Algebra - Livro texto IV (UNIP/Matemática) 2018

105
Álgebra
Unidade IV
7 aNÉIS E CORPOS
7.1 Anéis de números inteiros e anéis de polinômios
Vimos, na representação dos anéis na seção passada, que o conjunto dos números inteiros
se encaixa nos anéis do tipo de domínio de integridade, pois, no conjunto dos números inteiros,
temos um conjunto não vazio em que estão definidas duas operações, adição e multiplicação,
e se verificam as propriedades: associativa (para a adição e multiplicação); comutativa (para
a adição); distributiva (da multiplicação em relação à adição) e, além disso, existe um único
elemento neutro para adição e, por fim, o fato de que para termos ab = 0, temos de ter a = 0 ou
b = 0, que, juntos, são quesitos para que um conjunto seja um domínio de integridade. Vimos
também que ele não chega a ser um corpo, pois, no conjunto dos números inteiros, não há um
inverso de um elemento, tal que o seu produto por ele resulte na unidade, já que, se tomamos um
elemento qualquer em Z, seu inverso cai no conjunto dos números racionais Q ou no conjunto
dos números reais R.
Na seção passada, estudamos também o anel Z / 〈n〉, que também pode ser escrito na forma
Zn
, em que usamos a congruência de um número inteiro em outro e consideramos o resto da
divisão entre esses dois inteiros. Vamos agora dar a definição formal da congruência entre os
dois inteiros.
7.1.1 Congruência módulo m em Z
Consideremos três inteiros: a, b e m. Dizemos que a é congruente em b, módulo m se, ao dividirmos
a por m, obtivermos o resultado em um resto b, ou seja a ≡ b(mod m) ou a b
m
≡ . Logo, se m divide a– b,
podemos pensar da seguinte forma:
a) se r é o resto da divisão de a por m, então a r
m
≡ ;
b) se a r r r m
m
≡ ∈ ≤ <e( )» 0 , então r é o resto da divisão de a por m;
c) em a b
m
≡ , o resto das divisões de a e b por m são iguais.
7.1.2 Conjunto Zm
das classes de congruência módulo m
Se tomarmos m > 2 como sendo um inteiro, definimos, em Z, a congruência módulo m como:
∀ ∈ ≡ ⇔ −a b a b m a b
m
, ,» divide

106
Unidade IV
A classe de congruência módulo m determinada por um inteiro b é dada pelo conjunto:
b x x b
m
= ∈ ≡{ }» / , que é chamado de conjunto dos inteiros módulo m e é representado por Zm
. Então
os b serão os elementos do conjunto Zm
:
Z b b Zm = ∈{ }/
Saiba mais
Para saber mais sobre congruência módulo M, consulte:
MOREIRA C. G. divisibilidade, congruências e aritmética módulo n.
Eureka! n. 2, p. 41-52, 1998. Disponível em: <http://www.obm.org.br/export/
sites/default/revista_eureka/docs/eureka2.pdf>. Acesso em: 22. abr. 2013.
EUREKA! n. 5, 1999. Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em:
<http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/eureka5.
pdf>. Acesso em: 22. abr. 2013.
7.1.3 O anel em Zm
Ao considerar m > 2, podemos trabalhar com operações de adição e multiplicação em Zm
, o que o
classifica como uma estrutura de anel comutativo com unidade, e, como vimos em exemplos anteriores,
se temos Zp
com p primo, além de tudo, ele passa a ser um corpo.
Zm
é um anel finito, ou seja, tem um número finito de elementos.
7.1.4 Anéis de polinômios
Considere S = R[X] = {a0
, a1
X + a2
X2
+ ...+ an
Xn
; ai
∈ R, n ∈ N}, em que
p X a a X a X a X aXn
n
i
i
i
n
( ) ...= + + + + =
=
∑0 1 2
2
1
é um polinômio sobre S. Podemos definir
operações de adição e multiplicação para dois polinômios p X aXi
i
i
n
( ) =
=
∑
1
e q X b Xi
i
i
m
( ) =
=
∑
1
, com m m <
n, da seguinte forma:
Adição
p x q x a b a b X a b X a b Xn n
n
i i
i
i
n
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )+ = + + + + + + = +
=
∑0 0 1 1
0

107
Álgebra
Fazemos apenas as somas de termos com mesmo expoente. Nesse caso, foi considerado como 0 os
termos de n > m.
Multiplicação
p x q x c x c c x m n xk
k
k
m n
m n
( ) ( ) ... ( )⋅ = = + + + +
=
+
+
∑
0
0 1
1
, em que: c abk j k j
j
k
= −
=
∑
0
Para o melhor entendimento do aluno, fica como exercício efetuar a multiplicação para n = 3 e m = 2,
utilizando essa relação.
Temos, então, (R[X], +, .) como um anel comutativo, com elemento neutro chamado de anel de
polinômios sobre R. É fácil ver que:
• o elemento neutro da adição é (0, 0, 0,...);
• o elemento neutro da multiplicação é (1, 0, 0,...).
Saiba mais
Para aprimorar o seu aprendizado sobre a aplicação de anéis de
polinômios, recomendamos consultar material disponibilizado pela
Universidade Federal de São Carlos no endereço: <http://www.dm.ufscar.
br/~sampaio/Ea2cap2_02.pdf>. Nas páginas 22 e 23, é apresentado um
algoritmo para a divisão de polinômios e para máximo divisor comum.
Um algoritmo de divisão também pode ser encontrado na página 6
do trabalho de conclusão de curso apresentado à Universidade Federal de
São Carlos, por Gonçalves (2010), disponível em: <http://www.dm.ufscar.
br/profs/tcc/trabalhos/2010‑2/282324.pdf>.
7.1.5 Teorema Fundamental da Álgebra
No século XII, Bhaskara Acharya encontra a primeira solução formal para a raiz de um polinômio de
ordem 2, (ax2
+bx+c), que conhecemos na forma:
x
b b ac
a
=
− ± −2
4
2
Nessa solução, é possível resultarem‑se números complexos. Contudo, como os conjuntos reais fazem
parte dos complexos, então temos sempre pelo menos uma solução complexa (visto que a segunda pode

