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TRIGONOMETRIA
Elementos do triângulo retângulo ABC

•Em relação ao ângulo reto (90 )
temos:
Hipotenusa: a
Catetos: b e c

•Em relação ao ângulo α temos:
Hipotenusa: a
Cateto oposto: c
Cateto adjacente: b
Razões trigonométricas
• No triângulo retângulo ABC, temos as definições
  de seno, cosseno e tangente:

             cateto _ oposto c
     sen                   
               hipotenusa      a
             cateto _ adjacente b
     cos                       
                 hipotenusa        a
             cateto _ oposto     c
     tg                      
           cateto _ adjacente b
Exemplos
• No triangulo ABC, temos:   • Em relação ao ângulo reto (90°):
                              Hipotenusa: 5
                              Catetos: 3 e 4

                             •   Em relação a α:
                                Hipotenusa: 5
                                Cateto oposto: 3
                                Cateto adjacente: 4

                             •   Em relação a β:
                                Hipotenusa: 5
                                Cateto oposto: 4
                                Cateto adjacente: 3
Razões trigonométricas
     Triangulo retângulo ABC: hipotenusa =5, catetos = 3 e 4

• Ângulo α          • Ângulo β

          3                 4
  sen            sen 
          4                 5
          4                 3
  cos            cos  
          5                 5
        3                 4
  tg             tg  
        4                 3
Relações entre as razões trigonométricas
• Seja o triangulo retângulo ABC:
                            a2  b2  c2
                                    c
                            sen 
                                    a
                                    b
                            cos  
                                    a
                                  c
                            tg 
                                  b




        sen   cos   1
              2             2
Razões trigonométricas
Alguns ângulos notáveis
Índice de subida

                           altura
• Índice de subida =
                        afastamento
Relações métricas na circunferência
Circunferência: é o lugar geométrico dos pontos que distam r de um
   ponto o dado, sendo r uma constante real positiva.

 Elementos de uma circunferência:
   O = centro
   r = medida do raio
   d = medida do diâmetro, d = 2r

  corda é um segmento que une dois pontos da circunferência;

   diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência;
Circunferência
Na circunferência
  abaixo temos:
• Diâmetro FG
• Raio OG  FG 2
• Cordas: BC e DE
• Centro O:
Relação entre duas cordas de uma circunferência

• Em toda circunferência, quando duas cordas se cruzam, o
  produto das medidas das duas partes de uma é igual ao
  produto das medidas das duas partes da outra:

 AP CP AC
         AP  BP  CP  DP
 DP BP DB
Segmentos secantes e tangentes a uma circunferência
•    Segmento secante: uma de suas            •   Segmento tangente: um ponto da
    extremidades é um ponto fora da região        extremidade está fora da região circular
    circular. Possui dois pontos comuns com       e o outro na circunferência (possui
    a circunferência.                             apenas um ponto comum com a
•   Exemplo: PD é secante a circunferência        circunferência.
Relação entre dois segmentos secantes a uma circunferência
Em toda circunferência, se traçarmos dois segmentos secantes a partir de um mesmo
   ponto, o produto da medida de um deles pela medida da sua parte externa é igual ao
   produto da medida do outro pela medida da sua parte externa.

     PA  PB  PC  PD
Relação entre um segmento secante e um segmento tangente a uma
                            circunferência
Em toda circunferência, se traçarmos a partir de um mesmo ponto um segmento
  tangente e um segmento secante, o quadrado da medida do segmento tangente
  é igual ao produto da medida do segmento secante pela medida da sua parte
  externa.
    PA PC AC
            PA  PA  PB  PC  ( PA) 2  PB  PC
    PB PA BA
                         PA PC AC
                                 PA  PA  PB  PC  ( PA) 2  PB  PC
                         PB PA BA
Comprimento e área da circunferência
• Comprimento da circunferência:
                                      C = 2πr
Onde r é o raio da circunferência e π tem o valor aproximado de 3,1415926536.
                                                Comprimento   Medida em
Comprimento de um arco:                                       graus
                               Circunferência        2πr          360°
Resolvemos usando              arco                   x            α
regra de três.
Área do círculo e setores circulares
• Área do círculo: A = πr2
Onde r é o raio da circunferência.
• Área do setor circular:
Resolvemos usando regra de três.

