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                                           Produto Cartesiano

Par ordenado: conjunto ordenado de dois elementos, representado pelo símbolo (x, y) onde x e y são números
reais, denominados respectivamente de abscissa e ordenada. Ex: Par ordenado (6, -3) : abscissas = 6 e ordenada
= -3.
Plano Cartesiano: também conhecido como sistema de coordenadas retangulares; Trata-se de um conceito
introduzido no século XVII pelo matemático e filósofo francês René Descartes, para representar graficamente o par
ordenado (xo;yo). Consiste basicamente de dois eixos orientados que se interceptam segundo um angulo reto, num
ponto denominado origem. O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical é denominado eixo
das ordenadas. Denominamos o ponto O de origem do plano cartesiano, sendo nulas a sua abscissa e a sua
ordenada, ou seja, O (0, 0).
Observe que o plano cartesiano pode ser subdividido em quatro regiões, que são denominadas Quadrantes. Temos
então o seguinte quadro resumo:
 QUADRANTE               ABCISSA       ORDENADA

 1º quadrante                +               +

 2º quadrante                 -              +

 3º quadrante                 -              -

 4º quadrante                +               -




Obs:
1) a equação do eixo Ox é y = 0 e do eixo Oy é x = 0.
2) o gráfico de y = x é uma reta denominada bissetriz    3) o gráfico de y = -x é uma reta denominada bissetriz
do primeiro quadrante.                                   do segundo quadrante.




Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o
conjunto indicado por A X B, formado por todos os pares ordenados, nos quais o primeiro elemento pertence ao
conjunto A e o segundo elemento pertence ao conjunto B:
A X B= {(x, y) | x ∈A e y ∈ B}
 Obs.: Para saber quantos elementos existem neste conjunto, basta multiplicar a quantidade de elementos do
conjunto A pela quantidade de elementos do conjunto B.
 Exemplo: Dados os conjuntos A= {5,6} e B= {2,3,4}, vamos determinar o produto cartesiano A X B;
a) representação ou forma tabular:
A X B = {(5,2), (5,3), (5,4), (6,2), (6,3), (6,4)}
Observe que os primeiros elementos dos pares ordenados pertencem ao conjunto A e os segundos pertencem ao
conjunto B. Essa forma de representação é denominada forma tabular.

b) representação ou forma gráfica:
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Observe que, para representar graficamente o produto cartesiano A X B, os elementos do conjunto A são dispostos
no eixo das abscissas(horizontal) e os elementos do conjunto B, no eixo das ordenadas(vertical) estando, cada par
ordenado do produto, associado a um único ponto do gráfico.

Atividade de Sistematização

1. Dados os conjuntos M = {1,3,5} e N = {2,4}, determinar o produto cartesiano M X N e N X M nas
representações tabular e gráfica.

2. Considerando os conjuntos A = {x ∈      ℤ | -2 ≤ x ≤ 1} e B = {3,4}, determinar A X B nas representações ou
formas tabular e gráfica.

3.   Dados os conjuntos E = {x ∈   ℕ | x ≤ 2}, F = {4,5} e G = {-1,0}, determine a forma tabular dos produtos:
a.   EXF
b.   FXE
c.   FXG
d.   EXG

4. Sendo C = {x ∈   ℕ | 2 ≤ x ≤ 4} e D = {y ∈ ℤ | -1 ≤ y < 3}, determine a forma gráfica dos produtos:
a. C X D
b. D X C


                                                    Funções
Definição
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se função (ou
aplicação)    de     A     em      B,     representada      por
f : A → B ou y = f(x), a qualquer relação binária que associa a
cada elemento de A, um único elemento de B.
Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função,
exige-se que a cada x ∈ A esteja associado um único y ∈ B,
podendo entretanto existir y ∈ B que não esteja associado a
nenhum elemento pertencente ao conjunto A.
Nota: na notação y = f(x), entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está associado a x através
da função f.

Exemplos:
f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto, 11 é imagem de 2 pela função f;
f(5) = 4.5 + 3 = 23, portanto 23 é imagem de 5 pela função f:
f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.
Para definir uma função, necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio) e de uma fórmula ou uma
lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio .
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Quando D(f) (domínio) ⊂ R e CD(f)(contradomínio) ⊂ R, sendo R o conjunto dos números reais, dizemos
que a função f é uma função real de variável real. Na prática, costumamos considerar uma função real de variável
real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define, sendo o conjunto dos valores possíveis para x, chamado de
domínio e o conjunto dos valores possíveis para y, chamado de conjunto imagem da função. Assim, por
exemplo, para a função definida por y = 1/x, temos que o seu domínio é D(f) = R*, ou seja o conjunto dos reais
diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero), e o seu conjunto imagem é também R*, já que se
y = 1/x, então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero.
Nota: o símbolo ⊂ significa “contido em”.

Dada uma função f : A → B definida por y = f(x), podemos representar os pares ordenados (x, y) ∈ f onde x
∈ A e y ∈ B, num sistema de coordenadas cartesianas. O gráfico obtido será o gráfico da função f.

