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SISTEMA ÓPTICO
Denominamos sistema óptico os sistemas físicos que alteram a direção dos raios de luz. Em relação
a um sistema óptico podemos definir ponto objeto e ponto imagem.
• Ponto objeto: é o ponto de intersecção dos raios de luz que incidem no sistema.
• Ponto imagem: é o ponto de intersecção dos raios de luz que emergem do sistema.

a
b
Figura 01: Ponto objeto (a) e ponto imagem (b)
Existem três tipos de pontos objetos para o sistema óptico:
• Ponto objeto real: quando os raios incidentes efetivamente passam pelo ponto P.
• Ponto objeto virtual: Se apenas os prolongamentos dos raios incidentes se cruzam no ponto P.
• Ponto objeto impróprio: quando os raios incidentes são paralelos, dizemos, nesse caso, que o
ponto objeto está no infinito.

c
a
b
Figura 02: Ponto objeto real (a), ponto objeto virtual (b) e ponto objeto impróprio (c)
Os pontos imagens também podem ser de três tipos:
• Ponto imagem real: quando os raios emergentes passam efetivamente por P.
• Ponto imagem virtual: se apenas os prolongamentos dos raios emergentes se cruzam no
ponto P.
• Ponto imagem impróprio: quando os raios emergentes são paralelos, dizemos, nesse caso,
que o ponto imagem está no infinito.

c
a
b
Figura 03: Ponto imagem real (a), ponto imagem virtual (b) e ponto imagem impróprio (c)
ESPELHOS PLANOS
Espelho (do latim speculum) é uma superfície que reflete um raio luminoso em uma direção definida,
em vez de absorvê-lo ou espalhá-lo em todas as direções. Uma superfície é considerada um espelho quando
for bem polida, oferecendo aproximadamente 70 a 100 % de reflexão.
Podemos definir espelhos planos como toda superfície plana e polida, portanto, regular, capaz de
refletir a luz.
FORMAÇÃO DE IMAGENS
A imagem de um objeto real conjugada por um espelho plano parece se situar na superfície do
espelho, entretanto não é isto que ocorre. Um espelho plano sempre produz, de um objeto real, uma imagem
virtual e simétrica ao espelho.

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Colocando um objeto luminoso puntiforme A (figura 05) na frente de um espelho, observamos que os
raios provenientes dele sofrem reflexão regular.
Para desenhar a imagem de um objeto pontual devemos seguir os
p
p’
seguintes passos:
A’
1. Desenhar os raios incidentes e refletidos. (lembre-se que o
A
raio que incide sob um ângulo de 90° reflete sobre si
mesmo).
2. Prolongar os raios incidentes para trás do espelho.
3. No encontro do prolongamento dos raios temos a posição
p = p’
da imagem do objeto.
Figura 05: Imagem de objeto pontual
Agora vamos representar a imagem de um objeto luminoso extenso ABC (figura 06) quando colocado
na frente de um espelho plano.
Para desenhar a imagem de um objeto extenso devemos seguir os
seguintes passos:
A’
A
1. Dar nome aos pontos correspondentes aos vértices.
2. Desenhar os raios incidentes e refletidos relacionados a
C
cada vértice.
C’
3. Medir a distância de cada vértice ao espelho e marcar o
ponto imagem na respectiva distância.
B’
B
Figura 06: Imagem de objeto extenso
Análise das características da imagem nos espelhos planos
I.
II.
III.
IV.

Virtual – formada pelo prolongamento dos raios refletidos, atrás do espelho.
Simétricas – o eixo de simetria é vertical, isto significa: lado direito do objeto passa para o
esquerdo da imagem e vice-versa.
Equidistante – a distância do objeto ao espelho é igual a distância do espelho à imagem.
Tamanho – igual ao do objeto.

ENANTIOMORFISMO
Como vimos, as imagens conjugadas por espelhos planos são
simétricas aos objetos, isto é, a distância de cada ponto do espelho ao objeto
é igual à distância da imagem ao espelho, o que nos permite concluir que
apesar de a imagem ter o mesmo tamanho do objeto, eles não são
exatamente iguais. Na verdade, a imagem fica invertida em relação ao objeto.
Esse fenômeno recebe o nome de enantiomorfismo (figura 07).
Figura 07: Enantiomorfismo

CAMPO VISUAL DE UM ESPELHO PLANO
É aquela região que um observador vê ao se colocar na frente de
um espelho. Esta região limitada pelos raios que passam nos extremos do
espelho (figura 08). O campo visual depende das dimensões do espelho e
da posição do observador em relação a ele.

ASSOCIAÇÃO DE ESPELHOS PLANOS

Figura 08: Campo visual

Quando a luz refletido por um espelho atinge um outro, dizemos que os espelhos estão associados.
Podemos ter dois tipos de associação.
a) Associação em paralelo
O número de imagens formadas do ponto A é infinito. Cada imagem de um espelho faz o papel de um
novo objeto para o outro espelho, e assim sucessivamente (figura 09).

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E2

A’’’’

A’’

E1

A

A’

A’’’

Figura 09: Associação em paralelo
b) Associação angular
Quando colocamos dois espelhos juntos, de maneira a formar
um certo ângulo entre si, existe um processo de reflexões sucessivas,
possibilitando a formação de várias imagens, a depender do ângulo
entre eles.
• Observa-se, que por razão de simetria, o ponto objeto e
os pontos imagens ficam sobre uma mesma
circunferência (figura 10).
• Verifica-se que o ângulo oposto pelo vértice de α é um
ângulo que não geram mais novas imagens. Esse
ângulo é chamado de ângulo morto (figura 10).