108
Unidade IV
ser degenerada, ou seja, ser igual à primeira, que equivale, nesse caso, a fazer o termo dentro da raiz
igual a zero, resultando em duas equações iguais).
Já no século XVI, Tartaglia deu uma solução completa para se acharem as raízes de equações de
polinômios de ordem 3: (ax3
+ bx2
+ cx + d).
Nesse mesmo século, Ferrari deu uma solução para o polinômio de ordem 4: (ax4
+ bx3
+ cx2
+ dx + e).
Saiba mais
Para detalhes da solução completa das raízes de polinômios de ordem 3
e 4, consulte as páginas 3, 4 e 5 do seguinte trabalho:
FERNANDEZ, C. S.; SANTOS, R. A. O teorema fundamental da álgebra.
In: V BIENAL DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 2010. João
Pessoa: UFPB. Disponível em: <http://www.mat.ufpb.br/bienalsbm/
arquivos/Mini_Cursos_Completos/MC5Completo.pdf>. Acesso em 03
out. 2012.
Em polinômios de ordem 3 e 4, também podemos ter raízes reais ou complexas, lembrando que
sempre que um polinômio tem uma raiz complexa, necessariamente ele deve ter outra também
complexa, e é o complexo conjugado da primeira, ou seja, se a primeira solução encontrada foi z1
= a + bi, necessariamente, seu complexo conjugado, z1
= a – bi, também será uma solução. Então,
assim como para os polinômios de ordem 2, os de ordem 3 e 4 também possuem pelo menos uma
raiz complexa, pois podemos ter uma única solução com multiplicidade 3 (no caso de um polinômio
de ordem 3), como o polinômio x3
– 3x2
+ 3x – 1, que possui apenas uma raiz, x = 1, que, nesse caso,
tem multiplicidade 3.
Para polinômios com ordens maiores que 4, Abel, no século XIX, provou que não existe solução com
radicais como os de grau 1, 2, 3 e 4. Na verdade, casos particulares de polinômios com ordem maiores
que 4 possuem soluções específicas, mas, no geral, não é possível se obter uma solução por meio de
radicais para esses polinômios.
O Teorema Fundamental da Álgebra foi apresentado por Gauss, no século XVIII, afirmando que
qualquer polinômio de ordem n > 1 e coeficientes reais ou complexos possui pelo menos uma raiz
complexa.
É equivalente dizer que um polinômio de ordem n terá n raízes complexas, mas como já vimos,
algumas raízes podem ter multiplicidade, o que faz com que as duas formas de definir o teorema
sejam equivalentes.

109
Álgebra
Saiba mais
Uma prova com detalhes do Teorema Fundamental da Álgebra pode ser
vista também no trabalho que acabamos de indicar para consulta. Consulte,
então, desta vez, a página 7 de:
FERNANDEZ, C. S.; SANTOS, R. A. O teorema fundamental da álgebra. In:
V BIENAL DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 2010. João Pessoa:
UFPB. Disponível em: < http://www.mat.ufpb.br/bienalsbm/arquivos/Mini_
Cursos_Completos/MC5Completo.pdf>. Acesso em 03 out. 2012.
7.2 Corpos racionais, reais e complexos
Diferentemente do conjunto dos números inteiros, que não possui um elemento inversível,
o conjunto dos números racionais, reais e complexos, além de satisfazer todas as propriedades
necessárias para termos um anel com domínio de integridade, também satisfaz a propriedade
necessária para termos um corpo, situação em que: para um elemento a, sempre existe um elemento
b, tal que: ab = ba = 1, ou seja, um elemento b inverso ao elemento a. Portanto, chamamos esses
três conjuntos de corpos.
7.2.1 Racionais
O conjunto dos números racionais (Q), além dos elementos do conjunto dos números inteiros,
também admite frações não inteiras. O Conjunto Q é definido como:
Q a Z b Za
b
= ∈ ∈{ }/ , *
É fácil ver, então, que o que falhava quanto aos números inteiros serem um corpo não acontece
agora no conjunto dos números racionais, pois:
a
b
b
a
b
a
a
b
⋅ = ⋅ =1, em que tanto
a
b
quanto
b
a
fazem
parte de Q.
7.2.2 Reais
O conjunto dos números reais R, por sua vez, inclui todos os seguintes conjuntos: N, Z e Q, assim
como raízes de números positivos em geral (no caso do conjunto dos números racionais, inclui apenas
as raízes exatas). Como os números racionais fazem parte dos números reais, fica, então, fácil provar que
o conjunto dos números reais se trata de um corpo, o corpo dos reais.

110
Unidade IV
Saiba mais
Saiba mais sobre números reais lendo o artigo:
FRID, H. Os números irracionais. Eureka! n. 10, p. 37-46, 2001. Disponível
em: <http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/
eureka10.pdf>. Acesso em: 22. abr. 2013.
7.2.3 Complexos
Por fim, temos o conjunto dos números complexos C, que incluem, além dos elementos do conjunto
dos números reais, a raiz de números negativos. Como foi já foi visto, podemos escrever um número
complexo, desta forma:
C a bi a R b R i= + ∈ ∈ = −{ }/ , , 1
Portanto, se chamamos z = a + bi, fica claro que o seu inverso, 1/z, também está definido nos
números complexos, o que classifica também o conjunto dos números complexos como um corpo.
8 Homomorfismo E GRUPOS FINITOS E INFINITOS
8.1 Homomorfismo
8.1.1 Homomorfismo de grupos
Tomemos dois conjuntos, A e B não vazios, que possuem, respectivamente as operações binárias * e
º. Se A e B são grupos: ((A, *) e (B, º)), uma função f de A em B será, então, um homomorfismo se:
f(a * b) = f(a) º f(b)
Note que, nesse caso, a operação não necessariamente precisa ser conservada. Exemplo:
f(x) = ln(x) → f(a.b) = ln(a) + ln(b) = f(a) + f(b)
f(a.b) = f(a) + f(b)
Logo, essa função é um homomorfismo que leva à multiplicação na soma. Notamos o homomorfismo
também na sua inversa, a exponencial:
g(x) = ex
→ f(a+b) = ea+b
= ea
. eb
= f(a) . f(b)

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Álgebra
A função g é um homomorfismo que leva à soma na multiplicação. Essa função é um homomorfismo
de grupos.
Conjunto A Conjunto B
f(a * b) = f(a) º f(b)
Operação
*
a
b
a * b
Operação
º
f(a)
f(b)
f(a) º f(b)
Figura 21
8.1.2 Homomorfismo de anéis
Homomorfismo de anéis corresponde às funções ou aplicações que preservam as
operações, transformando, por exemplo, as somas dos elementos do conjunto de partida
(domínio) na soma dos elementos do conjunto de chegada (imagem). Da mesma forma,
transformam um produto de elementos do conjunto de partida no produto de elementos do
conjunto de chegada.
Domínio
f(a)
f(b)
Imagem
A
B
a
b
Figura 22
Simbolicamente, dados a, b ∈ A e f(a), f(b) ∈ B, podemos representar o homomorfismo da
seguinte maneira:
f(a + b) = f(a) + f(b) e
f(a . b) = f(a) . f(b)