Assim, por exemplo, sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f, podemos dizer que:
a) a projeção da curva sobre o eixo dos x, nos dá o domínio da
função.

b) a projeção da curva sobre o eixo dos y, nos dá o conjunto imagem
da função.

c) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função,
intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto.

Veja a figura ao lado, relativa aos itens 1, 2 e 3 acima:




Tipos de funções
Função sobrejetora ou sobrejetiva                            Função bijetora ou bijetiva
É aquela cujo conjunto imagem               é   igual   ao   Uma função é dita bijetora, quando é ao mesmo
contradomínio.                                               tempo, injetora e sobrejetora.
Exemplo:                                                     Exemplo:




                                        Função injetora ou injetiva
  Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio, possuem imagens distintas, isto é:
                                           x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).
                                                   Exemplo:




Atividade de sistematização:
1) Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
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Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas

2) (UNIFESP-02) Há funções y = f(x) que possuem a seguinte propriedade: “a valores distintos de x correspondem
valores distintos de y”. Tais funções são chamadas injetoras. Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem
abaixo, é injetora?




  Paridade das funções

Função par
A função y = f(x) é par, quando ∀ x ∈ D(f) , f(- x) = f(x) ou seja, para todo elemento do seu domínio, f( x ) = f
(- x). Portanto , numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma conseqüência desse fato
é que os gráficos cartesiano das funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo das
ordenadas.
O símbolo ∀, lê-se “qualquer que seja”.
Exemplo:
y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x.
Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17
O gráfico ao lado é de uma função par.




Função ímpar
A função y = f(x) é ímpar, quando ∀ x ∈ D(f) , f(- x = - f (x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio, f(
-x) = - f(x). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma conseqüência
desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0),
origem do sistema de eixos cartesianos.
Exemplo:
y = x3 é uma função ímpar, pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x).
Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8.
O gráfico ao lado é de uma função ímpar:




Nota: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, diz-se que ela não possui paridade.
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Exemplo:

O gráfico ao lado representa uma função que não possui paridade,
pois a curva não é simétrica em relação ao eixo dos x e, não é
simétrica em relação à origem.




Domínio e conjunto imagem de uma função real de variável real

Podemos dizer que uma função f: A → B, definida por y = f (x) é uma função real de variável real, quando os
conjuntos A e B são subconjuntos de R, sendo R o conjunto dos números reais.
Seja a função f: A → B; y = f (x).
Nestas condições, temos x ∈ A e y ∈ B. Os valores de x
constituem o domínio da função f e os valores de y
constituem o conjunto imagem da função f. O conjunto
B é chamado contradomínio.




Nestas condições, determine o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções reais de variável real:

1)y=1+ x
Observando que a raiz quadrada de x é um número real se e somente se x for positivo ou nulo, vemos que a
condição de existência para y é que x ≥ 0. Portanto, o domínio da função dada será D = {x ∈ R; x ≥ 0} = R+
(conjunto dos números reais não negativos).
Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y.

Teremos então: y – 1 = x . Como a raiz quadrada de um número real positivo ou nulo é outro número positivo
ou nulo, deveremos ter y – 1 ≥ 0 ou y ≥ 1. Portanto, o conjunto imagem da função é Im = {y ∈ R; y ≥ 1} = [1, ∞)
ou seja, o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1.


2) y = 3 + x - 5 . Neste caso, a condição de existência para y é que x – 5 ≥ 0 ou seja, x ≥ 5. O domínio da função
dada será D = {x ∈ R ; x ≥ 5} = [5 , ∞), ou seja, o intervalo de todos os números reais
maiores ou iguais a 5.
Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y.

Teremos então: y – 3 = x - 5 . Como a raiz quadrada de um número real positivo ou nulo é outro número positivo
ou nulo, deveremos ter y – 3 ≥ 0 ou y ≥ 3. Portanto, o conjunto imagem da função é Im = {y ∈ R; y ≥ 3} = [3, ∞)
ou seja, o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 3.

3) y = 2 + - x
Neste caso, a condição de existência para y é que – x ≥ 0. Multiplicando ambos os membros dessa desigualdade
por – 1, ela muda de sentido, ou seja, x ≤ 0. Portanto, o domínio da função será D = {x ∈ R; x ≤ 0} = R –
(conjunto dos números reais não positivos).
Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y.

