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Μ∆ΠΣΜ∆ΠФ¢∆
APENAS 6 NÚMEROS. AS
FORÇAS PROFUNDAS QUE
CONTROLAM O UNIVERSO




                                           SÁBADO, 6 DE JUNHO DE 2009
BEM VINDO VOCE JA
 É O VISITANTE DE
  NÚMERO ABAIXO                 TEORIA DAS FUNÇÕES

                               conteúdo ministrado para a primeira série, turmas 11,
     hospedagem
                               12, 13 e 13-A - segundo trimestre.

APRESENTAÇÃO DE
     SLIDES                      DEFINIÇÃO

      Loading...
                               Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se função
                               (ou aplicação) de A em B, representada por
                               f : A -> B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que
                               associa a cada elemento de A , um único elemento de B.
                               Portanto , para que uma relação de A em B seja uma
                               função , exige-se que a cada x pertence A esteja
                               associado um único y pertence B , podendo entretanto
                               existir y pertence B que não esteja associado a nenhum
                               elemento pertencente ao conjunto A.
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Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem
                             de x pela função f, ou seja:
                             y está associado a x através da função f.
                             Exemplo:

                             f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é
                             imagem de 2 pela função f ;
                             f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela
                             função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.
                             Para definir uma função , necessitamos de dois
                             conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma fórmula
                             ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um
                             e somente um elemento do contradomínio .
                             Quando D(f) C R e CD(f) C R , sendo R o conjunto dos
                             números reais , dizemos que a função f é uma função
                             real de variável real . Na prática , costumamos
                             considerar uma função real de variável real como sendo
     SE NÓS NÃO              apenas a lei y = f(x) que a define , sendo o conjunto dos
  CUIDARMOS DESSA
  SEMENTE, NOSSSOS
                             valores possíveis para x , chamado de domínio e o
   HERDEIROS NÃO             conjunto dos valores possíveis para y , chamado de
    TERÃO FUTURO             conjunto imagem da função . Assim , por exemplo , para
                             a função definida por y = 1/x , temos que o seu domínio
                             é D(f) = R* , ou seja o conjunto dos reais diferentes de
                             zero (lembre-se que não existe divisão por zero) , e o
                             seu conjunto imagem é também R* , já que se y = 1/x ,
                             então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero .
                             Dada uma função f : A -> B definida por y = f(x) ,
                             podemos representar os pares ordenados (x , y) E f onde
                             x C A e y E B ,num sistema de coordenadas cartesianas .
                             O gráfico obtido será o gráfico da função f .

                             Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de
    NÓS SOMOS UM             uma função f , podemos dizer que:
      UNIVERSO               a ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o
                             domínio da função .
  SEJAM BEM VINDOS
     A ESTE BLOG
                             b ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o
                             conjunto imagem da função .
             Olá!
  Este blog foi criado em    c ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio
  janeiro de 2009 com o      da função , intercepta o gráfico da função em no máximo
    intuito de auxiliar 0s   um ponto .
                             Veja a figura abaixo:
alunos da Escola Estadual
   de Ensino Médio 9 de
  Maio - Imbé/RS/Brasil;
            da qual
      sou professor de
  matemática, com perfil
   filosófico e uma visão
  voltada para o holístico
       da humanidade,
     buscando o mesmo
 entendimento, a mesma
linguagem... A linguagem
dos números.
No principio era o caos, e
  o Grande Arquiteto do
      Universo disse:
- Faça-se a luz e a luz foi
          feita...
  Como seres humanos,
  todos nós buscamos a
 perfeição, então, se for
encontrada alguma falha,
 que seja ela o inicio do
 processo de criação em
     busca do SABER.



  ÍNDICE - CLICK NA
     SETA PARA
    ENCONTRAR O
      ASSUNTO

► 2010 (4)                    Tipos de funções
                              Função sobrejetora
▼ 2009 (76)                   É aquela cujo conjunto imagem é igual ao
  ► Dez 2009 (2)              contradomínio .
  ► Nov 2009 (2)              Exemplo:

  ► Out 2009 (4)
  ► Set 2009 (5)
  ► Ago 2009 (1)
  ► Jul 2009 (7)
  ▼ Jun 2009 (10)
    POLIGONOS
      INSCRITOS E
      CIRCUNSCRITOS
      NA
      CIRCUNFERÊN...
    ORAÇÃO DA
                              Função injetora
     MATEMÁTICA
                              Uma função y = f(x) é injetora quando elementos
    A VIDA COMO ELA É         distintos do seu domínio , possuem imagens distintas,
    UMA MENSAGEM DE           isto é:
     OTIMISMO                 x1 # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f
                              (x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f
    GEOMETRIA PLANA           (x2) # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f(x2) .(#
     conteúdo sendo           siginifica diferente)
     organizado               Exemplo:
     conform...
    EUCLIDES
    POLÍGONOS E
     POLIEDROS
    NÚMEROS DECIMAIS
     UM TORMENTO
SEM O USO DA
     CALCULAD...            Função bijetora
    PLANO                   Uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo ,
     CARTESIANO -           injetora e sobrejetora .
     RELAÇÕES E             Exemplo:
     FUNÇÕES
    TEORIA DAS
     FUNÇÕES

 ► Mai 2009 (10)
 ► Abr 2009 (7)
                                                                       Exercícios
 ► Mar 2009 (9)
                                                                       resolvidos:
 ► Fev 2009 (11)            1 - Considere três funções f, g e h, tais que:
 ► Jan 2009 (8)             A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
                            A função g atribui a cada país, a sua capital
                            A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
                            Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
      MEU PERFIL
                            a) f, g e h
         CLAUDIO LOVENIR    b) f e h
              CUNHA
                            c) g e h
          quem sou eu:      d) apenas h
                            e) nenhuma delas
             facil de
                            Solução:
          entender. Sou
 eu...as vezes é preciso    Sabemos que numa função injetora, elementos distintos
                            do domínio, possuem imagens distintas, ou seja:
     perder para me
                            x1 # x2 -> f(x1) # f(x2) .
  compreender. Sou a        Logo, podemos concluir que:
 Ausência de uma vida
   que já passou... O       f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a
                            mesma idade.
 presente constante de      g é injetora, pois não existem dois países distintos com a
   um amor ainda em         mesma capital.
 vida.... Sou a saudade     h é injetora, pois dois números naturais distintos,
                            possuem os seus dobros também distintos.
 vivida de quem ficou..     Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de
Sou apenas uma lágrima      letra C.
  que findou..Sou uma       2 - Seja f uma função definida em R - conjunto dos
                            números reais - tal que
 ingónita do infinito em
                            f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x
     busca de uma           + 5).
solução,sou um teorema,     Solução:
posso ser um enunciado,
                            Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x,
quem sabe ...do relativo    da seguinte forma:
ao absoluto, um zero que    x - 5 = u logo x = u + 5
    faça a diferença.
                            Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u
 VIEW MY COMPLETE PROFILE   + 5), vem:
                            f(u) = 4(u + 5) logo f(u) = 4u + 20
                            Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:
                            f(x + 5) = 4(x+5) + 20 Então f(x+5) = 4x + 40

                            Agora resolva este:
A função f em R é tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2.f
                   (3x + 1).
                   Resp: 9x + 5
                   3 - Paridade das funções
                   3.1 - Função par
                   A função y = f(x) é par, quando        x qualquer que seja D
                   (f) , f(- x ) = f(x) , ou seja, para todo elemento do seu
                   domínio,
                   f( x ) = f ( - x ). Portanto , numa função par, elementos
                   simétricos possuem a mesma imagem. Uma
                   conseqüência desse fato é que os gráficos cartesiano das
                   funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo
                   dos y ou eixo das ordenadas.
                   Exemplo:
                   y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo
                   x. Por exemplo,
                   f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17
                   O gráfico abaixo, é de uma função par.


                                                    Função ímpar
                                                    A função y = f(x) é
                                                    ímpar , quando qualquer
                                                    que seja x E D(f) , f( -
                                                    x ) = - f (x) , ou seja,
                                                    para todo elemento do
                                                    seu domínio, f( - x) = - f
                                                    ( x ). Portanto, numa
                                                    função ímpar, elementos
                                                    simétricos possuem
  PROGRESSÕES                                       imagens simétricas.
                                                    Uma conseqüência
                   desse fato é que os gráficos cartesianos das funções
   CONJUNTO        ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto
   NUMERICO        (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.
                   Exemplo:

  MACETES DE       y = x3 é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(-
  MATEMATICA       x) = - f(x).
                   Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = -
                   8.
  TEOREMA DE       O gráfico abaixo é de uma função ímpar:
   PITAGORAS


