ul><li>Definição 6: Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é crescente ne...
Observação <ul><li>Assim como os pontos extremos, reconhecer os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente é ...
Pontos extremos e crescimento <ul><li>Não importa a característica do gráfico se um ponto P(c,f(c)) é de máximo local, est...
<ul><li>De forma análoga, se o ponto P(c,f(c)) é ponto de mínimo local existe intervalo aberto (a,b) em que f é decrescent...
Critério para determinar o tipo de crescimento. <ul><li>* Função crescente #Função Decrescente </li></ul><ul><li>*Se f é c...
<ul><li>Para 0 <  <90 0   tem-se tg   > 0 (positiva) </li></ul><ul><li>Para 90 0 <  <180 0  tem-se tg    < 0 (negativa...
<ul><li>Teorema 5: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] derivável no intervalo (a,b). </li></ul><ul><li>S...
Exemplo <ul><li>Obs.: A derivada primeira de f tanto determina os pontos críticos quanto influi no estudo do crescimento. ...
<ul><li>Exemplo: Faça o mesmo para: </li></ul><ul><li>f  é contínua e derivável em lR </li></ul><ul><li>f‘(x) não é derivá...
Concavidade e pontos de Inflexão <ul><li>Concavidade para baixo: x < 0 ou x > x d </li></ul><ul><li>Concavidade para cima:...
<ul><li>Definição 8: O gráfico de uma função f será côncavo para cima no ponto (c,f(c)) se f’(c) existir e se houver um in...
Interpretação Geométrica <ul><li>f’(c) representa o valor da inclinação tg   da reta tangente à f em x = c. </li></ul><ul...
<ul><li>f côncavo para baixo </li></ul><ul><li>ângulo obtuso    ângulo agudos </li></ul><ul><li>tg   > 0    tg   < 0 <...
<ul><li>Teorema 6: Seja f uma função diferenciável em algum intervalo aberto contendo c. Então: </li></ul><ul><li>Se f’’(c...
<ul><li>Se um ponto (c,f(c)) é de máximo relativo ele está localizado num intervalo onde o gráfico da função é côncavo par...
<ul><li>Definição 10: O ponto (c,f(c)) será um ponto de inflexão do gráfico da função f se o gráfico tiver nele uma reta t...
<ul><li>Teorema 7: Se a função f for derivável em algum intervalo contendo c e se (c,f(c)) for um ponto de inflexão do grá...
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Disciplina de matemática 2 dos cursos tecnológos do IFRS - Campus Rio Grande

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  1. 1. Profª Débora Bastos
  2. 2. Recapitulação <ul><li>Interpretação geométrica da derivada: f’(c) = tg  , desde que  seja o ângulo da reta tangente à f em x=c. </li></ul><ul><li>P (c,f(c)) é crítico se f’(c) = 0 ou se f’(c) não existe. </li></ul><ul><li>Se f é continua e derivável em [a,b] contendo c, então existe máximo absoluto e mínimo absoluto em [a,b] entre os pontos críticos encontrados e os extremos do intervalo. </li></ul>
  3. 3. Teoremas importantes. <ul><li>Teorema 3 (Teorema do valor médio): Seja f uma função tal que: </li></ul><ul><li>Seja contínua num intervalo fechado [a,b]; </li></ul><ul><li>Seja derivável no intervalo (a,b). </li></ul><ul><li>Então existirá um número c no intervalo aberto (a,b) tal que: </li></ul><ul><li>Interpretação geométrica </li></ul><ul><li>P(a,f(a)), Q(b,f(b))  s </li></ul><ul><li>R(c,f(c))  t </li></ul><ul><li>Existe c para que a reta t nesse ponto </li></ul><ul><li>Tem a mesma inclinação da reta s. </li></ul>
  4. 4. Exemplo <ul><li>Verifique o TVM para f(x) = x -1 , x  [2,3] </li></ul><ul><li>f é contínua em lR*  contínua em [2,3] </li></ul><ul><li>f é derivável em lR*  contínua em [2,3] </li></ul><ul><li>f´(x)=  x -2 </li></ul><ul><li>f(2) = ½ f(3) = 1/3 </li></ul>