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Unidade IV
Observação
Um homomorfismo de grupos é um homomorfismo entre dois grupos
Um homomorfismo de anéis é um homomorfismo entre dois anéis.
Umatransformaçãolinearéumhomomorfismoentredoisespaçosvetoriais.
Um homomorfismo álgebra é um homomorfismo entre duas álgebras.
Saiba mais
Uma aplicação importante do homomorfismo é o critério de divisibilidade
para números inteiros. Para saber mais a respeito acesse as páginas 13 e 14 do
trabalho indicado em seguida. Outra aplicação de homomorfismo é a Prova
dos Nove, que pode ser vista com mais detalhes na página 15 do mesmo texto.
PICADO, J. Corpos e equações algébricas. Departamento de Matemática
da Universidade de Coimbra, 2009. Disponível em: <http://www.mat.
uc.pt/~picado/corpos/apontamentos/sebenta1.pdf>. Acesso em 03 out. 2012.
Exemplos:
1) Sabemos que o conjunto dos números reais e o conjunto de matrizes (2 x 2) são anéis, tendo como
operações a adição e multiplicação. Podemos definir uma função entre esses anéis da seguinte forma:
f a
a
a
a R( ) =



 ∈
0
0
com
Logo, f será um homomorfismo de anéis se preservar as operações de adição, ou seja, f(a + b) = f(a) + f(b):
f a b
a b
a b
a
a
b
b
f a f b( ) ( ) ( )+ =
+
+



 =







 = +
0
0
0
0
0
0
+
e de multiplicação, ou seja, f(a . b) = f(a) . f(b):
f a b
a b
a b
a
a
b
b
f a f b( ) ( ) ( )⋅ =
⋅
⋅



 =



 ⋅



 = ⋅
0
0
0
0
0
0

113
Álgebra
2) Seja f: N → C, tal que f(n) = in
, com i ∈ C, n ∈ N e f(n) ∈ C e . Note que todos os possíveis
resultados de f(n) = in
são {1, –1, i,–i}. Desse modo, f(n) = in
é uma aplicação não sobrejetora e
tão pouco injetora. Logo, f(n) = in
é um homomorfismo não bijetor, o que, como veremos a seguir,
implica no homomorfismo ser um isomorfismo. Portanto, este é um exemplo de uma função que
é homormofismo, mas não, isomorfismo.
Vejamos, então, os tipos de homomorfismo que podemos ter.
8.1.3 Tipos de homomorfismos
Endomorfismo
Todo homomorfismo de (H, * ) em si próprio é chamado endomorfismo.
Automorfismo
Um automorfismo corresponde a todo endomorfismo cuja aplicação f é bijetora. Vale lembrar que
uma aplicação de um conjunto B em B’ é dita bijetora quando for injetora e sobrejetora ao mesmo
tempo, sendo que, em uma aplicação injetora, cada elemento da imagem tem um único correspondente
no domínio, enquanto que, numa aplicação sobrejetora, todos os elementos de B' devem ser imagem
de elementos de B.
Monomorfismo
Um homomorfismo f é um monomorfismo ou homomorfismo injetor quando a aplicação f é injetora.
Epimorfismo
Umhomomorfismoféumepimorfismoouhomomorfismosobrejetorquandoaaplicaçãofésobrejetora.
Isomorfismo
Se f é um homomorfismo de um conjunto B em B' e se também é uma aplicação bijetora, dizemos
que f é um isomorfismo ou que B é isomorfo a B'.
Exemplos:
1) Temos, em seguida, a tabela de representação de Z / 〈5〉 , em que aparecem apenas os restos
das divisões de qualquer número inteiro por 5. Nesse exemplo, temos uma aplicação bijetora,
pois ela é injetora (cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio) e
sobrejetora (todos os elementos de um grupo são imagens do outro). Temos, então, um exemplo
de um isomorfismo.

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Unidade IV
Tabela 8 Tabela 9
+ 0 1 2 3 4 • 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4
2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3
3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2
4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1
2) Considerando os grupos (R*
+
, +) e (R, .), temos:
ao aplicarmos f(x) = In(x): R*
+
→ R
ou
ao aplicarmos f(x) = In(x) : R → R*
+
Podemos notar que se trata de um isomorfismo, pois, como vimos, essas funções são
homomorfismos, mas nas aplicações entre os grupos (R*
+
, +) e (R, .), vemos que se trata de uma
aplicação sobrejetora em ambos os casos.
3) Nos grupos (Z+
, +) + e (C*
+
, .), na aplicação f: Z+
→ C*
+
, em que f(n) = f(n) = in
, temos uma aplicação
que não é nem sobrejetora nem injetora, não se encaixa em nenhum dos tipos dos outros tipos de
homomorfismos, sendo, portanto, apenas um homomorfismo.
4) Nos grupos (Z, +) e (Q, +), na aplicação f: Z+
→ C*
+
, em que f(x) = 4x, temos uma aplicação
de um grupo em outro e notemos que se trata de uma aplicação que é injetora, mas não é
sobrejetora, pois, nela, há elementos de Q que não são imagem de nenhum elemento de Z
(é fácil ver que a multiplicação de 4 por um inteiro nunca resultará em uma fração racional
não inteira: ½, ¾ etc). Então, pelas definições dos homomorfismos, vemos que se encaixa no
monomorfismo.
5) Nos grupos (C*
, .) e (R*
+
, .), na aplicação f: C*
→ R*
+
, em que f(z) = |z|, temos uma aplicação
que não é injetora, pois, para mais de um valor diferente de z, resulta no mesmo valor de
f(z). Por exemplo, |1| = |i| = |–i| = 1, ou seja, três valores diferentes de z resultam no mesmo
valor de f(z). No entanto, ela é uma aplicação sobrejetora, pois todo número sempre poderá
ser o módulo de algum número complexo. Temos, então, exemplo de função que é um
epimorfismo.
6) Na aplicação f: Z x Z → Z x Z, em que f(x) = (x + y, 0), temos uma aplicação de um grupo em
si mesmo; logo, temos um endomorfismo, e como essa aplicação não é bijetora, pois temos um
sistema de pontos cartesianos inteiros, mas como vemos, poderemos ter a mesma imagem para
diferentes domínios, o que torna essa operação não bijetora, e portanto ela será um endomorfismo,
mas não será um automorfismo.