                                                    Nota: se uma função y = f
PLANO CARTESIANO                                    (x) não é par nem ímpar,
                                                    dizemos que ela não
                                                    possui paridade.
  LOGARITMOS
                                                    Exemplo:

                                                    O gráfico abaixo,
 TRIGONOMETRIA
                                                    representa uma função
                                                    que não possui paridade,
                                                    pois a curva não é
simétrica em relação ao
   TRIGONOMETRIA
                         eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem.
       Loading...
                                                           1 - FUNÇÃO INVERSA
                                                           Dada uma função f :
        CICLO                                              A -> B , se f é
   TRIGONOMETRICO
                                                           bijetora , então define-
                                                           se a função inversa f -
                                                           1 como sendo a
     GEOMETRIA                                             função de B em A , tal
      ESPACIAL
                                                           que f-1 (y) = x .
                                                           Veja a representação
                                                           a seguir:
     POLÍGONOS
     REGULARES




  GEOMETRIA PLANA




     GEOMETRIA
      METRICA




   EXERCÍCIOS DE
     GEOMETRIA



                         É óbvio então que:
  CALCULO DE ÁREAS
                         a) para obter a função inversa , basta permutar as
                         variáveis x e y .
                         b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f .
     GEOMETRIA           c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f .
     ANALITICA
                         d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em
                         relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro
                         quadrante .
      ANALISE            Exemplo:
    COMBINATÓRIA
                         Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.
                         Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3
                         Explicitando y em função de x, vem:
    PORCENTAGEM,         2y = x - 3 então y = (x - 3) / 2, que define a função
        JUROS
                         inversa da função dada.
                         O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa.
                         Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são
     ESTUDO DAS          simétricas em relação à reta
      MATRIZES
                         y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.




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Exercício resolvido:
A função f: R -> R , definida por f(x) = x2 :
a) é inversível e sua inversa é f -1 (x) = Raiz de x
b) é inversível e sua inversa é f -1(x) = - Raiz de x
c) não é inversível
d) é injetora
e) é bijetora
SOLUÇÃO:
Já sabemos que somente as funções bijetoras são
inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a
função f(x) = x2, definida em R - conjunto dos números
reais - não é injetora, pois elementos distintos possuem
a mesma imagem. Por exemplo,
f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não
é bijetora e, em conseqüência, não é inversível.
Observe também que a função dada não é sobrejetora,
pois o conjunto imagem da função f(x) = x2 é o conjunto
R + dos números reais não negativos, o qual não
coincide com o contradomínio dado que é
igual a R. A alternativa correta é a letra C.
2 - FUNÇÃO COMPOSTA
Chama-se função composta ( ou função de função ) à
função obtida substituindo-se a variável independente
x , por uma função.
Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .
Veja o esquema a seguir:




Obs : atente para o fato de que fog # gof , ou seja, a
operação " composição de funções " não é comutativa .
Exemplo:
Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se
determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3
Observe que fog # gof .
Exercícios resolvidos:
1 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g
(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) =
fog(x) ocorrerá se e somente se:
a) b(1 - c) = d(1 - a)
b) a(1 - b) = d(1 - c)
c) ab = cd
d) ad = bc
e) a = bc
SOLUÇÃO:
Teremos:
fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b então fog(x)
= acx + ad + b
gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d então gof
(x) = cax + cb + d
Como o problema exige que gof = fog, fica:
acx + ad + b = cax + cb + d
Simplificando, vem:
ad + b = cb + d
ad - d = cb - b então d(a - 1) = b(c - 1), que é
equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a
concluir que a alternativa correta é a letra A. .
2 - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g
(x) = 2 - x então f(x) é:
a) 2 - 2x
b) 3 - 3x
c) 2x - 5
*d) 5 - 2x
e) uma função par.
SOLUÇÃO:
Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1
Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1
Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 -
x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 - u.
Substituindo, fica:
f(u) = 2(2 - u) + 1 então f(u) = 5 - 2u
Portanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva à alternativa D.
Agora resolva esta:
Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k,
ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a:
*a) -1/3
b) 1/3
c) 0
d) 1
e) -1
Tipos particulares de funções
FUNÇÃO CONSTANTE
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k ,
onde k não depende de x .
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3
Obs : o gráfico de uma função constante é uma reta
paralela ao eixo dos x .
Veja o gráfico a seguir:




FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax +
b , onde a # 0 .
Exemplos :
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 )
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).
Propriedades da função do 1º grau :
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta




                             2)
                             na função f(x) = ax + b , se b
= 0 , f é dita função linear e se b # 0 f é dita função afim .
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f
(x) = 0 e, portanto, no ponto de abcissa x = - b/a .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) ,
onde b é chamado coeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a
inclinação da reta .
6) se a > 0 , então f é crescente .
7) se a < 0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o
gráfico é uma reta que sempre passa na origem.
Exercício resolvido:
1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f
(2) = 5 e f(3) = -10.
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b
Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)
15 = - a então a = - 15
Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia
ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b então b = 35.
Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.
Agora resolva esta:
A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1)
= 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é
igual a:
*a) 2
b) -2
c) 0
d) 3
e) -3
FUNÇÃO DO 2º GRAU
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) =
ax2 + bx + c , com a # 0 .
Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c :
é sempre uma parábola de eixo vertical .




                              Propriedades do gráfico de
                              y = ax2 + bx + c :
                              1) se a > 0 a parábola tem
um ponto de mínimo .
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde:
xv = - b/2a
yv = - Delta /4a , onde Delta = b2 - 4ac
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de
abcissas x' e x'' , que são as raízes da
equação ax2 + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de
equação x = - b/2a.
7) Ymax = - Delta / 4a ( a < 0 )
8) Ymin = - Delta /4a ( a > 0 )
9) Im(f) = { y E R ; y > - Delta /4a } ( a >0 )
10) Im(f) = { y E R ; y < - Delta /4a} ( a < 0)
 11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x)
 = ax2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma
 fatorada a seguir :
 y = a(x - x1).(x - x2)