Figura 10: Associação angular

Para dois espelhos planos que formam entre si um ângulo α, o número de imagens N obtidas de um
objeto colocado entre eles é:

N = 360° - 1
α
Sendo válida nos casos:
a) quando a relação 360/α é um número par, o objeto P pode ficar em qualquer posição do objeto
entre os dois espelhos;
b) quando a relação 360/α é um número ímpar, o objeto P está no plano bissetor do ângulo α.
TRASLAÇÃO DE UM ESPELHO PLANO
Seja P’ a imagem de um objeto P em relação a um espelho pano numa posição A. Deixemos fixo o
objeto P enquanto o espelho executa uma translação passando para uma posição B, sendo P’’ a nova imagem
(figura 11). Se d é o deslocamento da imagem, temos:
B

A
P

P’

P’’

d’ = 2.d
d’
d

Figura 11: Translação de um espelho plano
Concluímos então que o deslocamento da imagem (d’) é o dobro do deslocamento do espelho (d). Se
levarmos em conta que os deslocamentos do espelho e da imagem ocorrem no mesmo intervalo de tempo,
podemos concluir também que a velocidade da imagem (vi) é o dobro da velocidade do espelho (ve). Supomos
essa velocidades em relação ao ponto P.

vi = 2.ve
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ROTAÇÃO DE UM ESPELHO PLANO
Nossa intenção agora é a de verificar o que
acontece quando um espelho sofre uma certa rotação.
Na figura abaixo, representamos um raio RA que incide
em um espelho plano E, com um ângulo de incidência
α, sendo então, desta forma, AD o raio refletido.
Supondo que giremos o espelho fazendo com que surja
um ângulo Ө em torno de seu próprio plano e supondo
ainda que o raio incidente atinja o espelho, sendo B o
novo ponto de incidência, surgindo o raio refletido BF, o
ângulo que chamamos de
é formado entre os dois
prolongamentos dos raios AD e BF, e a esse ângulo
damos o nome de desvio angular sofrido pelo raio
refletido.
Sabemos que a soma interna de qualquer
triângulo é igual a 180º. Dessa forma, no triângulo CAB
da figura temos:
Ө + (90º- α) + 2α + β = 180º
Isolando Ө teremos:
Para o triângulo GAB, temos:
Isolando

teremos:

Figura 12: Rotação de um espelho plano
Ө = 90º - α – β
+ 2α + 2β = 180º
= 180º - 2α - 2β

Substituindo a primeira equação na segunda temos:

∆ = 2.θ
θ
EXERCÍCIOS
01. Dois pontos, A e B, estão diante de um espelho plano, conforme indica a figura. A que distância do ponto B
se forma a imagem de A?

02. Um observado O vê o ponto P por reflexão. Trace um raio proveniente de P que atinja O.

03. Desenho a imagem do objeto da figura:

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04. Um relógio sem número no mostrador é observado num espelho plano, notando-se que a imagem registra
10h e 10 minutos. Qual a hora real que o relógio marca?
05. Na figura temos um espelho plano E e um objeto real R. Reproduza a figura em seu caderno e desenhe a
imagem do objeto formada por esse espelho.

06. Na figura ao lado temos uma fonte de luz
puntiforme A, em frente a um espelho plano E.
a) Localize a imagem de A.
b) A imagem de A é real ou virtual?
c) Qual é a distância entre A e sua imagem?

07. (Vunesp-SP) Um estudante veste uma camiseta em cujo peito se lê a inscrição seguinte:
UNESP
a) Reescreva essa inscrição, na forma que sua imagem aparece para o estudante, quando ele se encontra
frente a um espelho plano.
b) Suponha que a inscrição esteja a 70 cm do espelho e que cada letra da camiseta tenha 10 cm de altura.
Qual a distância entre a inscrição e sua imagem? Qual a altura de cada letra da imagem?
08. (UERJ) Uma garota, para observar seu penteado, coloca-se em
frente a um espelho plano de parede, situado a 40 cm de uma flor presa
na parte de trás dos seus cabelos. Buscando uma visão melhor do
arranjo da flor no cabelo, ela segura, com uma das mãos, um pequeno
espelho plano atrás da cabeça, a 15 cm da flor. A menor distância entre
a flor e sua imagem, vista pela garota no espelho de parede, está
próxima de:
a) 55 cm.
d) 110 cm.
b) 70 cm.
e) 125 cm.
c) 95 cm.

