Apostila de matemática cursinho

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Apostila de matemática cursinho

  1. 1. MATEMÁTICA – CURSINHO CONJUNTO NUMERICO Alguns tipos de conjuntos, por serem de grande aplicação na teoria que vamos expor, Merecem uma citação à parte. Conjunto vazio O conjunto vazio é representado, geralmente, por { }, ∅ ou por uma propriedade falsa, caracterizando um evento impossível Conjunto unitário Formalmente, dizemos que conjunto unitário é todo conjunto formado por um único elemento, caracterizando um evento elementar. Continência Formalmente, dizemos que um conjunto A está contido em outro conjunto B, quando todos os elementos de A pertencem também a B. Indicamos que A está contido em B pela sentença A ⊂ B, que significa, também, que A é subconjunto de B, ou, ainda, que A é parte de B .Do exposto, decorrem as implicações. Operações com conjuntos É possível estabelecermos relações entre os elementos de dois ou mais conjuntos por meio de operações específicas. Intersecção Formalmente, o conjunto intersecção (A ∩ B) entre dois conjuntos A e B e definido como sendo o conjunto formado pelos elementos que pertençam a ambos os conjuntos, ou seja, que possuam simultaneamente as características dos dois. Em símbolos, escrevemos:
  2. 2. União É definido como sendo o conjunto formado pelos elementos que pertencem a um ou ao outro. Diferença Assim, o conjunto diferença (A – B), entre os conjuntos A e B, é formado pelos elementos de A que não pertencem a B. EXERCÍCIOS 1-Escreva (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas: a) A soma de dois números irracionais é irracional ( ). b) A soma de dois números irracionais pode ser racional ( ). c) O produto de um número irracional por um racional é irracional ( ). d) O produto de dois números irracionais é irracional ( ). e) Dividindo-se um número irracional por um número racional não nulo, obtém-se um número irracional ( ). f) Dividindo-se um número racional por um número irracional, obtém-se um número irracional ( ). g) Dividindo-se um número racional por um número irracional, pode-se obter um número racional ( ). 2-Sejam os conjuntos A, B e C, tais que: A = {x ∈ | 0 ≤ x ≤ 8 ou x > 15 } B = {x ∈ | – 4 ≤ x < 10 ou 12 ≤ x ≤ 18} e C = {x ∈ | x ∈ A ∩ B}. Quantos são os subconjuntos de C? 3-De um total de R$ 250,00 vendidos numa loja, num determinado dia, R$ 150,00 foram pagos à vista. Qual é a taxa percentual das vendas à vista naquele dia? 4-O tanque de combustível de um determinado veículo Flex (bicombustível) tem capacidade para 50 litros. O fabricante aconselha que 40% do combustível seja gasolina (pura), e o restante , álcool.
  3. 3. Suponha que esse carro seja produzido e vendido num certo país cuja gasolina (nos postos autorizados) apresenta 20% de álcool em sua composição .Para seguir o conselho do fabricante, quantos litros, de cada combustível (álcool e gasolina dos postos), um proprietário deve colocar no tanque inicialmente vazio? 5-Após serem consultados sobre os horários disponíveis para participarem de uma reunião, os professores Abélio(A) e Daniel(D) responderam: • (A) Tenho horário disponível entre 8h e 12h ou, então, 14h e 17h. • (D) Tenho horário disponível das 11h às 13h ou, então, das 15h às 18h. Nessas condições, pede-se: a) Represente cada resposta, sob a forma de intervalos numéricos, na reta real. b) Indique quais horários em que ambos podem estar presentes na reunião. c) Indique os horários em que a reunião não poderá ser feita, se ambos devem estar presentes. FUNÇÕES De modo geral, uma grandeza y é função de uma grandeza x, quando, para cada valor de x, existe um único valor correspondente y .Nesses termos, dizemos que x é uma variável independente, e y é uma variável dependente (pois depende do valor de x). 1-Considere a função cuja lei de formação é f(x) = x + 1/x – 2 . Para essa função, determine: a) os valores de f(0) e f(1) b) o(s) zero(s) de f(x); c) o(s) valor(es) de x que não fazem parte do domínio de f(x).
