O documento apresenta conceitos fundamentais sobre teoria de funções, incluindo:
1) A definição formal de função como uma relação entre dois conjuntos onde cada elemento do primeiro conjunto está associado a exatamente um elemento do segundo conjunto.
2) Os tipos de funções injetora, sobrejetora e bijetora.
3) Exemplos de funções reais e exercícios resolvidos sobre conceitos de função.
O documento apresenta um plano de aulas sobre introdução à trigonometria. Ele define conceitos como escala, período, amplitude, imagem e domínio de funções trigonométricas. O plano inclui exemplos de funções, atividades para determinar seus valores e representações gráficas.
Produto cartesiano e função 1º ano do ensino medioSimone Smaniotto
O documento apresenta conceitos fundamentais de matemática como:
1) Par ordenado, plano cartesiano e quadrantes;
2) Produto cartesiano de conjuntos;
3) Funções, domínio, conjunto imagem, injetividade, sobrejetividade e bijetividade.
Este documento apresenta uma introdução às funções. Discute a definição formal de função, exemplos de funções, como representar funções, tipos de funções, propriedades como simetria, monoticidade e interceptos, e operações com funções como combinações, composições e inversão.
1. O documento define conceitos básicos de funções, incluindo domínio, contradomínio e imagem. Apresenta exemplos de funções e propriedades como injeção, sobrejeção e bijeção.
2. Aborda o gráfico de funções, operações entre funções e composição. Discute periodicidade, monotonicidade, inversão e paridade de funções.
3. Por fim, apresenta funções elementares como constante, algébrica, racional e trigonométrica.
Este documento apresenta uma lista de revisão de Matemática com exercícios de nível básico, intermediário e avançado sobre funções e trigonometria. Os exercícios abordam tópicos como funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras; gráficos de funções; equações do 1o e 2o grau; trigonometria; e números complexos. O documento fornece instruções sobre a realização e entrega da lista de exercícios.
1) O documento descreve conceitos de funções algébricas, incluindo zeros no denominador, retas assintotas verticais e inclinadas, e comportamento do gráfico quando x tende a valores extremos.
2) Dois exemplos são resolvidos graficamente para ilustrar esses conceitos, incluindo detectar retas assintotas e analisar variação, concavidades e comportamento no infinito.
3) O documento introduz o conceito de retas assintotas inclinadas, discutindo como determinar seus coeficientes
O documento apresenta uma introdução ao estudo de funções matemáticas. Aborda conceitos como domínio, imagem e contradomínio de funções, representações gráficas e algébricas de funções, funções exponenciais e logarítmicas, funções compostas e inversas. O texto destaca a importância histórica de matemáticos como Euler e Leibniz no desenvolvimento da teoria de funções.
1) O documento discute funções e suas aplicações em matemática, apresentando conceitos como domínio, contradomínio, imagem, gráficos de funções, representações de funções e exemplos de funções como linear, polinomial, exponencial.
2) São apresentados tipos de conjuntos numéricos e operações entre conjuntos. Introduz também o sistema cartesiano e o conceito de par ordenado.
3) Exemplos e exercícios ilustram conceitos como funções definidas por partes, função módulo, simetrias, fun
O documento apresenta um plano de aulas sobre introdução à trigonometria. Ele define conceitos como escala, período, amplitude, imagem e domínio de funções trigonométricas. O plano inclui exemplos de funções, atividades para determinar seus valores e representações gráficas.
Produto cartesiano e função 1º ano do ensino medioSimone Smaniotto
O documento apresenta conceitos fundamentais de matemática como:
1) Par ordenado, plano cartesiano e quadrantes;
2) Produto cartesiano de conjuntos;
3) Funções, domínio, conjunto imagem, injetividade, sobrejetividade e bijetividade.
Este documento apresenta uma introdução às funções. Discute a definição formal de função, exemplos de funções, como representar funções, tipos de funções, propriedades como simetria, monoticidade e interceptos, e operações com funções como combinações, composições e inversão.
1. O documento define conceitos básicos de funções, incluindo domínio, contradomínio e imagem. Apresenta exemplos de funções e propriedades como injeção, sobrejeção e bijeção.
2. Aborda o gráfico de funções, operações entre funções e composição. Discute periodicidade, monotonicidade, inversão e paridade de funções.
3. Por fim, apresenta funções elementares como constante, algébrica, racional e trigonométrica.
Este documento apresenta uma lista de revisão de Matemática com exercícios de nível básico, intermediário e avançado sobre funções e trigonometria. Os exercícios abordam tópicos como funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras; gráficos de funções; equações do 1o e 2o grau; trigonometria; e números complexos. O documento fornece instruções sobre a realização e entrega da lista de exercícios.
1) O documento descreve conceitos de funções algébricas, incluindo zeros no denominador, retas assintotas verticais e inclinadas, e comportamento do gráfico quando x tende a valores extremos.
2) Dois exemplos são resolvidos graficamente para ilustrar esses conceitos, incluindo detectar retas assintotas e analisar variação, concavidades e comportamento no infinito.
3) O documento introduz o conceito de retas assintotas inclinadas, discutindo como determinar seus coeficientes
O documento apresenta uma introdução ao estudo de funções matemáticas. Aborda conceitos como domínio, imagem e contradomínio de funções, representações gráficas e algébricas de funções, funções exponenciais e logarítmicas, funções compostas e inversas. O texto destaca a importância histórica de matemáticos como Euler e Leibniz no desenvolvimento da teoria de funções.
1) O documento discute funções e suas aplicações em matemática, apresentando conceitos como domínio, contradomínio, imagem, gráficos de funções, representações de funções e exemplos de funções como linear, polinomial, exponencial.
2) São apresentados tipos de conjuntos numéricos e operações entre conjuntos. Introduz também o sistema cartesiano e o conceito de par ordenado.