Teremos então: y – 2 = - x . Como a raiz quadrada de um número real positivo ou nulo é outro número positivo
ou nulo, deveremos ter y – 2 ≥ 0 ou y ≥ 2.
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Portanto, o conjunto imagem da função é Im = {y ∈ R; y ≥ 2} = [2, ∞) ou seja, o conjunto dos números reais
maiores ou iguais a 2.

            x
4) y =
          2x − 6
Aqui, a condição para a existência de y é que o denominador 2x – 6 seja diferente de zero, já que não existe
divisão por zero. Portanto, 2x – 6 ≠ 0 ou seja, x ≠ 3. Assim, o domínio desta função é D = {x ∈ R; x ≠ 3} = R –
{3}, ou seja, o conjunto de todos os números reais diferentes de 3.
Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y.
Vamos então, explicitar x em função de y. Teremos:
          x
De y =        , poderemos escrever: y(2x – 6) = x . Efetuando as operações indicadas, vem:
       2x − 6
                                                       6y
2xy – 6y = x ∴ 2xy – x = 6y ∴ x(2y – 1) = 6y ∴ x =          .
                                                     2y −1
                                                                                                            1
Ora, como não existe divisão por zero, deveremos ter 2y – 1 ≠ 0 ou seja 2y ≠ 1 e, finalmente, y ≠             . Portanto, o
                                                                                                            2
conjunto imagem da função dada é: Im = {y ∈ R; y ≠ ½} = R – {½}, ou seja, o conjunto de todos os números
reais diferentes de ½.


5) y = x - 1 + 5 - x
Neste caso, as condições para a existência de y são que x – 1 ≥ 0 e 5 – x ≥ 0. Logo, x ≥ 1 e 5 ≥ x o que é o
mesmo que 1 ≤ x ≤ 5, ou seja, o domínio da função é D = {x ∈ R; 1 ≤ x ≤ 5 } = [1, 5] (intervalo fechado dos
números reais de 1 a 5).
Para determinar o conjunto imagem, teremos que achar os valores possíveis para y.
Como x pode variar em R (conjunto dos números reais) de 1 até 5, poderemos escrever para valores inteiros de x.
Observação: claro que sendo x um número real, ele assume também valores não inteiros, os quais não
utilizaremos aqui, pois complicaria os cálculos, desnecessariamente.

y=       x -1 +    5-x

x=1⇒y=             1 -1 +   5 -1     =    0 +      4      =0+2=2

x=2⇒y=             2 -1 +   5- 2 =      1 +   3 = 1 + 3 ≅ 1 + 1,732 ≅ 2,732

x=3⇒y=             3 -1 +   5-3 =       2 +      2 = 2.     2 ≅ 2.1,414 ≅ 2,818

x=4⇒y=             4 -1 +   5-4 =       3+    1 = 1,732 + 1 ≅ 2,732

x = 5 ⇒ y = 5 -1 + 5 - 5 = 4 + 0 = 2 + 0 = 2
Observe que para x inteiro de 1 a 5, y variou de 2 até voltar novamente a a 2, passando pelo valor máximo

2,818... = 2 2 .

Portanto, o conjunto imagem desta função é Im = {y ∈ R; 2 ≤ y ≤ 2 2 } = [2, 2 2 ], ou seja, o intervalo fechado

de números reais de 2 a 2 2 .

Agora resolva este:

Qual o domínio e o conjunto imagem da função y =                x-2 –      2-x ?

Atividade de Sistematização

1) Determine o domínio das seguintes funções:
                                        2x − 1                                                 x +1
a) f(x) = x3 + x            b) f(x) =                     c) f(x) =   - 3x + 15    d) f(x) =            e) f(x) =   x-6
                                        3x + 4                                                 4x + 4
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2) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 900,00
e uma variável que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês.
a) Qual é a função que expressa o seu salário?
b) Qual o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 100.000,00 em produtos?

Função polinomial do 1º grau

Chamamos função polinomial do 1º grau a função f: ℝ → ℝ que associa a cada número real x, o número real ax +
b, com a ≠ 0.
Função polinomial do 1º grau f: ℝ → ℝ, sendo f(x) = ax + b com a, b ∈ ℝ e a ≠ 0.
Exemplos :
f(x) = 3x + 12, onde a = 3 e b = 12
f(x) = -3x + 1, onde a = -3 e b = 1
f(x) = 2x, onde a = 2 e b = 0

Propriedades da função do 1º grau:

1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta.




2) na função f(x) = ax + b, se b = 0, f é dita função linear e se b ≠ 0 f é dita função afim.
Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler - excepcional matemático suíço - 1701/1783).
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = - b/a .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear.
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .
6) se a > 0, então f é crescente.
7) se a < 0, então f é decrescente.
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax, o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.

Atividade de sistematização:

1) Considerando a função f(x) = 3x + 1, determinar:
a) os coeficientes angular e linear
b) se a função é crescente ou decrescente
c) f(2) e f(-3)

2) Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

                                −5
3) Conhecendo a função f(x) =      x , determinar:
                                2
a) coeficientes angular e linear
b) se a função é crescente ou decrescente
c) f(-1) e f(2)
d) x para que se tenha f(x) = 20

4) Uma função f é do 1º grau. As imagens de (-2) e de zero são 11 e 3, respectivamente. Qual é a lei de f?
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Gráfico de uma função do 1º grau

A representação gráfica de uma função do 1º grau, y = ax + b (a ≠ 0), é uma reta não-paralela aos eixos Ox ou
Oy, sendo raiz ou zero da função a abcissa do ponto onde a reta intercepta o eixo Ox.
A construção do gráfico de uma função do 1º grau, y = ax + b, pode ser feita:
a) atribuindo-se alguns valores reais a x e obtendo-se valores de y, correspondentes, organizando-os em uma
tabela.
b) localizando no plano cartesiano os pontos (x, y) e traçando a reta que passa por eles.

