O documento apresenta os conceitos fundamentais de antiderivada e integral indefinida. Na primeira parte, define antiderivada como a operação inversa da derivada e apresenta exemplos de como encontrá-la. A segunda parte introduz a notação da integral indefinida e apresenta algumas propriedades e fórmulas para antidiferenciar funções. Por fim, exemplifica o cálculo de antiderivadas através de alguns exercícios.

1. Profª Débora Bastos

2. Antiderivadas
 Todas as operações básicas possuem as
chamadas operações inversas:
 Adição Subtração
3 + 2 = 5 5 − 2 = 3
 Multiplicação Divisão
2x3 = 6 6 ÷ 3 = 2
 Potenciação Radiciação
32 = 9 9 =3
 Potenciação Logaritmação
32= 9 log39=2

3. Antiderivadas
 Se considerarmos a derivada como um
operador sobre as funções, a operação
inversa será chamada de antiderivada.
 Definição 1: Uma função F será chamada de
função primitiva ou antiderivada de uma
função f, num intervalo I se F’(x)=f(x)
para todo x ∈ I.
 Exemplo:Encontre a antiderivada da função
f(x)= 4x3
 F1(x)=x4  F1’(x)=4x3
 F2(x)=x4+1  F2’(x)=4x3
 F3(x)=x4+200  F3’(x)=4x3

4. Antiderivada
 Observação: Se foi informada apenas a
função f, a antiderivada não é única, pois
qualquer constante acrescentada a derivada
será a mesma.
 Exemplo: Encontre a função primitiva de
f(x)=4x3:
F(x)= x4 + k, k constante k∈ lR.
 Observação: Dizemos que a antiderivada de
f é uma família de funções, pois temos
infinitas possibilidades para k.

5. Antiderivadas
 Exemplo: Encontre a antiderivada F da
função real f tal que f(x)= 4x3, sabendo
que F(1)=3.
 F(x)= x4 + k 1+ k =3
 F(1)= 1 + k K = 2
 F(x)= x4 + 2

6. Interpretação Geométrica
 Exemplo: Encontre a
família de funções
primitivas da função
real tal que
f(x)=2x.
 F(x)=x2+k
 Fixado qualquer
valor de x, as retas
tangentes a família
F em x são
paralelas.

7. Antidiferenciação
 Definição 2: Antidiferenciação é o
processo de encontrar o conjunto de todas
as antiderivadas de uma dada função.
 Notação: Integral
Indefinida Família de
antiderivadas
∫ f(x)dx = F(x)+ k
Função
Integrando
Diferencial da
Sinal de variável de
integração integração

8. Integral Indefinida
 Observação: A notação da integral
indefinida (antidiferenciação), usa o
conceito de diferencial (introduzido por
Leibniz), pois além de estar de acordo com
a definição de antiderivada auxilia em
dispositivos práticos para obter a
antiderivada.
 Seja F a função primitiva de f, ou seja,
F’(x)=f(x) para todo x ∈ D(f).
dy
 Y=F(x) = F' = f(x)
(x)
dx
dy
∫ f(x)dx = ∫ dx ∫
.dx = dy = y

9. Teoremas sobre integrais indefinidas
 Sendo k uma constante real:
∫
1 − dx = x + k d(x)
= 1
dx
d(au) du
2− ∫ ∫
af(x)dx = a f(x)dx
dx
= a
dx
a constante real
3 − ∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
d(u + v) du dv
= +
dx dx dx
xn + 1
∫
4 − x n dx =
n + 1
+ k d(x n )
dx
= nx n − 1
para n ≠ 1

10.  Observação: Para verificar se a integral
indefinida foi obtida corretamente,
podemos derivar o resultado e verificar se
a resposta é o integrando da integral
indefinida.
xn + 1
∫
4 − x n dx =
n + 1
+ k
para n ≠ 1
 xn + 1 
d 
n + 1
  = 1 d x n + 1)
( n + 1
⋅ = ⋅ xn + 1 − 1 = xn
dx n + 1 dx n + 1

11. Exemplos: Determine:
1 −∫ x2dx 4 − ∫ (3x + 5)dx
1 5 − ∫ (5x4 - 8x3 + 9x2 - 2x + 7)dx
2− ∫ dx
2
x  x3 + 2x2 − 7x 
3 − ∫ 3 x dx 6 − ∫ 

 x
dx



12. Mais fórmulas básicas
vn + 1 d(v n ) n − 1 dv
5 − ∫ v n dv =
n + 1
+ k
dx
= nv
dx
dv d(lnv) 1 dv
6 − ∫ v
= ln v + k
dx
=
v
⋅
dx
av d(a v )
7 − ∫ a v dv =
ln a
+ k
dx
v
= a . ln a ⋅
dv
dx
d(ev )
8 − ∫ ev dv = ev + k
dx
v
= e ⋅
dv
dx

13. Exemplos:
6 − ∫ cotgxdx
∫ ( 2x + 5) dx 2
1 −
x
2 − ∫  x 5x2 − 3 dx




7 − ∫ 1 − 4x2
dx
∫
dx 2x dx
3 − ∫ 1 − 5x
8−
x3 9 − ∫ 3tg4x sec24xdx
4 − ∫ 4
+ 2
dx
x 10 − ∫ e3xdx
5 − ∫ tgxdx
∫e
x2
11 − xdx