3) Exemplos e exercícios ilustram conceitos como funções definidas por partes, função módulo, simetrias, fun
1. O documento apresenta conceitos fundamentais sobre relações e funções, incluindo produto cartesiano, relação, função, domínio, imagem e contra-domínio.
2. São descritas as principais funções como constante, do primeiro grau, do segundo grau e modular, com exemplos de seus gráficos.
3. Também são apresentados esquemas para estudar o sinal de funções do primeiro e segundo grau.
O documento discute como a segunda derivada afeta a concavidade de uma função. Ele explica que quando a segunda derivada é positiva, a função tem concavidade para cima, com o gráfico acima das tangentes. Quando a segunda derivada é negativa, a função tem concavidade para baixo, com o gráfico abaixo das tangentes. O documento ilustra isso geometricamente e analisa como isso ocorre para uma função com concavidade para cima.
Funcoes injetoras sobrejetoras e bijetorasJhone Cley
Este documento descreve três tipos de funções: injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Uma função injetora mapeia cada elemento do domínio para um único elemento do contradomínio. Uma função sobrejetora mapeia o domínio para todo o contradomínio. Uma função bijetora é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
1) A aula apresenta como derivadas podem ser usadas como ferramentas auxiliares no esboço de gráficos de funções, fornecendo informações qualitativas sobre o comportamento da função.
2) É definido o que significa uma função ser crescente ou decrescente em um intervalo e apresentado o Teorema 6.1, que relaciona o sinal da derivada ao comportamento da função.
3) São definidos pontos de máximo e mínimo locais de uma função e apresentado o Teorema 6.2, que relaciona o sinal
1) O documento discute o conceito de função matemática, como relações entre conjuntos de variáveis.
2) Apresenta exemplos de funções do mundo real e sua representação gráfica.
3) Explica os conceitos de domínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de integração indefinida e definida. Na seção sobre integração indefinida, é introduzida a noção de primitiva de uma função e mostrado que duas primitivas diferem apenas por uma constante. A seção sobre integração definida define a integral como o limite da soma de Riemann e mostra que para funções contínuas, a integral coincide com o cálculo de área. Finalmente, são apresentados teoremas como a linearidade e monotonicidade da integral definida.
O documento descreve estratégias para determinar os valores máximo e mínimo de uma função contínua em um intervalo, sem recorrer ao gráfico da função. Explica que os pontos de máximo e mínimo são pontos críticos ou extremidades do intervalo, e que as derivadas nesses pontos são iguais a zero de acordo com o Teorema de Weierstrass. Apresenta um exemplo para ilustrar o procedimento.
Este documento apresenta vários métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, como o método da bissecção, da posição falsa, do ponto fixo, de Newton-Raphson e da secante. Explica como cada método usa uma abordagem iterativa para refinar aproximações iniciais de uma raiz até atingir a precisão desejada, fornecendo algoritmos e exemplos passo a passo.
O documento define funções matemáticas, explicando seus conceitos fundamentais como domínio, contradomínio e imagem. Também aborda tipos de funções como injetora, sobrejetora e bijetora, além de funções compostas e inversas. Por fim, fornece exemplos de funções reais e atividades sobre o tema.
1) O conceito de função evoluiu ao longo da história, com definições formais surgindo nos séculos XVI-XVII e XVIII.
2) Funções representam relações matemáticas entre variáveis, com aplicações em diversas áreas como física e astronomia.
3) A definição moderna de função surgiu com Euler no século XVIII, estabelecendo que uma função mapeia cada elemento de um conjunto de entrada para exatamente um elemento de saída.
Cálculo II - Aula 7: Teorema Fundamental do Cálculowillianv
O documento apresenta o Teorema Fundamental do Cálculo em duas partes. A primeira parte afirma que, se f for contínua em [a,b], então a função g definida pela integral de f é contínua e derivável em [a,b] com g(x) = f(x). A segunda parte afirma que, se f for contínua em [a,b], então a integral de f entre os limites a e b é igual a F(b) - F(a), onde F é qualquer primitiva de f.
Algebra - Livro texto II (UNIP/Matemática) 2018Antonio Marcos
O documento discute operações matemáticas, definindo-as como aplicações entre conjuntos e apresentando propriedades como associatividade, comutatividade e distribuição. Exemplos ilustram operações como adição, subtração e multiplicação em conjuntos numéricos e matrizes.
Algebra - Livro texto III (UNIP/Matemática) 2018Antonio Marcos
O documento descreve as propriedades fundamentais de grupos, subgrupos, semigrupos e monoides. Em três frases:
1) Um grupo é um conjunto com uma operação binária que satisfaz propriedades de fechamento, elemento neutro e inverso. 2) Um subgrupo de um grupo compartilha a mesma operação e também satisfaz as propriedades de grupo. 3) Um semigrupo tem apenas propriedade de fechamento e associatividade sob uma operação, enquanto um monoide adiciona a propriedade de elemento neutro.
Algebra - Livro texto IV (UNIP/Matemática) 2018Antonio Marcos
O documento discute anéis e corpos, incluindo:
1) Anéis de números inteiros e anéis de polinômios, com exemplos de congruência módulo m em Z e definição de Zm.
2) Corpos racionais, reais e complexos, explicando porque cada um é considerado um corpo.
3) Breve menção a homomorfismos e grupos finitos e infinitos.
1. O documento apresenta exercícios sobre o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio.
2. Os exercícios 1-6 verificam se o Teorema de Rolle pode ser aplicado em funções dadas em intervalos específicos.
3. O exercício 7 aplica o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio para calcular a velocidade média e instantânea de uma bola lançada.
