Aula 8M¶ximos e m¶ a         ³nimosNesta aula estaremos explorando procedimentos estrat¶gicos para determinar os valores  ...
Maximos e m¶ ¶         ³nimos                                                                   70                        ...
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  1. 1. Aula 8M¶ximos e m¶ a ³nimosNesta aula estaremos explorando procedimentos estrat¶gicos para determinar os valores eextremos de uma fun»~o f , ou seja, o valor m¶ximo e o valor m¶ ca a ³nimo de uma fun»~o caf , em um intervalo I ½ R, sem recorrer a um esbo»o do gr¶¯co de f nesse intervalo. c a Um teorema da An¶lise Matem¶tica, conhecido na literatura como Teorema de a aWeierstrass, nos garante:(Teorema de Weierstrass) Se uma fun»~o f ¶ cont¶ ca e ³nua em um intervalo fechado[a; b] (sendo a e b n¶meros reais), ent~o existem pontos x0 e x1 em [a; b] tais que u af (x0 ) e f(x1 ) s~o, respectivamente, os valores m¶ximo e m¶ a a ³nimo de f (x), para x em[a; b]. Os pontos x0 e x1 aos quais se refere o teorema de Weierstrass s~o chamados aponto de m¶³nimo de f e ponto de m¶ximo de f , respectivamente. O teorema ¶ ilustrado a ena ¯gura 8.1.Elucidando os conceitos aqui apresentados, sendo I ½ D(f) um intervalo (limitado ouilimitado), dizemos que 1. f (x0 ) ¶ o valor m¶ e ³nimo de f (ou de f (x)) em I se f (x0 ) · f (x), para todo x em I: 2. f (x1 ) ¶ o valor m¶ximo de f (ou de f(x)) em I se e a f (x1 ) ¸ f (x), para todo x em I: Por exemplo, no intervalo I = [¡1; +1[, a fun»~o dada por f (x) = x2 tem um caponto de m¶³nimo x0 = 0, sendo f(0) = 0 seu valor m¶ ³nimo, pois x2 ¸ 0 para todox 2 I. Nesse intervalo, f n~o tem valor m¶ximo pois lim f (x) = +1. a a x!+1 69
  2. 2. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 70 y y = f(x) a x0 x1 b x ³nua em [a; b], tem x0 e x1 como seus pontos de m¶Figura 8.1. A fun»~o f , cont¶ ca ³nimo ede m¶ximo, respectivamente. a8.1 Estrat¶gias para determinar m¶ximos e m¶ e a ³nimos de uma fun»~o cont¶ ca ³nua, em um intervaloComo determinar os pontos de um intervalo fechado [a; b], onde uma fun»~o cont¶ ca ³nuaf atinge seus valores m¶ximo e m¶ a ³nimo? Uma solu»~o deste problema seria esbo»ar o ca cgr¶¯co de f nesse intervalo, conforme as estrat¶gias desenvolvidas nas aulas 6 e 7, e a eent~o localizar os valores extremos de f . Mas como determinar os valores m¶ximo e a am¶³nimo de f , no intervalo [a; b], sem recorrer ao estudo do esbo»o de seu gr¶¯co? E c a ¶isto que trataremos de responder.Recapitulando um conceito introduzido na aula 6, diremos que x0 ¶ um ponto de e ³nimo local de f se existe um intervalo aberto I ½ D(f ), com x0 2 I, tal quem¶ f (x0 ) · f(x), para todo x em IE neste caso, f(x0 ) ¶ um valor m¶ e ³nimo local de f.Analogamente, diremos que x1 ¶ um ponto de m¶ximo local de f , e que f(x1 ) ¶ um e a evalor m¶ximo local de f , se existe um intervalo aberto I ½ D(f), com x1 2 I, tal que a f (x1 ) ¸ f(x), para todo x em ITeorema 8.1 Se f tem derivada em um intervalo aberto I, e se x0 2 I ¶ ponto de e 0m¶ ³nimo local de f , ent~o f (x0 ) = 0. Se x1 2 I ¶ ponto de m¶ximo local de f, ent~o a e a af 0 (x1 ) = 0.Demonstra»~o. Mostraremos que f 0 (x0 ) = 0, usando a de¯ni»~o de derivada. ca ca Tome ¢x 60, com x0 + ¢x 2 I. = Ent~o f(x0 ) · f (x0 + ¢x) e da¶ ¢f = f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 ) ¸ 0. a ³ ¢f ¢f Se ¢x > 0, temos ¸ 0, e se ¢x < 0, temos · 0. ¢x ¢x ¢f Temos f 0 (x0 ) = lim . ¢x!0 ¢x
