1) O conceito de função evoluiu ao longo da história, com definições formais surgindo nos séculos XVI-XVII e XVIII. 2) Funções representam relações matemáticas entre variáveis, com aplicações em diversas áreas como física e astronomia. 3) A definição moderna de função surgiu com Euler no século XVIII, estabelecendo que uma função mapeia cada elemento de um conjunto de entrada para exatamente um elemento de saída.

1. Professora: Keyla Lins Bruck Funções

2. Um pouco de história O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. Este conceito sofreu uma grande evolução, sendo a introdução do método analítico na definição de função (séc. XVI, séc. XVII) que veio revolucionar a Matemática. É possível detectar sinais de que os Babilônios teriam uma idéia, mesmo que vaga, de função. São conhecidas tábuas de quadrados, de cubos e de raízes quadradas utilizadas por este povo na Antiguidade, na Astronomia.

3. Também os Pitagóricos estabeleceram relações entre grandezas físicas, por exemplo, na descoberta de algumas leis da Acústica relacionando “alturas dos sons e comprimentos das cordas vibrantes”. Os astrônomos na época alexandrina construíram tabelas para os comprimentos de cordas de um círculo, conhecido o seu raio. O registro de algumas destas tabelas estão na obra “ Almageste ” (ou “ Almagesto” ) do matemático Ptolomeu, publicada entre os anos 125 e 150 d. C.. Representação do Almagesto, de Ptolomeu (séc. II d.C.). Composta de 13 volumes, é o maior catálogo de estrelas documentadas, na Antiguidade. Foi usado até o fim da Idade Média. http://artureduardo.blogspot.com/2008/11/o-que-mito-e-o-que-histrico-na.html

4. Leibniz (1646 –1716) Euler (1707 – 1783) No séc. XVIII, o matemático alemão Leibniz, muito rigoroso com a linguagem matemática, inventou vários termos e símbolos. No entanto, a definição de função surge mais tarde, com Leonard Euler, matemático suíço que escreveu “Se x é uma quantidade variável, então toda a quantidade que depende de x de qualquer maneira, ou que seja determinada por aquela, chama-se função da dita variável”. Ele é o matemático que utiliza pela primeira vez a notação f(x).

5. Como conseqüência da evolução do estudo das funções surgem numerosas aplicações da Matemática a outras ciências. Os cientistas partindo de observações procuravam uma fórmula (isto é, uma função) para explicar os sucessivos resultados obtidos. A função era, assim, o modelo matemático que explicava a relação entre as variáveis.

6. Par ordenado; Conjunto de dois elementos considerados numa dada ordem. exemplos: (2,3); (1,5); (3,7); (1,1); (11,3) Um pouco de teoria

7. Produto cartesiano Conjunto formado pelos pares ordenados que têm 1º termo em A e 2º termo em B, considerando como exemplo os conjuntos A={1,2,3} e B={3,4}. Representação: AXB = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)}. Regra geral: AXB = {(x,y) tal que x pertence a A e y pertence a B} Número de elementos : AXB tem 3x2 = 6 elementos.

8. Relação Tomando os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4} vamos formar agora o conjunto R dos pares ordenados que tem o 1º termo em A e o 2º termo em B, tais que o primeiro termo é menor que o 2º. R = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)} O subconjunto R, de AXB é exemplo de uma relação de A em B. De modo geral, denominamos uma relação de A em B a todo subconjunto de AXB.

9. Noção intuitiva de função “ Quando duas grandezas x e y estão relacionadas de tal modo que para cada valor de x fica determinado um único valor de y, dizemos que y é função de x”. Matemática Temas e Metas vol. 1 Tomemos dois conjuntos A e B e uma relação “f” de A em B, dizemos que “f” é uma função ou aplicação se, e somente se, para todo x pertencente a A existe, em correspondência, um único y pertencente a B tal que (x,y) pertence a f. Definição

10. Expressão representativa da função. Algumas leis de formação de funções: f(x) = 2x ou y = 2x f(x) = 1/x ou y = 1/x f(x) = x - 2 ou y = x -2 Lei de Formação

11. Função constante

12. Função polinomial do 1º ou afim Y = 2 X + 1 Y = -2 X + 1

13. Função polinomial do 2º ou quadrática Equação: f(x) = ax 2 + bx + c , com a diferente de zero Gráfico de uma função do 2º ou quadrática

14. Y = X 2 – 4 X + 3 15 8 3 0 -1 0 3 8 15 Y 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 X

15. Aplicações Relação distância X tempo

16. Relação perímetro X área Você se lembra como encontrar a área de um quadrado? Multiplicando o lado por ele mesmo! Pois isso é uma relação, e podemos expressá-la pela fórmula matemática: Área = Lado X Lado. Lado Área 2 4 5 25 9 81 12 144

17. Referências Bibliográficas BOYER, Carl. História da matemática . Trad. Elza F.Gomide. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, 1974, 11ª ed. EVES, Howard. Introdução à História da Matemática . Trad. Hygino H. Domingues. Campina, SP: Editora da UNICAMP, 2004. MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática – Temas e Metas . São Paulo: Atual, 1988. vol. 1 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm28/hist.htm. Acessado em: 17/11/2009 http://artureduardo.blogspot.com/2008/11/o-que-mito-e-o-que-histrico-na.html. Acessado em: 17/11/2009 Sites consultados