Fundamentos da Teoria da Computação Segunda Lista de Exercícios - Aula sobre ...Sérgio Dias
Este documento apresenta resumos de exercícios sobre autômatos finitos e teoria da computação. Os exercícios envolvem a construção de AFNs e AFDs para linguagens regulares, prova de que determinados conjuntos não são linguagens regulares usando propriedades formais, e discussão sobre fecho e regularidade de operações em linguagens.
Este documento apresenta os principais tópicos de Matemática I divididos em duas partes. A primeira parte contém os seguintes tópicos: Função Exponencial, Logaritmo, Polinômios, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Matriz, Determinante e Sistemas Lineares. A segunda parte aborda Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Geometria Espacial, especificamente Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera.
Produto cartesiano e função 1º ano do ensino medioSimone Smaniotto
O documento apresenta conceitos fundamentais de matemática como:
1) Par ordenado, plano cartesiano e quadrantes;
2) Produto cartesiano de conjuntos;
3) Funções, domínio, conjunto imagem, injetividade, sobrejetividade e bijetividade.
O documento apresenta um resumo sobre funções matemáticas. Aborda conceitos como função, representações de funções, domínio, imagem, contradomínio, funções exponenciais e logarítmicas. Destaca matemáticos que contribuíram para o estudo de funções, como Euler e Leibniz.
004 - RELAÇÃO ENTRE FUNÇÕES - FUNÇÕES INVERSA - BIJETORA - INJETORA E COMPOST...MilkaCorra1
1. O documento discute funções inversas, explicando como determinar a função inversa de uma dada função f e as condições necessárias para que uma função admita inversa.
2. É explicado que para uma função admitir inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Isso significa que seu conjunto imagem deve ser igual ao contradomínio e cada elemento do domínio deve ter exatamente uma imagem.
3. Exemplos de funções inversas são calculados e seus gráficos são comparados à função ident
O documento discute conceitos básicos de funções matemáticas, incluindo: (1) a definição de função envolvendo conjuntos; (2) exemplos de funções no cotidiano; (3) representações gráficas e algébricas de funções.
O documento discute conceitos básicos sobre funções, incluindo: (1) a definição formal de função; (2) variáveis dependentes e independentes, domínio e contradomínio; (3) diagramas de Venn para representar funções; (4) funções polinomiais e raízes; (5) análise de gráficos de funções.
1. O documento apresenta conceitos fundamentais sobre relações e funções, incluindo produto cartesiano, relação, função, domínio, imagem e contra-domínio.
2. São descritas as principais funções como constante, do primeiro grau, do segundo grau e modular, com exemplos de seus gráficos.
3. Também são apresentados esquemas para estudar o sinal de funções do primeiro e segundo grau.
O documento discute como a segunda derivada afeta a concavidade de uma função. Ele explica que quando a segunda derivada é positiva, a função tem concavidade para cima, com o gráfico acima das tangentes. Quando a segunda derivada é negativa, a função tem concavidade para baixo, com o gráfico abaixo das tangentes. O documento ilustra isso geometricamente e analisa como isso ocorre para uma função com concavidade para cima.
Funcoes injetoras sobrejetoras e bijetorasJhone Cley
Este documento descreve três tipos de funções: injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Uma função injetora mapeia cada elemento do domínio para um único elemento do contradomínio. Uma função sobrejetora mapeia o domínio para todo o contradomínio. Uma função bijetora é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
1) A aula apresenta como derivadas podem ser usadas como ferramentas auxiliares no esboço de gráficos de funções, fornecendo informações qualitativas sobre o comportamento da função.
2) É definido o que significa uma função ser crescente ou decrescente em um intervalo e apresentado o Teorema 6.1, que relaciona o sinal da derivada ao comportamento da função.
3) São definidos pontos de máximo e mínimo locais de uma função e apresentado o Teorema 6.2, que relaciona o sinal
1) O documento discute o conceito de função matemática, como relações entre conjuntos de variáveis.
2) Apresenta exemplos de funções do mundo real e sua representação gráfica.
3) Explica os conceitos de domínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de integração indefinida e definida. Na seção sobre integração indefinida, é introduzida a noção de primitiva de uma função e mostrado que duas primitivas diferem apenas por uma constante. A seção sobre integração definida define a integral como o limite da soma de Riemann e mostra que para funções contínuas, a integral coincide com o cálculo de área. Finalmente, são apresentados teoremas como a linearidade e monotonicidade da integral definida.
O documento descreve estratégias para determinar os valores máximo e mínimo de uma função contínua em um intervalo, sem recorrer ao gráfico da função. Explica que os pontos de máximo e mínimo são pontos críticos ou extremidades do intervalo, e que as derivadas nesses pontos são iguais a zero de acordo com o Teorema de Weierstrass. Apresenta um exemplo para ilustrar o procedimento.
Este documento apresenta vários métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, como o método da bissecção, da posição falsa, do ponto fixo, de Newton-Raphson e da secante. Explica como cada método usa uma abordagem iterativa para refinar aproximações iniciais de uma raiz até atingir a precisão desejada, fornecendo algoritmos e exemplos passo a passo.
O documento define funções matemáticas, explicando seus conceitos fundamentais como domínio, contradomínio e imagem. Também aborda tipos de funções como injetora, sobrejetora e bijetora, além de funções compostas e inversas. Por fim, fornece exemplos de funções reais e atividades sobre o tema.
1) O conceito de função evoluiu ao longo da história, com definições formais surgindo nos séculos XVI-XVII e XVIII.
2) Funções representam relações matemáticas entre variáveis, com aplicações em diversas áreas como física e astronomia.
3) A definição moderna de função surgiu com Euler no século XVIII, estabelecendo que uma função mapeia cada elemento de um conjunto de entrada para exatamente um elemento de saída.
