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Fundamentos da Teoria da Computação
Segunda Lista de Exercícios - Aula sobre dúvidas
Sérgio Mariano Dias1
1
Mestrando em Ciência da Computação
Departamento de Ciência da Computação
Universidade Federal de Minas Gerais
07/05/2009
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 1 / 49
Exercício no
1 - Construa AFNs para as seguintes
linguagens, com o menor número de estados e de
transições que conseguir:
a) {w ∈ {a, b, c}∗ | w tem pelo menos uma ocorrência de aba ou de
bcb ou de cac}.
aba
bcb
cac
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 2 / 49
Exercício no
1 - Construa AFNs para as seguintes
linguagens, com o menor número de estados e de
transições que conseguir:
b) O conjunto das palavras de {a, b, c}∗, de três ou mais símbolos, em
que o último símbolo seja diferente do primeiro.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 3 / 49
Exercício no
1 - Construa AFNs para as seguintes
linguagens, com o menor número de estados e de
transições que conseguir:
c) O conjunto das palavras de {a, b, c}∗ em que o último símbolo tenha
ocorrido antes no mínimo uma vez.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 4 / 49
Exercício no
1 - Construa AFNs para as seguintes
linguagens, com o menor número de estados e de
transições que conseguir:
d) O conjunto das palavras de {a, b, c}∗ em que o último símbolo tenha
ocorrido antes no máximo duas vezes.
Estados iniciais: q7, q0, q1, q8, q3, q4, q9, q5, q6
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 5 / 49
Exercício no
2 - Seja o AFNλ M:
Construa um AFD equivalente usando o método visto em aula (subset
construction).
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 6 / 49
Exercício no
2
subset 0 1
{1} {2} {1}
{2} {1,3} {}
{3} {3} {4}
{4} {4} {3}
subset 0 1
{1,3} {2,3} {1,4}
{1,4} {2,4} {1,3}
{2,3} {1,3} {4}
{2,4} {1,3,4} {3}
{3,4} {3,4} {3,4}
{4} {4} {3}
{3} {3} {4}
{1,3,4} {2,3,4} {1,3,4}
{2,3,4} {1,3,4} {3,4}
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 7 / 49
Exercício no
2
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 8 / 49
Exercício no
3 - Obtenha um AFN K com um único estado
inicial, equivalente ao AFN da questão anterior, que
contenha todos os estados e transições lá contidos. Em
seguida, obtenha uma gramática regular para L(K) usando
o método visto em aula.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 9 / 49
Exercício no
3
q4=A, q0=B, q1=C, q2=D, q3=E
A → λ|1B|0C|0D|1E
B → λ|1B|0C
C → 0B|0D
D → 0D|1E
E → λ|1D|0E
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 10 / 49
Exercício no
4 - Seja o AFNλ M:
a) Construa um AFN N, equivalente a M, usando o método visto em aula.
b) A partir do AFN N, construa uma expressão regular que denote a
linguagem reconhecida.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 11 / 49
Exercício no
4 - a) Construa um AFN N, equivalente a M,
usando o método visto em aula.
I = fλ(A) = {A, B, C, D, E}
δ (A, a) = fλ(δ(A, a)) =⇒ fλ(A) =⇒ {A, B, C, D, E}
δ (B, b) = fλ(δ(B, b)) =⇒ fλ(B) =⇒ {B, D, E}
δ (C, c) = fλ(δ(C, c)) =⇒ fλ(C) =⇒ {C, D, E}
δ (D, d) = fλ(δ(D, d)) =⇒ fλ(D) =⇒ {D, E}
δ (E, a) = fλ(δ(E, a)) =⇒ fλ(E) =⇒ {E}
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 12 / 49
Exercício no
4 - a) Construa um AFN N, equivalente a M,
usando o método visto em aula.
Todos os estados são iniciais I = fλ(A) = {A, B, C, D, E}
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 13 / 49
Exercício no
4 - b) - Criando novo estado inicial e final.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 14 / 49
Exercício no
4 - b) - Removendo o estado B.
P1 = λ + (b+)
P2 = a + ab+
P3 = λ + (b+)
P4 = a + ab+
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 15 / 49
Exercício no
4 - b) - Removendo o estado A.