115
Álgebra
7) Nos grupos (R, +) e (R, +), na aplicação f: R → R, em que f(x) = 4x, temos uma aplicação de um
grupo em si mesmo. Logo, teríamos um endomorfismo, mas essa aplicação é bijetora, pois a
imagem corresponderá a todos os números reais, pois, para qualquer valor real x, teremos um
único valor real f(x); portanto, ela é injetora. E vemos que, por meio dessa operação, podemos
varrer todos os números reais; assim, ela também é sobrejetora. Essa função é, dessa forma, um
automorfismo.
Vejamos agora alguns exemplos de aplicação do que estudamos.
1. A propriedade representada na expressão (4 + 2) + 1 = ( 2 + 4) + 1 é:
a) Comutativa.
b) Associativa.
c) Elemento neutro.
d) Distributiva.
e) Elemento simétrico.
Resolução:
Observando a propriedade, notamos que é comutativa. Logo, a alternativa correta é a a). Deixamos
a você a tarefa de justificar por que as demais alternativas são incorretas.
2. Sobre o conjunto das matrizes de ordem 3, é correto afirmar que:
a) É grupo comutativo com a multiplicação.
b) É anel comutativo.
c) É corpo.
d) É domínio de integridade.
e) É anel com elemento unidade.
Resolução:
• (M3
(IR), +) é grupo comutativo;
• (M3
(IR), •) é associativo; tem elemento unidade; não é comutativo; tem divisores de zero;
• (M3
(IR),+, •) é distributivo.

116
Unidade IV
Logo, não é grupo comutativo com a multiplicação, não é anel comutativo, não é corpo e
nem é domínio de integridade, é anel com elemento unidade. Portanto, a alternativa correta
é a e).
3. O conjunto Z com a adição usual é:
a) Grupo abeliano.
b) Não é associativo.
c) Não tem elemento neutro.
d) Não tem simétrico.
e) Não é comutativo.
Resolução:
(Z, +) é grupo abeliano (comutativo). Logo, é associativo, tem elemento neutro, tem simétrico e
é comutativo. Portanto, a alternativa correta é a a). Deixamos a você a tarefa de justificar por que as
demais alternativas são incorretas.
4. Para a estrutura algébrica (Z, +,. ), inteiros com a adição e a multiplicação usuais, podemos dizer
que:
a) ( Z, +,. ) é um corpo.
b) ( Z, +,. ) não possui a propriedade comutativa da multiplicação.
c) ( Z, +,. ) é um anel.
d) ( Z, +,. ) não é comutativo com a adição.
e) ( Z, +,. ) não vale a propriedade distributiva.
Resolução:
O conjunto dos inteiros com a adição e a multiplicação é um anel comutativo com elemento unidade.
Assim, valem as propriedades: comutativa da adição, comutativa da multiplicação e distributiva. Logo,
as alternativas b), d) e e) são falsas.
No conjunto dos inteiros, não vale a propriedade do elemento inverso, portanto não pode ser corpo.
Assim, a alternativa correta é a c): ( Z, +,. ) é anel.

117
Álgebra
5. Sobre a estrutura de grupo, é correto afirmar que devem valer as propriedades:
a) Associativa e elemento neutro.
b) Associativa, elemento neutro e simétrico.
c) Associativa e distributiva.
d) Associativa e comutativa.
e) Elemento neutro e distributiva.
Resolução:
Para ser grupo, o conjunto não vazio, com uma operação, deve satisfazer as propriedades: associativa,
elemento neutro e simétrico. Logo, a alternativa correta é a b).
6. Sobre a estrutura de anel, é correto afirmar que:
a) Todo anel é comutativo.
b) Todo anel tem elemento unidade.
c) Todo anel é corpo.
d) Todo anel é domínio de integridade.
e) Existe anel que é domínio de integridade.
Resolução:
Para ser anel, não é obrigatório que seja comutativo, que tenha elemento unidade, que seja domínio
de integridade, além do fato de nem todo anel ser corpo. Assim, as alternativas a), b), c) e d) são falsas.
Portanto, a alternativa correta é a e).
7. Considerando as propriedades das estruturas algébricas e os conjuntos:
I. (IN, +, •).
II. (Z, +, •).
III. (Q, +, •).
IV. (IR, +, •).
É correto afirmar:

118
Unidade IV
a) Apenas I e II são corpos.
b) Apenas I e III são corpos.
c) Apenas II e III são corpos.
d) Apenas III e IV são corpos.
e) Apenas II e IV são corpos.
Resolução:
Para ser corpo, o conjunto precisa ser: anel comutativo, com elemento unidade, sem divisores de
zero e deve existir inverso para todo elemento não nulo. Assim,
• (IN, +, •) não é corpo, pois não é grupo com a adição;
• (Z, +, •) não é corpo, pois não possui inverso para todo elemento não nulo;
• (Q, +, •) é corpo;
• (IR, +, •) é corpo.
Portanto, III e IV são corpos; consequentemente, a alternativa correta é a d).
8. Considerando as propriedades das estruturas algébricas e os conjuntos:
I. (M2
(IR), +, •).
II. (C, +, •).
III. (Q, +, •).
IV. (IR, +, •).
É correto afirmar:
a) I, II e III têm divisores de zero.
b) I, III e IV têm divisores de zero.
c) II, III e IV não têm divisores de zero.
d) I, II e IV não têm divisores de zero.
e) II e IV têm divisores de zero.

119
Álgebra
Resolução:
(M2
(IR), +, •) têm divisores de zero.
(C, +, •), (Q, +, •) e (IR, +, •) não têm divisores de zero.
Assim, a única alternativa correta é a c), ou seja, II, III e IV não têm divisores de zero.
9. Considerando a resolução da equação a seguir, no corpo dos reais, as propriedades que justificam
a forma como foi solucionada (em ordem de utilização) são:
2x + 3 = 7 ⇒ (2x + 3) + (‑3) = 7 + (‑3) ⇒ 2x + (3 + (‑3)) = 4 ⇒ 2x + 0 = 4 ⇒ 2x = 4 ⇒
⇒ x = 4 / 2 ⇒ x = 2
a) Simétrica, comutativa, simétrica, elemento neutro e elemento inverso.
b) Simétrica, associativa, simétrica, elemento neutro e elemento inverso.
c) Simétrica, comutativa, simétrica e associativa.
d) Simétrica, distributiva, simétrica, elemento neutro e elemento inverso.
e) Simétrica, comutativa, simétrica, elemento neutro e distributiva.
Resolução:
Observando a resolução, notamos que as propriedades são utilizadas nesta ordem: simétrica,
associativa, simétrica, elemento neutro e elemento inverso. Portanto, a alternativa correta é a b).
10. Considerando a resolução da equação a seguir, no corpo dos reais, as propriedades que justificam
essa resolução (em ordem de utilização) são:
2x + 1 = x + 3 ⇒ 2x + (‑x) = 3 + (‑1) ⇒ x (2 – 1) = 2 ⇒ x . 1 = 2 ⇒ x = 2
a) Simétrica, distributiva e elemento neutro.
b) Simétrica, comutativa e elemento neutro.
c) Elemento neutro, comutativa e elemento neutro.
d) Simétrica, distributiva e elemento inverso.
e) Simétrica, comutativa e elemento inverso.