Cálculo II - Aula 7: Teorema Fundamental do Cálculowillianv
O documento apresenta o Teorema Fundamental do Cálculo em duas partes. A primeira parte afirma que, se f for contínua em [a,b], então a função g definida pela integral de f é contínua e derivável em [a,b] com g(x) = f(x). A segunda parte afirma que, se f for contínua em [a,b], então a integral de f entre os limites a e b é igual a F(b) - F(a), onde F é qualquer primitiva de f.
Algebra - Livro texto II (UNIP/Matemática) 2018Antonio Marcos
O documento discute operações matemáticas, definindo-as como aplicações entre conjuntos e apresentando propriedades como associatividade, comutatividade e distribuição. Exemplos ilustram operações como adição, subtração e multiplicação em conjuntos numéricos e matrizes.
Algebra - Livro texto III (UNIP/Matemática) 2018Antonio Marcos
O documento descreve as propriedades fundamentais de grupos, subgrupos, semigrupos e monoides. Em três frases:
1) Um grupo é um conjunto com uma operação binária que satisfaz propriedades de fechamento, elemento neutro e inverso. 2) Um subgrupo de um grupo compartilha a mesma operação e também satisfaz as propriedades de grupo. 3) Um semigrupo tem apenas propriedade de fechamento e associatividade sob uma operação, enquanto um monoide adiciona a propriedade de elemento neutro.
Algebra - Livro texto IV (UNIP/Matemática) 2018Antonio Marcos
O documento discute anéis e corpos, incluindo:
1) Anéis de números inteiros e anéis de polinômios, com exemplos de congruência módulo m em Z e definição de Zm.
2) Corpos racionais, reais e complexos, explicando porque cada um é considerado um corpo.
3) Breve menção a homomorfismos e grupos finitos e infinitos.
1. O documento apresenta exercícios sobre o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio.
2. Os exercícios 1-6 verificam se o Teorema de Rolle pode ser aplicado em funções dadas em intervalos específicos.
3. O exercício 7 aplica o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio para calcular a velocidade média e instantânea de uma bola lançada.
Fundamentos da Teoria da Computação Segunda Lista de Exercícios - Aula sobre ...Sérgio Dias
Este documento apresenta resumos de exercícios sobre autômatos finitos e teoria da computação. Os exercícios envolvem a construção de AFNs e AFDs para linguagens regulares, prova de que determinados conjuntos não são linguagens regulares usando propriedades formais, e discussão sobre fecho e regularidade de operações em linguagens.
Este documento apresenta os principais tópicos de Matemática I divididos em duas partes. A primeira parte contém os seguintes tópicos: Função Exponencial, Logaritmo, Polinômios, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Matriz, Determinante e Sistemas Lineares. A segunda parte aborda Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Geometria Espacial, especificamente Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera.
Produto cartesiano e função 1º ano do ensino medioSimone Smaniotto
O documento apresenta conceitos fundamentais de matemática como:
1) Par ordenado, plano cartesiano e quadrantes;
2) Produto cartesiano de conjuntos;
3) Funções, domínio, conjunto imagem, injetividade, sobrejetividade e bijetividade.
O documento apresenta um resumo sobre funções matemáticas. Aborda conceitos como função, representações de funções, domínio, imagem, contradomínio, funções exponenciais e logarítmicas. Destaca matemáticos que contribuíram para o estudo de funções, como Euler e Leibniz.
004 - RELAÇÃO ENTRE FUNÇÕES - FUNÇÕES INVERSA - BIJETORA - INJETORA E COMPOST...MilkaCorra1
1. O documento discute funções inversas, explicando como determinar a função inversa de uma dada função f e as condições necessárias para que uma função admita inversa.
2. É explicado que para uma função admitir inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Isso significa que seu conjunto imagem deve ser igual ao contradomínio e cada elemento do domínio deve ter exatamente uma imagem.
3. Exemplos de funções inversas são calculados e seus gráficos são comparados à função ident
O documento discute conceitos básicos de funções matemáticas, incluindo: (1) a definição de função envolvendo conjuntos; (2) exemplos de funções no cotidiano; (3) representações gráficas e algébricas de funções.
O documento discute conceitos básicos sobre funções, incluindo: (1) a definição formal de função; (2) variáveis dependentes e independentes, domínio e contradomínio; (3) diagramas de Venn para representar funções; (4) funções polinomiais e raízes; (5) análise de gráficos de funções.
O documento explica os principais conceitos de funções matemáticas, incluindo: conjunto domínio, conjunto contradomínio, conjunto imagem, funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras e funções compostas. Um exemplo de função é dado relacionando professores e disciplinas que lecionam.
Este documento apresenta um resumo sobre funções matemáticas. Discute conceitos como domínio, contradomínio, função injetiva, sobrejetiva e bijetiva. Apresenta exemplos de composição e inversa de funções. Explica gráficos de funções e ordena classes de funções de acordo com sua ordem de grandeza.
1) O documento discute o conceito de função matemática, como relações entre conjuntos de variáveis.
2) A primeira menção de função foi feita por Jean Bernonilli no século XVII para descrever relações entre conjuntos diferentes.
3) Exemplos comuns de funções incluem preço de gasolina em relação a litros comprados e distância percorrida em relação a tempo.
A função de primeiro grau ou função afim é uma norma matemática que relaciona as variáveis de uma equação, ou seja, a dependência de um elemento em relação ao outro. Por isso, a função de primeiro grau é utilizada para definir a relação entre as variáveis x e y. Isso porque para cada valor dado a x, determinará o de y. O seu valor sempre dependerá de x.
O documento apresenta os principais tipos de conjuntos matemáticos como conjunto vazio, conjunto unitário e operações com conjuntos como intersecção, união e diferença. Também aborda exercícios sobre números racionais e irracionais, conjuntos numéricos, funções e trigonometria.
1) O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas, incluindo o que é uma função, domínio e imagem de uma função, funções crescentes e decrescentes.
2) Uma função mapeia elementos de um conjunto de partida para elementos de um conjunto de chegada, de tal forma que cada elemento do conjunto de partida é mapeado para exatamente um elemento do conjunto de chegada.