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09. (Mackenzie-SP) Quando colocamos um ponto objeto real diante de um espelho plano, a distância entre ele
e sua imagem conjugada é 3,20 m. Se esse ponto objeto for deslocado em 40 cm de encontro ao espelho, sua
nova distância em relação à respectiva imagem conjugada, nessa posição final, será:
a) 2,40 m.
b) 2,80 m.
c) 3,20 m.
d) 3,60 m.
e) 4,00 m.
10. (EFOMM-RJ) Uma pessoa caminha em direção a um espelho fixo
com velocidade escalar constante, medida em relação ao solo,
conforme mostra a figura abaixo.
Analisando a situação descrita, pode-se afirmar que:
a) a imagem, de mesmo tamanho, afasta-se do espelho com
velocidade de 1,5 m/s.
b) a imagem, de mesmo tamanho, aproxima-se do espelho com velocidade de 3,0xm/s.
c) a pessoa e a sua imagem aproximam-se com velocidade relativa de 3,0 m/s.
d) a pessoa e a sua imagem afastam-se com velocidade relativa de 3,0 m/s.
e) a imagem, aumentada devido à aproximação da pessoa, tem velocidade de 1,5xm/s.
11. (UEL-PR) Um observador O observa a imagem de um
objeto P refletida num espelho plano horizontal. A figura
mostra um feixe de raios luminosos que partem de P. O raio
que atinge o observador O é:
a) PEO.
b) PDO.
c) PCO.
d) PBO.
e) PAO.
12. Na figura abaixo representamos uma fonte de luz F, um
espelho E e cinco observadores situados nas posições A, B, C, D
e G. Quais desses observadores podem ver a imagem de F?

13. Um objeto P está inicialmente a uma distância de 8 cm de um espelho plano E. Mantendo-se fixo o objeto
P, o espelho é afastado de P para uma nova posição paralela à posição inicial, sendo o deslocamento do
espelho igual a 5 cm. Calcule:
a) o deslocamento sofrido pela imagem.
b) a distância entre a imagem e o espelho depois do afastamento.
14. Uma pessoa corre para um espelho plano vertical com velocidade de 1,5 m/s. Com que velocidade a
imagem da pessoa se aproxima do espelho?
15. (FUVEST-SP) A figura representa um objeto A colocado a uma
distância de 2,0 m de um espelho plano S, e uma lâmina L colocada à
distância de 6,0 m do espelho.
a) Desenhe o raio emitido por L e refletido por A que atinge A. Explique
a construção.
b) Calcule a distância percorrida por esse raio.

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16. O mostrador de um relógio de ponteiros é colocado em frente a um espelho plano. Se olharmos para a
imagem do relógio, em que sentido girarão as imagem dos ponteiros?
17. Um indivíduo de altura H está em pé diante de um espelho retangular e vertical com a base do espelho
ficando paralela ao solo. Seja x a distância entre o olho do individuo e o solo.
a) Calcule a menor altura h do espelho, que permite que o indivíduo enxergue toda a sua imagem.
b) Considerando o espelho de altura mínima, determine a distância y entre a base inferior do espelho e o solo,
de modo que o indivíduo possa ver toda sua imagem.
18. Determine o número de imagens do objeto O conjugadas pelo sistema de espelho que fazem entre si um
ângulo de 90°
.
19. Dois espelhos planos estão dispostos de tal maneira que suas faces refletoras formam um certo ângulo.
Sabendo que o número de imagens é 35, qual é o ângulo dos dois espelhos?
20. O número de imagens obtidas pela associação de dois espelhos planos angulares é a quinta parte da
medida do ângulo formado, expressa em graus. Calcule:
a) o número de imagens;
b) a medida do ângulo formado pelos espelhos.
21. Um diretor de teatro deseja obter uma cena com 18 bailarinas. Para tanto, ele dispões de três bailarinas e
dois espelho planos. Determine o valo do ângulo que os espelhos planos devem formar para que tal cena seja
possível.

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GABARITO
01.
60 cm

50 cm

A

A

50 cm

B

x = 50 + 50 + 60 = 160 cm

60 cm

B’

A’

x

02.
Inicialmente desenhamos o segmento AA’ perpendicular ao espelho, de
modo que AM = A’M. O ponto A’ é a imagem de A em relação ao espelho.
A seguir traçamos a reta A’O a qual intercepta o espelho no ponto I. O
ponto I é o ponto de incidência e a trajetória seguida pelo raio é a
trajetória AIO.

O
A

I

M

A’

03.
Como sabemos cada ponto e sua respectiva imagem são simétricos em
relação ao plano do espelho, assim conseguimos marcar os ponto A’, B’, C’
e D’. Depois de marcar os pontos basta uni-los.

E

A’

A

D’

D
C

C’
B’

B

04.
Observando a representação do relógio em frente ao espelho percebemos que a hora real marcada por ele é
2h e 50’ ou 14h e 50’.
E

Objeto (2h

Imagem (10h 10’)

05.

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06. a)
b) A imagem de A é virtual pois é formada a partir do
prolongamento dos raios refletidos (ou seja atrás do
espelho).
c) A distância de A até A’ é igual a 8 quadradinhos.
Sabendo que cada quadradinho corresponde a 1 cm
teremos:
AA’ = 8 .1 = 8 cm

07.
a)
b) A distância será de 70 cm e a altura da letra de 10 cm, pois, em um espelho plano a imagem é simétrica ao
objeto.
08.
OPÇÃO B.
Determinamos a imagem F’ da flor F fornecida pelo
pequeno espelho colocado atrás da cabeça. Esta
imagem funciona como objeto para o espelho de
parede, que fornece a imagem F”. A distância entre F
e F” é 40 cm + 70 cm = 110 cm.
09.
OPÇÃO A.
E
1,6 m
A

1,6 m

A

A’
1,2 m

1,2 m

A’

Aproximando o objeto 40 cm (0,4 m) do espelho
percebemos que o ele ficará a 1,2 m do espelho, assim a
nova distância em relação a imagem será 1,2 + 1,2 = 2,40
m.