120
Unidade IV
Resolução:
Observando a resolução, notamos que as propriedades são utilizadas segundo esta ordem: simétrica,
distributiva (para colocar x em evidência) e elemento neutro. Portanto, a alternativa correta é a a).
8.1.4 Corpo ordenado
Um corpo ordenado é um corpo K (evidentemente, esse conjunto satisfaz as propriedades enunciadas
aqui para um conjunto totalmente ordenado), no qual se destacou um subconjunto P ⊂ K, chamado
conjunto dos elementos positivos de K, tal que as seguintes condições são satisfeitas:
I. a soma e o produto dos elementos positivos são positivos. Simbolicamente, temos: x, y ∈ P →
x + y ∈ P e x . y ∈ P;
II. dado x pertencente a K, ocorre, exatamente, uma das três alternativas seguintes: ou x = 0, ou
x ∈ P, ou –x ∈ P.
Num corpo ordenado K, escrevemos x < y, dizendo que x é menor do que y, para significar que y – x
∈ P, ou seja, que x = y + z, em que z ∈ P. De modo análogo, escreve‑se y > x, para y maior que x.
Exemplo 1
Corpo ordenado dos números racionais.
Exemplo 2
Corpo ordenado dos números reais.
Observação
Um corpo ordenado K chama‑se completo quando todo subconjunto
não vazio, limitado superiormente, X ⊂ K, possui supremo em K. Existe um
corpo ordenado completo, R, chamado corpo dos números reais, que, a
menos de um isomorfismo, é único.
8.2 Grupos finitos e infintos
Ao estudarmos os grupos finitos, geralmente consideramos a simetria dos objetos matemáticos ou
físicos se estes admitem apenas um número finito de estrutura de preservação de transformações. Esses
tipos de grupos são finitos gerados por reflexões que atuam em um espaço euclidiano de dimensão
finita. Basicamente, um grupo finito é aquele cujo conjunto G tem um número de elementos finito. O
número de elementos de G será indicado por ºG, notação que designará a ordem do grupo G. Se G não
for finito, será um grupo infinito e sua ordem será infinita.

121
Álgebra
Lembrete
SeGéumconjuntonãonulo,munidodeumaoperação*,paraqueG,comessa
operação, seja um grupo (G, *), devem ser satisfeitas as condições denominadas
de axiomas de grupo a saber: associatividade, identidade e elementos inversos.
Intuitivamente, sabemos que um conjunto G é finito se os seus elementos podem ser contados. Um
exemplo de um conjunto finito com n > 0 elementos é o conjunto dos primeiros n naturais:
Xn
= {1, 2, 3, ..., n} = {c∈ N / c < n}
É fácil ver que, se n = 0, temos um conjunto vazio: Xn
= ∅. A contagem do número de elementos
de G consiste em estabelecer uma função bijetora entre G e Xn
. Esse conceito pode ser formalmente
descrito do seguinte modo:
• o conjunto G diz‑se finito, se é isomorfo a Xn
, para algum n > 0. Se G não é isomorfo a nenhum
Xn
, então dizemos que é infinito.
Exemplos:
1) Xn
é isomorfo a si próprio. Desse modo, ele é finito.
2) O subconjunto G ⊂ N será finito se, e somente se, G for limitado.
Observação
G será infinito se, e somente se, existir uma função f: G → G injetora e
não sobrejetora.
Lema:
Se f: Xn
→ Xn
é injetora, então f é sobrejetora.
Faremos a demonstração disso por indução:
I) Se n = 0, não há o que provar. Note que é possível que seja vazio. Nesse caso, f é injetora e
sobrejetora, pois f: Xn
→ Xn
e Xn
é vazio.
II) Supondo que o resultado é valido para n, isto é, se f: Xn
→ Xn
é injetora, então f é sobrejetora.
III) Vamos provar que o resultado também é válido para n + 1, isto é, que sef: Xn+1
→ Xn+1
é injetora,
então f é sobrejetora.

122
Unidade IV
Vamos supor que f: Xn+1
→ Xn+1
é injetora e que g = f(n+1). Consideremos uma função bijetora
h : Xn+1
→ Xn+1
, dada por h(n + 1) = g, h(g) = n + 1, e h (x), conforme ilustração em seguida. Em todos
os outros casos, h substitui os naturais g, n + 1 e é a identidade, se x ≠ a, n + 1, mas esse último fato
não necessita de demonstração. Definimos f* = h º f e percebemos que f * é injetora (uma vez que há
composição de duas funções injetoras), com f * (n – 1) = n + 1, por definição de h. Como f * é injetora,
se x ∈ Xn
(isto é, x ≠ n + 1), temos f * (x) – x + 1, em que f * (x) ∈ Xn
ou f * (Xn
) ⊂ Xn
.
A restrição de f * a Xn
a torna, portanto, uma função injetora de Xn
em Xn
, ou seja, f *(Xn
) = Xn
. Como
f * (n+1) = n + 1, temos f * (Xn+1
) = Xn +1
, isto é, f * é uma função sobrejetora de Xn+1
→ Xn+1
.
f h
Xn + 1
f * = h º f
Xn + 1
Xn + 1
n + 1
g
•
Xn
•
n + 1
g
•
Xn
•
n + 1
g
•
Xn
•
Figura 23
Observe que f = h–1
º f *é sobrejetora, por ser uma composição de funções sobrejetoras.
A seguir, apresentamos algumas proposição sobre grupos finitos:
1) Se G é finito e f: G → G é injetora, então f é sobrejetora.
Demonstração: seja h : Xn
→ G uma função bijetora. Note que f * = h–1
º f º h; h : Xn
→ Xn
é injetora,
por uma composição de funções injetoras (veja ilustração a seguir). De acordo com o lema anterior, f *
é necessariamente sobrejetora. Logo, f * = h–1
º f º h é uma composição de funções sobrejetoras, o que
significa que ela também é sobrejetora.