3) O domínio de uma função é o conjunto de partida e a imagem de um elemento x é o valor correspondente no conjunto de chegada, denotado por
1) O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas, incluindo o que é uma função, domínio e imagem de uma função, funções crescentes e decrescentes.
2) Uma função mapeia elementos de um conjunto de partida para elementos de um conjunto de chegada, de tal forma que cada elemento do conjunto de partida é associado a exatamente um elemento do conjunto de chegada.
3) O domínio de uma função é o conjunto de partida e a imagem de um elemento é o correspondente elemento no conjunto de chegada mapeado pela função.
Este documento fornece um resumo de aulas sobre cálculo diferencial e integral para o primeiro semestre de 2006. Contém resumos de seis aulas abordando conceitos básicos de funções, representação gráfica, tipos de funções, limites, derivadas e aplicações da derivada. Inclui também listas de exercícios propostos para cada aula.
Funcões Injetora, Sobrejetora e BijetoraCleiton Cunha
1) O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas, incluindo o que é uma função, domínio e imagem de uma função, funções crescentes e decrescentes.
2) Uma função mapeia elementos de um conjunto de partida para elementos de um conjunto de chegada, onde cada elemento do conjunto de partida é mapeado para exatamente um elemento do conjunto de chegada.
3) O domínio de uma função é o conjunto de partida e a imagem de um elemento é o correspondente elemento no conjunto de chegada.
O documento discute funções, definindo-as como relações onde cada elemento de um conjunto domínio (A) é associado a exatamente um elemento de um conjunto imagem (B). Funções são importantes em diversas áreas como física, economia e biologia para explicar fenômenos nessas áreas. Exemplos de funções incluem tempo de viagem em função da distância, altura em função da idade e consumo de combustível em função da velocidade.
1) O conceito de função é um dos mais importantes em matemática, representando uma associação entre elementos de dois conjuntos onde cada elemento do primeiro conjunto está associado a exatamente um elemento do segundo conjunto. 2) Exemplos de funções incluem preços de produtos em uma loja e preços de contas de luz. 3) Para uma relação ser uma função, cada elemento do conjunto de partida deve estar associado a somente um elemento do conjunto de chegada.
1) O conceito de função é um dos mais importantes em matemática, representando uma associação entre elementos de dois conjuntos.
2) Uma função requer que cada elemento do conjunto de partida esteja associado a exatamente um elemento do conjunto de chegada.
3) Exemplos de funções incluem preços de produtos em uma loja e valores de contas de luz de acordo com o consumo de energia.
O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções, incluindo definição de função, domínio, contradomínio e imagem.
2) São descritos tipos de funções como função constante, função afim, função monotônica, função periódica e função definida por várias sentenças.
3) O documento também explica conceitos como função inversa, função composta e tipologia das funções (sobrejetora, injetora, bijetora).
O documento define termos relacionados a funções de variável única, como domínio, contra-domínio, imagem, gráfico e tipos de funções como função definida por partes, valor absoluto, par, ímpar, crescente, decrescente, linear, polinomial, racional, algébrica, exponencial, logarítmica e transcendental. Também define limites, continuidade, assíntota vertical e propriedades de funções contínuas.
O documento fornece instruções sobre leitura, escrita e operações com números decimais. Explica como ler e escrever números decimais, transformar frações em decimais e vice-versa, e como realizar operações como adição, subtração e multiplicação com números decimais.
Este documento apresenta as aulas 18 a 36 de Álgebra II, Volume 2. A Aula 18 introduz o conceito de transformação linear e apresenta exemplos de transformações matriciais. As Aulas 19 a 25 discutem propriedades, núcleo, imagem e representações matriciais de transformações lineares. As Aulas 26 a 34 abordam transformações lineares especiais, operações lineares inversíveis, mudança de base, autovetores e autovalores de matrizes. Por fim, as Aulas 35 e 36 tratam de matrizes ortogonais e suas propri
Este documento apresenta as funções reais de várias variáveis. Introduz o conceito de funções de duas ou mais variáveis, onde o resultado depende de mais de uma variável independente. Fornece exemplos de funções de duas variáveis e discute a representação geométrica de seus gráficos em três dimensões. Também aborda o conceito de domínio para funções de várias variáveis.
§1. Vetores, matrizes e sistemas lineares
Aula 1: Matrizes
1) Uma matriz é definida como uma tabela de números dispostos em linhas e colunas;
2) Matrizes especiais incluem matrizes linha, coluna e quadradas;
3) A igualdade entre matrizes ocorre quando possuem as mesmas dimensões e elementos iguais.
O documento discute as funções reais de variável real. A seção 1 apresenta os conceitos fundamentais das funções, incluindo princípios para construir uma função e exemplos de situações do cotidiano que podem ser modeladas por funções. A seção também aborda domínios e operações com funções.
O documento discute conceitos de ácidos e bases inorgânicas, incluindo suas definições segundo Arrhenius, Bronsted-Lowry e Lewis. Exemplos de ácidos como o ácido clorídrico e sulfúrico são usados para ilustrar essas definições. A classificação de ácidos é também apresentada de acordo com número de elementos, ponto de ebulição e presença de oxigênio.
Este documento apresenta um resumo sobre cálculo estequiométrico. Ele introduz o assunto e explica que o objetivo é determinar as quantidades de substâncias envolvidas em uma reação química. Também descreve brevemente as leis ponderais de Lavoisier, Dalton, Proust e suas contribuições para o desenvolvimento da estequiometria.
O documento descreve as primeiras tentativas de classificação dos elementos químicos, incluindo as tríades de Döbereiner, a lei das oitavas de Newlands e a tabela periódica de Mendeleev. Explica como a tabela periódica atual é organizada com base no número atômico de cada elemento, resolvendo inconsistências das classificações anteriores.