3,2 m
2,4 m

10. OPÇÃO C.
Quando a pessoa se aproxima do espelho sua imagem também se aproxima e com velocidade de mesmo
módulo, mesma direção e sentido oposto.
Nestas condições, a pessoa e a sua imagem se aproximam com velocidade relativa: 1,5 m/s + 1,5 m/s = 3,0
m/s
11. OPÇÃO B.
O raio de luz que parte de P, reflete no espelho e atinge o
observador O, tem seu prolongamento passando pela imagem P’ do
ponto P. Deste modo o ponto de incidência é o ponto D e o trajeto é
PDO.

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12.
Os observadores que verão a imagem da fonte de luz F, são os observadores
que estão na região compreendida entre os raio refletidos (região amarela)
portanto, serão os observadores D e G.

13.
a) d’ = 2d = 2 . 5 = 10 cm

B

A
13 cm

13 cm

P

P’

8 cm

b) Após o espelho ser deslocado em 5 cm a nova
distância entre o objeto P e o espelho passa a
ser:

P’’

d’

8 cm

x = 8 + 5 = 13 cm

5 cm

Portanto, a distância da imagem até o espelho
depois do afastamento será 13 cm.

14. Como a imagem do espelho plano tem a mesma distância do objeto, a velocidade será a mesma.
15. a) Inicialmente desenhamos o segmento LL’
perpendicular ao espelho, de modo que LM = L’M.
O ponto L’ é a imagem de L em relação ao espelho.
A seguir traçamos a reta L’A a qual intercepta o
espelho no ponto I. O ponto I é o ponto de
incidência e a trajetória seguida pelo raio é a
trajetória LIA.
b) O que o exercício nos pede é que achemos a
soma dos segmentos LI e IA, para tanto, devemos
primeiro descobri-los.
Primeiro veja que o triângulo LIM é semelhante ao
triângulo AIB, daí podemos afirmar que:

S
A 2,0 m

x
I

6,0 m

6-x
6,0 m
M

L

2 = x
6
6–x

→

6x = 2 (6 – x)

→ 6x = 12 – 2x

B

→

6x – 2x = 12 →

4x = 12 →

L’

x=3m

Assim teremos que os segmentos IB = x = 3 m e IM = 6 – x = 6 – 3 = 3 m.
Agora devemos aplicar o Teorema de Pitágoras para o triângulo AIB.
2

2

2

IA = 3 + 2 = 9 + 4 = 12 = √12 = 2√3 m = 3,5 m
Agora devemos aplicar o Teorema de Pitágoras para o triângulo LIM.
2

2

2

LI = 3 + 6 = 9 + 36 = 45 = √45 = 3√5 m = 6,7 m
Assim concluímos que o raio percorre a distancia de:
LI + IA = 6,7 + 3,5 = 10,2 m
16. No sentido anti-horário.
17. a) Na figura, os pontos C, O e P representam, respectivamente, o topo da cabeça, o olho e o pé do
indivíduo. Traçando os raios que partem da cabeça e do pés do indivíduo, refletem-se no espelho e atingem o
olho, vemos que só a região do espelho situada entre A e B é necessária para que o indivíduo se enxergue.
Como os triângulos OAB e OC’P’ são semelhantes, temos:

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AB = PR
C’P’ PP’

ou

h = d , isto é, h = H .
H
2d
2

C

C’
A

O

O’
h

H
x

B
y
R

P

d

P’

d

Vemos que a altura mínima que o espelho deve ter é metade da altura do indivíduo, independentemente de
sua distância d ao plano do espelho.
b) Observando a figura, vemos que o espelho de altura mínima deve ser colocado de modo que a distância y
entre sua base e o solo seja igual a BR. Da semelhança entre os triângulos BRP’ e OPP’, temos:

BR = OP
RP’ PP’

ou

y = x
d
2d

, isto é, y = x
2

Portanto, o espelho de altura mínima deve ser colocado de modo que a distância entre a base inferior e o solo
seja igual à metade da distância entre o olho do indivíduo e o solo, independentemente da distância d entre o
indivíduo e o plano do espelho.
18.
Nesse casso a razão 360/α é par e, portanto o objeto pode estar situado em qualquer posição entre os
espelhos.
N = 360 – 1 = 4 – 1 = 3 imagens.
90
19.
35 = 360 – 1
α
20.
a)
N = 360 – 1
α

→

35 + 1 = 360
α

→

36 = 360
α

→

36α = 360

α = 10°

→

e α = 5N

N = 360 – 1 →
5N

N = 72 – 1 →
N

N + 1 = 72
N

→

N (N + 1) = 72

→

2

N + N – 72 = 0

∆ = 1 + 288 = 289
N = - 1 ± √289 = - 1 ± 17 = 16 = 8
2
2
2
b) α = 5N = 5 . 8 = 40°
21.

