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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZÔNIA
CAMPUS CAPANEMA
EIXO TEMÁTICO INSTRUMENTALIZAÇÃO III
PROF. MSC. GERALDO SOUZA DE MELO
CAPANEMA – PA
2014
DISCIPLINA: FÍSICA GERAL CH: 68 H
• Sistemas de Medidas e Unidades
(S.I).
• As Leis de Newton
• Gravitação
• Trabalho e Energia
• Impulso e Momento Linear
• Equilíbrio
• Calor
• Dilatação dos Corpos
• As Leis da Termodinâmica
• Propagação de Ondas
• A lei de Coulomb
• O campo elétrico
• A lei de Gauss
• Potencial elétrico
• Capacitância e Corrente
Elétrica.
• Resistência e Força
Eletromotriz
• Circuitos
• O Campo Magnético
• Corrente Alternada
• Natureza e Propagação da Luz
• Imagens formadas por uma
superfície
• Lentes e Instrumentos Óticos
• Aplicação da Física Nuclear na
Agricultura.
• Noções de biofísica.
EMENTA
REFERÊNCIAS
 Hewitt, Paul G. (2002). Fundamentos de Física Conceitual, Ed. Bookman.
 Tipler, Paul A.; MOSCA, Gene (2006). Física para Engenheiros e cientistas:
mecânica, oscilações, ondas e termodinâmica: vol. 1. 6.ed.
 H. Moysés Nussenzveig (2004). Curso de Física Básica - 1 Mecânica Ed.
Edgard Blücher.
 Walker, Jearl; Resnick, Robert; Halliday, David (2009). Fundamentos de
Física 1 – Mecânica , Ed. LTC.
 Jewett Jr.; John W.; Raymond A. Serway (2011). Física para Engenheiros e
cientistas, vol 1 e 2. 8 ed.
CRONOGRAMA DAS AVALIAÇÕES
 Dia 28/03/2014: 1º NAP
 Dia 09/05/2014: 2º NAP
 Dia 06/06/2014: NAF
 Dia 15 e 16/07/2014: NAC
MÉTODO DE AVALIAÇÃO
PROVAS
• 1º PROVA (80%) + LISTA DE EXERCÍCIOS (20%) = 1º NAP
• 2º PROVA (80%) + LISTA DE EXERCÍCIOS (20%) = 2º NAP
• NAF (PROVA)
• NAC (PROVA)
SISTEMA DE AVALIAÇÃO
 1º MÉDIA (M1):
 2º MÉDIA (M2):
 SE M2 ESTIVER ENTRE 4,0 E 5,9 O ALUNO ESTÁ APTO A FAEZR O
NAC.
 3º MÉDIA (M3):
(1º NAP 2º NAP)
1 8
2
M APROVADO
+
= → ≥ →
(1º NAP 2º NAP+ NAF)
2 6
3
(1º NAP 2º NAP+ NAF)
2 4
3
M APROVADO
M REPROVADO
+
= → ≥ →




 +
= → < →

( 2 NAC)
3 6
2
( 2 NAC)
3 6
2
M
M APROVADO
M
M REPROVADO
+
= → ≥ →


 +
 = →< →

LIMITES
 NOÇÃO INTUITIVA DOS LIMITES:
       Considere que uma pessoa que observa o ângulo de elevação do topo de
uma árvore, da qual ela se aproxima, em uma mesma direção.
Observe que quando a distância d
dessa pessoa à árvore se aproxima de
zero, o ângulo θ se aproxima de 90o
.
Logo o ângulo de elevação θ é função da distância d (quanto menor a distância maior
é o ângulo de elevação), assim você pode escrever que θ = f (d ).
Podemos dizer então que “o ângulo de elevação θ tendeu ao limite 90o
quando a
distância d se aproximou de zero”.
Usando a representação matemática: ou
0
lim 90
d
θ
→
= °
0
lim ( ) 90
d
f d
→
= °
7
LIMITES
 NOÇÃO INTUITIVA DOS LIMITES:
     Vamos considerar a seguinte função:
E analisar o seu comportamento, quando a variável x se
aproxima de um ponto a. A partir da tabela abaixo, vemos o
comportamento da função a medida que x se aproxima de 1
por valores menores e maiores que 1.
( )
( ) ( )
( )
3 2 1
; 1
1
x x
f x x
x
+ −
= ≠
−
8
 NOÇÃO INTUITIVA DOS LIMITES:
    Nas duas situações a medida que x se aproxima cada vez
mais de 1, a função se aproxima cada vez mais de 5, ou seja,
é possível obter o valor da função tão próximo de 5 quanto
desejarmos, desde que tomemos x suficientemente próximo de
1. O gráfico abaixo mostra esse comportamento.
LIMITES
( )lim
x a
f x L
→
=
NOTAÇÃO
( )1
lim 3 2 5
x
x
→
+ =
9
 PROPRIEDADES DOS LIMITES:
Vamos considerar k uma constante e as funções e ,
que possuem os seguintes limites:
      Então usando as propriedades dos limites temos:
( )f x ( )g x
( ) ( )lim lim
x a x a
f x L g x M
→ →
= =
( ) lim
x a
a k k
→
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
c f x g x f x g x L M
→ → →
+ = + = +  
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
d f x g x f x g x L M
→ → →
− = − = −  
( ) ( ) ( )lim lim
x a x a
b kf x k f x kL
→ →
= =  
( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
e f x g x f x g x L M
→ → →
× = × = ×  
( )
( )
( )
( )
( )
( )
lim
lim ; lim 0
lim
x a
x a x a
x a
f xf x L
f se g x
g x g x M
→
→ →
→
 
= = ≠ 
 
10
LIMITES LATERAIS
 LIMITE A ESQUERDA:
     Se f(x) tende para L1 quando x tende para a através de valores
menores que a diz-se que L1 é o limite de f(x) quando x tende
para a pela esquerda e indica-se por:
 LIMITE A DIREITA:
Se f(x) tende para L2 quando x tende para a através de valores
maiores que a diz-se que L2 é o limite de f(x) quando x tende
para a pela direita e indica-se por:
( ) 1lim
x a
f x L−
→
=
( ) 2lim
x a
f x L+
→
=
11
LIMITES LATERAIS
Considere a função : 
x
)x(f
1
= D(f) = R – {0}.
−∞=
→
)/1(lim
-
0x
x
+∞=
+
→
)/1(lim
0x
x
Limite a Esquerda: 
Limite a Direita: 
12
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DOS
LIMITES
 Para que o limite de uma função exista é preciso que os limites
laterais desta função existam e sejam iguais, desta forma o
limite de f(x) será igual aos limites laterais, caso contrário o
limite não existirá.
