1. TRIGONOMETRIA
1. Trigonometria no triângulo retângulo
Um triângulo é chamado retângulo quando apresenta um de seus ângulos internos
igual à 90º. O lado que está oposto ao ângulo reto é o maior lado e é chamado de
hipotenusa, enquanto os outros dois são chamados de catetos.
Para um triângulo retângulo podemos afirma sempre que:
• α +β = 90º (Ângulos Complementares)
• a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras)
1.1 Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Seno
O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.
஼௔௧௘௧௢ ௢௣௢௦௧௢ ௔ ఈ ௕
Sen α = =
ு௜௣௢௧௘௡௨௦௔ ௔
஼௔௧௘௧௢ ௢௣௢௦௧௢ ௔ ఉ ௖
Sen β = =
ு௜௣௢௧௘௡௨௦௔ ௔

2. Cosseno
O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a
hipotenusa
஼௔௧௘௧௢ ௔ௗ௝௔௖௘௡௧௘ ௔ ఈ ௖
Cos α = =
ு௜௣௢௧௘௡௨௦௔ ௔
஼௔௧௘௧௢ ௔ௗ௝௔௖௘௡௧௘ ௔ ఉ ௕
Cos β = =
ு௜௣௢௧௘௡௨௦௔ ௔
Tangente
A tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto
adjacente ao ângulo.
஼௔௧௘௧௢ ௢௣௢௦௧௢ ௔ ఈ ௕
Tg α = =
஼௔௧௘௧௢ ௔ௗ௝௔௖௘௡௧௘ ௔ ఈ ௖
஼௔௧௘௧௢ ௢௣௢௦௧௢ ௔ ఉ ௖
Cos β = =
஼௔௧௘௧௢ ௔ௗ௝௔௖௘௡௧௘ ௔ ఉ ௕
Exemplo 1: No triângulo retângulo ABC, conforme a figura abaixo, tem-se:
଺ ଼
Sen α = = 0,6 Cos α = = 0,8
ଵ଴ ଵ଴
଼ ଺
Sen β = = 0,8 Cos β = = 0,6
ଵ଴ ଵ଴
଺ ଼
Tg α = = 0,75 Tg β = = 1,333...
଼ ଺

3. Exemplo 2: No triângulo retângulo ABC, como mostra a figura. Obtenha
os valores de seno, cosseno e tangente do ângulo BÂC .
Resolução: Para calcular o valor do seno e do cosseno
precisamos do valor da hipotenusa. Utilizaremos o Teorema
de Pitágoras para calcular o valor da hipotenusa. Assim:
a2 = 52 +72 = 74; logo a = √74
଻ ଻ √଻ସ ଻√଻ସ
Sen Ǻ = = . =
√଻ସ √଻ସ √଻ସ ଻ସ
ହ ହ √଻ସ ହ√଻ସ
Cos Ǻ = = . =
√଻ସ √଻ସ √଻ସ ଻ସ
଻
Tg Ǻ = = 1,4
ହ
Observação: O seno, cosseno e a tangente são razões entre grandezas da
mesma espécie e por isso são números puros, não vêm acompanhados de
unidades. No cálculo desses números, as medidas dos lados do triângulo
precisam estar na mesma unidade.
Valores Notáveis
Tabela dos valores trigonométricos de ângulos notáveis.

4. Exemplo 3: Queremos encostar uma escada de 8 m de comprimento em
uma parede, de modo que ela forme um ângulo de 60º com o solo. A que
distância da parede devemos apoiar a escada no solo?
Podemos perceber um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 8 cm,
um ângulo de 60º e o lado x que queremos calcular. Como o lado x
representa o cateto adjacente ao ângulo de 60º, então:
Cos 600 = x/8 ; ½ = x/8, Logo x = 4m
Exemplo 4: Um agrimensor quer determinar a largura de um rio. Como
não pode efetuar diretamente essa medida, ele procede da seguinte
forma:
• Do ponto A, situado numa das margens do rio, ele avista o topo D,
de um morro na margem oposta, sob um ângulo de 60º com a
horizontal;
• Afastando-se 12 m, em linha reta, até o ponto B, ele observa
novamente o topo do morro segundo um ângulo de 53º com a
horizontal.
Com esses dados, que medida, em metros, ele achou para a largura do
rio? (dados: tg 530 = 1,33 e 31/2 = 1,7)