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Como o diretos dispões de três bailarinas ele precisa que associar os espelhos de modo que as três formem 15
imagens, ou seja, cada bailarina deverá formar 5 imagens.
5 = 360 – 1
α

→

5 + 1 = 360
α

→

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6 = 360
α

→

6α = 360

→

α = 60°

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Espelho planos

  • 1. 14 SISTEMA ÓPTICO Denominamos sistema óptico os sistemas físicos que alteram a direção dos raios de luz. Em relação a um sistema óptico podemos definir ponto objeto e ponto imagem. • Ponto objeto: é o ponto de intersecção dos raios de luz que incidem no sistema. • Ponto imagem: é o ponto de intersecção dos raios de luz que emergem do sistema. a b Figura 01: Ponto objeto (a) e ponto imagem (b) Existem três tipos de pontos objetos para o sistema óptico: • Ponto objeto real: quando os raios incidentes efetivamente passam pelo ponto P. • Ponto objeto virtual: Se apenas os prolongamentos dos raios incidentes se cruzam no ponto P. • Ponto objeto impróprio: quando os raios incidentes são paralelos, dizemos, nesse caso, que o ponto objeto está no infinito. c a b Figura 02: Ponto objeto real (a), ponto objeto virtual (b) e ponto objeto impróprio (c) Os pontos imagens também podem ser de três tipos: • Ponto imagem real: quando os raios emergentes passam efetivamente por P. • Ponto imagem virtual: se apenas os prolongamentos dos raios emergentes se cruzam no ponto P. • Ponto imagem impróprio: quando os raios emergentes são paralelos, dizemos, nesse caso, que o ponto imagem está no infinito. c a b Figura 03: Ponto imagem real (a), ponto imagem virtual (b) e ponto imagem impróprio (c) ESPELHOS PLANOS Espelho (do latim speculum) é uma superfície que reflete um raio luminoso em uma direção definida, em vez de absorvê-lo ou espalhá-lo em todas as direções. Uma superfície é considerada um espelho quando for bem polida, oferecendo aproximadamente 70 a 100 % de reflexão. Podemos definir espelhos planos como toda superfície plana e polida, portanto, regular, capaz de refletir a luz. FORMAÇÃO DE IMAGENS A imagem de um objeto real conjugada por um espelho plano parece se situar na superfície do espelho, entretanto não é isto que ocorre. Um espelho plano sempre produz, de um objeto real, uma imagem virtual e simétrica ao espelho. Prof. Thiago Miranda o-mundo-dao-mundo-da-fisica.blogspot.com
  • 2. 15 Colocando um objeto luminoso puntiforme A (figura 05) na frente de um espelho, observamos que os raios provenientes dele sofrem reflexão regular. Para desenhar a imagem de um objeto pontual devemos seguir os p p’ seguintes passos: A’ 1. Desenhar os raios incidentes e refletidos. (lembre-se que o A raio que incide sob um ângulo de 90° reflete sobre si mesmo). 2. Prolongar os raios incidentes para trás do espelho. 3. No encontro do prolongamento dos raios temos a posição p = p’ da imagem do objeto. Figura 05: Imagem de objeto pontual Agora vamos representar a imagem de um objeto luminoso extenso ABC (figura 06) quando colocado na frente de um espelho plano. Para desenhar a imagem de um objeto extenso devemos seguir os seguintes passos: A’ A 1. Dar nome aos pontos correspondentes aos vértices. 2. Desenhar os raios incidentes e refletidos relacionados a C cada vértice. C’ 3. Medir a distância de cada vértice ao espelho e marcar o ponto imagem na respectiva distância. B’ B Figura 06: Imagem de objeto extenso Análise das características da imagem nos espelhos planos I. II. III. IV. Virtual – formada pelo prolongamento dos raios refletidos, atrás do espelho. Simétricas – o eixo de simetria é vertical, isto significa: lado direito do objeto passa para o esquerdo da imagem e vice-versa. Equidistante – a distância do objeto ao espelho é igual a distância do espelho à imagem. Tamanho – igual ao do objeto. ENANTIOMORFISMO Como vimos, as imagens conjugadas por espelhos planos são simétricas aos objetos, isto é, a distância de cada ponto do espelho ao objeto é igual à distância da imagem ao espelho, o que nos permite concluir que apesar de a imagem ter o mesmo tamanho do objeto, eles não são exatamente iguais. Na verdade, a imagem fica invertida em relação ao objeto. Esse fenômeno recebe o nome de enantiomorfismo (figura 07). Figura 07: Enantiomorfismo CAMPO VISUAL DE UM ESPELHO PLANO É aquela região que um observador vê ao se colocar na frente de um espelho. Esta região limitada pelos raios que passam nos extremos do espelho (figura 08). O campo visual depende das dimensões do espelho e da posição do observador em relação a ele. ASSOCIAÇÃO DE ESPELHOS PLANOS Figura 08: Campo visual Quando a luz refletido por um espelho atinge um outro, dizemos que os espelhos estão associados. Podemos ter dois tipos de associação. a) Associação em paralelo O número de imagens formadas do ponto A é infinito. Cada imagem de um espelho faz o papel de um novo objeto para o outro espelho, e assim sucessivamente (figura 09). Prof. Thiago Miranda o-mundo-dao-mundo-da-fisica.blogspot.com