 Exemplo: Seja a função f definida por
( ) ( )lim lim
x a x a
f x f x L+ −
→ →
= =
( )lim
x a
f x L
→
=
( ) 2
2 1
; 1
1
x se x
f x x
x se x
− >
= ≠
<
( )1
) lim
x
a f x+
→
( )1
) lim
x
b f x−
→
Determine os limites laterais e mostre se o limite existe
13
LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO
 LIMITES INFINITOS:
Considere a função definida por:
Vamos analisar o comportamento da função quando x está se
aproximando de 3 pela direita e pela esquerda.
( )
( )
2
2
; 3
3
f x x
x
= ≠
−
( )
2
3
2
lim
3x x
+
→
= +∞
−
( )
2
3
2
lim
3x x
−
→
= +∞
−
14
LIMITE DE UMA FUNÇÃO
( )f x k=
( )lim lim
x a x a
f x k k
→ →
= =
 Limites de Funções Constantes
( ) 1
1 1 0....n n
n np x b x b x b x b−
−= + + + +
( ) ( )lim
x a
p x p a
→
=
Exemplo:
( )2 0
lim4 4 lim 6 6
x x→ →
= − = −
( )2
2
lim 2
x
x x
→
+ − = ( )2 2
2
lim 2 2 2 2 4
x
x x
→
+ − = + − =
Exemplo:
 Limites de Funções Polinomiais
2
2 2 2
lim lim lim2
x x x
x x
→ → →
+ −
15
 Limites de Funções Racionais
( )
( )
( )
( ); 0
P x
f x Q x
Q x
= ≠
( )
( )
( )
lim lim
x a x a
P x
f x
Q x→ →
=
3 2
3 21
3 7 1
lim
5 2 3x
x x x
x x x→
− + −
=
− + +
Exemplo
3 2
3 2
3.1 1 7.1 1 8
5.1 2.1 1 3 7
− + −
=
− + +
x → ∞Quando uma técnica utilizada para calcular o limite da função racional é dividir
apenas os termos de maior grau dos dois polinômios.
6 5 3
5 3
2 7 2
lim
2 4x
x x x
x x→∞
− + +
=
− +
2
2
2 3
lim
3x
x x
x→∞
 − −
= ÷
− 
6
5
lim lim
x x
x
x
x→∞ →∞
= = ∞
2
2
lim lim1 1
x x
x
x→∞ →∞
= =
16
 Limites de Funções Exponenciais
( ) x
f x b=
1 – Para b > 1 e x → -∞ :
lim 0x
x
b
→−∞
=
2 – Para b > 1 e x → +∞ :
lim x
x
b
→+∞
= +∞
3 – Para 0 < b < 1 e x → +∞ :
lim 0x
x
b
→+∞
=
lim x
x
b
→−∞
= +∞
4 – Para 0 < b < 1 e x → -∞ :
17
 Limites de Funções Trigonométricas
( ) ( )sinf x x= ( ) ( )cosf x x=
e
( ) ( )limsin sin
x a
x a
→
= ( ) ( )limcos cos
x a
x a
→
=
Para as funções tangente, cotangente, secante e cossecante os limites
existem e podem ser calculados apenas nos pontos em que as funções
são definidas, logo.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
sin sin
lim lim ; cos 0
cos cosx a x a
x a
tg x para a
x a→ →
= = ≠
( )
( )
( )
( )
( )
( )
cos cos
lim lim ; sin 0
sin sinx a x a
x a
cotg x para a
x a→ →
= = ≠
( )
( ) ( )
( )
1 1
limsec lim ; cos 0
cos cosx a x a
x para a
x a→ →
= = ≠
( )
( ) ( )
( )
1 1
limcossec lim ; sin 0
sin sinx a x a
x para a
x a→ →
= = ≠
18
LIMITES
• Em um experimento de adubação a resposta do crescimento
de uma planta (cm) pode ser dada por
Em que x > 0 (g/m) é a quantidade de fertilizante adicionada.
Calcule o limite de f(x) quando x tende para o infinito.
• O efeito combinado da temperatura e da umidade sobre o teor
de N do solo foi expresso por
Em que T é a temperatura anual média ºC. Calcule os limites
( )
20
5
x
f x
x
=
+
( ) 0,08
0,05 T
N T e−
=
0
lim
T
N
→
lim
T
N
→∞ 19
DERIVADAS
 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por
f’(x), sendo calculada a partir do limite abaixo:
 NOTAÇÃO
( )
( ) ( )
0
lim
x
f x x f x
f x
x∆ →
+ ∆ −
′ =
∆
( ) ( )i y f x′ ′= ( ) ( )xii D f x ( ) xiii D y
( )
dy
iv
dx
( ) ( )v y f t= &&
20
 FUNÇÃO CONTANSTE
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) ; tanf x c c cons te= →
( ) ( ) 0f x c f x′ ′ ′= → =
( ) ( )4 0f x f x′= → =
( ) ( )6 0f x f x′= − → =
( ) ( )
4
0
7
f x f x′= → =
Exemplo:
( ) ( )
5
0
2
f x f x′= − → =
21
 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO POTÊNCIA
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) n
f x x=
( ) 1n
f x n x −
′ =
( ) 3
f x x=
( ) 7
f x x−
=
( ) 3/4
f x x=
( ) 5/2
f x x−
=
Exemplo:
22
 DERIVADA DO PRODUTO DE UMA CONSTANTE POR UMA
FUNÇÃO
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) ( )g x c f x=
( ) ( )g x c f x ′′ =   
( ) ( )g x c f x′ ′=
( ) 4
5f x x=
( ) 6
2f x x−
=
( ) 3/4
4f x x=
Exemplo:
23
 DERIVADA DE UMA SOMA DE FUNÇÕES
 Essa regra vale para a diferença de funções, assim como para
um número qualquer de funções que estejam sendo somadas
ou subtraídas.
 Exemplo:
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) ( ) ( )f x g x h x= +
( ) ( ) ( )f x g x h x′ ′ ′= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ...... ng x f x f x f x f x= + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ...... ng x f x f x f x f x′ ′′ ′ ′= + + + +
( ) 2
3 5 4f x x x= + − ( ) 6 4 2
2 4f x x x x−
= − + ( ) 3/4 5 3
2 6 4f x x x x= − +
24
 DERIVADA DE UM PRODUTO DE FUNÇÕES
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) ( ) ( ).g x f x h x=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ). .g x f x h x f x h x′ ′ ′= +
( ) ( )( )2
3 5 4f x x x= + −
( ) ( )( )6 4
2 5f x x x= + −
Exemplo:
( ) ( )( )5 4
6 5f x x x= −
( ) ( )( )6 3
2 4f x x x= +
25
 DERIVADA DE UM QUOCIENTE DE FUNÇÕES
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( )
( )
( )
( ); 0
f x
g x h x
h x
= ≠
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )2
. .f x h x f x h x
g x
h x
′ ′−
′ =
( )
2
1
x
f x
x
+
=
−
( )
( )2
5
3
f x
x
=
−
Exemplo:
26
 DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) x
f x a=
( ) ( )x
f x a ′′ =
( ) lnx
f x a a′ =
a e=
( ) ( )x
f x e ′′ =
( ) ln ; ln 1x
f x e e e′ = =
Um caso particular ocorre quando
( ) x
f x e′ =
27
 DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) logx
af x =
( ) ( )logx
af x ′′ =
( )
1
ln
f x
x a
′ =
( ) ( )lnf x x ′′ =
( )
1
; ln 1
ln
f x e
x e
′ = =
Um caso particular ocorre quando a e=
( )
1
f x
x
′ =
28
 DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Função Seno
Função Cosseno
Função Tangente
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) ( ) ( ) ( )sin cosf x x f x x′= → =
( ) ( ) ( ) ( )cos sinf x x f x x′= → = −
( ) ( ) ( ) ( )2
secf x tg x f x x′= → =
29
DERIVADAS SUCESSIVAS
 Dada a função y = f(x) derivável em um intervalo I qualquer,
então a sua derivada primeira será:
 Se a função f’(x) for derivável, então existe a função chamada
de derivada segunda.
