O documento descreve as definições básicas de triângulo retângulo, razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) e valores dessas razões para ângulos de 30°, 45° e 60°. Ele também apresenta exemplos resolvidos de problemas que aplicam essas definições e razões trigonométricas.

1. Hipotenusa:
Catetos:
e
Catetos e Hipotenusa
Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de
hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.
Observe a figura:
Razões trigonométricas: catetos e hipotenusas, senos e cossenos,
tangentes e Razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º

2. Hipotenusa: “a”
Catetos: “b” e “c”
Seno, Cosseno e Tangente
Considere um triângulo retângulo BAC:
Ângulos:
Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as
razões trigonométricas seno, cosseno e tangente.

3. Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse
ângulo e a medida da hipotenusa.
Assim:

4. Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente
a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
Assim:

5. Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e
a medida do cateto adjacente a esse ângulo.
Assim:

6. Exemplo:
Observações:
1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo
e o seu cosseno.
2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.
3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores
que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.

7. As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º
Considerando as figuras:
Verificaremos o seno, cosseno e tangente dos ângulos 30º, 45º e 60º.
Quadrado de lado l e diagonal Triângulo equilátero de lado l e altura

8. Seno, cosseno e tangente de 30º
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:

9. Seno, cosseno e tangente de 45º
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 45º, temos:

10. Seno, cosseno e tangente de 60º
Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos:

11. As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º
Resumindo:
x sen x cos x tg x
30º
45º
60º

12. Exercícios resolvidos:
01. (UEPA – PRISE) O mastro (CD) de um navio é preso verticalmente por
cabos de aço fixo na proa (A) e na popa (B), conforme mostra a figura a seguir.
Se o cabo BC mede 10 3 m então, a altura do mastro é:

13. Resolução:
Destacamos o triângulo BCD retângulo em D:
___
A razão trigonométrica a ser aplicada é o seno, pois o mastro (CD) é o cateto
__
oposto ao ângulo de 30º e o cabo (BC) é a hipotenusa.
Sen30º = , = e como sen30º = 1/2 ,
temos:
• Portanto a altura do mastro é (alternativa b).

14. 02. (UEPA – PRISE) Um botânico interessado em descobrir qual o comprimento
da copa de uma árvore fez as observações indicadas na figura abaixo a partir
de um ponto no solo. O comprimento (H), em metros, dessa copa é:

15. Resolução:
Observe o esquema:
Destacamos os dois triângulos retângulos a seguir:

16. Triângulo 1:
Observe que x representa a medida do tronco da árvore e para calcular este valor
aplicamos a tangente de 45º, pois x é o cateto oposto e 10 m é a medida do cateto
adjacente.

17. Triângulo 2:
Observe que y representa a altura da árvore e para calcular este valor aplicamos a
tangente de 60O, pois y é o cateto oposto e a medida 10 m é o cateto adjacente.
Substituindo x e y na relação H + x = y , temos:
Portanto o comprimento da copa da árvore é