  • 3. 16 E2 A’’’’ A’’ E1 A A’ A’’’ Figura 09: Associação em paralelo b) Associação angular Quando colocamos dois espelhos juntos, de maneira a formar um certo ângulo entre si, existe um processo de reflexões sucessivas, possibilitando a formação de várias imagens, a depender do ângulo entre eles. • Observa-se, que por razão de simetria, o ponto objeto e os pontos imagens ficam sobre uma mesma circunferência (figura 10). • Verifica-se que o ângulo oposto pelo vértice de α é um ângulo que não geram mais novas imagens. Esse ângulo é chamado de ângulo morto (figura 10). Figura 10: Associação angular Para dois espelhos planos que formam entre si um ângulo α, o número de imagens N obtidas de um objeto colocado entre eles é: N = 360° - 1 α Sendo válida nos casos: a) quando a relação 360/α é um número par, o objeto P pode ficar em qualquer posição do objeto entre os dois espelhos; b) quando a relação 360/α é um número ímpar, o objeto P está no plano bissetor do ângulo α. TRASLAÇÃO DE UM ESPELHO PLANO Seja P’ a imagem de um objeto P em relação a um espelho pano numa posição A. Deixemos fixo o objeto P enquanto o espelho executa uma translação passando para uma posição B, sendo P’’ a nova imagem (figura 11). Se d é o deslocamento da imagem, temos: B A P P’ P’’ d’ = 2.d d’ d Figura 11: Translação de um espelho plano Concluímos então que o deslocamento da imagem (d’) é o dobro do deslocamento do espelho (d). Se levarmos em conta que os deslocamentos do espelho e da imagem ocorrem no mesmo intervalo de tempo, podemos concluir também que a velocidade da imagem (vi) é o dobro da velocidade do espelho (ve). Supomos essa velocidades em relação ao ponto P. vi = 2.ve Prof. Thiago Miranda o-mundo-dao-mundo-da-fisica.blogspot.com
  • 4. 17 ROTAÇÃO DE UM ESPELHO PLANO Nossa intenção agora é a de verificar o que acontece quando um espelho sofre uma certa rotação. Na figura abaixo, representamos um raio RA que incide em um espelho plano E, com um ângulo de incidência α, sendo então, desta forma, AD o raio refletido. Supondo que giremos o espelho fazendo com que surja um ângulo Ө em torno de seu próprio plano e supondo ainda que o raio incidente atinja o espelho, sendo B o novo ponto de incidência, surgindo o raio refletido BF, o ângulo que chamamos de é formado entre os dois prolongamentos dos raios AD e BF, e a esse ângulo damos o nome de desvio angular sofrido pelo raio refletido. Sabemos que a soma interna de qualquer triângulo é igual a 180º. Dessa forma, no triângulo CAB da figura temos: Ө + (90º- α) + 2α + β = 180º Isolando Ө teremos: Para o triângulo GAB, temos: Isolando teremos: Figura 12: Rotação de um espelho plano Ө = 90º - α – β + 2α + 2β = 180º = 180º - 2α - 2β Substituindo a primeira equação na segunda temos: ∆ = 2.θ θ EXERCÍCIOS 01. Dois pontos, A e B, estão diante de um espelho plano, conforme indica a figura. A que distância do ponto B se forma a imagem de A? 02. Um observado O vê o ponto P por reflexão. Trace um raio proveniente de P que atinja O. 03. Desenho a imagem do objeto da figura: Prof. Thiago Miranda o-mundo-dao-mundo-da-fisica.blogspot.com
  • 5. 18 04. Um relógio sem número no mostrador é observado num espelho plano, notando-se que a imagem registra 10h e 10 minutos. Qual a hora real que o relógio marca? 05. Na figura temos um espelho plano E e um objeto real R. Reproduza a figura em seu caderno e desenhe a imagem do objeto formada por esse espelho. 06. Na figura ao lado temos uma fonte de luz puntiforme A, em frente a um espelho plano E. a) Localize a imagem de A. b) A imagem de A é real ou virtual? c) Qual é a distância entre A e sua imagem? 07. (Vunesp-SP) Um estudante veste uma camiseta em cujo peito se lê a inscrição seguinte: UNESP a) Reescreva essa inscrição, na forma que sua imagem aparece para o estudante, quando ele se encontra frente a um espelho plano. b) Suponha que a inscrição esteja a 70 cm do espelho e que cada letra da camiseta tenha 10 cm de altura. Qual a distância entre a inscrição e sua imagem? Qual a altura de cada letra da imagem? 08. (UERJ) Uma garota, para observar seu penteado, coloca-se em frente a um espelho plano de parede, situado a 40 cm de uma flor presa na parte de trás dos seus cabelos. Buscando uma visão melhor do arranjo da flor no cabelo, ela segura, com uma das mãos, um pequeno espelho plano atrás da cabeça, a 15 cm da flor. A menor distância entre a flor e sua imagem, vista pela garota no espelho de parede, está próxima de: a) 55 cm. d) 110 cm. b) 70 cm. e) 125 cm. c) 95 cm. Prof. Thiago Miranda o-mundo-dao-mundo-da-fisica.blogspot.com