  3. 3. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 71 ¢f ¢f Neste caso, f 0 (x0 ) = lim + = lim ¡ . ¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x ¢f ¢f ¢f ¢f Mas lim + = lim ¸ 0 e lim ¡ = lim · 0. ¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x ¢x>0 ¢x<0 Logo, f 0 (x0 ) ¸ 0 e f 0 (x0 ) · 0, e portanto f 0 (x0 ) = 0. Deixamos ao leitor a dedu»~o do resultado para pontos de m¶ximo locais. ca aObservemos que se x0 ¶ um ponto de m¶ e ³nimo (absoluto) de f , ent~o x0 tem uma das aseguintes caracter¶ ³sticas: (i) x0 ¶ tamb¶m um ponto de m¶ e e ³nimo local de f , e f tem derivada em x0 . Neste caso, conforme o teorema 8.1, f 0 (x0 ) = 0. e ³nimo local de f, mas f n~o tem derivada no ponto x0 . (ii) x0 ¶ um ponto de m¶ a (iii) x0 ¶ um dos extremos do intervalo [a; b], ou seja, x0 = a ou x0 = b. eOs casos (i), (ii) e (iii) s~o ilustrados na ¯gura 8.2. a (i) (ii) (iii) a x0 b a x0 b a x0 = b Figura 8.2. Pontos de m¶ ³nimo t¶ ³picos. (i) (ii) (iii) a x1 b a x1 b a x1 = b Figura 8.3. Pontos de m¶ximo t¶ a ³picos.
  4. 4. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 72Analogamente, se x1 ¶ um ponto de m¶ximo de f , ent~o x1 tem uma das tr^s seguintes e a a ecaracter¶ ³sticas: (i) x1 ¶ tamb¶m um ponto de m¶ximo local de f , e f tem derivada em x1 . Neste e e a caso, conforme o teorema 8.1, f 0 (x1 ) = 0. (ii) x1 ¶ um ponto de m¶ximo local de f , mas f n~o tem derivada no ponto x1 . e a a (iii) x1 ¶ um dos extremos do intervalo [a; b], ou seja, x1 = a ou x1 = b. eEsses casos s~o ilustrados na ¯gura 8.3. aUm n¶mero real x ¶ chamado um ponto cr¶ u e ³tico de f quando f 0 (x) = 0 ou quando fe ³nua em x mas n~o existe f 0 (x).¶ cont¶ aAssim, um ponto de m¶ximo ou de m¶ a ³nimo de uma fun»~o f, em um intervalo [a; b], ca ³tico de f ou uma das extremidades do intervalo.¶ um ponto cr¶e ³nimo de f (x) = 2x3 + 3x2 ¡ 12x, noExemplo 8.1 Determinar os valores m¶ximo e m¶ aintervalo [¡3; 3].Solu»~o. A fun»~o f ¶ cont¶ ca ca e ³nua no intervalo [¡3; 3]. Temos f 0 (x) = 6x2 + 6x ¡ 12 =6(x + x ¡ 2). As solu»~es de f 0 (x) = 0 s~o x1 = ¡2 e x2 = 1. Estes s~o os pontos 2 co a a ³ticos de f no intervalo [¡3; 3]. Calculando os valores de f nos extremos do intervalocr¶e nos pontos cr¶³ticos, temos: f (x1 ) = f (¡2) = 20, f (x2 ) = f (1) = ¡7, f (¡3) = 9 e f(3) = 45. Assim sendo, por compara»~o dos valores obtidos, o ponto de m¶ ca ³nimo de f , para¡3 · x · 3, ¶ xmin = x2 = 1, sendo f (1) = ¡7 o valor m¶ e ³nimo de f nesse intervalo.J¶ o ponto de m¶ximo de f , para ¡3 · x · 3, ¶ xmax = 3, sendo f (3) = 45 o valor a a em¶ximo de f nesse intervalo. Como ilustra»~o, temos um esbo»o do gr¶¯co de f , no a ca c aintervalo [¡3; 3], na ¯gura 8.4. y 45 20 9 x -3 -2 1 3 -7 Figura 8.4.