P1 = (λ + b+) + a∗(a + ab+)
P2 = (a + ab+) + a∗(λ + b+)
P3 = λ + a+
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 16 / 49
Exercício no
4 - b) - Removendo o estado C.
P1 = [(λ + b+) + (a∗(a + ab+))] + [(λ + a+)c+]
P2 = [(a + ab+) + a∗(λ + b+)] + [(λ + a+)c+]
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 17 / 49
Exercício no
4 - b) - Removendo o estado D.
P1 = [(λ + b+) + (a∗(a + ab+))] + [(λ + a+)c+]
P2 = {[(a + ab+) + a∗(λ + b+)] + [(λ + a+)c+]d∗} + {[(a + ab+) +
a∗(λ + b+)] + [(λ + a+)c+]d+a∗}
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 18 / 49
Exercício no
4 - b) - Removendo o estado E.
P1 = [(λ + b+) + (a∗(a + ab+))] + [(λ + a+)c+]
P2 = {[(a + ab+) + a∗(λ + b+)] + [(λ + a+)c+]d∗} + {[(a + ab+) +
a∗(λ + b+)] + [(λ + a+)c+]d+a∗}
ER = P1a∗P2
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 19 / 49
Exercício no
5 - Prove que os seguintes conjuntos não são
linguagens regulares, usando o lema do bombeamento:
Lema do bombeamento - LB
Seja L uma linguagem regular. Então existe uma constante K > 0 tal que
para qualquer palavra Z ∈ L com |Z| > K existem u, v, w que satisfazem as
seguintes condições:
Z = uvw;
|uv| ≤ K;
v = λ e
uvi
w ∈ L, ∀i ≥ 0
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 20 / 49
Exercício no
5 - Prove que os seguintes conjuntos não são
linguagens regulares, usando o lema do bombeamento:
a) L = {x1n
| n ≥ 0, x ∈ {0, 1}∗ e |x| = n}
Suponha que L seja regular. Seja k a constante a constante referida no
LB, e seja Z = 0k
1k
. Como |Z| > k, o lema diz que existem u, v, w de
forma que as seguintes condições se verificam: Z = uvw; |uv| ≤ k; v = λ
e uvi
w ∈ L, ∀i ≥ 0.
Nesse caso v só tem 0, pois Z = uvw = 0k
1k
e |uv| < k e v possui pelo
menos um 0 porque v = λ.
Isso implica que uv2
w = 0k+|v|
1k
/∈ L. Desta forma, a suposição é falsa.
Portanto, L não é regular.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 21 / 49
Exercício no
5 - Prove que os seguintes conjuntos não são
linguagens regulares, usando o lema do bombeamento:
b) {10n
1n
| n ≥ 1}.
Suponha que L seja regular. Seja k a constante a constante referida no
LB, e seja Z = 10k
1k
. Como |Z| > k, o lema diz que existem u, v, w de
forma que as seguintes condições se verificam: Z = uvw; |uv| ≤ k; v = λ
e uvi
w ∈ L, ∀i ≥ 0.
Z = uvw = 10k
1k
e |uv| < k.
caso 1: v só tem 0
uv2
w = 10k+|v|
1k
/∈ L
caso 2: v começa com 1 (u = λ)
uv2
w /∈ L (repete o padrão de v)
Logo, pelo caso 1 e 2 L não é regular.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 22 / 49
Exercício no
6 - Prove que os seguintes conjuntos não são
linguagens regulares, usando propriedades de fecho:
a) X = {0m
1n
| m = n}.
¬X ∩ {0}∗
{1}∗
= {0n
1n
|n ≥ 0}
L = {0n
1n
|n ≥ 0} não é regular1
.
Pelas propriedades de fecho:
se X fosse regular, ¬X séria;
sendo ¬X regular interseção com {0}∗
{1}∗
é regular;
L = {0n
1n
|n ≥ 0} séria regular.
1
página 105, exemplo 71 do livro texto.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 23 / 49
Exercício no
6 - Prove que os seguintes conjuntos não são
linguagens regulares, usando propriedades de fecho:
b) X = {w ∈ {0, 1}∗ | o número de 0s em w é par e o de 1s é primo}.
X ∩ 1∗
= {1n
|n é primo }
L = {1n
|n é primo } não é regular2
.