 Logo se f(x) for uma função n vezes derivável podemos obter a
função chamada de derivada enésima de f(x).
( )y f x′ ′=
( )y f x′′ ′′=
( ) ;n
f x n númerodederivadas=
30
REGRA DA CADEIA
 É uma regra usada para derivar funções compostas, por
exemplo:
 Para isso devemos usar a seguinte relação:
 Exemplo:
( )y f u x=   
dy dy du
dx du dx
=
( )
72
5 2y x x= + +
5
3 2
2 1
x
y
x
+ 
=  ÷
+ 
31
DERIVADAS
• A função descreve o nível de pH do solo como
função do tempo t em anos. Calcule g’(90).
• Sendo a qual descreve a proliferação de fungos
(milhões) em uma lavoura no tempo t (dias), calcule f’(4) e f’(8).
• A vazão de um canal horizontal de irrigação, considerando a
distância do jato igual a 30 cm é dada em função do diâmetro
do tubo d, sendo . Calcule Q’(9).
• A produção anual de matéria seca de certa variedade de trigo y
(g/m), em função da precipitação total média anual x (mm/ano)
é dada por . Calcule
( ) 0,05 10,73g t t= +
( ) 0,15
6 t
f t e=
( ) 2
375Q d d=
( ) ( )0,000664
3000 1 x
y x e−
= − ( )5y′
32
• A quantidade de chuva em função do dia climatológico é dada por
Calcule
 A relação entre fertilidade da espiga f e temperatura do dossel x (ºC) no
caso do arroz pode ser aproximada por
Calcule f’(28)
 A quantidade de produção vegetal como função da quantidade de sementes
x colocadas na cova é dada pela equação
Calcule a produção em f’(6) e f’(10)
DERIVADAS
( )
173
1,91 0,66sin 2
365
N
r N π
 −  
= +  ÷ 
  
( )200dr
dN
( ) ( )860,01 234,53lnf x x= −
( ) 3 2
12 /f x x x kg ha= − +
33
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
 Na Física:
Velocidade e Aceleração Instantânea
Exemplo:
Dada a função espaço encontre a velocidade e a aceleração
instantânea.
( )
( )
( )
dS t
v t S t
dt
′= = ( )
( )
( )
dv t
a t v t
dt
′= = ( )
( ) ( )2
2
dS t d S td
a t
dt dt dt
 
= = ÷
 
( ) 3 2
4 2 12S t t t t= − +
34
 TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA
É usada para calcular as variações de funções em
determinados pontos ou em determinados instantes de tempo,
dando informações mais precisas sobre o comportamento das
funções.
Exemplo:
A população inicial de uma colônia de bactérias é 10.000. Depois de t
horas, a colônia terá a população P(t), que obedece a lei
a) Qual o número de bactérias depois de 10 horas?
b) Encontre a lei que dá a variação da população P em relação ao tempo t.
c) Determine essa variação instantânea após 10 horas.
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
( )
( ) ( )
0
lim
x
f x x f xdy
f x
dx x∆ →
+ ∆ −
′= =
∆
( )
( ) ( )
0
lim
t
f t t f tdy
f t
dt t∆ →
+ ∆ −
′= =
∆
( ) 10000.1,2t
P t =
35
Exemplo:
Um rebanho é atingido por uma epidemia. O número de
indivíduos infectados em um tempo t dado em meses é
representado por:
a) Qual o número de infectados depois de 100 meses?
b) Encontre a lei que dá a variação do número de indivíduos
infectados em relação ao tempo t.
c) Determine essa variação instantânea após t = 4 e 8 meses.
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS
( )
3
64
3
t
E t t= −
36
MÁXIMOS E MÍNIMOS
 Dadas as funções:
x = 3 é um ponto de máximo local
f(3) = 4 valor máximo da função
( ) 2
6 5f x x x= − + − ( ) 2
5 4f x x x= − +
x = 5/2 é um ponto de mínimo local
f(5/2) = -9/4 valor mínimo da função
37
 De forma geral temos uma função f(x) definida em um intervalo
[a,b].
 Pontos de máximo locais: x2, x4 e x6.
 Máximos locais de f(x) : f(x2), f(x4) e f(x6).
 Pontos de mínimo locais: x1, x3 e x5.
 Mínimos locais de f(x): f(x1), f(x3) e f(x5).
 Os pontos entre um máximo e um mínimo são chamados de
pontos críticos.
MÁXIMOS E MÍNIMOS
38
 Para determinarmos os pontos máximos e mínimos de uma função
devemos primeiro calcular o seu ponto crítico, usando a seguinte
relação:
 Esses pontos podem ser máximos ou mínimos, para verificarmos
isso devemos calcular a segunda derivada da função f(x) e substituir
os pontos críticos na .
DETERMINAÇÃO DE PONTOS DE
MÁXIMOS E MÍNIMOS
( ) 0f x′ =
( )f x′′
( )
( )
( )
0,
0,
0, inf
Se f x entãoo pontocríticoé pontodemínimo
Se f x entãoo pontocríticoé pontodemáximo
Se f x entãoo pontocríticoé pontode lexão
′′ >
′′ <
′′ =
39
 Exemplo:
 Exemplo:
A taxa na qual ocorre a fotossíntese na folha de uma planta é
representada por
Determine o tempo em que a produção de oxigênio é máxima.
DETERMINAÇÃO DE PONTOS DE
MÁXIMOS E MÍNIMOS
( ) 3 2
6 9 1f x x x x= − + +
( ) 3 215
18
2
f x x x x= − +
( ) ( )0,02 0,1
100 ;t t
P t e e t medidoemdias− −
= −
40
DETERMINAÇÃO DE PONTOS DE
MÁXIMOS E MÍNIMOS
• Um experimento de resposta do feijão (g/vaso) a adição de
fósforo x, em que 0 ≤ x ≤ 210 (ppm P) é medido pela função
Calcule os pontos críticos e mostre quais são pontos de
máximo e mínimos e calcule os valores máximos e mínimos da
função.