  5. 5. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 73 p x2 ¢ (x ¡ 2)2 , no 3 ³nimo de f (x) =Exemplo 8.2 Determinar os valores m¶ximo e m¶ aintervalo ¡1 · x · 1. 4(2x2 ¡ 5x + 2) ca ca e ³nua no intervalo [¡1; 1]. f 0 (x) =Solu»~o. A fun»~o f ¶ cont¶ p . 33x Temos f 0 (x) = 0 se e somente se x = 2 ou x = 1=2. Agora, 0 tamb¶m ¶ um ponto cr¶ e e ³nua no ponto 0, ³tico de f , uma vez que f ¶ cont¶ emas n~o se de¯ne f 0 (0). a Assim, Como 2 6 2 [¡1; 1], os pontos cr¶ ³ticos de f s~o x1 = 1=2 e x2 = 0. a Calculando os valores de f nos extremos do intervalo e nos pontos cr¶ ³ticos, temos: 9 p f (x1 ) = f (1=2) = 4 p4 ¼ 1; 4 ( 3 4 ¼ 1; 6), f(0) = 0, f(¡1) = 9 e f (1) = 1. 3 Portanto, f (0) = 0 ¶ o valor m¶ e ³nimo de f , enquanto que f (¡1) = 9 ¶ seu valor em¶ximo. aQuest~o Como determinar os pontos de um intervalo I ½ D(f ), nos quais f atinge aseus valores m¶ximo e m¶ a ³nimo, se I ¶ um intervalo aberto ou ilimitado, e f ¶ cont¶ e e ³nuaem I?Neste caso, a resposta ¶: eSendo f cont¶ ³nua em um intervalo I, comparamos os valores de f nos extremos queefetivamente pertencem ao intervalo com os valores de f nos seus pontos cr¶ ³ticos desseintervalo. Comparamos ainda esses valores com os limites de f (x) quando x tende aextremos que n~o pertencem ao intervalo. a Como refor»o estrat¶gico na pesquisa de m¶ximos e m¶ c e a ³nimos locais, temos tamb¶m eo seguinte teorema.Teorema 8.2 Sendo f uma fun»~o cont¶ ca ³nua, com f 0 tamb¶m cont¶ e ³nua, em um in-tervalo aberto I, e x0 um ponto de I, 1. se f 0 (x0 ) = 0 e f 00 (x0 ) > 0, ent~o x0 ¶ um ponto de m¶ a e ³nimo local de f ; 2. se f 0 (x0 ) = 0 e f 00 (x0 ) < 0, ent~o x0 ¶ um ponto de m¶ximo local de f ; a e a f (x 0) = 0 f (x 0) = 0 f "(x0) < 0 f "(x 0) > 0 x0 x x0 x Figura 8.5. N~o faremos a demonstra»~o do teorema 8.2 aqui, mas faremos a seguinte obser- a cava»~o geom¶trica, que o torna intuitivamente obvio. ca e ¶
  6. 6. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 74 Se f 0 (x0 ) = 0, a reta tangente ao gr¶¯co de f , em P = (x0 ; f (x0 )), ¶ horizontal. a e Se, al¶m disso, f 00 (x0 ) > 0, temos a concavidade do gr¶¯co de f , em P , voltada e apara cima, e assim x0 ¶ um ponto de m¶ e ³nimo local de f . Se f 00 (x0 ) < 0, a concavidadedo gr¶¯co de f , em P , ¶ voltada para baixo, e x0 ¶ ent~o um ponto de m¶ximo local a e e a ade f . Estas duas possibilidades s~o ilustradas na ¯gura 8.5. a 1 ³nimo de f (x) = x + , para x > 0.Exemplo 8.3 Determinar os valores m¶ximo e m¶ a xSolu»~o. Estamos procurando os valores m¶ximo e m¶ ca a ³nimo de f no intervalo ]0; +1[. 