123
Álgebra
G
X
G
X
f
h h–1
–1
f* = h º f º h
Figura 24
Lembrete
Vale lembrar que f: N → N, dada por f(n) = n + 1, é injetora, mas
não é sobrejetora. De acordo com o resultado anterior, concluímos que
N é infinito.
Vejamos algumas proposições, lemas e corolários importantes sobre os grupos finitos.
1) Corolário: se f: G → G é uma função injetora, e não sobrejetora, então G é um grupo infinito.
2) Corolário: se G é finito, G ⊃ H e f: G → H é uma aplicação injetora, então G = H.
3) Corolário: se f: Xn
→ G e h : Xm
→ G são aplicações bijetoras, então n = m.
4) Proposição: se H ⊂ G, temos que:
I. se G é finito, então H também é finito e ºH < º G.
II. se G é finito e ºH = º G, então H = G.
III. se H é infinito, então G também é infinito.
5) Lema: se f: Xn
→ G é uma aplicação injetora, mas não é sobrejetora, então existe f * : Xn+1
→ G,
que é injetora.
6) Lema: se f: Xn
→ G é uma aplicação injetora, então G é finito e ºG < n.
7) Proposição: se G e H são finitos, então:

124
Unidade IV
I. G ∪ H é finito, º(G ∪ H) < º G ∪ º H;
II. se G e H são disjuntos, então º(G ∪ H) = ºG + º H;
III. se G x H é infinito, então º(G x H) = ºG . ºH.
Saiba mais
Você pode encontrar as demonstrações dos itens de 1 a 7 na página 407
do trabalho indicado a seguir:
FERNANDES,R.J.;RICOU,M.Álgebraabstrata.2003.Disponívelem:<www.
math.ist.utl.pt/~rfern/Meus‑papers/HTML/main.pdf>Acesso em: 08 out. 2012.
8.2.1 Grupo cíclico
Um exemplo de um grupo finito é o grupo cíclico. Para falar de um grupo cíclico, lembremos que
todo subconjunto não vazio de um grupo G gera algum subgrupo de G. Podemos definir qualquer
grupo indicando um sistema de geradores. Dizemos que um elemento a ∈ Z é gerador do grupo (G*),
se ∀m ∈ G, existe um m' ∈ G / m' = a * m. Se um grupo (G, *) é gerado por um único elemento de G, é
denominado grupo cíclico gerado por a. Então, se a ∈ (G, *):
H = {am
, m ∈ Z}
Lembrete
Lembrando que am
= a * a * a * a ...:
• se o grupo for multiplicativo, então am
= a . a . a . a ..., ou seja, é o
conjunto das potências de a;
• se o grupo for aditivo, então am
= a + a + a + a ..., ou seja, é o
conjunto dos múltiplos de a.
Um problema interessante é o da rotação de um quadrado, no qual se define um grupo cíclico. Definimos
a operação desse grupo como sendo a rotação do quadrado em 90º no sentido horário. Trata‑se de um grupo
cíclico, pois é gerado por um único elemento (rotação em 90º), no qual pode ser aplicada indefinidamente.
Como é um grupo finito, um número definido de aplicações resultará na repetição da imagem desse grupo.
Em seguida, podemos observar o caso da rotação de um quadrado. Temos quatro situações
possíveis, a primeira, chamada de identidade, que representaremos por 0; é o caso em que

125
Álgebra
fazemos 4 rotações de 90º no sentido horário, naturalmente voltando para a configuração
original, daí o nome que recebe, pois esta é o elemento neutro da nossa aplicação. Além dela,
temos a aplicação a que chamaremos de 1, que é uma rotação de 90º, a aplicação 2, que
equivale a duas rotações de 90º (ou seja, uma de 180º) e a aplicação 3, que corresponde a três
rotações de 90º (uma de 270º).
1
4
2
3
1
4
2
3
1
4
2
3
1
4
2
3
Rotação 90º para a direita
Rotação 90º para a
direita (corresponde a
180º da 1ª figura)
Figura 25
Sendo assim, podemos montar a tabela de rotação do nosso grupo finito, em que especificaremos
a rotação como •. Logo, temos:
Tabela 10
• 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
As operações expressas na tabela são extremamente simples de se interpretar. Tomemos alguns
exemplos: 0 com 2 resulta em 2, pois se estamos na situação inicial e giramos duas vezes em 90°,

126
Unidade IV
cairemos na situação 2, que é o quadrado rotacionado em 180º; 1 com 2 resulta em 3, pois se já
estamos na situação 1, em que o quadrado está rotacionado em 90º e depois rotacionamos mais duas
vezes, será o equivalente a tê‑lo rotacionado 3 vezes, ou 270º; 3 com 2: nesse caso, como já estamos
inicialmente rotacionados em 270º e desejamos rotacionar mais uma vez, lembremos que, na primeira
vez que o fizermos, ele reiniciará o ciclo, voltando para a situação 0, e, na segunda aplicação, iremos
para a situação 1.
O interessante nesse problema é que sua tabela de aplicações é exatamente igual ao anel
dos congruentes módulo m, considerando a operação de adição. Entretanto, ao pegarmos
apenas uma operação, temos exatamente um grupo, que, nesse caso, é finito. Podemos, então,
definir esse grupo finito (Zm
, +), que tem as mesmas propriedades de um grupo de rotação
finito.
8.2.2 Conjuntos infinitos
Nesta seção, optamos por apenas apresentar (sem demostrar) os teoremas proposições, lemas e
corolários importantes sobre os grupos infinitos.
Já vimos que N é um conjunto infinito. Em certo sentido, é possível provar que N é o menor conjunto
infinito que existe.
1. Lema: G é infinito se, e somente se, G contém um subconjunto isomorfo a N.
2. Teorema: G é infinito se, e somente se, existe f: G → G que seja injetora sem ser
sobrejetora.
3. Teorema (Cantor): h: G → P (G) é uma função, então h não é sobrejetora.
Saiba mais
Você pode encontrar as demonstrações dos itens 1, 2 e 3 na página 409
do seguinte trabalho:
FERNANDES, R. J.; RICOU, M. Álgebra abstrata. 2003. Disponível em: <www.
math.ist.utl.pt/~rfern/Meus‑papers/HTML/main.pdf>Acesso em: 08 out. 2012.
Observação
Conjunto das partes de um conjunto. Se um conjunto G finito possui
n elementos, então o conjunto das partes de G terá 2n
elementos. Veja o
exemplo a seguir:

127
Álgebra
Se G = {1, 2, 3}, então: ºP (G) – 8, pois 23
= 8; e a sequência do conjunto
de subconjuntos de G será:
P (G) = {∅; {1} ;{2};{3};{1, 2};{1, 3};{1, 2};{2, 3};{1, 2, 3}}
Exemplo 1:
Supoha que G = {1, 2}, em que: P (G) = {∅ ;{1};{2};{1, 2}}. Dada a aplicação h : G → P (G) uma
função, sendo h(1) = {2} e h(2) = {1, 2}.
Temos F = {g ∈ G / g ∉ h(g)} = {1}, sendo que, obviamente, F ∉ h(G) = {{2}; {1, 2}}.
Exemplo 2:
Considere o conjunto P(N), formado por todos os conjuntos dos números naturais. Conforme
exemplo anterior, P(N) não é isomorfo a N, visto que não é um homomorfismo sobrejetor. Contudo, é
fato evidente que f: N → P (N), dada por f(n) = {n}, é injetora, e, portanto, P(N) é infinito.
Exemplo 3:
O conjunto G será numerável se, e somente se, G for um conjunto finito ou isomorfo a N; caso
contrário, G será (infinito) não enumerável.
Exemplo 4:
Z é um conjunto não enumerável.
Exemplo 5:
R é um conjunto não enumerável.
Resumo
Relembremos, brevemente, o que vimos nesta unidade. Estudamos a
congruência modulo m em Z. Dados a, b e m, dizemos que a é congruente
em b modulo m se, ao dividirmos a por m, a divisão resultar em um resto b,
ou seja, a ≡ b (mod m) ou a b
m
≡ logo, se m divide a – b. Assim,
a) se r é o resto da divisão de a por m, então a r
m
≡ ;
b) se a r r Z e r m
m
≡ ∈( ) ≤ <0 , então r é o resto da divisão de a por m;
c) em a b
m
≡ , o resto das divisões de a e b por m são iguais.

128
Unidade IV
Do conjunto Zm, das classes de congruência módulo m, lembremos
que se m ≥ 2 m ∈ Z, temos ∀ ∈ ≡ ⇔a b Z a b m
m
, , divide a – b. Sendo assim,
a classe de congruência módulo m: b x Z x b
m
= ∈ ≡{ }/ o conjunto dos
inteiros modulo m: Z b b Zm = ∈{ }/
Estudamos também o conceito de anéis e suas propriedades. Temos,
no anel em Zm, (Zm, +, .). Sendo m ≥ 2, o anel é comutativo com unidade.
Sendo Zp, com p primo, temos também um corpo. Zm é um anel finito.
Abordamos, ainda, os anéis de polinômios. Seja
S R X a a X a X a X a R n Nn
n
i= [ ]= + + + ∈ ∈{ }0 1 2
2
... , , , em que
p X a a X a X a X aXn
n
i
i
i
n
( )= + + + + =
=
∑0 1 2
2
1
... é um polinômio sobre S.
Seja p X aXi
i
i
n
( )=
=
∑
1
e q X b Xi
i
i
m
( )=
=
∑
1
, com m<n, definimos:
Adição:
p x q x a b a b a b X a b Xn n
n
i i
i
i
n
( )+ ( )= +( )+ +( )+ + +( ) = +( )
=
∑0 0 1 1
0
...
Multiplicação:
p x q x c X c c x m n xk
k
k
m n
m n
( ) ( )= = + + + +( )
=
+
+
∑. ...
0
0 1
1
, em que:
c ab jk j k
j
k
= −
=
∑
0
Vimos que, segundo o Teorema Fundamental da Álgebra, qualquer
polinômio de ordem n > 1, com coeficientes reais ou complexos, possui
pelo menos uma raiz complexa.
Estudamos os corpos racionais, reais e complexos. Um corpo é um
domínio de integridade quando satisfaz a condição: ab = ba = 1. Existe
um elemento b que é inverso ao elemento a. Lembremos que o conjunto
dos números inteiros não possui elemento inverso e que os conjuntos dos
números racionais, reais e complexos, além de serem anéis com domínio de
integridade, também possuem estrutura de um corpo.

129
Álgebra
Vale lembrarmos que o conjunto dos números racionais (Q) é definido
por: Q
a
b
a Z b Z= ∈ ∈






/ , *
. Como é um anel de integridade e cada
a
b
Q
b
a
tal que
a
b
b
a
∈ ∃ =, , . 1, então Q é um anel.
O conjunto dos números reais R, por sua vez, inclui todos os seguintes
conjuntos: N, Z e Q, assim como as raízes de números positivos em geral.
Logo, esse conjunto á um corpo.
O conjunto dos números complexos C é expresso por:
c a bi a R b R i= + ∈ ∈ = −{ }/ , , 1 Se z = a + bi, o seu inverso, 1/z, está
definido nos números complexos; logo, é um corpo.
O homomorfismo de grupos e de anéis foi outro tópico abordado nessa
segunda parte da nossa disciplina. Sendo A, B ≠ ∅, com as operações
binárias * e o, se A e B são grupos ((A, *) e (B, º)), f: A → B e homomorfismo
se f(a * B) = f(a) o f(b) ou f(a + b) = f(a) + f(b) e f(a . b) = f(a) . f(b).
São tipos de homomorfismo:
Endomorfismo: homomorfismo de (H, *) em si próprio;
Automorfismo: endomorfismo em que a aplicação f é bijetora;
Monomorfismo: homomorfismo injetor, quando f for injetora;
Epimorfismo: homomorfismo sobrejetor, quando f for sobrejetora;
Isomorfismo: se f é um homomorfismo de B em B’ e se f também é
uma aplicação bijetora.
Vale lembrarmos também do conceito de corpo ordenado. K é um corpo
ordenado se, dado P ⊂ K, as seguintes condições são satisfeitas:
1) a soma e o produto dos elementos positivos são positivos.
Simbolicamente, temos: x, y ∈ P → x + y ∈ P e x . y ∈ P;
2) dado x pertencente a K, exatamente uma das três alternativas
seguintes ocorre: ou x = 0, ou x ∈ P, ou –x ∈ P.
Num corpo ordenado K, x < y => y – x ∈ P, ou seja, x = y + z, em que z
∈ P; também podemos escrever y > x.