Pelas propriedades de fecho:
se X fosse regular, interseção com {1}∗
é regular;
L = {1n
|n é primo } séria regular.
2
Página 106, exemplo 73 do livro texto.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 24 / 49
Exercício no
7 - Sejam as linguagens
L1 = {0, 1}∗
{1}{0, 1} e
L2 = {w ∈ {0, 1}∗
| η(w) mod 3 = 0}, sendo η(w) o
número representado por w na base dois.
a) Prove que L1 − L2 é regular usando propriedades de fecho.
L1 − L2 = L1 ∩ ¬L2
L1 é regular
L2 é regular
Fechado sobre o complemento e interseção
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 25 / 49
Exercício no
7 - b) Construa um autômato finito para L1 − L2.
L1 − L2 = L1 ∩ ¬L2
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 26 / 49
Exercício no
7 - b) - Removendo não determinismo de L1.
subset 0 1
{ 3} { 3} { 3,4}
{ 4} { 5} { 5}
{ 5} { } { }
{ 3,4} { 3,5} { 3,4,5}
{ 3,5} { 3} { 3,4 }
{ 3,4,5} { 3,5} { 3,4,5 }
Faça o produto do novo L1 (AFD) com ¬L2, mesmo procedimento
aplicado no exercício 8 da lista 1.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 27 / 49
Exercício no
8 - Seja L uma linguagem regular sobre um
alfabeto Σ1. Prove que o conjunto das palavras sobre Σ2
(que pode ser igual ou não a Σ1) que têm como sufixo
alguma palavra de L é regular.
( ∗
2 L) ∩ ∗
2
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 28 / 49
Exercício no
9 - Encontre expressões regulares para as
seguintes linguagens.
a) {w ∈ {a, b}∗ | |w| ∈ {0, 1, 3}}.
λ + (a + b) + [(a + b)(a + b)(a + b)]
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 29 / 49
Exercício no
9 - Encontre expressões regulares para as
seguintes linguagens.
b) {w ∈ {a, b}∗ | w contém um, dois ou três bs}.
(a∗
ba∗
) + (a∗
ba∗
ba∗
) + (a∗
ba∗
ba∗
ba∗
)
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 30 / 49
Exercício no
9 - Encontre expressões regulares para as
seguintes linguagens.
c){w ∈ {a, b, c}∗ | o número de as mais o de bs em w é par}.
λ + c∗
+ [(c∗
ac∗
ac∗
) + (c∗
ac∗
bc∗
) + (c∗
bc∗
ac∗
) + (c∗
bc∗
bc∗
)]∗
{c + [(a + b)c∗
(a + b)]}∗
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 31 / 49
Exercício no
9 - Encontre expressões regulares para as
seguintes linguagens.
d){w ∈ {0, 1}∗ | w contém o símbolo N(w) mod 3 = 0}.
Não pode ser 000. . . ;
x0 = 2n(x)3
x1 = 2n(x) + 1
r = 2n(x)mod3 = 2r/3
r = 2n(x) + 1mod3 = (2r + 1)/3
3
pag 63 e 64 do livro texto.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 32 / 49
Exercício no
9 - d)- Criando novo estado inicial e final.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 33 / 49
Exercício no
9 - d)- Removendo o estado 2.
P1 = 01∗0
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 34 / 49
Exercício no
9 - d)- Removendo o estado 0.
P1 = (01∗0) + 10∗1
P2 = 10∗
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 35 / 49
Exercício no
9 - d)- Removendo o estado −1.
P1 = (01∗0) + 10∗1
P2 = 10∗
P3 = 0∗1
ER = P3P1∗P2 = 0∗1[(01∗0) + 10∗1]∗10∗
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 36 / 49
Exercício no
10 - Obtenha expressões regulares que
denotem as linguagens sobre {0, 1} a seguir, a partir de
AFs que reconheçam as mesmas, usando o método visto
em aula. Não simplifique as ERs.
a) O conjunto das palavras que começam com 1, terminam com 1 e têm
algum 0.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 37 / 49
Exercício no
10 - a) O conjunto das palavras que começam
com 1, terminam com 1 e têm algum 0.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 38 / 49
Exercício no
10 - a) - Removendo o estado q0.
P1 = 1
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 39 / 49
Exercício no
10 - a) - Removendo o estado q1.