Sabendo que o gráfico da função y = 2x + 3 é do 1.º grau, precisamos conhecer no mínimo dois de seus pontos
para traçá-lo. Esses dois pontos podem ser obtidos atribuindo-se dois valores arbitrários para x e determinando
sua imagem (y).
Passo (a)                                                             Passo (b)

    x              f(x) = 2x + 3              y     (x, y)
  x=0        f(0) = 2.0 + 3 = 0 + 3 = 3       3    (0, 3)
 x = -1    f(-1) = 2.-1 + 3 = -2 + 3 = 1      1    (-1, 1)
 x = -2    f(-2) = 2.-2 + 3 = -4 + 3 = -1    -1    (-2, -1)




Atividade de sistematização:

1) sendo f: R → R, esboçar o gráfico das funções do 1º grau, determinar as suas raízes e classificar a função em
crescente/decrescente.
a) f(x) = -3x + 1                     b) f(x) = 2x                   c) f(x) = 2x + 2

Função polinomial do 2º grau

O salão de festas de um edifício tem a forma de um retângulo com 12 metros de
comprimento e 8 metros de largura. Pretende-se aumentar x metros no
comprimento e x metros na largura desse salão. Qual é a lei matemática em
função de x que representa a nova área A do salão em metros quadrados?
O novo salão terá o formato de um retângulo de dimensões, em metros, (12 + x)
e (8 + x). Assim, sua área A, em metros quadrados, será dada pela expressão A
= (12 + x) . (8 + x).
A = (12 + x) . (8 + x) ⇒ A = 96 + 12x + 8x + x2 ⇒ A = x2 + 20x + 96
A lei obtida acima define uma função polinomial. Observe que x2 é o termo em
que a variável apresenta expoente igual a 2, e esse é o maior expoente da
expressão. Então, o grau do polinômio é 2. Por isso, essa função é chamada de
função do 2o grau ou função quadrática.




Na função quadrática de lei A(x) = x2 + 20x + 96, os coeficientes são a = 1, b = 20 e c = 96.
Veja como é possível obter a nova área do salão de festas desse edifício para alguns valores de x.
• se x = 1 ⇒ A(1) = 12 + 20.1 + 96 ⇒ A(1) = 117
• se x = 5 ⇒ A(5) = 52 + 20.5 + 96 ⇒ A(5) = 221
Pode-se dizer que 117 e 221 são, respectivamente, as imagens correspondentes a x = 1 e a x = 5.
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Pode-se ainda calcular o valor de x para o qual a nova área do salão seja igual a 192 m2. Para isso, basta resolver
a equação x2 + 20x + 96 = 192, ou seja, x2 + 20x - 96 = 0. Assim, a = 1, b = 20, c = - 96.
∆ = b2 – 4ac ⇒ ∆ = (20)2 - 4 . 1 . (-96) = 784
     − 20 ± 784      − 20 ± 28
x=              ⇒ x=           . Assim, x’ = 4 e x” = -24
          2 .1           2
No problema apresentado, x representa o valor de uma medida em metros. Nesse caso, x só pode assumir valores
maiores que zero.
Então, o valor de x para que a área seja igual a 192 m2 é igual a 4.

Função quadrática
Uma função é dita do 2º grau(quadrática) quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a ≠ 0.

Exemplos:
f(x) = x2 - 2x + 1, onde a = 1, b = -2, c = 1;

y = - x2, onde a = -1, b = 0, c = 0.

Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c: é sempre uma parábola de eixo vertical.

Construa o gráfico da função y=x²:
Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.




              x     f(x) = y = x²       y         (x, y)
             -2     y = (-2)2 = 4       4        (-2, 4)
             -1     y = (-1)2 =1        1        (-1, 1)
              0      y = (0)2 =0        0        (0, 0)
              1      y = (1)2 =1        1        (1, 1)
              2      y = (2)2 =4        4        (2, 4)




O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros
pontos.