  5. 5. <ul><li>Teorema 4: (Teorema de Rolle) Seja f uma função tal que: </li></ul><ul><li>Contínua em [a,b] </li></ul><ul><li>Derivável em (a,b) </li></ul><ul><li>f(a)=f(b)=0 </li></ul><ul><li>Então existe um número c em (a,b), tal que f’(c) = 0. </li></ul><ul><li>Caso particular do TVM: Existe c tal que </li></ul><ul><li>O TR afirma que f que satisfaz as condições necessárias possui ao menos um ponto extremo entre as raízes da função (x / f(x) = 0). </li></ul>
  6. 6. O TR garante a existência e não a unicidade. <ul><li>Exemplos: </li></ul><ul><li>Importante satisfazer as condições </li></ul><ul><li>do teorema: O gráfico ao lado não é </li></ul><ul><li>Contínua e não possui ponto de máximo. </li></ul>
  7. 7. Funções Crescentes e Decrescentes. <ul><li>Definição 6: Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se para quaisquer x 1 , x 2  I, x 1 < x 2 , temos f(x 1 ) < f(x 2 ) </li></ul><ul><li>Definição 7: Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se para quaisquer x 1 , x 2  I, x 1 < x 2 , temos f(x 1 ) > f(x 2 ) </li></ul>
  8. 8. Observação <ul><li>Assim como os pontos extremos, reconhecer os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente é fácil, desde que o gráfico esteja bem feito. </li></ul><ul><li>Nosso trabalho é através apenas da lei da função descobrir quando isso acontece com fim de esboçar o gráfico dessa função. </li></ul><ul><li>Servirá também para diferenciar um ponto de máximo de um ponto de mínimo, ou se não há pontos extremos. </li></ul>
  9. 9. Pontos extremos e crescimento <ul><li>Não importa a característica do gráfico se um ponto P(c,f(c)) é de máximo local, este um intervalo (a,b) em que f é crescente para a < x < c e f é decrescente para </li></ul><ul><li>c < x <b. </li></ul>
  10. 10. <ul><li>De forma análoga, se o ponto P(c,f(c)) é ponto de mínimo local existe intervalo aberto (a,b) em que f é decrescente para a < x < c e é crescente para c < x < b. </li></ul>
  11. 11. Critério para determinar o tipo de crescimento. <ul><li>* Função crescente #Função Decrescente </li></ul><ul><li>*Se f é crescente em (a,b) as retas tangentes à função em (a,b) formam um ângulo agudo com o eixo ox (0 <  <90 0 ) </li></ul><ul><li>#Se f é decrescente em (a,b) as retas tangentes à função em (a,b) formam um ângulo obtuso com o eixo ox (90 0 <  <180 0 ) </li></ul>
  12. 12. <ul><li>Para 0 <  <90 0 tem-se tg  > 0 (positiva) </li></ul><ul><li>Para 90 0 <  <180 0 tem-se tg  < 0 (negativa) </li></ul><ul><li>Pela interpretação geométrica da derivada temos: </li></ul><ul><li>f´(x) > 0 para x  (a,b) f´(x) < 0 para x  (a,b) </li></ul>
  13. 13. <ul><li>Teorema 5: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] derivável no intervalo (a,b). </li></ul><ul><li>Se f’(x) > 0 para todo x  (a,b), então f é crescente em [a,b] </li></ul><ul><li>Se f’(x) < 0 para todo x  (a,b), então f é decrescente em [a,b] </li></ul><ul><li>Obs.: O TVM faz parte da demonstração desse teorema. </li></ul><ul><li>Exemplo: Dada f(x) = x 3 – 6x 2 + 9x + 1, ache os extremos relativos de f, determine os intervalos em que f é crescente ou decrescente. Com essas informações faça o esboço do gráfico. </li></ul>
  14. 14. Exemplo <ul><li>Obs.: A derivada primeira de f tanto determina os pontos críticos quanto influi no estudo do crescimento. </li></ul><ul><li>Solução: A função f é polinomial, ou seja, contínua e derivável em todo seu domínio. </li></ul><ul><li>f´(x) = 3x 2 – 12x + 9 </li></ul><ul><li>Pontos criticos x = 1 e x =3 </li></ul><ul><li>P(1,5) é de máximo e Q(3,1) é de mínimo </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Exemplo: Faça o mesmo para: </li></ul><ul><li>f é contínua e derivável em lR </li></ul><ul><li>f‘(x) não é derivável em x = 0. </li></ul><ul><li>f’(x) = 0  x = - 1 </li></ul><ul><li>Estudo do sinal da derivada </li></ul><ul><li>P(-1, -3) é de mínimo local </li></ul><ul><li>Q(0,0) não é extremo </li></ul>