( ) 3 2
0,008 0,006 0,06 6,7f x x x x= − + + +
41
 INTEGRAL DEFINIDA
Fazendo n crescer cada vez mais, isto é o perímetro
do polígono aproxima-se do comprimento do círculo 2πr e a
altura aproxima-se do raio r do círculo, logo podemos usar o
seguinte limite para calcular a área do círculo.
INTEGRAL
.
2
n n
Tn
l h
A = n nP nl=
. .
2 2
n n n n
n
l h p h
A n= =
n → +∞
limc n
n
A A
→∞
=
2. 2 .
lim
2 2
n n
c
n
p h r r
A r
π
π
→∞
= = =
42
 Consideremos agora o problema de definir a área de uma região
plana S, delimitada pelo gráfico de uma função contínua não
negativa f, pelo eixo dos x e por duas retas x = a e x = b como
vemos abaixo.
INTEGRAL
1 1 2 2 3 3[ . ( ) . ( ) . ( ) ... . ( )]n nA x f x x f x x f x x f x= ∆ + ∆ + ∆ + + ∆
1
. ( )
n
i i
i
A x f x
=
= ∆∑
( )if x
ix∆
43
 A área A da figura é definida como o limite da soma das áreas
desses retângulos, chamada de soma de Riemann, quando n
tende ao infinito, isto é:
Ou
Usando a notação de Leibniz a área é dada pela integral
abaixo chamada de Integral Definida.
INTEGRAL
)](....)(.)(.)(.[lim 321 n
n
xfxxfxxfxxfxA ∆++∆+∆+∆=
∞→
∑=
∞→
∆=
n
i
i
n
xxfA
1
).(lim
∫=
b
a
dxxfA )(
44
 INTEGRAL INDEFINIDA
INTEGRAL
( ) ( )f x dx F x C= +∫
tanC Cons tede Integração→
( )f x Integrando→
( ) PrF x imitiva→
45
 PROPRIEDADES
Sejam f (x) e g(x) funções reais definidas no mesmo domínio e
k uma constante real. Então:
INTEGRAL
( )i dx x C= +∫
( ) ( ) ( )ii k f x dx k f x dx=∫ ∫
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )iii f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )iv f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫
( ) [ ( ). ( )] ( ). ( )v f x g x dx f x g x′ =∫
46
 INTEGRAIS IMEDIATAS
INTEGRAL
∫ −≠+
+
=
+
1,
1
1
α
α
α
α
C
x
dxx
∫ += Cxtgdxx2
sec
dx x C= +∫
∫ +−= Cxgdxx cotseccos 2
Cxdx
x
+=∫ ln
1
Cxdxxtgx +=∫ sec.sec
∫ += C
a
a
dxa
x
x
ln
Cxdxgxx +−=∫ seccoscot.seccos
Cxdxx +−=∫ cossen
Cxdxx +=∫ sencos
x x
e dx e C= +∫
47
 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Consideremos f(x) uma função definida num intervalo [a, b].
Suponhamos que exista uma função F(x), definida e derivável
nesse intervalo, tal que F´(x) = f(x), para todo x de [a, b].
Então, temos:
Exemplos:
INTEGRAL
( )( ) ( ) ( )
b b
aa
f x dx F x F b F a= = −  ∫
∫ =
2
0
2
dxx
2
( 2)x dx+ =∫
∫−
=−
1
1
2
)6( dxx
∫ =2
0
sen
π
dxx∫−
=
1
1
7dx
∫ =+−
2
0
2
)53( dxxx ∫ =−+− dxxxx )1775( 23
∫ =+ dxxx )cos3(sen
48
• O controle de N na cultura de algodão é importante para determinar a
produção e a qualidade da fibra. O efeito da aplicação de N na altura da
planta é dado por
Em que x é a quantidade de N aplicada, 0 ≤ x ≤ 150 m
moles/planta/semana, e f(x) descreve a porcentagem de uma altura máxima
atingida. Qual o aumento na porcentagem da altura quando as quantidades
de N variaram de 20 a 40 moles/planta/semana? E de 40 a 60
moles/planta/semana? Em qual dos intervalos se obteve melhor resposta
na aplicação de N?
• Estima-se que daqui a x dias a população P de bactérias irá variar a uma
taxa de
Se a população atual é de 300 bactérias, qual a população daqui a 9 dias?
INTEGRAL
( ) 0,155
46,2f x x=
3 2 ; /
dP
x bactérias dia
dx
= +
49
 Métodos da Substituição
É usado para resolver integrais de funções compostas
Fazendo u = g(x), tem-se que du = g’(x) dx, substituindo na
expressão anterior, temos:
Exemplos:
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
( )( ) ( ) ( )( ).f g x g x dx F g x c′ = +∫
( )( ) ( ) ( ). ( )f g x g x dx f u du F u c′ = = +∫ ∫
2
2
1
x
dx
x+∫ ( ) ( )2
sin cosx x dx∫ ( )
7
3 7
dx
x +
∫
50
 MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES
O método de integração por partes é um método usado para
integrar produtos de funções [f(x)g(x)] através da seguinte
equação.
Onde u = f(x) e v = g(x), as diferenciais são du = f’(x)dx e dv =
g’(x)dx. A escolha de u e dv deve ser feita de forma que a
integral inicial torne-se mais fácil de ser resolvida após as
substituições.
Exemplos:
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
udv uv vdu= −∫ ∫
ln x dx∫
2 t
t e dt∫ ( )sint
e t dt∫ ( )2
sinx x dx∫
51
CÁLCULO DE ÁREAS
 O cálculo de área abaixo de uma curva pode ser feito por
integração. Vejamos as situações que comumente ocorrem.
 Exemplo:
( )
b
a
A f x dx= ∫
( )
2
0
cosA x dx
π
= ∫
52
 Vamos considerar uma situação em que temos uma região que está
entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) e que f(x) ≥ g(x) para
todo x em [a,b].
 Faça o gráfico de cada função no mesmo plano cartesiano e
identifique a região limitada.
 Determine os limites de integração igualando as duas funções.
 Calcule a integral definida para encontrar a área entre as duas
curvas.