Coordenadas do vértice

  A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por
  Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y= x² -4x + 3
Temos: a=1, b=-4 e c=3


Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?
Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y=x² -4x + 3, devemos substituir o valor de x por 2.
y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1
Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1).
                                              b       ∆
Ainda, podemos calcular o vértice por: V =   −    , −     , onde ∆ = b2 – 4ac
                                               2a     4a 
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Relação entre a concavidade de uma parábola e o coeficiente a




            concavidade voltada para baixo                        concavidade voltada para cima
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola
tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c
1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo.
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv, yv) onde:
               b                                    ∆
    xv =   −                            yv =    −      , onde ∆ = b2 - 4ac
               2a                                   4a
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa x' e x'', que são as raízes da equação ax2 + bx + c =
  0.
                                                −b+ ∆        −b− ∆
                                         x’ =         e x” =
                                                  2a           2a
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).
                                                                             b
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = −          .
                                                                             2a




               ∆
7) ymáximo =    − ( a < 0 ). Concavidade da parábola voltada para baixo.
               4a
                ∆
8) ymínimo = −    ( a > 0 ). Concavidade da parábola voltada para cima.
               4a
9) Forma fatorada: sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c, então ela pode ser escrita na forma
    fatorada a seguir: y = a(x - x1).(x - x2).
10) Im(f) = { y ∈ R; y ≥ - ∆ /4a } ( a > 0)
11) Im(f) = { y ∈ R; y ≤ - ∆ /4a} ( a < 0)
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas
possibilidades:
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1ª - quando a > 0,                                         2ª quando a < 0,




   Imagem
  da função

                                                            Imagem
                                                           da função




                                         a>0                                                      a<0


Quadro resumo:
                                                                                a>0                 a<0
    ∆ = b2 – 4ac                 A parábola no plano cartesiano              concavidade        concavidade
                                                                           (boca) para cima   (boca) para baixo

        ∆>0
                         Corta o eixo horizontal(eixo das abcissas) em 2
há duas raízes reais e                       pontos
      distintas



        ∆=0
                          Toca em 1 ponto do eixo horizontal(eixo das
                                          abcissas)
   só uma raiz real



        ∆<0
                         Não corta o eixo horizontal(eixo das abcissas)
   não há raiz real



Atividades de sistematização:

1) Identificar a, b e c nas funções quadráticas abaixo, relacionando a concavidade da parábola com o coeficiente
     a.
a) f(x) = x2 - 9x + 8                  b) f(x) = -2x2 + 7x – 3

2) Determinar os zeros(as raízes) de cada uma das funções quadráticas abaixo:
a) y = -x2 + 2x + 3                    b) y = x2 – 2x + 1                   c) y = -x2 + x – 1

3) Esboçar o gráfico da função y = 2x2 – 3x + 1, determinando:
   a) as raízes
   b) as coordenadas do vértice
   c) a classificação de yv (valor mínimo ou valor máximo da função)
   d) intersecção da curva com o eixo y
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4) Esboçar o gráfico da função y = -x2 + x + 6, determinando:
   a) as raízes
   b) as coordenadas do vértice
   c) a classificação de yv (valor mínimo ou valor máximo da função)
   d) intersecção da curva com o eixo y

5) Determinar o conjunto imagem das funções quadráticas:
a) y = x2 – 2x – 3                  b) y = -x2 + 6x – 9                        c) y = x2 – 4

Sinais da função quadrática

Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é
negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
  Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:
1º) ∆ > 0
  Nesse caso a função quadrática admite dois zeros(raízes) reais distintos (x1 ≠ x2). A parábola intercepta o eixo
Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
                    quando a > 0                                              quando a < 0
               y > 0 ⇔(x < x1 ou x > x2)                                    y > 0 ⇔x1 < x < x2
                  y < 0 ⇔x1 < x < x2                                    y < 0 ⇔ (x < x1 ou x > x2)




                                                                                      +

                                                                    _                               _

                +                      +


                           _



2º) ∆ = 0
  Nesse caso a função quadrática admite um zero(raiz) real (x1 = x2). A parábola intercepta o eixo Ox em um
ponto e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
                    quando a > 0                                             quando a < 0




                                                                    _                              _



           +                               +
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3º) ∆< 0
  Nesse caso a função quadrática não admite zeros(raízes) reais. A parábola não intercepta o eixo Ox e o sinal da
função é o indicado nos gráficos abaixo:
                   quando a > 0                                              quando a < 0




                                                                                  _




                           +



Atividade de sistematização:

1) O esquema mostra o estudo dos sinais de uma função quadrática. Dê o sinal do coeficiente a e do
   discriminante ∆.
a)         -        +           -              b)        +                         +
                                         x                                                  x
                 x’          x”                                      x’ = x”

c)         -           -               -                 d)         +             -              +
                                                x                                                        x
                                                                            x’              x”

2) Determine o domínio e o conjunto imagem das funções:
a) f(x) = x2 – 9x + 20                     b) f(x) = -x2 – 4x – 4

3) O valor máximo da função f(x) = -x2 + 2x + 2 tem ordenada:
A( ) 2                B( ) 3          C( ) 4         D( ) 5             E( ) 6


Referências:
BARRETO FILHO, Benigno & SILVA, Cláudio Xavier da. Matemática aula por aula. 1. ed. São Paulo: FTD, 2003.
GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. 2. ed. São Paulo: FTD, 2005.