1Temos f 0 (x) = 1 ¡ 2 , e portanto f 0 (x) = 0 (com x > 0) se e somente se x = 1. x 1 Agora, lim f (x) = 0 + + = +1 e lim f(x) = +1. Portanto, f n~o tem a x!0+ 0 x!+1valor m¶ximo em ]0; +1[. a 2 Temos ainda f 00 (x) = 3 e f 00 (1) > 0. Assim, x1 = 1 ¶ ponto de m¶ e ³nimo local de xf . Como f n~o tem outros pontos cr¶ a ³ticos, 1 ¶ o ponto de m¶ e ³nimo global de f , sendof (1) = 2 o valor m¶ ³nimo de f no intervalo ]0; +1[.8.2 Aplica»oes a problemas de otimiza»~o c~ caExemplo 8.4 Qual ¶ a maior ¶rea retangular que pode ser cercada com 200 m de tela e ade arame?Solu»~o. ca(Passo 1) Analisamos o problema, e desenhamos um diagrama incluindo toda a infor-ma»~o. Introduzimos vari¶veis. ca a Fazemos isto na ¯gura 8.6 y x x y ³metro do ret^ngulo ¶ 2x + 2y. Figura 8.6. O per¶ a e(Passo 2) Expressamos a quantidade a ser maximizada como uma fun»~o de uma cavari¶vel. Determinamos o dom¶ dessa fun»~o a partir das condi»~es do problema. a ³nio ca co
  7. 7. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 75 A ¶rea do ret^ngulo deve ser maximizada, sob a condi»~o de que o per¶ a a ca ³metro ¶ e200 m. Essa ¶rea ¶ dada por A = xy. Como y = 100 ¡ x, temos a e A = A(x) = x(100 ¡ x)e, nas condi»~es do problema, temos 0 · x · 100. co(Passo 3) Determinamos o ponto de m¶ximo e o valor m¶ximo da fun»~o, no intervalo a a caem que ela est¶ de¯nida. a Usando os procedimentos discutidos anteriormente, sendo A(x) = 100x ¡ x2 ,temos A0 (x) = 100 ¡ 2x. A0 (x) = 0 se e somente se x = 50. Temos A(50) = 50 ¢ (100 ¡ 50) = 502 = 2500.Temos ainda A(0) = A(100) = 0 (valor m¶ ³nimo da ¶rea). a Assim, o valor m¶ximo de A(x) ¶ atingido quando x = 50 m. Assim, o ret^ngulo a e a ³metro 200 m, com ¶rea m¶xima, ¶ um quadrado de 50 m de lado.de per¶ a a eExemplo 8.5 Uma grande caixa deve ser constru¶ cortando-se quadrados iguais dos ³daquatro cantos de uma folha retangular de zinco, de 3 m por 8 m, dobrando-se os quatrolados (abas laterais) para cima e soldando-se as arestas verticais que ¯caram justapostas.Encontre o maior volume poss¶ para esta caixa. ³velSolu»~o. ca(1) Um diagrama contendo todas as informa»~es do problema, bem como a introdu»~o co cade uma vari¶vel, ¶ mostrado na ¯gura 8.7 a e 8 - 2x 3 - 2x 3 - 2x x 8 - 2x x Figura 8.7.(2) O volume da caixa da ¯gura 8.7 ¶ dado por e V = V (x) = x(8 ¡ 2x)(3 ¡ 2x); para 0 · x · 3=2(3) V 0 (x) = 0 se e somente se x = 2=3 ou x = 3 (esta ultima solu»~o est¶ descartada, ¶ ca apois 3 62 D(V )).