CÁLCULO DE ÁREAS
( )( ) ( )
b
a
A f x g x dx= −∫
53
 Exemplo: Determinar a área da região limitada entre as curvas
 Exemplo: Determinar a área da região limitada entre as curvas
CÁLCULO DE ÁREAS
( ) ( ) 2
6f x x e g x x= + =
( ) ( )2 2
8f x x e g x x= − =
54
APLICAÇÃO DAS INTEGRAIS
 Cálculo do Trabalho
W = Trabalho
F = Força
dx = Deslocamento
 Custo Total de Armazenamento
Q(t) = Quantidade de Produto
C(t) = Custo de Armazenagem
2
1
x
x
W Fdx= ∫
( ) ( )
0
. . ;
t
CustoT Armaz C t Q t dt reais= ∫
55
 Taxas de Crescimento de População
 Cálculo de Áreas
APLICAÇÃO DAS INTEGRAIS
( ) ( ) ( )
0 0 0
t P t
t P t
dP
P t f t dt ou f t dt
P
= =∫ ∫ ∫
( )
b
a
A f x dx= ∫
56

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Aula inicial física agronomia

  • 1.   MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZÔNIA CAMPUS CAPANEMA EIXO TEMÁTICO INSTRUMENTALIZAÇÃO III PROF. MSC. GERALDO SOUZA DE MELO CAPANEMA – PA 2014 DISCIPLINA: FÍSICA GERAL CH: 68 H
  • 2. • Sistemas de Medidas e Unidades (S.I). • As Leis de Newton • Gravitação • Trabalho e Energia • Impulso e Momento Linear • Equilíbrio • Calor • Dilatação dos Corpos • As Leis da Termodinâmica • Propagação de Ondas • A lei de Coulomb • O campo elétrico • A lei de Gauss • Potencial elétrico • Capacitância e Corrente Elétrica. • Resistência e Força Eletromotriz • Circuitos • O Campo Magnético • Corrente Alternada • Natureza e Propagação da Luz • Imagens formadas por uma superfície • Lentes e Instrumentos Óticos • Aplicação da Física Nuclear na Agricultura. • Noções de biofísica. EMENTA
  • 3. REFERÊNCIAS  Hewitt, Paul G. (2002). Fundamentos de Física Conceitual, Ed. Bookman.  Tipler, Paul A.; MOSCA, Gene (2006). Física para Engenheiros e cientistas: mecânica, oscilações, ondas e termodinâmica: vol. 1. 6.ed.  H. Moysés Nussenzveig (2004). Curso de Física Básica - 1 Mecânica Ed. Edgard Blücher.  Walker, Jearl; Resnick, Robert; Halliday, David (2009). Fundamentos de Física 1 – Mecânica , Ed. LTC.  Jewett Jr.; John W.; Raymond A. Serway (2011). Física para Engenheiros e cientistas, vol 1 e 2. 8 ed.
  • 4. CRONOGRAMA DAS AVALIAÇÕES  Dia 28/03/2014: 1º NAP  Dia 09/05/2014: 2º NAP  Dia 06/06/2014: NAF  Dia 15 e 16/07/2014: NAC
  • 5. MÉTODO DE AVALIAÇÃO PROVAS • 1º PROVA (80%) + LISTA DE EXERCÍCIOS (20%) = 1º NAP • 2º PROVA (80%) + LISTA DE EXERCÍCIOS (20%) = 2º NAP • NAF (PROVA) • NAC (PROVA)
  • 6. SISTEMA DE AVALIAÇÃO  1º MÉDIA (M1):  2º MÉDIA (M2):  SE M2 ESTIVER ENTRE 4,0 E 5,9 O ALUNO ESTÁ APTO A FAEZR O NAC.  3º MÉDIA (M3): (1º NAP 2º NAP) 1 8 2 M APROVADO + = → ≥ → (1º NAP 2º NAP+ NAF) 2 6 3 (1º NAP 2º NAP+ NAF) 2 4 3 M APROVADO M REPROVADO + = → ≥ →      + = → < →  ( 2 NAC) 3 6 2 ( 2 NAC) 3 6 2 M M APROVADO M M REPROVADO + = → ≥ →    +  = →< → 
  • 7. LIMITES  NOÇÃO INTUITIVA DOS LIMITES:        Considere que uma pessoa que observa o ângulo de elevação do topo de uma árvore, da qual ela se aproxima, em uma mesma direção. Observe que quando a distância d dessa pessoa à árvore se aproxima de zero, o ângulo θ se aproxima de 90o . Logo o ângulo de elevação θ é função da distância d (quanto menor a distância maior é o ângulo de elevação), assim você pode escrever que θ = f (d ). Podemos dizer então que “o ângulo de elevação θ tendeu ao limite 90o quando a distância d se aproximou de zero”. Usando a representação matemática: ou 0 lim 90 d θ → = ° 0 lim ( ) 90 d f d → = ° 7
  • 8. LIMITES  NOÇÃO INTUITIVA DOS LIMITES:      Vamos considerar a seguinte função: E analisar o seu comportamento, quando a variável x se aproxima de um ponto a. A partir da tabela abaixo, vemos o comportamento da função a medida que x se aproxima de 1 por valores menores e maiores que 1. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 ; 1 1 x x f x x x + − = ≠ − 8
  • 9.  NOÇÃO INTUITIVA DOS LIMITES:     Nas duas situações a medida que x se aproxima cada vez mais de 1, a função se aproxima cada vez mais de 5, ou seja, é possível obter o valor da função tão próximo de 5 quanto desejarmos, desde que tomemos x suficientemente próximo de 1. O gráfico abaixo mostra esse comportamento. LIMITES ( )lim x a f x L → = NOTAÇÃO ( )1 lim 3 2 5 x x → + = 9
  • 10.  PROPRIEDADES DOS LIMITES: Vamos considerar k uma constante e as funções e , que possuem os seguintes limites:       Então usando as propriedades dos limites temos: ( )f x ( )g x ( ) ( )lim lim x a x a f x L g x M → → = = ( ) lim x a a k k → = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim x a x a x a c f x g x f x g x L M → → → + = + = +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim x a x a x a d f x g x f x g x L M → → → − = − = −   ( ) ( ) ( )lim lim x a x a b kf x k f x kL → → = =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim x a x a x a e f x g x f x g x L M → → → × = × = ×   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ; lim 0 lim x a x a x a x a f xf x L f se g x g x g x M → → → →   = = ≠    10
  • 11. LIMITES LATERAIS  LIMITE A ESQUERDA:      Se f(x) tende para L1 quando x tende para a através de valores menores que a diz-se que L1 é o limite de f(x) quando x tende para a pela esquerda e indica-se por:  LIMITE A DIREITA: Se f(x) tende para L2 quando x tende para a através de valores maiores que a diz-se que L2 é o limite de f(x) quando x tende para a pela direita e indica-se por: ( ) 1lim x a f x L− → = ( ) 2lim x a f x L+ → = 11
  • 12. LIMITES LATERAIS Considere a função :  x )x(f 1 = D(f) = R – {0}. −∞= → )/1(lim - 0x x +∞= + → )/1(lim 0x x Limite a Esquerda:  Limite a Direita:  12