  POSTADO POR CLAUDIO LOVENIR DA CUNHA ÀS 18:40


  MARCADORES: CLAUDIO LOVENIR DA CUNHA




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Teoria da funções

  • 1. Μ∆ΠΣΜ∆ΠФ¢∆ APENAS 6 NÚMEROS. AS FORÇAS PROFUNDAS QUE CONTROLAM O UNIVERSO SÁBADO, 6 DE JUNHO DE 2009 BEM VINDO VOCE JA É O VISITANTE DE NÚMERO ABAIXO TEORIA DAS FUNÇÕES conteúdo ministrado para a primeira série, turmas 11, hospedagem 12, 13 e 13-A - segundo trimestre. APRESENTAÇÃO DE SLIDES DEFINIÇÃO Loading... Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por f : A -> B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A , um único elemento de B. Portanto , para que uma relação de A em B seja uma função , exige-se que a cada x pertence A esteja associado um único y pertence B , podendo entretanto existir y pertence B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A. PESQUISAR ESTE BLOG Pesquisar powered by VOCÊ ESTA NESTE UNIVERSO ON-LINE
  • 2. Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está associado a x através da função f. Exemplo: f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é imagem de 2 pela função f ; f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc. Para definir uma função , necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio . Quando D(f) C R e CD(f) C R , sendo R o conjunto dos números reais , dizemos que a função f é uma função real de variável real . Na prática , costumamos considerar uma função real de variável real como sendo SE NÓS NÃO apenas a lei y = f(x) que a define , sendo o conjunto dos CUIDARMOS DESSA SEMENTE, NOSSSOS valores possíveis para x , chamado de domínio e o HERDEIROS NÃO conjunto dos valores possíveis para y , chamado de TERÃO FUTURO conjunto imagem da função . Assim , por exemplo , para a função definida por y = 1/x , temos que o seu domínio é D(f) = R* , ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero) , e o seu conjunto imagem é também R* , já que se y = 1/x , então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero . Dada uma função f : A -> B definida por y = f(x) , podemos representar os pares ordenados (x , y) E f onde x C A e y E B ,num sistema de coordenadas cartesianas . O gráfico obtido será o gráfico da função f . Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de NÓS SOMOS UM uma função f , podemos dizer que: UNIVERSO a ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o domínio da função . SEJAM BEM VINDOS A ESTE BLOG b ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da função . Olá! Este blog foi criado em c ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio janeiro de 2009 com o da função , intercepta o gráfico da função em no máximo intuito de auxiliar 0s um ponto . Veja a figura abaixo: alunos da Escola Estadual de Ensino Médio 9 de Maio - Imbé/RS/Brasil; da qual sou professor de matemática, com perfil filosófico e uma visão voltada para o holístico da humanidade, buscando o mesmo entendimento, a mesma linguagem... A linguagem
  • 3. dos números. No principio era o caos, e o Grande Arquiteto do Universo disse: - Faça-se a luz e a luz foi feita... Como seres humanos, todos nós buscamos a perfeição, então, se for encontrada alguma falha, que seja ela o inicio do processo de criação em busca do SABER. ÍNDICE - CLICK NA SETA PARA ENCONTRAR O ASSUNTO ► 2010 (4) Tipos de funções Função sobrejetora ▼ 2009 (76) É aquela cujo conjunto imagem é igual ao ► Dez 2009 (2) contradomínio . ► Nov 2009 (2) Exemplo: ► Out 2009 (4) ► Set 2009 (5) ► Ago 2009 (1) ► Jul 2009 (7) ▼ Jun 2009 (10) POLIGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS NA CIRCUNFERÊN... ORAÇÃO DA Função injetora MATEMÁTICA Uma função y = f(x) é injetora quando elementos A VIDA COMO ELA É distintos do seu domínio , possuem imagens distintas, UMA MENSAGEM DE isto é: OTIMISMO x1 # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f (x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f GEOMETRIA PLANA (x2) # x2 => f(x1) # f(x2) # x2 => f(x1) # f(x2) .(# conteúdo sendo siginifica diferente) organizado Exemplo: conform... EUCLIDES POLÍGONOS E POLIEDROS NÚMEROS DECIMAIS UM TORMENTO
  • 4. SEM O USO DA CALCULAD... Função bijetora PLANO Uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , CARTESIANO - injetora e sobrejetora . RELAÇÕES E Exemplo: FUNÇÕES TEORIA DAS FUNÇÕES ► Mai 2009 (10) ► Abr 2009 (7) Exercícios ► Mar 2009 (9) resolvidos: ► Fev 2009 (11) 1 - Considere três funções f, g e h, tais que: ► Jan 2009 (8) A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade. A função g atribui a cada país, a sua capital A função h atribui a cada número natural, o seu dobro. Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras: MEU PERFIL a) f, g e h CLAUDIO LOVENIR b) f e h CUNHA c) g e h quem sou eu: d) apenas h e) nenhuma delas facil de Solução: entender. Sou eu...as vezes é preciso Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja: perder para me x1 # x2 -> f(x1) # f(x2) . compreender. Sou a Logo, podemos concluir que: Ausência de uma vida que já passou... O f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade. presente constante de g é injetora, pois não existem dois países distintos com a um amor ainda em mesma capital. vida.... Sou a saudade h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos. vivida de quem ficou.. Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de Sou apenas uma lágrima letra C. que findou..Sou uma 2 - Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais - tal que ingónita do infinito em f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x busca de uma + 5). solução,sou um teorema, Solução: posso ser um enunciado, Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, quem sabe ...do relativo da seguinte forma: ao absoluto, um zero que x - 5 = u logo x = u + 5 faça a diferença. Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u VIEW MY COMPLETE PROFILE + 5), vem: f(u) = 4(u + 5) logo f(u) = 4u + 20 Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos: f(x + 5) = 4(x+5) + 20 Então f(x+5) = 4x + 40 Agora resolva este:
  • 5. A função f em R é tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2.f (3x + 1). Resp: 9x + 5 3 - Paridade das funções 3.1 - Função par A função y = f(x) é par, quando x qualquer que seja D (f) , f(- x ) = f(x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio, f( x ) = f ( - x ). Portanto , numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesiano das funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas. Exemplo: y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x. Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17 O gráfico abaixo, é de uma função par. Função ímpar A função y = f(x) é ímpar , quando qualquer que seja x E D(f) , f( - x ) = - f (x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio, f( - x) = - f ( x ). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem PROGRESSÕES imagens simétricas. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções CONJUNTO ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto NUMERICO (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos. Exemplo: MACETES DE y = x3 é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(- MATEMATICA x) = - f(x). Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8. TEOREMA DE O gráfico abaixo é de uma função ímpar: PITAGORAS Nota: se uma função y = f PLANO CARTESIANO (x) não é par nem ímpar, dizemos que ela não possui paridade. LOGARITMOS Exemplo: O gráfico abaixo, TRIGONOMETRIA representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é