5. x – largura do rio
y – altura do morro
Para resolver este problema, utilizaremos dois triângulos, o ∆ACD e o
∆BCD:

6. Exemplo 5: Calcular o valor de x indicado na figura abaixo.

7. 2. Ciclo Trigonométrico
Arcos e Ângulos
Arco de uma circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência
fica dividida por dois de seus pontos.
Ângulo Central
Para cada arco existe sempre um ângulo central correspondente. A medida de
um arco de circunferência é a medida do ângulo central correspondente.
med(AB) = α
Unidades de Medidas
Para medir arcos e ângulos utilizamos o grau e o radiano.
Grau (º)
Dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada parte é um arco de um
grau (1º). Isto significa que a circunferência possui 360º.

8. Os submúltiplos do grau são o minuto (‘) e o segundo (‘’).
Um minuto é igual a 1/60 do grau.
Um segundo é igual a 1/60 do minuto.
Radiano (rad)
É o arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que o
contém.
α = 1rad
Admitindo o raio da circunferência como uma unidade, ou seja, raio unitário
(R=1rad) e partindo que o comprimento de uma circunferência é obtido fazendo
C = 2πR , temos:
C = 2π R
C =2π . 1rad
C =2π rad
Assim, a medida toda da circunferência, em radianos, é 2π rad.

9. Comparando as medidas em graus e em radianos, obtemos:
Exemplo 6. Converter 360 em radianos.
Exemplo 7. Converter 5π/2 rad em graus.
Exemplo 8: Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio que
marca 13 horas e 24 minutos.
Resolução: Primeiro, precisamos estabelecer uma
relação entre tempo e ângulo. Assim, se pensarmos que
o ponteiro dos minutos leva 60 minutos para percorrer
toda a circunferência e que a circunferência é dividida
em 360º, então o ponteiro dos minutos move-se 6º em
cada minuto.
1 min ---------- 6º.
Da mesma forma estabelecemos a relação para o
ponteiro das horas.
1 hora ---------- 30º
60 min ---------- 30º
Ponteiro dos minutos: 1min - 60
24min – x0 portanto, x = 1440

10. Ponteiro das horas: 60 min - 300
24 min - y0 , portanto y = 120
Como o ponteiro das horas partiu do ponto 1, referente a 300, somando-se
temos:
Z = 30 + 12 = 420
Assim, o menor ângulo entre os
ponteiros é dado por:
α = 144 – 42 = 1020
Comprimento de um Arco
Para determinar o comprimento de um arco, podemos estabelecer uma regra
de três.
Comprimento Ângulo (0) Ângulo (rad)
2πR 360 2π
x α β
Exemplo 9: Numa circunferência de raio 6 cm qual é o comprimento de
um arco de 72º?
Resolução:
2π.6 cm - 3600
x - 720
x = 12 π/5, x = 7,54 cm
Exemplo 10: As rodas de uma bicicleta têm 60 cm de diâmetro.
a) Qual o comprimento da circunferência dessa roda?
b) Quantas voltas dará cada roda num percurso de 100 m?

11. Resolução: A medida do raio é igual à metade do diâmetro, assim:
a) o comprimento é dado por:
C = 2 π. R = 2 . 3,1416 . 30 = 188,4 cm ou 1,884 m
b) o número de voltas é determinado pela razão entre o percurso e o
comprimento de cada roda, então:
ଵ଴଴ ௠
n = ଵ,଼଼ସ ௠ ≅ 53 ‫ݏܽݐ݈݋ݒ‬
Exemplo 11: Numa circunferência de 32 cm de diâmetro, marca-se um
arco de 8 cm de comprimento. Qual a medida desse arco em radianos?
Ciclo Trigonométrico
O ciclo trigonométrico (ou circunferência trigonométrica) é determinado por
uma circunferência de raio unitário (R=1) fixada em um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais, com centro na origem do sistema
cartesiano.
No ciclo trigonométrico podemos observar as seguintes propriedades:
• Centro na origem dos eixos cartesianos;
• Raio unitário;
• Origem dos arcos no ponto A(1,0) que corresponde ao ângulo de 0º;