  8. 8. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 76 ¶ ³tico de V ¶ 2=3. Nas extremidades do dom¶ temos V = 0. O unico ponto cr¶ e ³nioComo V ¸ 0, o ponto cr¶ ³tico s¶ pode ser m¶ximo local, e portanto m¶ximo absoluto. o a a Assim, x = 2=3 ¶ ponto de m¶ximo de V , e as dimens~es da caixa de volume e a om¶ximo s~o 20=3, 5=3 e 2=3 m, tendo ela volume 200=27 m3 . a aExemplo 8.6 Deseja-se construir uma lata cil¶ ³ndrica totalmente fechada, de volume v,gastando-se, em sua confec»~o, a menor quantidade de material poss¶ ca ³vel. Determine araz~o entre a altura e o di^metro dessa lata. a aSolu»~o. ca(1) Diagramas contendo todas as informa»oes do problema, bem como a introdu»~o de c~ cauma vari¶vel, est~o na ¯gura 8.8 a a área do topo = π r 2 r h área da superfície lateral = 2 π r h v = πr2 h h 2πr área da superfície externa total área da base = π r 2 = π r2 + π r 2 + 2 π r h Figura 8.8.(2) A superf¶ externa total da lata cil¶ ³cie ³ndrica, ilustrada na ¯gura 8.8, ¶ dada por e S = 2¼r2 + 2¼rh vComo ¼r2 h = v, temos h = , e ent~o a ¼r2 2v S = S(r) = 2¼r2 + rsendo S(r) de¯nida somente para r > 0. 2v(3) S 0 (r) = 4¼r ¡ . r2 r 0 v S = 0 se e somente se r = 3 ³tico de S no intervalo , e este ¶ o unico ponto cr¶ e ¶ 2¼r > 0. Temos tamb¶m que lim S(r) = +1 e lim S(r) = +1. Assim, S(r) n~o tem e a r!0 r!+1valor m¶ximo, e seu unico ponto cr¶ a ¶ ³tico s¶ pode ser ponto de m¶ o ³nimo local. Isto ¶ e 00 4vcon¯rmado observando-se que S (r) = 4¼ + 3 > 0 para todo r > 0. Portanto, o r
  9. 9. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 77 r vgr¶¯co de S = S(r) tem convavidade voltada para cima, o que con¯rma r = a 3 2¼como seu ponto de m¶ ³nimo absoluto da fun»~o S. ³nimo local, e tamb¶m ponto de m¶ e ca p Sendo r = 3 v=(2¼), temos h v v v = 3 = µr ¶3 = ³ v ´ =2 r ¼r v ¼ 3 ¼ 2¼ 2¼ Portanto, h = 2r, ou seja, a altura da lata deve ser igual ao di^metro da base se aquisermos minimizarmos o material a ser gasto em sua confec»~o. ca Este ¶ o padr~o, ao menos aproximado, de algumas latas de conservas, tais como e alatas de creme de leite e de leite condensado. Por quest~es de praticidade, muitas latas ofogem deste padr~o, como por exemplo as latas de oleo comest¶ a ¶ ³vel.8.3 ProblemasEncontre os pontos de m¶ximo e de m¶ a ³nimo, bem como os valores m¶ximo e m¶ a ³nimo,das fun»~es dadas, nos intervalos indicados. co p 1. f (x) = 3 x(x + 4), x 2 [¡4; 2] p Resposta. xmin = ¡1, xmax = 2, f (¡1) = ¡3, f (2) = 6 3 2 ¼ 7; 6. 2. f (x) = x2 + 2x ¡ 4, x 2 [¡2; 2]. Resposta. xmin = ¡1, xmax = 2, f (¡1) = ¡5, f (2) = 4. x 3. f (x) = , x 2 R. 1 + x2 Resposta. xmin = ¡1, xmax = 1, f (¡1) = ¡1=2, f (1) = 1=2. x 4. f (x) = , x 6§1. = 1 ¡ x2 Resposta. f n~o tem m¶ximo, nem m¶ a a ³nimo.Resolva os seguintes problemas de otimiza»~o. ca 1. Um recipiente de lata, de forma cil¶ ³ndrica e aberto no topo, deve ter capacidade de v litros. Determine a raz~o entre a altura h e o di^metro d da base de modo a a que a quantidade de lata usada na sua fabrica»~o seja a menor poss¶ ca ³vel. Resposta. h = d=2.