  • 6. 19 09. (Mackenzie-SP) Quando colocamos um ponto objeto real diante de um espelho plano, a distância entre ele e sua imagem conjugada é 3,20 m. Se esse ponto objeto for deslocado em 40 cm de encontro ao espelho, sua nova distância em relação à respectiva imagem conjugada, nessa posição final, será: a) 2,40 m. b) 2,80 m. c) 3,20 m. d) 3,60 m. e) 4,00 m. 10. (EFOMM-RJ) Uma pessoa caminha em direção a um espelho fixo com velocidade escalar constante, medida em relação ao solo, conforme mostra a figura abaixo. Analisando a situação descrita, pode-se afirmar que: a) a imagem, de mesmo tamanho, afasta-se do espelho com velocidade de 1,5 m/s. b) a imagem, de mesmo tamanho, aproxima-se do espelho com velocidade de 3,0xm/s. c) a pessoa e a sua imagem aproximam-se com velocidade relativa de 3,0 m/s. d) a pessoa e a sua imagem afastam-se com velocidade relativa de 3,0 m/s. e) a imagem, aumentada devido à aproximação da pessoa, tem velocidade de 1,5xm/s. 11. (UEL-PR) Um observador O observa a imagem de um objeto P refletida num espelho plano horizontal. A figura mostra um feixe de raios luminosos que partem de P. O raio que atinge o observador O é: a) PEO. b) PDO. c) PCO. d) PBO. e) PAO. 12. Na figura abaixo representamos uma fonte de luz F, um espelho E e cinco observadores situados nas posições A, B, C, D e G. Quais desses observadores podem ver a imagem de F? 13. Um objeto P está inicialmente a uma distância de 8 cm de um espelho plano E. Mantendo-se fixo o objeto P, o espelho é afastado de P para uma nova posição paralela à posição inicial, sendo o deslocamento do espelho igual a 5 cm. Calcule: a) o deslocamento sofrido pela imagem. b) a distância entre a imagem e o espelho depois do afastamento. 14. Uma pessoa corre para um espelho plano vertical com velocidade de 1,5 m/s. Com que velocidade a imagem da pessoa se aproxima do espelho? 15. (FUVEST-SP) A figura representa um objeto A colocado a uma distância de 2,0 m de um espelho plano S, e uma lâmina L colocada à distância de 6,0 m do espelho. a) Desenhe o raio emitido por L e refletido por A que atinge A. Explique a construção. b) Calcule a distância percorrida por esse raio. Prof. Thiago Miranda o-mundo-dao-mundo-da-fisica.blogspot.com
  • 7. 20 16. O mostrador de um relógio de ponteiros é colocado em frente a um espelho plano. Se olharmos para a imagem do relógio, em que sentido girarão as imagem dos ponteiros? 17. Um indivíduo de altura H está em pé diante de um espelho retangular e vertical com a base do espelho ficando paralela ao solo. Seja x a distância entre o olho do individuo e o solo. a) Calcule a menor altura h do espelho, que permite que o indivíduo enxergue toda a sua imagem. b) Considerando o espelho de altura mínima, determine a distância y entre a base inferior do espelho e o solo, de modo que o indivíduo possa ver toda sua imagem. 18. Determine o número de imagens do objeto O conjugadas pelo sistema de espelho que fazem entre si um ângulo de 90° . 19. Dois espelhos planos estão dispostos de tal maneira que suas faces refletoras formam um certo ângulo. Sabendo que o número de imagens é 35, qual é o ângulo dos dois espelhos? 20. O número de imagens obtidas pela associação de dois espelhos planos angulares é a quinta parte da medida do ângulo formado, expressa em graus. Calcule: a) o número de imagens; b) a medida do ângulo formado pelos espelhos. 21. Um diretor de teatro deseja obter uma cena com 18 bailarinas. Para tanto, ele dispões de três bailarinas e dois espelho planos. Determine o valo do ângulo que os espelhos planos devem formar para que tal cena seja possível. Prof. Thiago Miranda o-mundo-dao-mundo-da-fisica.blogspot.com
  • 8. 21 GABARITO 01. 60 cm 50 cm A A 50 cm B x = 50 + 50 + 60 = 160 cm 60 cm B’ A’ x 02. Inicialmente desenhamos o segmento AA’ perpendicular ao espelho, de modo que AM = A’M. O ponto A’ é a imagem de A em relação ao espelho. A seguir traçamos a reta A’O a qual intercepta o espelho no ponto I. O ponto I é o ponto de incidência e a trajetória seguida pelo raio é a trajetória AIO. O A I M A’ 03. Como sabemos cada ponto e sua respectiva imagem são simétricos em relação ao plano do espelho, assim conseguimos marcar os ponto A’, B’, C’ e D’. Depois de marcar os pontos basta uni-los. E A’ A D’ D C C’ B’ B 04. Observando a representação do relógio em frente ao espelho percebemos que a hora real marcada por ele é 2h e 50’ ou 14h e 50’. E Objeto (2h Imagem (10h 10’) 05. Prof. Thiago Miranda o-mundo-dao-mundo-da-fisica.blogspot.com