  • 13. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DOS LIMITES  Para que o limite de uma função exista é preciso que os limites laterais desta função existam e sejam iguais, desta forma o limite de f(x) será igual aos limites laterais, caso contrário o limite não existirá.  Exemplo: Seja a função f definida por ( ) ( )lim lim x a x a f x f x L+ − → → = = ( )lim x a f x L → = ( ) 2 2 1 ; 1 1 x se x f x x x se x − > = ≠ < ( )1 ) lim x a f x+ → ( )1 ) lim x b f x− → Determine os limites laterais e mostre se o limite existe 13
  • 14. LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO  LIMITES INFINITOS: Considere a função definida por: Vamos analisar o comportamento da função quando x está se aproximando de 3 pela direita e pela esquerda. ( ) ( ) 2 2 ; 3 3 f x x x = ≠ − ( ) 2 3 2 lim 3x x + → = +∞ − ( ) 2 3 2 lim 3x x − → = +∞ − 14
  • 15. LIMITE DE UMA FUNÇÃO ( )f x k= ( )lim lim x a x a f x k k → → = =  Limites de Funções Constantes ( ) 1 1 1 0....n n n np x b x b x b x b− −= + + + + ( ) ( )lim x a p x p a → = Exemplo: ( )2 0 lim4 4 lim 6 6 x x→ → = − = − ( )2 2 lim 2 x x x → + − = ( )2 2 2 lim 2 2 2 2 4 x x x → + − = + − = Exemplo:  Limites de Funções Polinomiais 2 2 2 2 lim lim lim2 x x x x x → → → + − 15
  • 16.  Limites de Funções Racionais ( ) ( ) ( ) ( ); 0 P x f x Q x Q x = ≠ ( ) ( ) ( ) lim lim x a x a P x f x Q x→ → = 3 2 3 21 3 7 1 lim 5 2 3x x x x x x x→ − + − = − + + Exemplo 3 2 3 2 3.1 1 7.1 1 8 5.1 2.1 1 3 7 − + − = − + + x → ∞Quando uma técnica utilizada para calcular o limite da função racional é dividir apenas os termos de maior grau dos dois polinômios. 6 5 3 5 3 2 7 2 lim 2 4x x x x x x→∞ − + + = − + 2 2 2 3 lim 3x x x x→∞  − − = ÷ −  6 5 lim lim x x x x x→∞ →∞ = = ∞ 2 2 lim lim1 1 x x x x→∞ →∞ = = 16
  • 17.  Limites de Funções Exponenciais ( ) x f x b= 1 – Para b > 1 e x → -∞ : lim 0x x b →−∞ = 2 – Para b > 1 e x → +∞ : lim x x b →+∞ = +∞ 3 – Para 0 < b < 1 e x → +∞ : lim 0x x b →+∞ = lim x x b →−∞ = +∞ 4 – Para 0 < b < 1 e x → -∞ : 17
  • 18.  Limites de Funções Trigonométricas ( ) ( )sinf x x= ( ) ( )cosf x x= e ( ) ( )limsin sin x a x a → = ( ) ( )limcos cos x a x a → = Para as funções tangente, cotangente, secante e cossecante os limites existem e podem ser calculados apenas nos pontos em que as funções são definidas, logo. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin lim lim ; cos 0 cos cosx a x a x a tg x para a x a→ → = = ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos lim lim ; sin 0 sin sinx a x a x a cotg x para a x a→ → = = ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 limsec lim ; cos 0 cos cosx a x a x para a x a→ → = = ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 limcossec lim ; sin 0 sin sinx a x a x para a x a→ → = = ≠ 18
  • 19. LIMITES • Em um experimento de adubação a resposta do crescimento de uma planta (cm) pode ser dada por Em que x > 0 (g/m) é a quantidade de fertilizante adicionada. Calcule o limite de f(x) quando x tende para o infinito. • O efeito combinado da temperatura e da umidade sobre o teor de N do solo foi expresso por Em que T é a temperatura anual média ºC. Calcule os limites ( ) 20 5 x f x x = + ( ) 0,08 0,05 T N T e− = 0 lim T N → lim T N →∞ 19
  • 20. DERIVADAS  DERIVADA DE UMA FUNÇÃO A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por f’(x), sendo calculada a partir do limite abaixo:  NOTAÇÃO ( ) ( ) ( ) 0 lim x f x x f x f x x∆ → + ∆ − ′ = ∆ ( ) ( )i y f x′ ′= ( ) ( )xii D f x ( ) xiii D y ( ) dy iv dx ( ) ( )v y f t= && 20
  • 21.  FUNÇÃO CONTANSTE REGRAS DE DERIVAÇÃO ( ) ; tanf x c c cons te= → ( ) ( ) 0f x c f x′ ′ ′= → = ( ) ( )4 0f x f x′= → = ( ) ( )6 0f x f x′= − → = ( ) ( ) 4 0 7 f x f x′= → = Exemplo: ( ) ( ) 5 0 2 f x f x′= − → = 21
  • 22.  DERIVADA DE UMA FUNÇÃO POTÊNCIA REGRAS DE DERIVAÇÃO ( ) n f x x= ( ) 1n f x n x − ′ = ( ) 3 f x x= ( ) 7 f x x− = ( ) 3/4 f x x= ( ) 5/2 f x x− = Exemplo: 22
  • 23.  DERIVADA DO PRODUTO DE UMA CONSTANTE POR UMA FUNÇÃO REGRAS DE DERIVAÇÃO ( ) ( )g x c f x= ( ) ( )g x c f x ′′ =    ( ) ( )g x c f x′ ′= ( ) 4 5f x x= ( ) 6 2f x x− = ( ) 3/4 4f x x= Exemplo: 23
  • 24.  DERIVADA DE UMA SOMA DE FUNÇÕES  Essa regra vale para a diferença de funções, assim como para um número qualquer de funções que estejam sendo somadas ou subtraídas.  Exemplo: REGRAS DE DERIVAÇÃO ( ) ( ) ( )f x g x h x= + ( ) ( ) ( )f x g x h x′ ′ ′= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ...... ng x f x f x f x f x= + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ...... ng x f x f x f x f x′ ′′ ′ ′= + + + + ( ) 2 3 5 4f x x x= + − ( ) 6 4 2 2 4f x x x x− = − + ( ) 3/4 5 3 2 6 4f x x x x= − + 24
  • 25.  DERIVADA DE UM PRODUTO DE FUNÇÕES REGRAS DE DERIVAÇÃO ( ) ( ) ( ).g x f x h x= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). .g x f x h x f x h x′ ′ ′= + ( ) ( )( )2 3 5 4f x x x= + − ( ) ( )( )6 4 2 5f x x x= + − Exemplo: ( ) ( )( )5 4 6 5f x x x= − ( ) ( )( )6 3 2 4f x x x= + 25
  • 26.  DERIVADA DE UM QUOCIENTE DE FUNÇÕES REGRAS DE DERIVAÇÃO ( ) ( ) ( ) ( ); 0 f x g x h x h x = ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 . .f x h x f x h x g x h x ′ ′− ′ = ( ) 2 1 x f x x + = − ( ) ( )2 5 3 f x x = − Exemplo: 26
  • 27.  DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL REGRAS DE DERIVAÇÃO ( ) x f x a= ( ) ( )x f x a ′′ = ( ) lnx f x a a′ = a e= ( ) ( )x f x e ′′ = ( ) ln ; ln 1x f x e e e′ = = Um caso particular ocorre quando ( ) x f x e′ = 27