P1 = 11∗0
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 40 / 49
Exercício no
10 - a) - Removendo o estado q2.
P1 = 1+0
P2 = 0 + 11∗0
P3 = 11∗
ER = P1P2∗P3 = 1+0(0 + 1+0)∗1+
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 41 / 49
Exercício no
10 - Obtenha expressões regulares que
denotem as linguagens sobre {0, 1} a seguir, a partir de
AFs que reconheçam as mesmas, usando o método visto
em aula. Não simplifique as ERs.
b) O conjunto das palavras que não contém a subpalavra 0101.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 42 / 49
Exercício no
10 - b) O conjunto das palavras que não
contém a subpalavra 0101.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 43 / 49
Exercício no
10 - b) - Removendo o estado q3.
P1 = 00
P2 = 0 + 1
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 44 / 49
Exercício no
10 - b) - Removendo o estado q2.
P1 = 11
P2 = 0 + 100
P3 = λ + [1(0 + λ)]
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 45 / 49
Exercício no
10 - b) - Removendo o estado q1.
P1 = 1 + [0(0 + 100)]∗11
P2 = λ + [0(0 + 100)]∗{λ + [1(0 + λ)]}
ER = P1∗P2
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 46 / 49
Exercício no
11 - Mostre que os seguintes problemas são
decidíveis, se G1 e G2 são gramáticas regulares quaisquer:
a)L(G1) = ∅?
Seja M um AF que aceite L(G1).
L(G1) = {} se e somente se não existe um caminho do estado inicial de
M para um estado final de M.
Determinar se existe um caminho em um grafo é sabidamente decidível.
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 47 / 49
Exercício no
11 - Mostre que os seguintes problemas são
decidíveis, se G1 e G2 são gramáticas regulares quaisquer:
b)L(G1) ⊆ L(G2)?
L(G1) ⊆ L(G2) ↔ L(G1) ∩ ¬L(G2) =
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 48 / 49
Obrigado pela atenção e boa prova.
contato:
sergiomariano@gmail.com
mariano@dcc.ufmg.br
Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 49 / 49

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Fundamentos da Teoria da Computação Segunda Lista de Exercícios - Aula sobre dúvidas

  • 1. Fundamentos da Teoria da Computação Segunda Lista de Exercícios - Aula sobre dúvidas Sérgio Mariano Dias1 1 Mestrando em Ciência da Computação Departamento de Ciência da Computação Universidade Federal de Minas Gerais 07/05/2009 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 1 / 49
  • 2. Exercício no 1 - Construa AFNs para as seguintes linguagens, com o menor número de estados e de transições que conseguir: a) {w ∈ {a, b, c}∗ | w tem pelo menos uma ocorrência de aba ou de bcb ou de cac}. aba bcb cac Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 2 / 49
  • 3. Exercício no 1 - Construa AFNs para as seguintes linguagens, com o menor número de estados e de transições que conseguir: b) O conjunto das palavras de {a, b, c}∗, de três ou mais símbolos, em que o último símbolo seja diferente do primeiro. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 3 / 49
  • 4. Exercício no 1 - Construa AFNs para as seguintes linguagens, com o menor número de estados e de transições que conseguir: c) O conjunto das palavras de {a, b, c}∗ em que o último símbolo tenha ocorrido antes no mínimo uma vez. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 4 / 49
  • 5. Exercício no 1 - Construa AFNs para as seguintes linguagens, com o menor número de estados e de transições que conseguir: d) O conjunto das palavras de {a, b, c}∗ em que o último símbolo tenha ocorrido antes no máximo duas vezes. Estados iniciais: q7, q0, q1, q8, q3, q4, q9, q5, q6 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 5 / 49
  • 6. Exercício no 2 - Seja o AFNλ M: Construa um AFD equivalente usando o método visto em aula (subset construction). Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 6 / 49