12. • Sentido anti-horário positivo (+) e horário negativo (-), a partir do ponto
A;
• Divide-se em quatro quadrantes
Observação: Como a circunferência trigonométrica tem raio unitário (R=1). A
medida de qualquer arco, em radianos é numericamente igual ao comprimento
desse arco. Portanto, percorrer um arco de x rad no ciclo trigonométrico é fazer
um percurso de comprimento x. Assim, ao invés de escrevermos 5π/12 rad,
escrevemos, apenas 5π/12 e chamamos de imagem de x no ciclo.
Exemplo 12: Marcar no ciclo a imagem do número x em cada caso.
π
a) x =
ଶ
ଶπ
b) x =
ଷ

13. c) x = 1
π
d) x = − ଷ
Exemplo 13: Divida o ciclo em 6 partes iguais, a partir da origem, e
indique o número x, 0 ≤ x ≤ 2p , associado a cada ponto divisor.
Resolução: Como a circunferência tem comprimento igual a 2π, então cada
parte equivale a 1/6 de 2π. Assim, cada parte tem comprimento igual a π/3.
Arcos Côngruos
Vamos representar os arcos de extremidades em 30º, 390º, 750º e 1110º no
mesmo ciclo trigonométrico. Percebemos que as extremidades destes arcos
encontram-se na mesma posição, porém em voltas diferentes. Os arcos que
têm a mesma extremidade e diferem apenas pelo número de voltas inteiras são
chamados de arcos côngruos.

14. 300 300 + 00 300 + 00 . 3600
3900 300 + 3600 300 + 1 . 3600
7500 300 + 7900 300 + 2 . 3600
11100 300 + 10800 300 + 3 . 3600
x ................... α + k . 3600
Assim, podemos representar todos os arcos côngruos à 30º pela expressão:
x = 30º + 360º. k, k ∈ Z (Z = números inteiros)
De maneira geral:
• Se o arco estiver em graus:
x =α + 360º k, k ∈ Z
• Se o arco estiver em radianos:
x =α + 2kπ , k ∈ Z
Observação: Chama-se primeira determinação positiva de um arco se o
mesmo encontrar- se no intervalo de 0º a 360º, ou, 0 a 2p.
Exemplo 14: Um móvel, partindo do ponto A, percorreu um arco de 2396º
no ciclo trigonométrico. Quantas voltas completas foram dadas e em que
quadrante parou?

15. Foram completadas 6 voltas;como o arco de 2396º é côngruo ao arco de 236º
na primeira determinação, podemos verificar que sua extremidade encontra-se
no 3º quadrante
Exemplo 15: Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão
geral dos arcos côngruos ao arco de 1845º.
Resolução: Fazendo,
Tem-se que:
• A primeira determinação positivaé 45º;
• A expressão geral é dada por:
x = 45º+360º k, k ∈ Z
3. Funções Circulares
As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular
e são importantes devido à sua periodicidade, pois elas podem representar
fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o
comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis
de água dos oceanos, etc.
3.1. Função Seno
Denominamos função seno à função que a cada número real x faz
corresponder o número y = sen x.

16. O seno de um arco x é obtido fazendo a projeção da extremidade do arco no
eixo vertical, denominado eixo dos senos.
Domínio e Imagem
O domínio da função seno é o conjunto de todos os números reais, R.
Podemos perceber através do ciclo trigonométrico que o menor valor possível
para o seno é – 1 e o maior valor possível é 1. Assim, podemos dizer que o
conjunto imagem da função seno é o intervalo de – 1 a 1. Vejamos:
D=R
Im = {-1,1}
Estudo do Sinal

17. Valores Notáveis
Gráfico
A função seno é uma função periódica de período p = 2π. O período é o
comprimento do intervalo no qual a função passa por um ciclo completo de
variação.
Dada a função y = sen(mx), o período da função seno pode ser determinado
fazendo:
2ߨ
‫=݌‬
|݉|