  • 28.  DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA REGRAS DE DERIVAÇÃO ( ) logx af x = ( ) ( )logx af x ′′ = ( ) 1 ln f x x a ′ = ( ) ( )lnf x x ′′ = ( ) 1 ; ln 1 ln f x e x e ′ = = Um caso particular ocorre quando a e= ( ) 1 f x x ′ = 28
  • 29.  DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Função Seno Função Cosseno Função Tangente REGRAS DE DERIVAÇÃO ( ) ( ) ( ) ( )sin cosf x x f x x′= → = ( ) ( ) ( ) ( )cos sinf x x f x x′= → = − ( ) ( ) ( ) ( )2 secf x tg x f x x′= → = 29
  • 30. DERIVADAS SUCESSIVAS  Dada a função y = f(x) derivável em um intervalo I qualquer, então a sua derivada primeira será:  Se a função f’(x) for derivável, então existe a função chamada de derivada segunda.  Logo se f(x) for uma função n vezes derivável podemos obter a função chamada de derivada enésima de f(x). ( )y f x′ ′= ( )y f x′′ ′′= ( ) ;n f x n númerodederivadas= 30
  • 31. REGRA DA CADEIA  É uma regra usada para derivar funções compostas, por exemplo:  Para isso devemos usar a seguinte relação:  Exemplo: ( )y f u x=    dy dy du dx du dx = ( ) 72 5 2y x x= + + 5 3 2 2 1 x y x +  =  ÷ +  31
  • 32. DERIVADAS • A função descreve o nível de pH do solo como função do tempo t em anos. Calcule g’(90). • Sendo a qual descreve a proliferação de fungos (milhões) em uma lavoura no tempo t (dias), calcule f’(4) e f’(8). • A vazão de um canal horizontal de irrigação, considerando a distância do jato igual a 30 cm é dada em função do diâmetro do tubo d, sendo . Calcule Q’(9). • A produção anual de matéria seca de certa variedade de trigo y (g/m), em função da precipitação total média anual x (mm/ano) é dada por . Calcule ( ) 0,05 10,73g t t= + ( ) 0,15 6 t f t e= ( ) 2 375Q d d= ( ) ( )0,000664 3000 1 x y x e− = − ( )5y′ 32
  • 33. • A quantidade de chuva em função do dia climatológico é dada por Calcule  A relação entre fertilidade da espiga f e temperatura do dossel x (ºC) no caso do arroz pode ser aproximada por Calcule f’(28)  A quantidade de produção vegetal como função da quantidade de sementes x colocadas na cova é dada pela equação Calcule a produção em f’(6) e f’(10) DERIVADAS ( ) 173 1,91 0,66sin 2 365 N r N π  −   = +  ÷     ( )200dr dN ( ) ( )860,01 234,53lnf x x= − ( ) 3 2 12 /f x x x kg ha= − + 33
  • 34. APLICAÇÕES DAS DERIVADAS  Na Física: Velocidade e Aceleração Instantânea Exemplo: Dada a função espaço encontre a velocidade e a aceleração instantânea. ( ) ( ) ( ) dS t v t S t dt ′= = ( ) ( ) ( ) dv t a t v t dt ′= = ( ) ( ) ( )2 2 dS t d S td a t dt dt dt   = = ÷   ( ) 3 2 4 2 12S t t t t= − + 34
  • 35.  TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA É usada para calcular as variações de funções em determinados pontos ou em determinados instantes de tempo, dando informações mais precisas sobre o comportamento das funções. Exemplo: A população inicial de uma colônia de bactérias é 10.000. Depois de t horas, a colônia terá a população P(t), que obedece a lei a) Qual o número de bactérias depois de 10 horas? b) Encontre a lei que dá a variação da população P em relação ao tempo t. c) Determine essa variação instantânea após 10 horas. APLICAÇÕES DAS DERIVADAS ( ) ( ) ( ) 0 lim x f x x f xdy f x dx x∆ → + ∆ − ′= = ∆ ( ) ( ) ( ) 0 lim t f t t f tdy f t dt t∆ → + ∆ − ′= = ∆ ( ) 10000.1,2t P t = 35
  • 36. Exemplo: Um rebanho é atingido por uma epidemia. O número de indivíduos infectados em um tempo t dado em meses é representado por: a) Qual o número de infectados depois de 100 meses? b) Encontre a lei que dá a variação do número de indivíduos infectados em relação ao tempo t. c) Determine essa variação instantânea após t = 4 e 8 meses. APLICAÇÕES DAS DERIVADAS ( ) 3 64 3 t E t t= − 36
  • 37. MÁXIMOS E MÍNIMOS  Dadas as funções: x = 3 é um ponto de máximo local f(3) = 4 valor máximo da função ( ) 2 6 5f x x x= − + − ( ) 2 5 4f x x x= − + x = 5/2 é um ponto de mínimo local f(5/2) = -9/4 valor mínimo da função 37
  • 38.  De forma geral temos uma função f(x) definida em um intervalo [a,b].  Pontos de máximo locais: x2, x4 e x6.  Máximos locais de f(x) : f(x2), f(x4) e f(x6).  Pontos de mínimo locais: x1, x3 e x5.  Mínimos locais de f(x): f(x1), f(x3) e f(x5).  Os pontos entre um máximo e um mínimo são chamados de pontos críticos. MÁXIMOS E MÍNIMOS 38
  • 39.  Para determinarmos os pontos máximos e mínimos de uma função devemos primeiro calcular o seu ponto crítico, usando a seguinte relação:  Esses pontos podem ser máximos ou mínimos, para verificarmos isso devemos calcular a segunda derivada da função f(x) e substituir os pontos críticos na . DETERMINAÇÃO DE PONTOS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS ( ) 0f x′ = ( )f x′′ ( ) ( ) ( ) 0, 0, 0, inf Se f x entãoo pontocríticoé pontodemínimo Se f x entãoo pontocríticoé pontodemáximo Se f x entãoo pontocríticoé pontode lexão ′′ > ′′ < ′′ = 39
  • 40.  Exemplo:  Exemplo: A taxa na qual ocorre a fotossíntese na folha de uma planta é representada por Determine o tempo em que a produção de oxigênio é máxima. DETERMINAÇÃO DE PONTOS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS ( ) 3 2 6 9 1f x x x x= − + + ( ) 3 215 18 2 f x x x x= − + ( ) ( )0,02 0,1 100 ;t t P t e e t medidoemdias− − = − 40
  • 41. DETERMINAÇÃO DE PONTOS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS • Um experimento de resposta do feijão (g/vaso) a adição de fósforo x, em que 0 ≤ x ≤ 210 (ppm P) é medido pela função Calcule os pontos críticos e mostre quais são pontos de máximo e mínimos e calcule os valores máximos e mínimos da função. ( ) 3 2 0,008 0,006 0,06 6,7f x x x x= − + + + 41