  10. 10. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 78 2. Um estudante quer construir um viveiro ret^ngular para seu hamster, usando a a parede de um c^modo como um dos lados e cercando os demais tr^s lados com 3 o e metros de tela dispon¶ ³veis, obtendo a maior ¶rea retangular poss¶ a ³vel. Quais devem ser as dimens~es de seu viveiro? o Resposta. O viveiro deve ter 1;5 m na frente e 0;75 m nos lados. 3. Determinar as dimens~es de um cilindro, de volume m¶ximo, inscrito em uma o a esfera de raio R. Sugest~o. Fa»a um desenho visualizando o cilindro de per¯l dentro da esfera. No a c desenho, voc^ ter¶ um ret^ngulo dentro de um c¶ e a a ³rculo. Demarque a altura h do cilindro, e di^metro da sua base, 2r. Demarque tamb¶m o raio R da esfera. Use a e o teorema de Pit¶goras obter rela»~es entre h e r. O volume do cilindro ¶ dado a co e por V = (¶rea da base) ¢ (altura) = ¼r2 ¢ h. a q p Resposta. r = raio da base = 2 R. h = altura do cilindro = 2r. 3 4. Determinar as dimens~es de um cilindro, inscrito em uma esfera de raio R, cuja o ¶rea da superf¶ externa total ¶ a m¶xima poss¶ a ³cie e a ³vel. q p q p Resposta. r = raio da base = 5+ 5 R, h = 2 5¡ 5 R. 10 10 2 2 5. Na elipse x2 + y2 = 1, inscreva um ret^ngulo, de a b a y ¶rea m¶xima, com dois de seus lados paralelos a a (0,b) ao eixo x (e os outros dois paralelos ao eixo y). Sugest~o. Os quatro v¶rtices do ret^ngulo, to- a e a (-a,0) (a,0) dos pertencentes µ elipse, ser~o pontos (x; y), a a x (¡x; y), (x; ¡y) e (¡x; ¡y). (0,-b) p p Resposta. O ret^ngulo tem dimens~es a o 2a e 2b. 6. Quer-se construir um tanque de a»o para armazenar g¶s propano, com a forma de c a um cilindro circular reto, com um hemisf¶rio (semi-esfera) em cada extremidade. e Se a capacidade desejada para o tanque ¶ 100 dec¶ e ³metros c¶bicos (litros), quais u as dimens~es que exigem a menor quantidade de a»o ? (Despreze a espessura das o c paredes do tanque). p Resposta. O tanque deve ser esf¶rico, de raio 3 75=¼ ¼ 2; 88 metros. e 7. Qual ponto da par¶bola y = x2 + 1 est¶ mais pr¶ximo do ponto A = (3; 1) ? a a o Sugest~o. A dist^ncia de um ponto qualquer P = (x; y) ao ponto A ¶ dada por p a a e d = (x ¡ 3) 2 + (y ¡ 1)2 . Se P ¶ um ponto da par¶bola, temos y = x2 + 1, e a p e ent~o d = (x ¡ 3) a 2 + x4 . Como d ¸ 0, temos que d ter¶ seu valor m¶ a ³nimo 2 quando d assumir seu valor m¶ ³nimo. Assim, basta procurarmos o valor m¶ ³nimo de f (x) = (x ¡ 3)2 + x4 . Resposta. (1; 2). 8. Um veterin¶rio tem 100 m de tela de arame. Com isto deseja construir seis canis, a primeiro cercando uma regi~o retangular e depois subdividindo essa regi~o em seis a a
  11. 11. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 79 ret^ngulos menores, atrav¶s de cinco cercas divis¶rias internas, paralelas a um a e o dos lados. Que dimens~es externas, dessa regi~o retangular, maximizam sua ¶rea o a a total, se o veterin¶rio gasta os 100 m de tela nessa constru»~o ? a ca Resposta. 25 m por 50=7 ¼ 7; 14 m. 9. Ao procurar o ponto da hip¶rbole x2 ¡ y 2 = 1 mais pr¶ximo da origem, Jo~ozinho e o a raciocinou da seguinte maneira. pTemos que procurar, dentre os pontos da hip¶rbole, aquele para o qual d = e x2 + y 2 tem valor m¶ a ³nimo quando d2 for m¶ ³nimo. Como d ¸ 0, d ser¶ m¶ ³nimo. Agora, sendo P = (x; y) um ponto da hip¶rbole, temos y = x ¡ 1, logo d2 = e 2 2 x2 + y 2 = 2x2 ¡ 1. Procurando o valor m¶ ³nimo de d2 = f (x) = 2x2 ¡ 1, calculamos f 0 (x) = 4x. Temos f 0 (x) = 0 se e somente se x = 0. Para x = 0 por¶m, temos y 2 = 02 ¡ 1 = e ¡1, uma impossibilidade. Logo, n~o h¶ nenhum ponto da hip¶rbole cuja dist^ncia a a e a µ origem seja m¶ a ³nima. Explique o erro no racioc¶ de Jo~ozinho, ³nio a y x2 y2 j¶ que um esbo»o da hip¶rbole (fa»a-o) re- a c e c __ _ __ a 2 b2 =1 vela que os pontos (§1; 0) s~o seus pontos a (0,b) mais pr¶ximos da origem. Sugest~o. Para o a quais valores de x de¯ne-se d? (-a,0) (a,0) x (0,-b)

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