  • 9. 22 06. a) b) A imagem de A é virtual pois é formada a partir do prolongamento dos raios refletidos (ou seja atrás do espelho). c) A distância de A até A’ é igual a 8 quadradinhos. Sabendo que cada quadradinho corresponde a 1 cm teremos: AA’ = 8 .1 = 8 cm 07. a) b) A distância será de 70 cm e a altura da letra de 10 cm, pois, em um espelho plano a imagem é simétrica ao objeto. 08. OPÇÃO B. Determinamos a imagem F’ da flor F fornecida pelo pequeno espelho colocado atrás da cabeça. Esta imagem funciona como objeto para o espelho de parede, que fornece a imagem F”. A distância entre F e F” é 40 cm + 70 cm = 110 cm. 09. OPÇÃO A. E 1,6 m A 1,6 m A A’ 1,2 m 1,2 m A’ Aproximando o objeto 40 cm (0,4 m) do espelho percebemos que o ele ficará a 1,2 m do espelho, assim a nova distância em relação a imagem será 1,2 + 1,2 = 2,40 m. 3,2 m 2,4 m 10. OPÇÃO C. Quando a pessoa se aproxima do espelho sua imagem também se aproxima e com velocidade de mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto. Nestas condições, a pessoa e a sua imagem se aproximam com velocidade relativa: 1,5 m/s + 1,5 m/s = 3,0 m/s 11. OPÇÃO B. O raio de luz que parte de P, reflete no espelho e atinge o observador O, tem seu prolongamento passando pela imagem P’ do ponto P. Deste modo o ponto de incidência é o ponto D e o trajeto é PDO. Prof. Thiago Miranda o-mundo-dao-mundo-da-fisica.blogspot.com
  • 10. 23 12. Os observadores que verão a imagem da fonte de luz F, são os observadores que estão na região compreendida entre os raio refletidos (região amarela) portanto, serão os observadores D e G. 13. a) d’ = 2d = 2 . 5 = 10 cm B A 13 cm 13 cm P P’ 8 cm b) Após o espelho ser deslocado em 5 cm a nova distância entre o objeto P e o espelho passa a ser: P’’ d’ 8 cm x = 8 + 5 = 13 cm 5 cm Portanto, a distância da imagem até o espelho depois do afastamento será 13 cm. 14. Como a imagem do espelho plano tem a mesma distância do objeto, a velocidade será a mesma. 15. a) Inicialmente desenhamos o segmento LL’ perpendicular ao espelho, de modo que LM = L’M. O ponto L’ é a imagem de L em relação ao espelho. A seguir traçamos a reta L’A a qual intercepta o espelho no ponto I. O ponto I é o ponto de incidência e a trajetória seguida pelo raio é a trajetória LIA. b) O que o exercício nos pede é que achemos a soma dos segmentos LI e IA, para tanto, devemos primeiro descobri-los. Primeiro veja que o triângulo LIM é semelhante ao triângulo AIB, daí podemos afirmar que: S A 2,0 m x I 6,0 m 6-x 6,0 m M L 2 = x 6 6–x → 6x = 2 (6 – x) → 6x = 12 – 2x B → 6x – 2x = 12 → 4x = 12 → L’ x=3m Assim teremos que os segmentos IB = x = 3 m e IM = 6 – x = 6 – 3 = 3 m. Agora devemos aplicar o Teorema de Pitágoras para o triângulo AIB. 2 2 2 IA = 3 + 2 = 9 + 4 = 12 = √12 = 2√3 m = 3,5 m Agora devemos aplicar o Teorema de Pitágoras para o triângulo LIM. 2 2 2 LI = 3 + 6 = 9 + 36 = 45 = √45 = 3√5 m = 6,7 m Assim concluímos que o raio percorre a distancia de: LI + IA = 6,7 + 3,5 = 10,2 m 16. No sentido anti-horário. 17. a) Na figura, os pontos C, O e P representam, respectivamente, o topo da cabeça, o olho e o pé do indivíduo. Traçando os raios que partem da cabeça e do pés do indivíduo, refletem-se no espelho e atingem o olho, vemos que só a região do espelho situada entre A e B é necessária para que o indivíduo se enxergue. Como os triângulos OAB e OC’P’ são semelhantes, temos: Prof. Thiago Miranda o-mundo-dao-mundo-da-fisica.blogspot.com
  • 11. 24 AB = PR C’P’ PP’ ou h = d , isto é, h = H . H 2d 2 C C’ A O O’ h H x B y R P d P’ d Vemos que a altura mínima que o espelho deve ter é metade da altura do indivíduo, independentemente de sua distância d ao plano do espelho. b) Observando a figura, vemos que o espelho de altura mínima deve ser colocado de modo que a distância y entre sua base e o solo seja igual a BR. Da semelhança entre os triângulos BRP’ e OPP’, temos: BR = OP RP’ PP’ ou y = x d 2d , isto é, y = x 2 Portanto, o espelho de altura mínima deve ser colocado de modo que a distância entre a base inferior e o solo seja igual à metade da distância entre o olho do indivíduo e o solo, independentemente da distância d entre o indivíduo e o plano do espelho. 18. Nesse casso a razão 360/α é par e, portanto o objeto pode estar situado em qualquer posição entre os espelhos. N = 360 – 1 = 4 – 1 = 3 imagens. 90 19. 35 = 360 – 1 α 20. a) N = 360 – 1 α → 35 + 1 = 360 α → 36 = 360 α → 36α = 360 α = 10° → e α = 5N N = 360 – 1 → 5N N = 72 – 1 → N N + 1 = 72 N → N (N + 1) = 72 → 2 N + N – 72 = 0 ∆ = 1 + 288 = 289 N = - 1 ± √289 = - 1 ± 17 = 16 = 8 2 2 2 b) α = 5N = 5 . 8 = 40° 21. Prof. Thiago Miranda o-mundo-dao-mundo-da-fisica.blogspot.com
  • 12. 25 Como o diretos dispões de três bailarinas ele precisa que associar os espelhos de modo que as três formem 15 imagens, ou seja, cada bailarina deverá formar 5 imagens. 5 = 360 – 1 α → 5 + 1 = 360 α → Prof. Thiago Miranda 6 = 360 α → 6α = 360 → α = 60° o-mundo-dao-mundo-da-fisica.blogspot.com