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Produto cartesiano e função 1º ano do ensino medio

  • 1. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 1 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio Produto Cartesiano Par ordenado: conjunto ordenado de dois elementos, representado pelo símbolo (x, y) onde x e y são números reais, denominados respectivamente de abscissa e ordenada. Ex: Par ordenado (6, -3) : abscissas = 6 e ordenada = -3. Plano Cartesiano: também conhecido como sistema de coordenadas retangulares; Trata-se de um conceito introduzido no século XVII pelo matemático e filósofo francês René Descartes, para representar graficamente o par ordenado (xo;yo). Consiste basicamente de dois eixos orientados que se interceptam segundo um angulo reto, num ponto denominado origem. O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical é denominado eixo das ordenadas. Denominamos o ponto O de origem do plano cartesiano, sendo nulas a sua abscissa e a sua ordenada, ou seja, O (0, 0). Observe que o plano cartesiano pode ser subdividido em quatro regiões, que são denominadas Quadrantes. Temos então o seguinte quadro resumo: QUADRANTE ABCISSA ORDENADA 1º quadrante + + 2º quadrante - + 3º quadrante - - 4º quadrante + - Obs: 1) a equação do eixo Ox é y = 0 e do eixo Oy é x = 0. 2) o gráfico de y = x é uma reta denominada bissetriz 3) o gráfico de y = -x é uma reta denominada bissetriz do primeiro quadrante. do segundo quadrante. Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto indicado por A X B, formado por todos os pares ordenados, nos quais o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento pertence ao conjunto B: A X B= {(x, y) | x ∈A e y ∈ B} Obs.: Para saber quantos elementos existem neste conjunto, basta multiplicar a quantidade de elementos do conjunto A pela quantidade de elementos do conjunto B. Exemplo: Dados os conjuntos A= {5,6} e B= {2,3,4}, vamos determinar o produto cartesiano A X B; a) representação ou forma tabular: A X B = {(5,2), (5,3), (5,4), (6,2), (6,3), (6,4)} Observe que os primeiros elementos dos pares ordenados pertencem ao conjunto A e os segundos pertencem ao conjunto B. Essa forma de representação é denominada forma tabular. b) representação ou forma gráfica:
  • 2. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 2 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio Observe que, para representar graficamente o produto cartesiano A X B, os elementos do conjunto A são dispostos no eixo das abscissas(horizontal) e os elementos do conjunto B, no eixo das ordenadas(vertical) estando, cada par ordenado do produto, associado a um único ponto do gráfico. Atividade de Sistematização 1. Dados os conjuntos M = {1,3,5} e N = {2,4}, determinar o produto cartesiano M X N e N X M nas representações tabular e gráfica. 2. Considerando os conjuntos A = {x ∈ ℤ | -2 ≤ x ≤ 1} e B = {3,4}, determinar A X B nas representações ou formas tabular e gráfica. 3. Dados os conjuntos E = {x ∈ ℕ | x ≤ 2}, F = {4,5} e G = {-1,0}, determine a forma tabular dos produtos: a. EXF b. FXE c. FXG d. EXG 4. Sendo C = {x ∈ ℕ | 2 ≤ x ≤ 4} e D = {y ∈ ℤ | -1 ≤ y < 3}, determine a forma gráfica dos produtos: a. C X D b. D X C Funções Definição Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por f : A → B ou y = f(x), a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A, um único elemento de B. Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que a cada x ∈ A esteja associado um único y ∈ B, podendo entretanto existir y ∈ B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A. Nota: na notação y = f(x), entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está associado a x através da função f. Exemplos: f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto, 11 é imagem de 2 pela função f; f(5) = 4.5 + 3 = 23, portanto 23 é imagem de 5 pela função f: f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc. Para definir uma função, necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio .
  • 3. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 3 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio Quando D(f) (domínio) ⊂ R e CD(f)(contradomínio) ⊂ R, sendo R o conjunto dos números reais, dizemos que a função f é uma função real de variável real. Na prática, costumamos considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define, sendo o conjunto dos valores possíveis para x, chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y, chamado de conjunto imagem da função. Assim, por exemplo, para a função definida por y = 1/x, temos que o seu domínio é D(f) = R*, ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero), e o seu conjunto imagem é também R*, já que se y = 1/x, então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero. Nota: o símbolo ⊂ significa “contido em”. Dada uma função f : A → B definida por y = f(x), podemos representar os pares ordenados (x, y) ∈ f onde x ∈ A e y ∈ B, num sistema de coordenadas cartesianas. O gráfico obtido será o gráfico da função f. Assim, por exemplo, sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f, podemos dizer que: a) a projeção da curva sobre o eixo dos