130
Unidade IV
Estudando grupos finitos e infinitos, vimos que um conjunto G é finito
se é isomorfo a Xn, para algum n ≥ 0. Se G não é isomorfo a nenhum
Xn, então dizemos que G é infinito. Vale relembrarmos destas importantes
propriedades:
Se f: Xn → Xn e injetora, então f é sobrejetora.
Se G e finito e f: G → G é injetora, então f é sobrejetora.
Se f: G → G é injetora e não é sobrejetora, então G é um grupo infinito.
Se G é finito, G ⊃H e f: G → H é uma aplicação injetora, então G = H.
Se f: Xn → G e h: Xm → G são aplicações bijetoras, então n = m.
Se H ⊂ G, temos:
a) Se G é finito, então H também e finito e ºH < ºG.
b) Se G é finito e ºH = ºG, então H = G.
c) Se H é infinito, então G também é infinito.
Se f: Xn → G é injetora e não é sobrejetora, então existe f*: Xn + 1 → G,
que é injetora.
Se f: Xn → G é uma aplicação injetora, então G é finito e ºG ≤n.
Se G e H são finitos, então:
a) G ∪ H é finito, º(G H) < ºG ∪ ºH;
b) se G e H são disjuntos, então º(G ∪ H) = ºG + ºH.
Vimos que um grupo é cíclico quando indica um sistema de geradores:
a ∈ Z é gerador de (G, *); se ∀m ∈ G, existe um m’ ∈ G / m’ = a * m . ⇒H
= {am, m ∈ Z}.
Quanto aos conjuntos infinitos, vimos que N é o menor conjunto
infinito que existe.
G é infinito ⇔ G contém um subconjunto isomorfo a N.
G é infinito ⇔ f: G → G que seja injetora sem ser sobrejetora.
(Cantor). h: G → P(G) uma função. Então h não é sobrejetora.

131
Álgebra
Exercícios
Questão 1. Analise as afirmações sobre homomorfismo:
I. A aplicação f : Z → C* dada por f(m) = im
para todo “m” em Z é um homomorfismo de (Z, +) em
(C*, •
).
II. O núcleo do homomorfismo f : Z → C* dado por f(m) = im
para todo “m” em Z é dado por:
N(f) = {0, 4, 8, 12, . . . } = { 4x ; x ∈ Z}
III. No anel (Z6
,+, •
) os elementos: 1 3 4, e são idempotentes.
IV. Sejam os anéis (A, +, •
) e (B, +, •
) onde A = {a + b −2 ; a, b ∈ Q } e B = M2
(Q). A aplicação
f : A → B dada por: f(a + b −2) =
a b
b a
−2
é um homomorfismo.
Quais itens são afirmações verdadeiras?
A) I e II.
B) I e IV.
C) II e III.
D) I, II e III.
E) I, III e IV.
Resposta correta: alternativa E.
Análise das afirmativas
I – Afirmação correta.
Justificativa: a aplicação f : Z → C*, dada por f(m) = im
para todo “m” em Z, é um homomorfismo de
(Z, +) em (C*, •
), pois ∀ m, n ∈ Z, f(m + n) = im+n
= im
. in
= f(m) . f(n).
II – Afirmação incorreta.
Justificativa: o núcleo do homomorfismo f : Z → C*, dado por f(m) = im
para todo “m” em Z, é dado
por: N(f) = { 0, ±4, ±8, ±12, . . . } = { 4x ; x ∈ Z }

132
Unidade IV
III – Afirmação correta.
Justificativa: no anel (Z6
,+, •
) : ( 1 )2
= 1 , ( 3 )2
= 3 , (4 )2
= 4 .
Portanto, para o anel (Z6
, +, •
), os elementos 1 , 3 e 4 são idempotentes.
IV – Afirmação correta.
Justificativa: sejam os anéis (A, +, •
) e (B, +, •
) onde A = {a + b −2 ; a, b ∈ Q} e B = M2
(Q).
Verifique se a aplicação f : A → B, dada por: f(a + b −2 ) =
a b
b a
−2
, é um homomorfismo.
∀ a + b −2 , c + d −2 ∈ A,
i) f [(a + b −2 ) + (c + d −2 )] = f [(a + c) + (b + d) −2 ] =
ac b b b
ad bc a c
a c b d
b d a c
a b
b a
c d
d c
− − +
+ +
=
+ − −
+ +
=
−
+
−2 2 2 2 2 2( )
= f(a + b −2 ) + f(c + d −2 ).
ii) f [(a + b −2 ) •
(c + d −2 )] = f [(ac – 2bd) + (ad + bc) −2 ] =
ac b ad bc
ad bc ac bd
ac b ad bc
ad bc ac bd
a b
b a
− − +
+ −
=
− − +
+ −
=
−2 2
2
2 2
2
2( ) ( )
..
c d
d c
− 2
= f(a + b −2 ) •
f(c + d −2 ).
Portanto, f é um homomorfismo do anel A no anel B.
Questão 2. Resolvendo o sistema S
x y
x y
=
+ =
+ =



2 3 7
5 6
em Z11
, o conjunto solução será:
A) S = {( , )0 7 }
B) S = {( , )0 6 }
C) S = {( , )5 6 }
D) S = {( , )3 7 }
E) S = {( , )310 }
Resolução desta questão na plataforma.

133
Figuras e Ilustrações
Figura 16
Wonder_Cube__1_.JPG. 1 foto, color. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/
display/220825>. Acesso em: 02 out. 2012.
Referências
Textuais
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BIRKHOFF, G.; LANE, M. Álgebra moderna. 4. ed. Rio de Janeiro: Guanabara dois, 1980.
BOLDRINI, J. L. Álgebra linear. São Paulo: Harper e Row do Brasil, 1980.
BORGES, F. Criptograﬁa como ferramenta para o ensino de matemática. Laboratório Nacional de
Computação Cientíﬁca. In: XXXI CONGRESSO DE MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL, nov. 2009.
Campo Grande: UFMS. Disponível em: < www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/xxxi_cnmac/PDF/189.pdf>.
Acesso em: 02 out. 2012.
CAMPOS, P. T.; FERREIRA, W.; VARGAS, J. Grupos de Lie em equações diferenciais e teoria dos números.
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135
Exercícios
Unidade 1 – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO
TEIXEIRA (INEP). Enade 2008: Computação. Questão 13. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/
download/Enade2008_RNP/COMPUTACAO.pdf>. Acesso em: 18 out. 2013.
TEIXEIRA (INEP). Enade 2005: Matemática. Questão 20. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/
download/enade/2005/provas/MATEMATICA.pdf>. Acesso em: 18 out. 2013.
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download/enade/2005/provas/MATEMATICA.pdf>. Acesso em: 18 out. 2013.

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