  • 6. simétrica em relação ao TRIGONOMETRIA eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem. Loading... 1 - FUNÇÃO INVERSA Dada uma função f : CICLO A -> B , se f é TRIGONOMETRICO bijetora , então define- se a função inversa f - 1 como sendo a GEOMETRIA função de B em A , tal ESPACIAL que f-1 (y) = x . Veja a representação a seguir: POLÍGONOS REGULARES GEOMETRIA PLANA GEOMETRIA METRICA EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA É óbvio então que: CALCULO DE ÁREAS a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y . b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f . GEOMETRIA c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f . ANALITICA d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro quadrante . ANALISE Exemplo: COMBINATÓRIA Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3. Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3 Explicitando y em função de x, vem: PORCENTAGEM, 2y = x - 3 então y = (x - 3) / 2, que define a função JUROS inversa da função dada. O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa. Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são ESTUDO DAS simétricas em relação à reta MATRIZES y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. by Mamanunes Templates
  • 7. Exercício resolvido: A função f: R -> R , definida por f(x) = x2 : a) é inversível e sua inversa é f -1 (x) = Raiz de x b) é inversível e sua inversa é f -1(x) = - Raiz de x c) não é inversível d) é injetora e) é bijetora SOLUÇÃO: Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a função f(x) = x2, definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em conseqüência, não é inversível. Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x2 é o conjunto R + dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que é igual a R. A alternativa correta é a letra C. 2 - FUNÇÃO COMPOSTA Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a variável independente x , por uma função. Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) . Veja o esquema a seguir: Obs : atente para o fato de que fog # gof , ou seja, a operação " composição de funções " não é comutativa . Exemplo:
  • 8. Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x). Teremos: gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15 fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3 Observe que fog # gof . Exercícios resolvidos: 1 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g (x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se: a) b(1 - c) = d(1 - a) b) a(1 - b) = d(1 - c) c) ab = cd d) ad = bc e) a = bc SOLUÇÃO: Teremos: fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b então fog(x) = acx + ad + b gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d então gof (x) = cax + cb + d Como o problema exige que gof = fog, fica: acx + ad + b = cax + cb + d Simplificando, vem: ad + b = cb + d ad - d = cb - b então d(a - 1) = b(c - 1), que é equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra A. . 2 - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g (x) = 2 - x então f(x) é: a) 2 - 2x b) 3 - 3x c) 2x - 5 *d) 5 - 2x e) uma função par. SOLUÇÃO: Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1 Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1 Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 - u. Substituindo, fica: f(u) = 2(2 - u) + 1 então f(u) = 5 - 2u Portanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva à alternativa D. Agora resolva esta: Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a: *a) -1/3 b) 1/3 c) 0 d) 1 e) -1 Tipos particulares de funções FUNÇÃO CONSTANTE Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k , onde k não depende de x . Exemplos:
  • 9. a) f(x) = 5 b) f(x) = -3 Obs : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x . Veja o gráfico a seguir: FUNÇÃO DO 1º GRAU Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a # 0 . Exemplos : f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1). Propriedades da função do 1º grau : 1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta 2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b # 0 f é dita função afim . 3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f (x) = 0 e, portanto, no ponto de abcissa x = - b/a . 4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear . 5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta . 6) se a > 0 , então f é crescente . 7) se a < 0 , então f é decrescente . 8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. Exercício resolvido: 1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f (2) = 5 e f(3) = -10. SOLUÇÃO: Podemos escrever:
  • 10. 5 = 2.a + b -10 = 3.a + b Subtraindo membro a membro, vem: 5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b) 15 = - a então a = - 15 Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica: 5 = 2.(- 15) + b então b = 35. Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35. Agora resolva esta: A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a: *a) 2 b) -2 c) 0 d) 3 e) -3 FUNÇÃO DO 2º GRAU Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a # 0 . Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ; y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 ) Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical . Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c : 1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo . 2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo 3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde: xv = - b/2a yv = - Delta /4a , onde Delta = b2 - 4ac 4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 . 5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) . 6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a. 7) Ymax = - Delta / 4a ( a < 0 ) 8) Ymin = - Delta /4a ( a > 0 ) 9) Im(f) = { y E R ; y > - Delta /4a } ( a >0 )
  • 11. 10) Im(f) = { y E R ; y < - Delta /4a} ( a < 0) 11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir : y = a(x - x1).(x - x2) POSTADO POR CLAUDIO LOVENIR DA CUNHA ÀS 18:40 MARCADORES: CLAUDIO LOVENIR DA CUNHA 0 COMMENTS: Post a Comment Postagem mais recente Home Postagem mais antiga Subscribe to: Postar comentários (Atom)