18. 3.2. Função Cosseno
Denominamos função cosseno à função que a cada número real x faz
corresponder o número y = cos x.
Interpretação Geométrica
O cosseno de um arco x é obtido fazendo a projeção da extremidade do arco
no eixo horizontal, denominado eixo dos cossenos.
Domínio e Imagem
O domínio da função cosseno é o conjunto de todos os números reais, R.
Podemos perceber através do ciclo trigonométrico que o menor valor possível
para o cosseno é – 1 e o maior valor possível é 1. Assim, podemos dizer que o
conjunto imagem da função cosseno é o intervalo de – 1 a 1.
Vejamos:
D=R
Im = {-1,1}

19. Estudo do Sinal
Valores Notáveis
Gráfico
A função cosseno também é
uma função periódica de
período p = 2π.
Dada a função y = cos(mx), o período
da função cosseno pode ser determinado
fazendo:
2ߨ
‫=݌‬
|݉|

20. Relação Fundamental I
Esta relação é válida para qualquer que seja x ∈ R.
‫݊݁ݏ‬ଶ ‫ ݏ݋ܿ + ݔ‬ଶ ‫1 = ݔ‬
Exemplo 16: Determine o valor de sen x , sabendo-se que cos x = ½ e
3π/2 < x < 2π
Exemplo 17: Calcule o valor da expressão
࢙ࢋ࢔૚૛૙૙ − ࢉ࢕࢙૚૞૙૙
࢟=
ࢉ࢕࢙૛૝૙૙ + ࢙ࢋ࢔૞ૠ૙૙
Resolução: Calculando separadamente cada valor temos:
√ଷ
sen 1200 = sen 600 = ଶ
√ଷ
cos 1500 = -cos 300 =−
ଶ
sen 5700 = sen 2100 = -sen 300 = -1/2
Resultado: −√3
Exemplo 18: determine a expressão
࢞
࢙ࢋ࢔ − ࢉ࢕࢙૛࢞ ࣊
૛
࡭= ࢞ ; ࢙ࢇ࢈ࢋ࢔ࢊ࢕ − ࢙ࢋ ࢛ࢗࢋ ࢞ =
ࢉ࢕࢙ ૜ − ࢙ࢋ࢔૝࢞ ૛
3.3. Função tangente
Denominamos função tangente à função que a cada número real x faz
corresponder o número y = tg x.
Interpretação Geométrica

21. A tangente de um arco x é obtida fazendo
o prolongamento do raio da extremidade
do arco no eixo vertical paralelo ao eixo
dos senos que tangencia o ciclo
trigonométrico no ponto x = 0, denominado
eixo das tangentes.
Domínio e Imagem
Nos pontos 90º e 270º, as retas geradas
pelo prolongamento dos raios geram uma
reta paralela ao eixo das tangentes, assim,
não existirá tangente para os valores de 90º,
270º e todos os arcos côngruos a estes.
D = {x ∈ R, x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}
Im = R
Estudo do Sinal
Valores Notáveis

22. Gráfico
A função tangente também é uma
função periódica de período p = π.
Dada a função y = tg (mx), o período
da função tangente pode ser
determinado fazendo:
ߨ
‫=݌‬
|݉|
Relação Fundamental II
Esta relação é válida para qualquer que seja x ∈R / x ≠ 90º + kπ, k ∈ Z.
‫ܠܖ܍ܛ‬
‫= ܠ܏ܜ‬
‫ܠܛܗ܋‬
Exemplo 19: Determine o valor da expressão

23. ૜ૈ
‫ ܛܗ܋‬ૠૡ૙૙ + ‫܏ܜ‬
૝
۳= ૝ૈ
૜. ‫ૢ ܏ܜ‬૜૙૙ . ‫ܖ܍ܛ‬
૜
Resolução: Calculando os valores para cada termo, temos:
cos780º = cos60º = 1/2
tg 3π/4 = - tg π/4 = -1
√ଷ
tg 930º = tg 210º = tg 30º = ଷ
√ଷ
Sen 4 π/3 = - sen π/3 = -
ଶ
Assim,
૚
+ (−૚) ૚
૛
۳= =
૜.
√૜
. (−
√૜
) ૜
૜ ૛
Exemplo 20: Dado o valor de sen x = - 3/5 , com π< x < 3π/2, determine o
valor da tg x .
Exemplo 21: Dado que sen x + cos x = a , calcule o valor de y = sen x ×
cos x em função de a.