  16. 16. Concavidade e pontos de Inflexão <ul><li>Concavidade para baixo: x < 0 ou x > x d </li></ul><ul><li>Concavidade para cima: 0 < x < x d </li></ul><ul><li>Pontos de inflexão: O (0,0) , D </li></ul>A B C D x y
  17. 17. <ul><li>Definição 8: O gráfico de uma função f será côncavo para cima no ponto (c,f(c)) se f’(c) existir e se houver um intervalo aberto I, contendo c, tal que para todos os valores de x  c em I, o ponto (x,f(x)) do gráfico estará acima da reta tangente ao gráfico em (c,f(c)). </li></ul><ul><li>Definição 9: O gráfico de uma função f será côncavo para baixo no ponto (c,f(c)) se f’(c) existir e se houver um intervalo aberto I, contendo c, tal que para todos os valores de x  c em I, o ponto (x,f(x)) do gráfico estará abaixo da reta tangente ao gráfico em (c,f(c)). </li></ul>
  18. 18. Interpretação Geométrica <ul><li>f’(c) representa o valor da inclinação tg  da reta tangente à f em x = c. </li></ul><ul><li>f é côncava para cima </li></ul><ul><li>ângulo obtuso  ângulo agudos </li></ul><ul><li>tg  < 0  tg  > 0 </li></ul><ul><li>valores crescentes  f’(x) é crescente quando o gráfico é côncavo para cima. </li></ul>
  19. 19. <ul><li>f côncavo para baixo </li></ul><ul><li>ângulo obtuso  ângulo agudos </li></ul><ul><li>tg  > 0  tg  < 0 </li></ul><ul><li>valores decrescentes  f’(x) é decrescente quando o gráfico é côncavo para cima. </li></ul><ul><li>Devemos investigar o sinal de f’(x) onde é crescente e decrescente, mas isso é feito derivando f’(x), ou seja, o que determinará a concavidade é f’’(x). </li></ul>
  20. 20. <ul><li>Teorema 6: Seja f uma função diferenciável em algum intervalo aberto contendo c. Então: </li></ul><ul><li>Se f’’(c) > 0 , o gráfico de f é côncavo para cima em (c,f(c)). </li></ul><ul><li>Se f’’(c) < 0 , o gráfico de f é côncavo para baixo em (c,f(c)). </li></ul><ul><li>Exemplo: Determine os intervalos do domínio em que a função é côncava para cima ou côncava para baixo. </li></ul>
  21. 21. <ul><li>Se um ponto (c,f(c)) é de máximo relativo ele está localizado num intervalo onde o gráfico da função é côncavo para baixo, portanto f’’(c) < 0. Já se um ponto (c,f(c)) é de mínimo relativo ele está localizado num intervalo onde o gráfico da função é côncavo para cima, portanto f’’(c) > 0. (Chamamos de teste da derivada segunda) </li></ul><ul><li>Exemplo: Determine os pontos extremos da função f(x) = x 3 – 6x 2 + 9x + 1 </li></ul><ul><li>f ’(x) = 3x 2 – 12x + 9 extremos x = 1 ou x = 3 </li></ul><ul><li>f” (x) = 6x – 12 </li></ul><ul><li>f” (1)<0  x = 1 é ponto de máximo local </li></ul><ul><li>f” (3)>0  x = 3 é ponto de mínimo local </li></ul>
  22. 22. <ul><li>Definição 10: O ponto (c,f(c)) será um ponto de inflexão do gráfico da função f se o gráfico tiver nele uma reta tangente e se existir um intervalo aberto I contendo c, tal que, se x estiver em I, então: </li></ul><ul><li>se o gráfico de f for côncavo para cima para x < c e côncavo para baixo em x > c ou </li></ul><ul><li>se o gráfico de f for côncavo para baixo para x < c e côncavo para cima em x > c. </li></ul><ul><li>Exemplo: Para a função </li></ul><ul><li>temos dois pontos de inflexão: </li></ul><ul><li>em x = 0 e em x = 2 </li></ul>
  23. 23. <ul><li>Teorema 7: Se a função f for derivável em algum intervalo contendo c e se (c,f(c)) for um ponto de inflexão do gráfico de f, então se f’’(c) existe, f’’(c)=0. </li></ul><ul><li>obs.: A recíproca não é verdadeira, ou seja, se f’’(c) = 0, não quer dizer que (c,f(c)) é um ponto de inflexão. </li></ul><ul><li>Exemplo: f(x) = x 4 </li></ul><ul><li>f ’(x) = 4x 3 </li></ul><ul><li>f ”(x) = 12x 2 </li></ul><ul><li>f ”(x) = 0  x = 0, mas </li></ul><ul><li>x = 0 é um ponto de mínimo local. </li></ul>

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