x, nos dá o domínio da função. b) a projeção da curva sobre o eixo dos y, nos dá o conjunto imagem da função. c) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função, intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto. Veja a figura ao lado, relativa aos itens 1, 2 e 3 acima: Tipos de funções Função sobrejetora ou sobrejetiva Função bijetora ou bijetiva É aquela cujo conjunto imagem é igual ao Uma função é dita bijetora, quando é ao mesmo contradomínio. tempo, injetora e sobrejetora. Exemplo: Exemplo: Função injetora ou injetiva Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio, possuem imagens distintas, isto é: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2). Exemplo: Atividade de sistematização: 1) Considere três funções f, g e h, tais que: A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade. A função g atribui a cada país, a sua capital A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
  • 4. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 4 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras: a) f, g e h b) f e h c) g e h d) apenas h e) nenhuma delas 2) (UNIFESP-02) Há funções y = f(x) que possuem a seguinte propriedade: “a valores distintos de x correspondem valores distintos de y”. Tais funções são chamadas injetoras. Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem abaixo, é injetora? Paridade das funções Função par A função y = f(x) é par, quando ∀ x ∈ D(f) , f(- x) = f(x) ou seja, para todo elemento do seu domínio, f( x ) = f (- x). Portanto , numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesiano das funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas. O símbolo ∀, lê-se “qualquer que seja”. Exemplo: y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x. Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17 O gráfico ao lado é de uma função par. Função ímpar A função y = f(x) é ímpar, quando ∀ x ∈ D(f) , f(- x = - f (x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio, f( -x) = - f(x). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos. Exemplo: y = x3 é uma função ímpar, pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x). Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8. O gráfico ao lado é de uma função ímpar: Nota: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, diz-se que ela não possui paridade.
  • 5. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 5 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio Exemplo: O gráfico ao lado representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é simétrica em relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem. Domínio e conjunto imagem de uma função real de variável real Podemos dizer que uma função f: A → B, definida por y = f (x) é uma função real de variável real, quando os conjuntos A e B são subconjuntos de R, sendo R o conjunto dos números reais. Seja a função f: A → B; y = f (x). Nestas condições, temos x ∈ A e y ∈ B. Os valores de x constituem o domínio da função f e os valores de y constituem o conjunto imagem da função f. O conjunto B é chamado contradomínio. Nestas condições, determine o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções reais de variável real: 1)y=1+ x Observando que a raiz quadrada de x é um número real se e somente se x for positivo ou nulo, vemos que a condição de existência para y é que x ≥ 0. Portanto, o domínio da função dada será D = {x ∈ R; x ≥ 0} = R+ (conjunto dos números reais não negativos). Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y. Teremos então: y – 1 = x . Como a raiz quadrada de um número real positivo ou nulo é outro número positivo ou nulo, deveremos ter y – 1 ≥ 0 ou y ≥ 1. Portanto, o conjunto imagem da função é Im = {y ∈ R; y ≥ 1} = [1, ∞) ou seja, o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1. 2) y = 3 + x - 5 . Neste caso, a condição de existência para y é que x – 5 ≥ 0 ou seja, x ≥ 5. O domínio da função dada será D = {x ∈ R ; x ≥ 5} = [5 , ∞), ou seja, o intervalo de todos os números reais maiores ou iguais a 5. Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y. Teremos então: y – 3 = x - 5 . Como a raiz quadrada de um número real positivo ou nulo é outro número positivo ou nulo, deveremos ter y – 3 ≥ 0 ou y ≥ 3. Portanto, o conjunto imagem da função é Im = {y ∈ R; y ≥ 3} = [3, ∞) ou seja, o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 3. 3) y = 2 + - x Neste caso, a condição de existência para y é que – x ≥ 0. Multiplicando ambos os membros dessa desigualdade por – 1, ela muda de sentido, ou seja, x ≤ 0. Portanto, o domínio da função será D = {x ∈ R; x ≤ 0} = R – (conjunto dos números reais não positivos). Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y. Teremos então: y – 2 = - x . Como a raiz quadrada de um número real positivo ou nulo é outro número positivo ou nulo, deveremos ter y – 2 ≥ 0 ou y ≥ 2.