24. 3.4. Função Cossecante
Denominamos função cossecante à função que a cada número real x faz
corresponder o número y = cossec x.
Interpretação Geométrica
A cossecante de um arco x é obtida
através da distância da origem do
eixo vertical até a intersecção da
reta que tangencia o ponto que
representa a extremidade do arco x.
Assim, o eixo vertical passa a ser
chamado, também, de eixo das
cossecantes.
Domínio e Imagem
O domínio da função cossecante pode ser observado no gráfico a seguir:
Nos pontos 0º e 180º, as retas tangentes aos arcos são paralelas ao eixo das
cossecantes, assim, não existirá intersecção, logo não será possível calcular a
cossecante para os valores de 0º, 180º e todos os arcos côngruos a estes.
D = {x∈R ; x ≠ kπ , k ∈Z}
A imagem da cossecante serão todos os valores fora do ciclo trigonométrico,
ou seja, maiores ou igual a 1 e menores ou igual a – 1, assim:
Im = R - ]-1;1[

25. Estudo do Sinal
Gráfico
A função cossecante também é uma função periódica de período p = 2π.
Dada a função y = cossec(mx), o período da função cossecante pode ser
determinado fazendo:
2ߨ
‫=݌‬
|݉|

26. 3.5. Função Secante
Denominamos função secante à função que a cada número real x faz
corresponder o número y = sec x.
Interpretação geométrica
A secante de um arco x é obtida através da
distância da origem do eixo horizontal até a
intersecção da reta que tangencia o ponto que
representa a extremidade do arco x. Assim, o
eixo vertical passa a ser chamado, também, de
eixo das secantes.
Domínio e Imagem
O domínio da função secante pode ser observado no gráfico a seguir: Nos
pontos 90º e 270º, as retas tangentes aos arcos são paralelas ao eixo das
secantes, assim, não existirá intersecção, logo não será possível calcular a
secante para os valores de 90º, 270º e todos os arcos côngruos a estes.
{D = x∈R ; x ≠ π/2 + kπ , k ∈ Z}
A imagem da secante serão todos os valores fora do ciclo trigonométrico, ou
seja, maiores ou igual a 1 e menores ou igual a -1, assim:
Im = R - ]-1;1[

27. Estudo do Sinal
Gráfico
Período
2ߨ
‫=݌‬
|݉|
3.6. Função Cotangente
Denominamos função cotangente à função que a cada número real x faz
corresponder o número y = cotg x.

28. Interpretação Geométrica
A cotangente de um arco x é obtida
fazendo o prolongamento do raio da
extremidade do arco no eixo horizontal
paralelo ao eixo dos cossenos que
tangencia o ciclo trigonométrico no ponto
x = π/2, denominado eixo das
cotangentes.
Domínio e Imagem
Nos pontos 0º e 180º, as retas geradas pelo prolongamento dos raios geram
uma reta paralela ao eixo das cotangentes, assim, não existirá cotangente para
os valores de 0º, 180º e todos os arcos côngruos a estes.
D = {x∈R / x ≠ kπ , k ∈ Z}
A imagem da cotangente serão todos os valores, incluindo dentro do ciclo
trigonométrico, ou seja, todos os números reais, assim:
Im = R

29. Estudo do sinal
Gráfico
Período
ߨ
‫=݌‬
|݉|
3.7. Relações entre as Funções Circulares
૚
ࢉ࢕࢙࢞. ࢙ࢋࢉ࢞ =
࢙ࢋ࢔࢞
૚
࢙ࢋࢉ࢞ =
ࢉ࢕࢙࢞
૚ ࢉ࢕࢙࢞
ࢉ࢕࢚ࢍ࢞ = =
࢚ࢍ࢞ ࢙ࢋ࢔࢞
࢚ࢍ૛ ࢞ + ૚ = ࢙ࢋࢉ૛ ࢞
ࢉ࢕࢚ࢍ૛ ࢞ + ૚ = ࢉ࢕࢙࢙ࢋࢉ૛ ࢞

