1. O documento define conceitos básicos de funções, incluindo domínio, contradomínio e imagem. Apresenta exemplos de funções e propriedades como injeção, sobrejeção e bijeção. 2. Aborda o gráfico de funções, operações entre funções e composição. Discute periodicidade, monotonicidade, inversão e paridade de funções. 3. Por fim, apresenta funções elementares como constante, algébrica, racional e trigonométrica.

1. FUNÇÕES
1.Definição e Conceitos Básicos
1.1. Definição: uma função f: A B consta de três partes: um conjunto A, chamado
Domínio de f, D(f); um conjunto B, chamado Contradomínio de f, CD(f); e uma regra que
permite associar, de modo bem determinado, a cada a A, um único elemento b = f(a) B.
Isto é, x A, ! f(x) B.
Observações:
1- Para esta apostila, que trata apenas de funções reais de variável real, A e B serão
subconjuntos não vazios do conjunto dos reais, em geral intervalos ou união de intervalos;
2- IMPORTANTE!! Não confundir f e f(x): f é o nome da função, enquanto f(x) é o valor
que a função f assume no ponto x A.
1.2. Exemplos
a) f : R R; f(x) = l x l (função Módulo)
b) g : [10, + ) R; g(x) = 10x
c) h : R { 0 } R; h(x) =
x
1
d) i ; R+ R; i(x) = ln x
e) (Função de Dirichlet) f : R { 0; 1 }; f(x) =
Q-Rx1,
Qx,0
1.3. IMAGEM ( direta e inversa ) DE UM CONJUNTO POR UMA FUNÇÃO
1.3.1. Quando x percorre o Domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado Imagem de
f, ou Im(f). Assim, temos que Im(f) = { f(x), x A }. Convém atentar que Im(f) B. Exemplos
(relativos a 1.2 ):
a) Im(f) = R+
b) Im(g) = R+
c) Im(h) = R { 0 }
d) Im(i) = R
e) Im(f) = { 0 ; 1 }
1.3.2. Entretanto, o conceito de Imagem não se restringe a isso. Consideremos, agora, os
subconjuntos X A e Y B. Denomina-se IMAGEM DIRETA de X através de f o conjunto

2. f(X) = {f(x), x X}; mais importante ainda é a IMAGEM INVERSA de Y através de f, dada por
f-1
(Y) = { x A, f(x) Y }. Esclarecendo com exemplos:
a) f : R { 0 } R; f(x) = 1/x, com X = ( 2/3; 5 ] e Y = [ 0; 1 ] f(X) = [1/5; 3/2) e f-1
(Y) = [ 1; + )
b) g: R R; g(x) = x4
, X = Y = [ -1, 2]. Neste caso, g(X) = [ 0; 16 ] e g-1
(Y) = [ 0, 4
2 ]
1.3.3. PROPRIEDADES
1) f(X Y) = f(X) f(Y)
2) f(X Y) f(X) f(Y)
3) Se X Y f(X) f(Y)
4) f-1
(W Z) = f-1
(Z) f-1
(W)
5) f-1
(W Z) = f-1
(Z) f-1
(W)
6) Se Z W f-1
(Z) f-1
(W)
7) f-1
(YC
) = (f-1
(Y))C
8) f-1
(W Z) = f-1
(W) f-1
(Z)
2. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
2.1. Def.: O conjunto G(f) = { (x;f(x)); x A } é denominado gráfico de f. É, portanto, um
subconjunto de todos os pares ordenados (x;y) de números reais.
2.2. Exemplos
a) Função Módulo b) g(x) = 10x
c) h(x) =
x
1 d) i(x) = ln x

3. e) ( Esboce! )
3. OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
3.1. Sejam f, g : A B; A, B R. Define-se:
a) f + g: A R por (f + g)(x) = f(x) + g(x);
b) f . g: A R por (f . g)(x) = f(x) . g(x);
c) f / g: A R por (f / g)(x) = f(x) / g(x).
A operação mais importante envolvendo funções, entretanto, é a COMPOSIÇÃO:
3.2. Def.: Sejam A, B, C R, com B C, f : A B e g: C R. Definimos FUNÇÃO
COMPOSTA gof : D A R por: gof(x) = g(f(x)), x D.
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES!!!:
1) O domínio de gof consiste nos x A tais que f(x) pertença ao domínio de g. Por isso é
obrigatório que B C !!
2) O contradomínio de gof é o contradomínio de g.
3.2.1.Exemplo: Sejam f: R R; f(x) = x + 3 e g: R { -2 } R; g(x)= 2/(x+2). Achemos gof
e fog.
a) Com relação a gof, temos que D(gof) = { x R; f(x) R { -2 } } = { x R; x + 3 -2 } =
R { -5 }. Assim, gof : R { 5 } R; (gof) (x) = g(f(x)) = g(x+3) =
5x
2
2)3x(
2