  4. 4. 2-Considere as funções f(x) e g(x) cujas leis de formação são f(x) = 2x – 6/x – 1 e g(x) = x– 2/x . a) Quais os zeros dessas funções? b) Quais o valores de f(1) e g(0)? c) Qual é o domínio de cada uma dessas funções? 3-Devido à crise econômica mundial, que passou a ser acompanhada pela mídia internacional, a partir do 2o semestre de 2008, muitos países passaram a conviver com os "fantasmas" do desemprego e da queda de produção .Os gráficos que se seguem representam, aproximadamente, a quantidade de empregados e o nível de produção desses empregados, no setor da indústria siderúrgica de um certo país, de 2007 a 2009. Com base nas informações desse gráficos, analise as afirmativas a seguir e indique a soma dos números associados às corretas. 1) Ao longo de 2007, a quantidade de empregados caiu, mas a produção manteve-se aproximadamente constante. 2) Por volta de agosto de 2008, a quantidade de empregados começa a cair drasticamente, bem como a produção. 4) A partir do 2o semestre de 2009, ocorre uma recuperação da quantidade de empregos, mas o mesmo não ocorre com a produção. 8) Ao final de 2009, a quantidade de empregados volta aos níveis de meados de 2008. 16) Do inicio do ano de 2008 ao início do ano de 2009, ocorre uma queda próxima de 50% na produção.
  5. 5. 4-O gráfico a seguir indica como mudou a temperatura (em graus célsius) de dois líquidos, A e B, ao longo do tempo, em horas. Analise esse gráfico e responda: a) Qual dos líquidos poderia estar dentro de um forno ligado? b) Qual dos líquidos poderia estar dentro de um refrigerador ligado? c) O que significa, fisicamente, o ponto L(t, T) em destaque? 5-Determine a função cujo gráfico é a reta que passa pelo ponto (3, 5) e tem coeficiente angular igual a 2. 6-Na produção de certo tipo de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 200,00 mais uma despesa variável de R$ 0,50 por unidade produzida, incluindo impostos e transporte. Sendo x o número de unidades produzidas, responda: a) Qual é a lei da função que fornece o custo total de x peças? b) Qual é o custo de 100 peças? c) Qual é a taxa de crescimento da função? d) Quantas peças devem ser vendidas, a R$ 3,00 a unidade, para que o lucro total seja de R$ 800,00? 𝑋+4 7-Qual é o domínio da função f(x) = √3𝑋+6 8-Sabe-se, da Física, que a pressão exercida pela camada de ar da atmosfera ao nível do mar é de uma atmosfera (1 atm).Sabe-se, também, que qualquer objeto ao se afundar nas águas do mar passa a sofrer um aumento de pressão próximo a 1 atm a cada 10 m. Por isso, os mergulhadores se valem da seguinte relação para estimar a pressão p que podem estar sofrendo a uma profundidade de h metros: p = 1 +h/10 , (em atm). Suponha que um determinado aparelho eletrônico, usado para pesquisas feitas no mar, suporte, no máximo, uma pressão de 126 atm. Até qual profundidade esse aparelho poderá penetrar na água?