  • 7. Exercício no 2 subset 0 1 {1} {2} {1} {2} {1,3} {} {3} {3} {4} {4} {4} {3} subset 0 1 {1,3} {2,3} {1,4} {1,4} {2,4} {1,3} {2,3} {1,3} {4} {2,4} {1,3,4} {3} {3,4} {3,4} {3,4} {4} {4} {3} {3} {3} {4} {1,3,4} {2,3,4} {1,3,4} {2,3,4} {1,3,4} {3,4} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 7 / 49
  • 8. Exercício no 2 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 8 / 49
  • 9. Exercício no 3 - Obtenha um AFN K com um único estado inicial, equivalente ao AFN da questão anterior, que contenha todos os estados e transições lá contidos. Em seguida, obtenha uma gramática regular para L(K) usando o método visto em aula. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 9 / 49
  • 10. Exercício no 3 q4=A, q0=B, q1=C, q2=D, q3=E A → λ|1B|0C|0D|1E B → λ|1B|0C C → 0B|0D D → 0D|1E E → λ|1D|0E Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 10 / 49
  • 11. Exercício no 4 - Seja o AFNλ M: a) Construa um AFN N, equivalente a M, usando o método visto em aula. b) A partir do AFN N, construa uma expressão regular que denote a linguagem reconhecida. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 11 / 49
  • 12. Exercício no 4 - a) Construa um AFN N, equivalente a M, usando o método visto em aula. I = fλ(A) = {A, B, C, D, E} δ (A, a) = fλ(δ(A, a)) =⇒ fλ(A) =⇒ {A, B, C, D, E} δ (B, b) = fλ(δ(B, b)) =⇒ fλ(B) =⇒ {B, D, E} δ (C, c) = fλ(δ(C, c)) =⇒ fλ(C) =⇒ {C, D, E} δ (D, d) = fλ(δ(D, d)) =⇒ fλ(D) =⇒ {D, E} δ (E, a) = fλ(δ(E, a)) =⇒ fλ(E) =⇒ {E} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 12 / 49
  • 13. Exercício no 4 - a) Construa um AFN N, equivalente a M, usando o método visto em aula. Todos os estados são iniciais I = fλ(A) = {A, B, C, D, E} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 13 / 49
  • 14. Exercício no 4 - b) - Criando novo estado inicial e final. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 14 / 49
  • 15. Exercício no 4 - b) - Removendo o estado B. P1 = λ + (b+) P2 = a + ab+ P3 = λ + (b+) P4 = a + ab+ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 15 / 49
  • 16. Exercício no 4 - b) - Removendo o estado A. P1 = (λ + b+) + a∗(a + ab+) P2 = (a + ab+) + a∗(λ + b+) P3 = λ + a+ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 16 / 49
  • 17. Exercício no 4 - b) - Removendo o estado C. P1 = [(λ + b+) + (a∗(a + ab+))] + [(λ + a+)c+] P2 = [(a + ab+) + a∗(λ + b+)] + [(λ + a+)c+] Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 17 / 49
  • 18. Exercício no 4 - b) - Removendo o estado D. P1 = [(λ + b+) + (a∗(a + ab+))] + [(λ + a+)c+] P2 = {[(a + ab+) + a∗(λ + b+)] + [(λ + a+)c+]d∗} + {[(a + ab+) + a∗(λ + b+)] + [(λ + a+)c+]d+a∗} Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 18 / 49
  • 19. Exercício no 4 - b) - Removendo o estado E. P1 = [(λ + b+) + (a∗(a + ab+))] + [(λ + a+)c+] P2 = {[(a + ab+) + a∗(λ + b+)] + [(λ + a+)c+]d∗} + {[(a + ab+) + a∗(λ + b+)] + [(λ + a+)c+]d+a∗} ER = P1a∗P2 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 19 / 49
  • 20. Exercício no 5 - Prove que os seguintes conjuntos não são linguagens regulares, usando o lema do bombeamento: Lema do bombeamento - LB Seja L uma linguagem regular. Então existe uma constante K > 0 tal que para qualquer palavra Z ∈ L com |Z| > K existem u, v, w que satisfazem as seguintes condições: Z = uvw; |uv| ≤ K; v = λ e uvi w ∈ L, ∀i ≥ 0 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 20 / 49