4. b) Efetuando o mesmo procedimento para fog: D(fog)={ x R / g(x) R } = R { -2 };
portanto, fog : R { -2 } R; (fog) (x) = f(g(x)) = f
2x
2
=
2x
2
+ 3
4.PERIODICIDADE E MONOTONICIDADE
4.1.Def.: f é PERIÓDICA t R, t 0, tal que x A x + t A e f(x + t)= f(x).
Observações: 1) O número t é chamado de UM período de f;
2) O menor período positivo T é denominado O PERÍODO de f, e então f é periódica de
período T.
4.2.Def.: Uma função f: A R B é denominada crescente (não decrescente) se x1<x2
f(x1) f(x2); e é dita estritamente crescente se x1<x2 f(x1) < f(x2). Analogamente,
uma função f é chamada decrescente (não crescente) se x1<x2 f(x1) f(x2); e é
denominada estritamente decrescente se x1<x2 f(x1)>f(x2). Todas essas funções são
ditas MONÓTONAS ou MONOTÔMICAS.
4.2.1.Propriedades (Prove!): Sejam as funções f: A B e g: B C. Assim ,
1) Se f e g são estritamente crescentes, então gof também é estritamente crescente;
2) Se f e g são estritamente decrescentes, então gof é ESTRITAMENTE CRESCENTE
(atenção!!!);
3) Se f é estritamente decrescente e g é estritamente crescente, então gof é estritamente
decrescente;
4) Se f é estritamente crescente e g é estritamente decrescente, então gof é estritamente
decrescente.
5.INJEÇÃO, SOBREJEÇÃO, BIJEÇÃO
5.1.Def.: Seja f: A R B R.
5.1.1. Dizemos que f é INJETORA (INJETIVA, BIUNÍVOCA) x1,x2 A com x1 x2,
então f(x1) f(x2), isto é, x1, x2 A tais que f(x1) = f(x2), então x1 = x2.
5.1.2. Dizemos que f é SOBREJETORA (SOBREJETIVA) y B, x A tal que
f(x) = y . Em outras palavras, Im(f) = B.

5. 6
Observação: TODA função pode se tornar sobrejetora se restringirmos o contradomínio à
sua imagem.
5.1.3. Dizemos que f é BIJETORA (BIJETIVA) f é injetora e sobrejetora, isto é, y
B, ! x A / f(x) = y.
5.2. Exemplos:
1) f: R R, f(x) = ax + b; a, b R; a 0
a- Temos que f é injetora; senão, dados x1 e x2 R com f(x1) = f(x2), temos ax1 + b = ax2
+ b ax1 = ax2.Como a 0, então x1 = x2.
b- Além disso, f é sobrejetiva: dado y R, consideremos x = (y - b) / a R, então f(x) =
ax + b = a. by
a
1
+ b = y.
2) g: R R; g(x) = x2
a- Nesse caso, g não é injetora, pois g(-1) = g(1) = 1, mas -1 1;
b- a função g também não é sobrejetora, pois -4 R e não existe x R / g(x) = -4.
Repare que, se construirmos h: R+ R+; h(x) = x2
, teremos h uma função BIJETORA.
5.3. Algumas propriedades importantes (Prove!)
5.3.1. Sejam as funções f: A B e g: B C. Então são válidas as seguintes afirmações:
1) Se f e g são injetoras, então gof é injetiva de A em C.
2) Se f e g são sobrejetivas, então gof é sobrejetiva de A em C.
3) Se f e g são bijetivas, então gof é bijetiva de A em C.
5.3.2. Toda função estritamente crescente/decrescente é biunívoca. A recíproca é
verdadeira???
5.3.3. f(X Y) f(X) f(Y) somente se f é injetora. O que se pode concluir a partir
dessa propriedade e da propriedade 2) do item 1.3.3.?
6. INVERSÃO DE UMA FUNÇÃO

6. 7
6.1.Uma função IA : A A definida por IA(x) = x, para todo x A, é chamada Função
Identidade de A. Com essa definição temos todas as ferramentas necessárias para a
compreensão da FUNÇÃO INVERSA, um dos conceitos mais requisitados pelo ITA.
6.2.Def.: Seja f: A B; A, B R. Uma função g: B A é denominada FUNÇÃO
INVERSA de f gof = I = fog.
6.2.1.Exemplos:
1) f: R R, f(x) = x9
. Uma inversa de f é g: R R,g(x) = 9
x , pois (gof)(x) = (fog)(x) = x.
2) f: R R, f(x) = ax + b,com a 0; a, b R.Uma inversa de f é g:R R, g(x) = (x - b) / a
3) f: R R+, f(x) = x2
não admite inversa pois, considerando g: R+ R, g(x) = x como
inversa temos gof(-2) = g(f(-2)) = g(4) = 2 -2.
Entretanto, se f : R+ R+ , f(x) = x2
então g(x) = x é uma inversa de f.
Observa-se, portanto, que não são todas as funções que admitem inversa. Temos, na
verdade:
6.3.Teorema: f: A B possui inversa f é bijetora.
Demonstração:
( ) f possui inversa g: B A tal que fog = I = gof.
(I) Mostremos que f é biunívoca: sejam x1, x2 A tais que f(x1) = f(x2) g(f(x1)) = g(f(x2))
x1 = x2 ;
(II) Mostremos que f é sobrejetora: dado y B, considere x = g(y) A. Então f(x) =
f(g(y)) = y.
( ) f é bijetora Dado y B, ! x A / f(x) = y. Seja então g: B A tal que g(y) = x .
Assim, (gof)(x) = g(f(x)) = g(y) = x ; e (fog)(y) = f(g(y)) = f(x) = y (cqd)
Corolário: se f admite inversa ela é única, e será denotada por f-1
.
Note que D(f) = CD(f-1
) e vice-versa!
Para visualizarmos o teorema graficamente (IMPORTANTE): ao refletir o gráfico da
função dada em relação à diagonal principal (y = x) obtemos o gráfico da função inversa.
Observe o exemplo a seguir:

7. 8
Vejamos agora um exemplo esclarecedor a respeito da obrigatoriedade de que a função
seja bijetora para que sua inversa exista:
6.4.Propriedades
1) A inversa de uma função estritamente crescente é estritamente crescente; a inversa de
uma função estritamente decrescente é estritamente decrescente.
2) Sejam as funções f: A B e g: B C; se gof = IA, então g é sobrejetora e f é
injetora (essa propriedade é muito importante, já caiu em várias provas).
7. PARIDADE
7.1. a) Dizemos que f é PAR f(-x) = f(x)
b) Dizemos que f é ÍMPAR f(-x) = -f(x)
Observe que para definirmos função par e ímpar tomamos como pressuposto que +x D(f)
e x D(f); neste caso, D(f) é denominado CONJUNTO SIMÉTRICO.

8. 9
7.2.Exemplos: f: R R; f(x) = x2
+ 5 é uma função par;
g: R R; g(x) = x3
+ x é uma função ímpar.
Observações importantes!!!!!
1) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas enquanto o
gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
2) Se f é uma função par, então gof é par(independentemente de g!). Por que??
3) Se f é ímpar e g é ímpar, então gof é ímpar.
8. FUNÇÕES ELEMENTARES
8.1. FUNÇÃO CONSTANTE: é a função f(x) = k, k R, x D(f).
8.2. FUNÇÃO ALGÉBRICA: é toda função formada por um número finito de operações
sobre a função identidade e a função constante. Exemplos:
1) Função linear: f(x)= ax + b, x R, com a 0
2) Função polinomial: f(x) = a0xn
+ a1xn-1
+ ... + an-1x1
+ an, x R, a0 0
3) Função racional: f(x) = p(x) / q(x), onde p e q são funções polinomiais e q não é o
polinômio identicamente nulo. Lembrar que D(f) = { x R : q(x) 0 }
8.3. FUNÇÕES TRANSCENDENTES
1) Funções exponenciais: ax
, 0 < a 1; D(f) = R e Im(f) = R+ { 0 }
2) Funções logaritmicas: logax, 0 < a 1; D(f) = R+ { 0 } e Im(f) = R
Vejamos graficamente como as funções exponenciais e logaritmicas se comportam,
bem como a relação de inversão que existe entre elas:

9. 10
3) Funções trigonométricas: sen x, cos x, tg x, sec x, cossec x e cotg x. Analisar Domínio,
Imagem e paridade de cada uma delas (Exercício)
4) Funções trigonométricas inversas: arcsen x, arccos x, arctg x, arcsec x, arccossec x,
arccotg x. Analisar paridade, Domínio e Imagem de cada uma.
5) Funções hiperbólicas
a) senh x =
2
ee xx
(negrito) e cosh x =
2
ee xx
b) tghx =
xcosh
xsenh
8.4. Outros Exemplos (esboce os gráficos!)
1) Função maior inteiro menor ou igual a x 2) f(x) = [ x ] - x ; D(f) = R, Im(f) = ( -1; 0 ]
[ x ] : R Z

10. 11
3) f: R*
{ -1; 1}; f(x) = x / I x I 4) f: R R; f(x) =
N-Rx0,
Nx,
x
1
9. LIMITAÇÃO
9.1.Def.: Seja f: A B
a) Dizemos que f é limitada superiormente quando L / f(x) L, x A; neste caso, L é
uma cota superior de f. A MENOR das cotas superiores é chamada SUPREMO.
b) Dizemos que f é limitada inferiormente quando M tal que f(x) M, x A; assim, M
é denominada cota inferior de f. A MAIOR das cotas inferiores é denominada ÍNFIMO.
c) Dizemos que f é LIMITADA quando N : l f(x) l < N, x A.
9.2. Exemplos de funções limitadas:
1) seno, cosseno
2) [ x ] x
3) Função de Dirichlet
4) O exemplo 4) do item 8.4
5) A função f(x) = x2
é ILIMITADA em R, mas é limitada em [ a; b ]; a, b R
6) A função g(x) = 1/x é ilimitada em R, mas é limitada em [ a; b ] 0 [ a; b ]; e é
ilimitada em ( 0, a ] [ a, 0 ), com a, b R.