                                   Área   Ângulo central
     Circulo                        πr2             360°
     Setor                           A                x
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
• Área do retângulo : A = b x h

• Área do quadrado: A= l x l = l2

•   Área   do paralelogramo : A = b x h
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
                           bh
• Área do triângulo :   A
                            2


• Caso particular: 1) triangulo retângulo de
  hipotenusa e base a:         ah
                             A
                                  2
2) Triangulo eqüilátero:      l2 3
                           A
                                4
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Trigonometria

  • 1. TRIGONOMETRIA Elementos do triângulo retângulo ABC •Em relação ao ângulo reto (90 ) temos: Hipotenusa: a Catetos: b e c •Em relação ao ângulo α temos: Hipotenusa: a Cateto oposto: c Cateto adjacente: b
  • 2. Razões trigonométricas • No triângulo retângulo ABC, temos as definições de seno, cosseno e tangente: cateto _ oposto c sen   hipotenusa a cateto _ adjacente b cos    hipotenusa a cateto _ oposto c tg   cateto _ adjacente b
  • 3. Exemplos • No triangulo ABC, temos: • Em relação ao ângulo reto (90°):  Hipotenusa: 5  Catetos: 3 e 4 • Em relação a α:  Hipotenusa: 5  Cateto oposto: 3  Cateto adjacente: 4 • Em relação a β:  Hipotenusa: 5  Cateto oposto: 4  Cateto adjacente: 3
  • 4. Razões trigonométricas Triangulo retângulo ABC: hipotenusa =5, catetos = 3 e 4 • Ângulo α • Ângulo β 3 4 sen  sen  4 5 4 3 cos   cos   5 5 3 4 tg  tg   4 3
  • 5. Relações entre as razões trigonométricas • Seja o triangulo retângulo ABC: a2  b2  c2 c sen  a b cos   a c tg  b sen   cos   1 2 2
  • 7. Índice de subida altura • Índice de subida = afastamento
  • 8. Relações métricas na circunferência Circunferência: é o lugar geométrico dos pontos que distam r de um ponto o dado, sendo r uma constante real positiva. Elementos de uma circunferência: O = centro r = medida do raio d = medida do diâmetro, d = 2r corda é um segmento que une dois pontos da circunferência; diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência;
  • 9. Circunferência Na circunferência abaixo temos: • Diâmetro FG • Raio OG  FG 2 • Cordas: BC e DE • Centro O:
  • 10. Relação entre duas cordas de uma circunferência • Em toda circunferência, quando duas cordas se cruzam, o produto das medidas das duas partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes da outra: AP CP AC    AP  BP  CP  DP DP BP DB
  • 11. Segmentos secantes e tangentes a uma circunferência • Segmento secante: uma de suas • Segmento tangente: um ponto da extremidades é um ponto fora da região extremidade está fora da região circular circular. Possui dois pontos comuns com e o outro na circunferência (possui a circunferência. apenas um ponto comum com a • Exemplo: PD é secante a circunferência circunferência.
  • 12. Relação entre dois segmentos secantes a uma circunferência Em toda circunferência, se traçarmos dois segmentos secantes a partir de um mesmo ponto, o produto da medida de um deles pela medida da sua parte externa é igual ao produto da medida do outro pela medida da sua parte externa. PA  PB  PC  PD
  • 13. Relação entre um segmento secante e um segmento tangente a uma circunferência Em toda circunferência, se traçarmos a partir de um mesmo ponto um segmento tangente e um segmento secante, o quadrado da medida do segmento tangente é igual ao produto da medida do segmento secante pela medida da sua parte externa. PA PC AC    PA  PA  PB  PC  ( PA) 2  PB  PC PB PA BA PA PC AC    PA  PA  PB  PC  ( PA) 2  PB  PC PB PA BA
  • 14. Comprimento e área da circunferência • Comprimento da circunferência: C = 2πr Onde r é o raio da circunferência e π tem o valor aproximado de 3,1415926536. Comprimento Medida em Comprimento de um arco: graus Circunferência 2πr 360° Resolvemos usando arco x α regra de três.
  • 15. Área do círculo e setores circulares • Área do círculo: A = πr2 Onde r é o raio da circunferência. • Área do setor circular: Resolvemos usando regra de três. Área Ângulo central Circulo πr2 360° Setor A x
  • 16. ÁREA DE FIGURAS PLANAS • Área do retângulo : A = b x h • Área do quadrado: A= l x l = l2 • Área do paralelogramo : A = b x h
  • 17. ÁREA DE FIGURAS PLANAS bh • Área do triângulo : A 2 • Caso particular: 1) triangulo retângulo de hipotenusa e base a: ah A 2 2) Triangulo eqüilátero: l2 3 A 4