  • 21. Exercício no 5 - Prove que os seguintes conjuntos não são linguagens regulares, usando o lema do bombeamento: a) L = {x1n | n ≥ 0, x ∈ {0, 1}∗ e |x| = n} Suponha que L seja regular. Seja k a constante a constante referida no LB, e seja Z = 0k 1k . Como |Z| > k, o lema diz que existem u, v, w de forma que as seguintes condições se verificam: Z = uvw; |uv| ≤ k; v = λ e uvi w ∈ L, ∀i ≥ 0. Nesse caso v só tem 0, pois Z = uvw = 0k 1k e |uv| < k e v possui pelo menos um 0 porque v = λ. Isso implica que uv2 w = 0k+|v| 1k /∈ L. Desta forma, a suposição é falsa. Portanto, L não é regular. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 21 / 49
  • 22. Exercício no 5 - Prove que os seguintes conjuntos não são linguagens regulares, usando o lema do bombeamento: b) {10n 1n | n ≥ 1}. Suponha que L seja regular. Seja k a constante a constante referida no LB, e seja Z = 10k 1k . Como |Z| > k, o lema diz que existem u, v, w de forma que as seguintes condições se verificam: Z = uvw; |uv| ≤ k; v = λ e uvi w ∈ L, ∀i ≥ 0. Z = uvw = 10k 1k e |uv| < k. caso 1: v só tem 0 uv2 w = 10k+|v| 1k /∈ L caso 2: v começa com 1 (u = λ) uv2 w /∈ L (repete o padrão de v) Logo, pelo caso 1 e 2 L não é regular. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 22 / 49
  • 23. Exercício no 6 - Prove que os seguintes conjuntos não são linguagens regulares, usando propriedades de fecho: a) X = {0m 1n | m = n}. ¬X ∩ {0}∗ {1}∗ = {0n 1n |n ≥ 0} L = {0n 1n |n ≥ 0} não é regular1 . Pelas propriedades de fecho: se X fosse regular, ¬X séria; sendo ¬X regular interseção com {0}∗ {1}∗ é regular; L = {0n 1n |n ≥ 0} séria regular. 1 página 105, exemplo 71 do livro texto. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 23 / 49
  • 24. Exercício no 6 - Prove que os seguintes conjuntos não são linguagens regulares, usando propriedades de fecho: b) X = {w ∈ {0, 1}∗ | o número de 0s em w é par e o de 1s é primo}. X ∩ 1∗ = {1n |n é primo } L = {1n |n é primo } não é regular2 . Pelas propriedades de fecho: se X fosse regular, interseção com {1}∗ é regular; L = {1n |n é primo } séria regular. 2 Página 106, exemplo 73 do livro texto. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 24 / 49
  • 25. Exercício no 7 - Sejam as linguagens L1 = {0, 1}∗ {1}{0, 1} e L2 = {w ∈ {0, 1}∗ | η(w) mod 3 = 0}, sendo η(w) o número representado por w na base dois. a) Prove que L1 − L2 é regular usando propriedades de fecho. L1 − L2 = L1 ∩ ¬L2 L1 é regular L2 é regular Fechado sobre o complemento e interseção Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 25 / 49
  • 26. Exercício no 7 - b) Construa um autômato finito para L1 − L2. L1 − L2 = L1 ∩ ¬L2 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 26 / 49
  • 27. Exercício no 7 - b) - Removendo não determinismo de L1. subset 0 1 { 3} { 3} { 3,4} { 4} { 5} { 5} { 5} { } { } { 3,4} { 3,5} { 3,4,5} { 3,5} { 3} { 3,4 } { 3,4,5} { 3,5} { 3,4,5 } Faça o produto do novo L1 (AFD) com ¬L2, mesmo procedimento aplicado no exercício 8 da lista 1. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 27 / 49
  • 28. Exercício no 8 - Seja L uma linguagem regular sobre um alfabeto Σ1. Prove que o conjunto das palavras sobre Σ2 (que pode ser igual ou não a Σ1) que têm como sufixo alguma palavra de L é regular. ( ∗ 2 L) ∩ ∗ 2 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 28 / 49
  • 29. Exercício no 9 - Encontre expressões regulares para as seguintes linguagens. a) {w ∈ {a, b}∗ | |w| ∈ {0, 1, 3}}. λ + (a + b) + [(a + b)(a + b)(a + b)] Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 29 / 49
  • 30. Exercício no 9 - Encontre expressões regulares para as seguintes linguagens. b) {w ∈ {a, b}∗ | w contém um, dois ou três bs}. (a∗ ba∗ ) + (a∗ ba∗ ba∗ ) + (a∗ ba∗ ba∗ ba∗ ) Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 30 / 49
  • 31. Exercício no 9 - Encontre expressões regulares para as seguintes linguagens. c){w ∈ {a, b, c}∗ | o número de as mais o de bs em w é par}. λ + c∗ + [(c∗ ac∗ ac∗ ) + (c∗ ac∗ bc∗ ) + (c∗ bc∗ ac∗ ) + (c∗ bc∗ bc∗ )]∗ {c + [(a + b)c∗ (a + b)]}∗ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 31 / 49
