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1. Cálculo Diferencial e
Integral
Capítulo – 5
Integral
Prof. Dr. Armando Cirilo de Souza

2. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
6.1 Introdução
Definição 6.1. Uma função F(x) é
chamada uma primitiva da função f(x) no
intervalo I se para todo x ∈ I, tem-se:

3. Exemplo 6.1.
[1] Seja f(x) = x3, então F(x) =x4 / 4 é uma
primitiva de f em R, pois F′(x) = x3 = f(x).
F(x) = (x4 / 4) + 5 é também uma primitiva
de f em R, pois F′(x) = x3 = f(x). Na
verdade,F(x) = (x4 / 4) + c, para todo c ∈ R
é primitiva de f pois F′(x) = x3 = f(x).

4. Exemplo 6.1.
[2] Seja f(x) = cos(x), então
F(x) = sen(x) + c, para todo c ∈ R é uma
primitiva de f. De fato, F′(x) = cos(x) = f(x).

5. Proposições
Proposição 6.1. Seja F uma primitiva da função f
no intervalo I. Então, G(x) = F(x) + c, c ∈ R, é
também primitiva de f no intervalo I.
A pergunta natural que surge, a seguir, é: se F e
G são primitivas de uma função f sobre um
intervalo, será que F e G estão relacionadas de
alguma forma? A resposta a esta questão é dada
pela seguinte proposição:

6. Proposições
Proposição 6.2. Se F e G são primitivas de uma função f
num intervalo I, então existe c ∈ R tal que G(x) = F(x) + c,
para todo x ∈ I.
Prova: Seja H(x) = F(x) − G(x); então, para todo x ∈ I, temos
que: H′(x) = F′(x) − G′(x) = f(x) − f(x) = 0. Como conseqüência
do Teorema do Valor Médio, para todo x ∈ I, H(x) = c; então,
para todo x ∈ I, F(x) − G(x) = c.
Em outras palavras, duas primitivas de uma função diferem
por uma constante. Logo, se conhecemos uma primitiva de
uma função, conhecemos todas as primitivas da função. De
fato, basta somar uma constante à primitiva conhecida para
obter as outras.

7. Exemplos 6.2.
[1] Seja f(x) = cos(x). Uma primitiva desta
função é F(x) = sen(x); logo, toda primitiva
de f é do tipo G(x) = sen(x) + c, c ∈ R.

8. Exemplo 6.2.
[2] Seja f(x) = eax, a ≠ 0. Uma primitiva
desta função é F(x) = eax /a ; logo, toda
primitiva de f é do tipo G(x) = eax/a + c, c ∈
R.

9. Integral Indefinida
Definição 6.2.
Seja F(x) uma primitiva da função f(x) no
intervalo I. A expressão F(x) + c, c ∈ R é
chamada a integral indefinida da função
f e é denotada por:

10. Integral Indefinida
Note que
em particular:

11. Integral Indefinida
Teorema 6.1. (Linearidade da Integral)
Sejam F, G primitivas de f e g,
respectivamente, num intervalo e α , β ∈ R.
Então, α F + β G é uma primitiva de
α f + β g, e:

12. Integral Indefinida
Prova: Se F e G são primitivas de f e g,
respectivamente, então α F(x) + β G(x) é
primitiva de α f(x) + β g(x); logo:

13. Exemplo 6.3.
[1] f[sec(x) tg(x) + cos(x)] dx.

14. Exemplo 6.3.

15. Exemplo 6.3.

17. Métodos de Integração
Nas próximas seções apresentaremos os
métodos mais utilizados que nos permitirão
determinar uma grande quantidade de
integrais não imediatas. O primeiro a ser
estudado se baseia na regra da cadeia.

18. 6.3 Método de Substituição
Sejam F uma primitiva de f num intervalo I
e g uma função derivável tal que F ◦ g
esteja definida. Usando a regra da cadeia;
temos,
(F(g(x)))′ = F′(g(x)) · g′(x) = f(g(x)) · g′(x).
Logo,F(g(x)) é uma primitiva de f(g(x)) ·
g′(x), então:

19. 6.3 Método de Substituição
fazendo u = g(x), tem-se du = g′(x) dx;
substituindo na expressão anterior:

20. Exemplo 6.4.
Calcule as seguintes Integrais:
Fazendo u = 1 + x2, então du = 2x dx.
Substituindo na integral:

21. Exemplo 6.4.
Fazendo u = sen(x), então du = cos(x) dx.
Substituindo na integral:

22. Exemplo 6.4.
Fazendo u = 3x + 7, então du = 3 dx ou,
equivalentemente, du / 3 = dx. Substituindo
na integral:

23. Exemplo 6.4.
Fazendo u = √x, então du =dx / 2√x.
Substituindo na integral:

24. Exemplo 6.4.
Fazendo u = ln(x), então du = dx/x.
Substituindo na integral:

25. 6.3.1 Outros Tipos de Substituições
Exemplo 6.5.
Fazendo u = √x + 1, então x = u2 − 1 e
2 du =dx/√x + 1

26. Exemplo 6.5.
Fazendo u = 1 + 3√x, então x = (u − 1)3 e dx = 3 (u − 1)2 du;

27. Exemplo 6.5.
Seja u = 3√(x + 3); então, x = u3 − 3 e
dx = 3 u2 du; x2 + 1 = u6 − 6 u3 + 10.

28. 6.4 Integrais de Produtos e Potências de
Funções Trigonométricas
Exemplo 6.6.
Calcule as seguintes integrais:

29. Exemplo 6.6.

30. Exemplo 6.6.

31. Exemplo 6.6.

32. 6.5 Método de Integração por Partes
Sejam f e g funções deriváveis no intervalo
I. Derivando o produto f · g:
(f(x) g(x))′ = f′(x) g(x) + f(x) g′(x),
ou, equivalentemente,
f(x) g′(x) = (f(x) g(x))′ − f′(x) g(x).
Integrando ambos os lados:

33. 6.5 Método de Integração por Partes
fazendo: u = f(x) e dv = g′(x) dx, temos: du = f′(x) dx e v =
g(x). Logo:
Este método de integração nos permite transformar a
integração de u dv na integração de v du.
É importante saber “escolher” a substituição u e dv na integral
de partida. Devemos escolher v′ tal que permita determinar v.
As expressões de u′ e v devem ser mais simples que as de u
e v′, respectivamente.

34. Exemplo 6.7.
Façamos u = ln(x) e dv = dx; então,
du =dx/x e v = x; logo:

35. Exemplo 6.7.
Façamos u = x e dv = e2x dx; então,
du = dx e v = e2x / 2; logo:

36. Exemplo 6.7.
Façamos u = x2 e dv = sen(x) dx; então,
du = 2 x dx e v = −cos(x); logo:

37. Exemplo 6.7.
Calculemos agora fx cos(x) dx, novamente por
partes.
Fazendo u = x e dv = cos(x) dx, temos
du = dx e v = sen(x); logo:

38. 6.6 Método de Substituição
Trigonométrica
Este método é usado quando a expressão
a integrar envolve alguns dos seguintes
tipos de radicais:
Onde: a>0

39. 6.6 Método de Substituição
Trigonométrica
Caso 1: √a2 − u2
Para − π/2 ≤ θ ≤ π/2, seja u = a sen(θ);
então, du = a cos(θ) dθ.
Logo √a2 − u2 = a cos(θ).
Denotando por c = √a2 − u2:

40. 6.6 Método de Substituição
Trigonométrica
Caso 2: √a2 + u2
Para −π/2< θ <π/2, seja u = a tg(θ); então,
du = a sec2(θ) dθ.
Logo √a2 + u2 = a sec(θ).
Denotando por d = √a2 + u2:

41. 6.6 Método de Substituição
Trigonométrica
Caso 3: √u2 − a2
Para 0 ≤ θ < π/2 ou π ≤ θ < 3π/2,
seja u = a sec(θ);
então, du = a sec(θ) tg(θ) dθ.
Logo √u2 − a2 = a tg(θ).
Denotando por e = √u2 − a2:

42. Exemplo 6.8.
Seja x = a sen(θ); então, dx = a cos(θ) dθ;
(−π/2 ≤ θ ≤π/2) e √a2 − x2 = a cos(θ).

43. Exemplo 6.8.

44. Exemplo 6.8.

45. Exemplo 6.8.

46. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
Problema: Sejam f, g : [a, b] → R funções
contínuas. Calcule a área da região plana
R delimitada pelo gráfico das funções
contínuas y = f(x), y = g(x), a ≤ x ≤ b.

47. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
Solução do Problema: O subconjunto
P = {x0, x1, ......, xn} ⊂ [a, b] é chamado de
partição de ordem n do intervalo [a, b] se:
a = x0 < x1 < x2 < ......... < xn−1 < xn = b.
Subdividamos o intervalo [a, b] em n
subintervalos, escolhendo os pontos da partição
P. Formemos os seguintes subintervalos:
[x0, x1], [x1, x2], ........, [xn−1, xn ].

48. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
Denotemos qualquer destes subintervalos
por [x i−1, x i ], i variando de 1 até n. Seja
∆xi = xi − xi−1 o comprimento do
subintervalo [xi−1, xi], i variando de 1 até n.
Note que estes subintervalos não tem
necessariamente o mesmo comprimento.
Para cada i, variando de 1 até n,

49. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
consideremos o retângulo Ri limitado pelas
retas x = xi−1, x = xi , y = f(ci ) e y = g(ci),
onde ci ∈ [xi−1, xi].

50. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
Obtemos assim n retângulos Ri. É intuitivo
que a soma das áreas dos n retângulos é
uma "aproximação"da área da região R. Se
n é muito grande ou, equivalentemente, se
n cresce, então ∆xi ou seja a base do
retângulo correspondente é muito pequena
e a soma das áreas dos n retângulos
aproxima-se cada vez mais da área da
região R.

51. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
A área de cada Ri é |f(ci)−g(ci)| × xi (base
por altura); a soma Sn das áreas dos n
retângulos é:

52. INTEGRAÇÃO DEFINIDA
Sn é chamada soma de Riemann da
função |f − g|. Denotemos por |∆xi| o maior
dos ∆xi. A área de uma região plana R
delimitada pelo gráfico das funções
contínuas y = f(x), y = g(x) definidas no
intervalo [a, b] e pelas retas x = a e x = b é:

53. 7.2 Definição e Cálculo da Integral
Definida
Definição 7.1. Sejam f uma função definida no intervalo
[a, b], P uma partição qualquer do intervalo [a, b] e ci um
ponto qualquer em cada subintervalo definido pela partição.
A integral definida de f de a até b é denotada por:
e definida por:
se o limite existe.

54. 7.2 Definição e Cálculo da Integral
Definida
Se o limite da definição existe, é
independente das escolhas feitas, como no
caso da definição de área. Portanto, deve
ter sempre um único valor.
Se f é contínua e não negativa em [a, b] a
definição de integral definida coincide com
a definição de área da região R delimitada
pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e
pelo eixo dos x (g = 0):

55. 7.2 Definição e Cálculo da Integral
Definida
Neste caso temos:
Os números a e b são
chamados limites inferior
e superior de integração.

56. 7.2 Definição e Cálculo da Integral
Definida
Definição 7.2. Uma função f definida em [a, b] é dita integrável em [a, b]
se sua integral definida existe.
Teorema 7.1. Se a função f é contínua em [a, b], então é integrável em [a,
b].
Observemos que a recíproca deste teorema é falsa. Por exemplo,
considere a função:
f é descontínua,mas a região limitada pelo gráfico de f, possui área igual a
1 no intervalo [0, 1] e zero no intervalo (1, 2]; logo, f é integrável.

57. 7.2 Definição e Cálculo da Integral
Definida
Proposição 7.1. Se f e g são funções
integráveis em [a, b], então:
1. Linearidade da Integral. αf + βg é
função integrável em [a, b], para todo α, β
∈ R e:

58. 7.2 Definição e Cálculo da Integral
Definida
2. Monotonicidade da Integral.
Se f(x) ≥ g(x) em [a, b]; então,
3. |f| é integrável e:

59. 7.2 Definição e Cálculo da Integral
Definida
4. Sejam a < c < b e f uma função
integrável em [a, c] e [c, b]
respectivamente. Então f é integrável em
[a, b] e:

60. 7.2 Definição e Cálculo da Integral
Definida
Teorema 7.2. Fundamental do Cálculo.
Se f é uma função integrável em [a, b] e admite
uma primitiva F(x) em [a, b], então:
O teorema nos diz que para calcular a integral
definida de uma função, basta procurar uma
primitiva da função e avaliá-la nos limites de
integração. A integral definida é um número real.

61. Exemplo 7.2.
Usando a linearidade, podemos
escrever a integral como:
Como
Logo,

62. Exemplo 7.2.
Utilizamos integração por partes:

63. Exemplo 7.2.

64. Exemplo 7.2.