  • 42.  INTEGRAL DEFINIDA Fazendo n crescer cada vez mais, isto é o perímetro do polígono aproxima-se do comprimento do círculo 2πr e a altura aproxima-se do raio r do círculo, logo podemos usar o seguinte limite para calcular a área do círculo. INTEGRAL . 2 n n Tn l h A = n nP nl= . . 2 2 n n n n n l h p h A n= = n → +∞ limc n n A A →∞ = 2. 2 . lim 2 2 n n c n p h r r A r π π →∞ = = = 42
  • 43.  Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana S, delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo eixo dos x e por duas retas x = a e x = b como vemos abaixo. INTEGRAL 1 1 2 2 3 3[ . ( ) . ( ) . ( ) ... . ( )]n nA x f x x f x x f x x f x= ∆ + ∆ + ∆ + + ∆ 1 . ( ) n i i i A x f x = = ∆∑ ( )if x ix∆ 43
  • 44.  A área A da figura é definida como o limite da soma das áreas desses retângulos, chamada de soma de Riemann, quando n tende ao infinito, isto é: Ou Usando a notação de Leibniz a área é dada pela integral abaixo chamada de Integral Definida. INTEGRAL )](....)(.)(.)(.[lim 321 n n xfxxfxxfxxfxA ∆++∆+∆+∆= ∞→ ∑= ∞→ ∆= n i i n xxfA 1 ).(lim ∫= b a dxxfA )( 44
  • 45.  INTEGRAL INDEFINIDA INTEGRAL ( ) ( )f x dx F x C= +∫ tanC Cons tede Integração→ ( )f x Integrando→ ( ) PrF x imitiva→ 45
  • 46.  PROPRIEDADES Sejam f (x) e g(x) funções reais definidas no mesmo domínio e k uma constante real. Então: INTEGRAL ( )i dx x C= +∫ ( ) ( ) ( )ii k f x dx k f x dx=∫ ∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )iii f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )iv f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫ ( ) [ ( ). ( )] ( ). ( )v f x g x dx f x g x′ =∫ 46
  • 47.  INTEGRAIS IMEDIATAS INTEGRAL ∫ −≠+ + = + 1, 1 1 α α α α C x dxx ∫ += Cxtgdxx2 sec dx x C= +∫ ∫ +−= Cxgdxx cotseccos 2 Cxdx x +=∫ ln 1 Cxdxxtgx +=∫ sec.sec ∫ += C a a dxa x x ln Cxdxgxx +−=∫ seccoscot.seccos Cxdxx +−=∫ cossen Cxdxx +=∫ sencos x x e dx e C= +∫ 47
  • 48.  TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Consideremos f(x) uma função definida num intervalo [a, b]. Suponhamos que exista uma função F(x), definida e derivável nesse intervalo, tal que F´(x) = f(x), para todo x de [a, b]. Então, temos: Exemplos: INTEGRAL ( )( ) ( ) ( ) b b aa f x dx F x F b F a= = −  ∫ ∫ = 2 0 2 dxx 2 ( 2)x dx+ =∫ ∫− =− 1 1 2 )6( dxx ∫ =2 0 sen π dxx∫− = 1 1 7dx ∫ =+− 2 0 2 )53( dxxx ∫ =−+− dxxxx )1775( 23 ∫ =+ dxxx )cos3(sen 48
  • 49. • O controle de N na cultura de algodão é importante para determinar a produção e a qualidade da fibra. O efeito da aplicação de N na altura da planta é dado por Em que x é a quantidade de N aplicada, 0 ≤ x ≤ 150 m moles/planta/semana, e f(x) descreve a porcentagem de uma altura máxima atingida. Qual o aumento na porcentagem da altura quando as quantidades de N variaram de 20 a 40 moles/planta/semana? E de 40 a 60 moles/planta/semana? Em qual dos intervalos se obteve melhor resposta na aplicação de N? • Estima-se que daqui a x dias a população P de bactérias irá variar a uma taxa de Se a população atual é de 300 bactérias, qual a população daqui a 9 dias? INTEGRAL ( ) 0,155 46,2f x x= 3 2 ; / dP x bactérias dia dx = + 49
  • 50.  Métodos da Substituição É usado para resolver integrais de funções compostas Fazendo u = g(x), tem-se que du = g’(x) dx, substituindo na expressão anterior, temos: Exemplos: MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO ( )( ) ( ) ( )( ).f g x g x dx F g x c′ = +∫ ( )( ) ( ) ( ). ( )f g x g x dx f u du F u c′ = = +∫ ∫ 2 2 1 x dx x+∫ ( ) ( )2 sin cosx x dx∫ ( ) 7 3 7 dx x + ∫ 50
  • 51.  MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES O método de integração por partes é um método usado para integrar produtos de funções [f(x)g(x)] através da seguinte equação. Onde u = f(x) e v = g(x), as diferenciais são du = f’(x)dx e dv = g’(x)dx. A escolha de u e dv deve ser feita de forma que a integral inicial torne-se mais fácil de ser resolvida após as substituições. Exemplos: MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO udv uv vdu= −∫ ∫ ln x dx∫ 2 t t e dt∫ ( )sint e t dt∫ ( )2 sinx x dx∫ 51
  • 52. CÁLCULO DE ÁREAS  O cálculo de área abaixo de uma curva pode ser feito por integração. Vejamos as situações que comumente ocorrem.  Exemplo: ( ) b a A f x dx= ∫ ( ) 2 0 cosA x dx π = ∫ 52
  • 53.  Vamos considerar uma situação em que temos uma região que está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) e que f(x) ≥ g(x) para todo x em [a,b].  Faça o gráfico de cada função no mesmo plano cartesiano e identifique a região limitada.  Determine os limites de integração igualando as duas funções.  Calcule a integral definida para encontrar a área entre as duas curvas. CÁLCULO DE ÁREAS ( )( ) ( ) b a A f x g x dx= −∫ 53
  • 54.  Exemplo: Determinar a área da região limitada entre as curvas  Exemplo: Determinar a área da região limitada entre as curvas CÁLCULO DE ÁREAS ( ) ( ) 2 6f x x e g x x= + = ( ) ( )2 2 8f x x e g x x= − = 54
  • 55. APLICAÇÃO DAS INTEGRAIS  Cálculo do Trabalho W = Trabalho F = Força dx = Deslocamento  Custo Total de Armazenamento Q(t) = Quantidade de Produto C(t) = Custo de Armazenagem 2 1 x x W Fdx= ∫ ( ) ( ) 0 . . ; t CustoT Armaz C t Q t dt reais= ∫ 55
  • 56.  Taxas de Crescimento de População  Cálculo de Áreas APLICAÇÃO DAS INTEGRAIS ( ) ( ) ( ) 0 0 0 t P t t P t dP P t f t dt ou f t dt P = =∫ ∫ ∫ ( ) b a A f x dx= ∫ 56