  • 32. Exercício no 9 - Encontre expressões regulares para as seguintes linguagens. d){w ∈ {0, 1}∗ | w contém o símbolo N(w) mod 3 = 0}. Não pode ser 000. . . ; x0 = 2n(x)3 x1 = 2n(x) + 1 r = 2n(x)mod3 = 2r/3 r = 2n(x) + 1mod3 = (2r + 1)/3 3 pag 63 e 64 do livro texto. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 32 / 49
  • 33. Exercício no 9 - d)- Criando novo estado inicial e final. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 33 / 49
  • 34. Exercício no 9 - d)- Removendo o estado 2. P1 = 01∗0 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 34 / 49
  • 35. Exercício no 9 - d)- Removendo o estado 0. P1 = (01∗0) + 10∗1 P2 = 10∗ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 35 / 49
  • 36. Exercício no 9 - d)- Removendo o estado −1. P1 = (01∗0) + 10∗1 P2 = 10∗ P3 = 0∗1 ER = P3P1∗P2 = 0∗1[(01∗0) + 10∗1]∗10∗ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 36 / 49
  • 37. Exercício no 10 - Obtenha expressões regulares que denotem as linguagens sobre {0, 1} a seguir, a partir de AFs que reconheçam as mesmas, usando o método visto em aula. Não simplifique as ERs. a) O conjunto das palavras que começam com 1, terminam com 1 e têm algum 0. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 37 / 49
  • 38. Exercício no 10 - a) O conjunto das palavras que começam com 1, terminam com 1 e têm algum 0. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 38 / 49
  • 39. Exercício no 10 - a) - Removendo o estado q0. P1 = 1 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 39 / 49
  • 40. Exercício no 10 - a) - Removendo o estado q1. P1 = 11∗0 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 40 / 49
  • 41. Exercício no 10 - a) - Removendo o estado q2. P1 = 1+0 P2 = 0 + 11∗0 P3 = 11∗ ER = P1P2∗P3 = 1+0(0 + 1+0)∗1+ Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 41 / 49
  • 42. Exercício no 10 - Obtenha expressões regulares que denotem as linguagens sobre {0, 1} a seguir, a partir de AFs que reconheçam as mesmas, usando o método visto em aula. Não simplifique as ERs. b) O conjunto das palavras que não contém a subpalavra 0101. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 42 / 49
  • 43. Exercício no 10 - b) O conjunto das palavras que não contém a subpalavra 0101. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 43 / 49
  • 44. Exercício no 10 - b) - Removendo o estado q3. P1 = 00 P2 = 0 + 1 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 44 / 49
  • 45. Exercício no 10 - b) - Removendo o estado q2. P1 = 11 P2 = 0 + 100 P3 = λ + [1(0 + λ)] Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 45 / 49
  • 46. Exercício no 10 - b) - Removendo o estado q1. P1 = 1 + [0(0 + 100)]∗11 P2 = λ + [0(0 + 100)]∗{λ + [1(0 + λ)]} ER = P1∗P2 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 46 / 49
  • 47. Exercício no 11 - Mostre que os seguintes problemas são decidíveis, se G1 e G2 são gramáticas regulares quaisquer: a)L(G1) = ∅? Seja M um AF que aceite L(G1). L(G1) = {} se e somente se não existe um caminho do estado inicial de M para um estado final de M. Determinar se existe um caminho em um grafo é sabidamente decidível. Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 47 / 49
  • 48. Exercício no 11 - Mostre que os seguintes problemas são decidíveis, se G1 e G2 são gramáticas regulares quaisquer: b)L(G1) ⊆ L(G2)? L(G1) ⊆ L(G2) ↔ L(G1) ∩ ¬L(G2) = Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 48 / 49
  • 49. Obrigado pela atenção e boa prova. contato: sergiomariano@gmail.com mariano@dcc.ufmg.br Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos da Teoria da Computação 07/05/2009 49 / 49