30. Exemplo 22: Calcule, se existir, o valor numérico para:
a) cossec π/6 b) sec 5 π/6 c) cotg 480 º d) cossec (-π/4)
Resolução:
a) Cossec π/6 = 1/sen π/6 =1/ 0,5 = 2
b) Sec 5 π/6 = 1/ cos 5 π/6 = 1/ - cos π/6 = -2/√૜
√૜
c) cotg 480 º = 1/tg 480 º = 1/ tg 120 º = 1/-tg60o = 1/-√3 = - ૜
√ଶ
d) cossec (-π/4) = 1/sen(-π/4) = 1/ -sen (π/4) = 1/ - = - √૛
ଶ
Exemplo 23: Construa o gráfico das funções:
a) y = 2sen x b) f(x) = sen 2x c) y = cos x+1 d) f(x) = cos x/2
Resolução: Para construir o gráfico de cada função, primeiro, vamos
determinar o período e a imagem, e em seguida construir uma tabela para
determinados valores. Vejamos:
a) y = 2sen x
Período:
2ߨ 2ߨ
‫=݌‬ = = 2ߨ
|݉| |1|
Imagem: Im = [- 2;2]
X y = 2sen x y
0 Y = 2 sen 0 = 0 0
π/2 2sen π/2 = 2.1 2
π 2sen π = 2.0 0
3π/2 2sen 3π/2 = 2.(-1) -2
2π 2sen 2π=2.0 0

31. b) f (x) = sen 2x
2ߨ 2ߨ
‫=݌‬ = =ߨ
|݉| |2|
Imagem: Im = [-1;1]
x f(x) = sen 2x f(x)
0 sen 2.0 = 0 0
π/4 sen 2.π/4 = sen π/2=1 1
π/2 sen 2π/2 = sen π = 0
3π/4 sen 2.3π/4 = sen3π/2 -1
π sen 2π=0 0

32. c) f(x) = cos x +1
2ߨ 2ߨ
‫=݌‬ = = 2ߨ
|݉| |1|
Imagem: Im = [0;2]
x f(x) = cosx+1 f(x)
0 cos0+1 = 1+1 = 2 2
π/2 cosπ/2+1 = 0+1=1 1
π cosπ+1= -1+1 = 0 0
3π/2 cos3π/2+1 = 0+1 1
2π cos2π= 1+1 2
d) y = cos x/2
2ߨ 2ߨ
‫=݌‬ = = 4ߨ
|݉| |1/2|
Imagem: Im = [-1;1]

33. x y = cos x/2 y
0 cos0/2 = cos0 = 1 1
π cos π/2 = 0 0
2π cos2π/2 =cos π=-1 -1
3π cos3π/2 = 0 0
4π Cos4π/2=cos2π=1 1
4. Equações Trigonométricas
Uma equação trigonométrica é uma equação que envolve as funções
trigonométricas.
4.1. Equação do tipo sen x = sen a.
Dado um número real z vamos determinar os valores de x que satisfazem à
equação sen x = sen a . Observando que a condição para que exista solução é
-1 ≤ z ≤ 1. Vejamos:
√૛
Exemplo 24: Determine o conjunto solução da equação sen x = , U = R.
૛
√2
‫= ݔ݊݁ݏ‬
2

34. ߨ 3ߨ
‫= ݔ݊݁ݏ‬ ݁ ‫= ݔ݊݁ݏ‬
4 4
ߨ 3ߨ
‫=ݔ‬ + 2݇ߨ ݁ ‫= ݔ‬ + 2݇ߨ
4 4
Como o domínio da função são todos os
números reais, devemos considerar todos os
arcos côngruos a π/4 e 3π/4. Assim:
S = { x ∈ R; x = π/4 + 2k π ou x = 3π/4+ 2k π , k ∈ Z}