  6. 6. 9-Um restaurante self-service cobra, no almoço, R$ 12,00 por pessoa. Após às 15h, esse valor cai para R$ 9,00. Estima-se que o custo total de um almoço seja R$ 7,00 por pessoa. Em um certo dia, 100 clientes almoçaram nesse restaurante, sendo que apenas x deles compareceram até as 15h. Nas condições citadas, indique: a) Qual a expressão que defi ne o lucro L, obtido nesse dia, em função de x? b) Qual o intervalo da variação de x para que o lucro seja superior a R$ 600,00 sem atingir R$ 750,00, num dia que 150 pessoas almoçarem nesse restaurante? 10-Sendo f(x) = 5x e g(x) = x3, calcular: a) fog (x) b) gof (x) 11-Considerando as funções f(x) = x2 – 5 e g(x) = x + 1, calcule fog (2). 12-Dadas as funções f(x) = 5x e f o g (x) = 10x – 5, obtenha a função g(x). 13-Sejam as funções g(x) = 3x e f o g(x) = 3x2 – 1. Obtenha a Lei de f(x). 14Sabese, da física, que a distância x de um objetoà superfície de um espelho é igual à distância y da imagem I daquele objeto até essa superfície Verifique se a relação entre as distâncias éuma função. Em caso afirmativo, forneç a seu domínio, sua imagem e classifique-a quanto a essa imagem.
  7. 7. 15-A relação que associa o nome de um estado brasileiro a sua respectiva capital é uma função? Em caso afirmativo, classifique-a quanto a sua imagem, justificando-se. 16-Calcule o valor de cada expressão a seguir: 3 E= √2 . √2 TRIGONOMETRIA 1-Um engenheiro, cuja estatura é de 1,8 m, quer medir a altura (h) de um prédio. A distância entre o engenheiro e o prédio é de 35 m, e o ângulo de visão com que ele observa o topo do prédio é de 53º em relação à horizontal, conforme esta figura: Qual é, aproximadamente, a medida obtida? Sen 53°= 0,7986 COS 53º =0,6018 Tag 53º =1,3270
  8. 8. 2-A figura a seguir mostra uma secção de uma sala, cujos teto e piso são horizontais. Mostra também uma pessoa sentada em uma cadeira, com os olhos situados a 1,2 m do solo, observando um ponto T no teto em relação à horizontal, sob um ângulo de 30o. Qual é a medida do pé direito (distância entre o teto e o piso) dessa sala? 3-A Figura 1 a seguir mostra uma árvore antes de um vendaval, e a Figura 2 mostra a mesma árvore depois desse fenômeno: 4-Seja um ângulo agudo de medida α, tal que sen α = m + ½ e cos α = m. Calcule, independentemente de m, o valor de tg α.
  9. 9. 5-Por meio do desenho, o topógrafo (profissional da topografia) representa, na planta topográfica, a forma, o relevo e as dimensões de uma porção da superfície terrestre. Para isso, o topógrafo mede, basicamente, distâncias e ângulos. As distâncias são medidas com trena, que é um tipo de fita métrica (Figura 1).Para medir ângulos, ele dispõe de um aparelho chamado teodolito (Figura 2). Quando ele mira, por exemplo, o topo de uma torre, o teodolito fornece os ângulos α ou β,v contidos num plano vertical (Figura 3). LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS 6-Um triângulo ABC é tal que A = 30 o e B = 45o. Se AC = 20 cm, calcule a medida de BC.
  10. 10. 7-Calcule a medida do lado AB, do triângulo ABC e a medida do ângulo ED^F do triângulo DEF. 8-Calcule a área de um triângulo de lados medindo 5 cm e 8 cm, formando um ângulo de medida α, nos casos a seguir: a) α = 30º b) α = 120º 9-Uma praça será construída, envolvida pelas ruas que se cruzam nos pontos A, B, C e D, conforme esta figura: Seu formato é de um paralelogramo de lados 120 m e 60 m, formando entre si um ângulo de medida α, tal que cos α = 3/5 . 10- O tecido usado na confecção de uma certa asa delta (Figura 1) tem o formato de um quadrilátero côncavo (Figura 2).
  11. 11. Considerando o cos x = 4/5 a quantidade de tecido (em metros quadrados) necessária para confeccionar essa asa delta, desprezando as costuras e as dobras existentes .Para confeccionar determinado tipo de enfeite de festa, que aparenta ter um formato de “triângulo curvilíneo” (Figura 1), tomam-se triângulos retilíneos, confeccionados em tecido elástico. O triângulo confeccionado com esse tecido é mantido tracionado por fios amarrados em seus vértices (Figura 2).

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