O documento descreve conceitos básicos de física sobre grandezas escalares e vetoriais. Resume que grandezas escalares são completamente determinadas por seu valor numérico e unidade, enquanto grandezas vetoriais também requerem orientação de direção. Explica operações matemáticas com cada tipo de grandeza e apresenta exemplos de adição e subtração de vetores.
Este documento apresenta os conceitos básicos de cinemática escalar, incluindo: (1) a definição de ponto material e corpo extenso, (2) os conceitos de trajetória, posição, deslocamento e velocidade escalar média, e (3) a distinção entre movimento e repouso.
1. A matéria é constituída de átomos, que são as menores partículas que identificam um elemento químico.
2. Os átomos são formados por um núcleo central com prótons e nêutrons, rodeado por elétrons. O número de prótons define o elemento químico.
3. As substâncias podem ser puras, formadas por um único tipo de átomo, ou misturas de vários tipos de átomos ou substâncias.
1) A física estuda as propriedades e fenômenos naturais de forma qualitativa e quantitativa, associando números a grandezas físicas como comprimento, massa e tempo.
2) As principais unidades de medida no Sistema Internacional são o metro para comprimento, o quilograma para massa e o segundo para tempo.
3) O documento fornece exemplos de conversão entre unidades de medida e apresenta conceitos básicos de grandezas físicas fundamentais.
Este documento discute conceitos de física sobre movimento retilíneo uniforme (MRU) e movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Ele fornece as equações para calcular posição, velocidade e aceleração nesses tipos de movimento e apresenta exemplos numéricos de problemas resolvidos.
1. O documento apresenta um resumo sobre o conceito de movimento em física, abordando tópicos como movimento uniforme, movimento com velocidade variável, queda livre e resolução de problemas.
2. Inclui definições de termos como referencial, trajetória, posição escalar, velocidade escalar média, aceleração e funções que descrevem esses grandezas no tempo.
3. Apresenta as equações que relacionam grandezas como deslocamento, velocidade e aceleração nos movimentos unifor
O documento discute o conceito e cálculo de diferentes tipos de fórmulas químicas, incluindo fórmula percentual, fórmula mínima e fórmula molecular. Exemplos são fornecidos para ilustrar como determinar cada tipo de fórmula a partir da composição química ou massa molecular de um composto. Alguns exercícios resolvidos também são apresentados para reforçar os métodos de cálculo.
O documento discute associações de resistores em série e paralelo. Apresenta como calcular a resistência equivalente, tensão e corrente em circuitos com resistores associados em série e paralelo. Também introduz a Lei de Kirchhoff para tensões e explica como aplicá-la para determinar tensões desconhecidas em circuitos.
Este documento descreve as leis ponderais e fórmulas químicas, incluindo exemplos de cálculos estequiométricos. Resume as principais leis ponderais como a lei de conservação de massa de Lavoisier e a lei das proporções fixas de Proust. Também fornece exemplos de cálculos envolvendo fórmulas químicas e reações químicas.
Este documento trata de conceitos geométricos relacionados à esfera. Ele define superfície esférica, área da superfície esférica, volume da esfera, plano secante a uma esfera, área do fuso esférico e volume da cunha esférica. O documento também apresenta exemplos numéricos de cálculo destas grandezas.
I) O documento apresenta conceitos matemáticos sobre funções, relações binárias, produto cartesiano e função quadrática.
II) São definidos pares ordenados, produto cartesiano, relação binária, função, função polinomial do 1o e 2o grau, vértice da parábola, valor máximo e mínimo da imagem e função modular.
III) Exemplos ilustram os conceitos apresentados.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de cilindro e cone. Descreve as definições, elementos, áreas e volumes destes sólidos geométricos. Explica que um cilindro é formado por segmentos paralelos entre dois planos, enquanto um cone é formado por segmentos com extremos em um plano e em um ponto. Apresenta também exercícios resolvidos relacionados a estes tópicos.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
1. Μ∆ΠΣΜ∆ΠФ¢∆
APENAS 6 NÚMEROS. AS
FORÇAS PROFUNDAS QUE
CONTROLAM O UNIVERSO
SÁBADO, 6 DE JUNHO DE 2009
BEM VINDO VOCE JA
É O VISITANTE DE
NÚMERO ABAIXO TEORIA DAS FUNÇÕES
conteúdo ministrado para a primeira série, turmas 11,
hospedagem
12, 13 e 13-A - segundo trimestre.
APRESENTAÇÃO DE
SLIDES DEFINIÇÃO
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Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se função
(ou aplicação) de A em B, representada por
f : A -> B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que
associa a cada elemento de A , um único elemento de B.
Portanto , para que uma relação de A em B seja uma
função , exige-se que a cada x pertence A esteja
associado um único y pertence B , podendo entretanto
existir y pertence B que não esteja associado a nenhum
elemento pertencente ao conjunto A.
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2. Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem
de x pela função f, ou seja:
y está associado a x através da função f.
Exemplo:
f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é
imagem de 2 pela função f ;
f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela
função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.
Para definir uma função , necessitamos de dois
conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma fórmula
ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um
e somente um elemento do contradomínio .
Quando D(f) C R e CD(f) C R , sendo R o conjunto dos
números reais , dizemos que a função f é uma função
real de variável real . Na prática , costumamos
considerar uma função real de variável real como sendo
SE NÓS NÃO apenas a lei y = f(x) que a define , sendo o conjunto dos
CUIDARMOS DESSA
SEMENTE, NOSSSOS
valores possíveis para x , chamado de domínio e o
HERDEIROS NÃO conjunto dos valores possíveis para y , chamado de
TERÃO FUTURO conjunto imagem da função . Assim , por exemplo , para
a função definida por y = 1/x , temos que o seu domínio
é D(f) = R* , ou seja o conjunto dos reais diferentes de
zero (lembre-se que não existe divisão por zero) , e o
seu conjunto imagem é também R* , já que se y = 1/x ,
então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero .
Dada uma função f : A -> B definida por y = f(x) ,
podemos representar os pares ordenados (x , y) E f onde
x C A e y E B ,num sistema de coordenadas cartesianas .
O gráfico obtido será o gráfico da função f .
Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de
NÓS SOMOS UM uma função f , podemos dizer que:
UNIVERSO a ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o
domínio da função .
SEJAM BEM VINDOS
A ESTE BLOG
b ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o
conjunto imagem da função .
Olá!
Este blog foi criado em c ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio
janeiro de 2009 com o da função , intercepta o gráfico da função em no máximo
intuito de auxiliar 0s um ponto .
Veja a figura abaixo:
alunos da Escola Estadual
de Ensino Médio 9 de
Maio - Imbé/RS/Brasil;
da qual
sou professor de
matemática, com perfil
filosófico e uma visão
voltada para o holístico
da humanidade,
buscando o mesmo
entendimento, a mesma
linguagem... A linguagem
3. dos números.
No principio era o caos, e
o Grande Arquiteto do
Universo disse:
- Faça-se a luz e a luz foi
feita...
Como seres humanos,
todos nós buscamos a
perfeição, então, se for
encontrada alguma falha,
que seja ela o inicio do
processo de criação em
busca do SABER.
ÍNDICE - CLICK NA
SETA PARA
ENCONTRAR O
ASSUNTO
► 2010 (4) Tipos de funções
Função sobrejetora
▼ 2009 (76) É aquela cujo conjunto imagem é igual ao
► Dez 2009 (2) contradomínio .
► Nov 2009 (2) Exemplo:
► Out 2009 (4)
► Set 2009 (5)
► Ago 2009 (1)
► Jul 2009 (7)
▼ Jun 2009 (10)
POLIGONOS
INSCRITOS E
CIRCUNSCRITOS
NA
CIRCUNFERÊN...
ORAÇÃO DA
Função injetora
MATEMÁTICA
Uma função y = f(x) é injetora quando elementos
A VIDA COMO ELA É distintos do seu domínio , possuem imagens distintas,
UMA MENSAGEM DE isto é:
OTIMISMO x1 # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f
(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f
GEOMETRIA PLANA (x2) # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f(x2) .(#
conteúdo sendo siginifica diferente)
organizado Exemplo:
conform...
EUCLIDES
POLÍGONOS E
POLIEDROS
NÚMEROS DECIMAIS
UM TORMENTO
4. SEM O USO DA
CALCULAD... Função bijetora
PLANO Uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo ,
CARTESIANO - injetora e sobrejetora .
RELAÇÕES E Exemplo:
FUNÇÕES
TEORIA DAS
FUNÇÕES
► Mai 2009 (10)
► Abr 2009 (7)
Exercícios
► Mar 2009 (9)
resolvidos:
► Fev 2009 (11) 1 - Considere três funções f, g e h, tais que:
► Jan 2009 (8) A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
MEU PERFIL
a) f, g e h
CLAUDIO LOVENIR b) f e h
CUNHA
c) g e h
quem sou eu: d) apenas h
e) nenhuma delas
facil de
Solução:
entender. Sou
eu...as vezes é preciso Sabemos que numa função injetora, elementos distintos
do domínio, possuem imagens distintas, ou seja:
perder para me
x1 # x2 -> f(x1) # f(x2) .
compreender. Sou a Logo, podemos concluir que:
Ausência de uma vida
que já passou... O f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a
mesma idade.
presente constante de g é injetora, pois não existem dois países distintos com a
um amor ainda em mesma capital.
vida.... Sou a saudade h é injetora, pois dois números naturais distintos,
possuem os seus dobros também distintos.
vivida de quem ficou.. Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de
Sou apenas uma lágrima letra C.
que findou..Sou uma 2 - Seja f uma função definida em R - conjunto dos
números reais - tal que
ingónita do infinito em
f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x
busca de uma + 5).
solução,sou um teorema, Solução:
posso ser um enunciado,
Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x,
quem sabe ...do relativo da seguinte forma:
ao absoluto, um zero que x - 5 = u logo x = u + 5
faça a diferença.
Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u
VIEW MY COMPLETE PROFILE + 5), vem:
f(u) = 4(u + 5) logo f(u) = 4u + 20
Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:
f(x + 5) = 4(x+5) + 20 Então f(x+5) = 4x + 40
Agora resolva este:
5. A função f em R é tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2.f
(3x + 1).
Resp: 9x + 5
3 - Paridade das funções
3.1 - Função par
A função y = f(x) é par, quando x qualquer que seja D
(f) , f(- x ) = f(x) , ou seja, para todo elemento do seu
domínio,
f( x ) = f ( - x ). Portanto , numa função par, elementos
simétricos possuem a mesma imagem. Uma
conseqüência desse fato é que os gráficos cartesiano das
funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo
dos y ou eixo das ordenadas.
Exemplo:
y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo
x. Por exemplo,
f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17
O gráfico abaixo, é de uma função par.
Função ímpar
A função y = f(x) é
ímpar , quando qualquer
que seja x E D(f) , f( -
x ) = - f (x) , ou seja,
para todo elemento do
seu domínio, f( - x) = - f
( x ). Portanto, numa
função ímpar, elementos
simétricos possuem
PROGRESSÕES imagens simétricas.
Uma conseqüência
desse fato é que os gráficos cartesianos das funções
CONJUNTO ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto
NUMERICO (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.
Exemplo:
MACETES DE y = x3 é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(-
MATEMATICA x) = - f(x).
Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = -
8.
TEOREMA DE O gráfico abaixo é de uma função ímpar:
PITAGORAS
Nota: se uma função y = f
PLANO CARTESIANO (x) não é par nem ímpar,
dizemos que ela não
possui paridade.
LOGARITMOS
Exemplo:
O gráfico abaixo,
TRIGONOMETRIA
representa uma função
que não possui paridade,
pois a curva não é
6. simétrica em relação ao
TRIGONOMETRIA
eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem.
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1 - FUNÇÃO INVERSA
Dada uma função f :
CICLO A -> B , se f é
TRIGONOMETRICO
bijetora , então define-
se a função inversa f -
1 como sendo a
GEOMETRIA função de B em A , tal
ESPACIAL
que f-1 (y) = x .
Veja a representação
a seguir:
POLÍGONOS
REGULARES
GEOMETRIA PLANA
GEOMETRIA
METRICA
EXERCÍCIOS DE
GEOMETRIA
É óbvio então que:
CALCULO DE ÁREAS
a) para obter a função inversa , basta permutar as
variáveis x e y .
b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f .
GEOMETRIA c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f .
ANALITICA
d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em
relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro
quadrante .
ANALISE Exemplo:
COMBINATÓRIA
Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.
Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3
Explicitando y em função de x, vem:
PORCENTAGEM, 2y = x - 3 então y = (x - 3) / 2, que define a função
JUROS
inversa da função dada.
O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa.
Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são
ESTUDO DAS simétricas em relação à reta
MATRIZES
y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.
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7. Exercício resolvido:
A função f: R -> R , definida por f(x) = x2 :
a) é inversível e sua inversa é f -1 (x) = Raiz de x
b) é inversível e sua inversa é f -1(x) = - Raiz de x
c) não é inversível
d) é injetora
e) é bijetora
SOLUÇÃO:
Já sabemos que somente as funções bijetoras são
inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a
função f(x) = x2, definida em R - conjunto dos números
reais - não é injetora, pois elementos distintos possuem
a mesma imagem. Por exemplo,
f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não
é bijetora e, em conseqüência, não é inversível.
Observe também que a função dada não é sobrejetora,
pois o conjunto imagem da função f(x) = x2 é o conjunto
R + dos números reais não negativos, o qual não
coincide com o contradomínio dado que é
igual a R. A alternativa correta é a letra C.
2 - FUNÇÃO COMPOSTA
Chama-se função composta ( ou função de função ) à
função obtida substituindo-se a variável independente
x , por uma função.
Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .
Veja o esquema a seguir:
Obs : atente para o fato de que fog # gof , ou seja, a
operação " composição de funções " não é comutativa .
Exemplo:
8. Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se
determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3
Observe que fog # gof .
Exercícios resolvidos:
1 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g
(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) =
fog(x) ocorrerá se e somente se:
a) b(1 - c) = d(1 - a)
b) a(1 - b) = d(1 - c)
c) ab = cd
d) ad = bc
e) a = bc
SOLUÇÃO:
Teremos:
fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b então fog(x)
= acx + ad + b
gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d então gof
(x) = cax + cb + d
Como o problema exige que gof = fog, fica:
acx + ad + b = cax + cb + d
Simplificando, vem:
ad + b = cb + d
ad - d = cb - b então d(a - 1) = b(c - 1), que é
equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a
concluir que a alternativa correta é a letra A. .
2 - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g
(x) = 2 - x então f(x) é:
a) 2 - 2x
b) 3 - 3x
c) 2x - 5
*d) 5 - 2x
e) uma função par.
SOLUÇÃO:
Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1
Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1
Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 -
x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 - u.
Substituindo, fica:
f(u) = 2(2 - u) + 1 então f(u) = 5 - 2u
Portanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva à alternativa D.
Agora resolva esta:
Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k,
ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a:
*a) -1/3
b) 1/3
c) 0
d) 1
e) -1
Tipos particulares de funções
FUNÇÃO CONSTANTE
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k ,
onde k não depende de x .
Exemplos:
9. a) f(x) = 5
b) f(x) = -3
Obs : o gráfico de uma função constante é uma reta
paralela ao eixo dos x .
Veja o gráfico a seguir:
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax +
b , onde a # 0 .
Exemplos :
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 )
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).
Propriedades da função do 1º grau :
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta
2)
na função f(x) = ax + b , se b
= 0 , f é dita função linear e se b # 0 f é dita função afim .
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f
(x) = 0 e, portanto, no ponto de abcissa x = - b/a .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) ,
onde b é chamado coeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a
inclinação da reta .
6) se a > 0 , então f é crescente .
7) se a < 0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o
gráfico é uma reta que sempre passa na origem.
Exercício resolvido:
1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f
(2) = 5 e f(3) = -10.
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
10. 5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b
Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)
15 = - a então a = - 15
Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia
ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b então b = 35.
Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.
Agora resolva esta:
A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1)
= 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é
igual a:
*a) 2
b) -2
c) 0
d) 3
e) -3
FUNÇÃO DO 2º GRAU
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) =
ax2 + bx + c , com a # 0 .
Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c :
é sempre uma parábola de eixo vertical .
Propriedades do gráfico de
y = ax2 + bx + c :
1) se a > 0 a parábola tem
um ponto de mínimo .
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde:
xv = - b/2a
yv = - Delta /4a , onde Delta = b2 - 4ac
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de
abcissas x' e x'' , que são as raízes da
equação ax2 + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de
equação x = - b/2a.
7) Ymax = - Delta / 4a ( a < 0 )
8) Ymin = - Delta /4a ( a > 0 )
9) Im(f) = { y E R ; y > - Delta /4a } ( a >0 )
11. 10) Im(f) = { y E R ; y < - Delta /4a} ( a < 0)
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x)
= ax2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma
fatorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2)
POSTADO POR CLAUDIO LOVENIR DA CUNHA ÀS 18:40
MARCADORES: CLAUDIO LOVENIR DA CUNHA
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