  • 6. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 6 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio Portanto, o conjunto imagem da função é Im = {y ∈ R; y ≥ 2} = [2, ∞) ou seja, o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 2. x 4) y = 2x − 6 Aqui, a condição para a existência de y é que o denominador 2x – 6 seja diferente de zero, já que não existe divisão por zero. Portanto, 2x – 6 ≠ 0 ou seja, x ≠ 3. Assim, o domínio desta função é D = {x ∈ R; x ≠ 3} = R – {3}, ou seja, o conjunto de todos os números reais diferentes de 3. Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y. Vamos então, explicitar x em função de y. Teremos: x De y = , poderemos escrever: y(2x – 6) = x . Efetuando as operações indicadas, vem: 2x − 6 6y 2xy – 6y = x ∴ 2xy – x = 6y ∴ x(2y – 1) = 6y ∴ x = . 2y −1 1 Ora, como não existe divisão por zero, deveremos ter 2y – 1 ≠ 0 ou seja 2y ≠ 1 e, finalmente, y ≠ . Portanto, o 2 conjunto imagem da função dada é: Im = {y ∈ R; y ≠ ½} = R – {½}, ou seja, o conjunto de todos os números reais diferentes de ½. 5) y = x - 1 + 5 - x Neste caso, as condições para a existência de y são que x – 1 ≥ 0 e 5 – x ≥ 0. Logo, x ≥ 1 e 5 ≥ x o que é o mesmo que 1 ≤ x ≤ 5, ou seja, o domínio da função é D = {x ∈ R; 1 ≤ x ≤ 5 } = [1, 5] (intervalo fechado dos números reais de 1 a 5). Para determinar o conjunto imagem, teremos que achar os valores possíveis para y. Como x pode variar em R (conjunto dos números reais) de 1 até 5, poderemos escrever para valores inteiros de x. Observação: claro que sendo x um número real, ele assume também valores não inteiros, os quais não utilizaremos aqui, pois complicaria os cálculos, desnecessariamente. y= x -1 + 5-x x=1⇒y= 1 -1 + 5 -1 = 0 + 4 =0+2=2 x=2⇒y= 2 -1 + 5- 2 = 1 + 3 = 1 + 3 ≅ 1 + 1,732 ≅ 2,732 x=3⇒y= 3 -1 + 5-3 = 2 + 2 = 2. 2 ≅ 2.1,414 ≅ 2,818 x=4⇒y= 4 -1 + 5-4 = 3+ 1 = 1,732 + 1 ≅ 2,732 x = 5 ⇒ y = 5 -1 + 5 - 5 = 4 + 0 = 2 + 0 = 2 Observe que para x inteiro de 1 a 5, y variou de 2 até voltar novamente a a 2, passando pelo valor máximo 2,818... = 2 2 . Portanto, o conjunto imagem desta função é Im = {y ∈ R; 2 ≤ y ≤ 2 2 } = [2, 2 2 ], ou seja, o intervalo fechado de números reais de 2 a 2 2 . Agora resolva este: Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = x-2 – 2-x ? Atividade de Sistematização 1) Determine o domínio das seguintes funções: 2x − 1 x +1 a) f(x) = x3 + x b) f(x) = c) f(x) = - 3x + 15 d) f(x) = e) f(x) = x-6 3x + 4 4x + 4
  • 7. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 7 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio 2) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 900,00 e uma variável que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês. a) Qual é a função que expressa o seu salário? b) Qual o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 100.000,00 em produtos? Função polinomial do 1º grau Chamamos função polinomial do 1º grau a função f: ℝ → ℝ que associa a cada número real x, o número real ax + b, com a ≠ 0. Função polinomial do 1º grau f: ℝ → ℝ, sendo f(x) = ax + b com a, b ∈ ℝ e a ≠ 0. Exemplos : f(x) = 3x + 12, onde a = 3 e b = 12 f(x) = -3x + 1, onde a = -3 e b = 1 f(x) = 2x, onde a = 2 e b = 0 Propriedades da função do 1º grau: 1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta. 2) na função f(x) = ax + b, se b = 0, f é dita função linear e se b ≠ 0 f é dita função afim. Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler - excepcional matemático suíço - 1701/1783). 3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = - b/a . 4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear. 5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta . 6) se a > 0, então f é crescente. 7) se a < 0, então f é decrescente. 8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax, o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. Atividade de sistematização: 1) Considerando a função f(x) = 3x + 1, determinar: a) os coeficientes angular e linear b) se a função é crescente ou decrescente c) f(2) e f(-3) 2) Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10. −5 3) Conhecendo a função f(x) = x , determinar: 2 a) coeficientes angular e linear b) se a função é crescente ou decrescente c) f(-1) e f(2) d) x para que se tenha f(x) = 20 4) Uma função f é do 1º grau. As imagens de (-2) e de zero são 11 e 3, respectivamente. Qual é a lei de f?
  • 8. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 8 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio Gráfico de uma função do 1º grau A representação gráfica de uma função do 1º grau, y = ax + b (a ≠ 0), é uma reta não-paralela aos eixos Ox ou Oy, sendo raiz ou zero da função a abcissa do ponto onde a reta intercepta o eixo Ox. A construção do gráfico de uma função do 1º grau, y = ax + b, pode ser feita: a) atribuindo-se alguns valores reais a x e obtendo-se valores de y, correspondentes, organizando-os em uma tabela. b) localizando no plano cartesiano os pontos (x, y) e traçando a reta que passa por eles. Sabendo que o gráfico da função y = 2x + 3 é do 1.º grau, precisamos conhecer no mínimo dois de seus pontos para traçá-lo. Esses dois pontos podem ser obtidos atribuindo-se dois valores arbitrários para x e determinando sua imagem (y). Passo (a) Passo (b) x f(x) = 2x + 3 y (x, y) x=0 f(0) = 2.0 + 3 = 0 + 3 = 3 3 (0, 3) x = -1 f(-1) = 2.-1 + 3 = -2 + 3 = 1 1 (-1, 1) x = -2 f(-2) = 2.-2 + 3 = -4 + 3 = -1 -1 (-2, -1) Atividade de sistematização: 1) sendo f: R → R, esboçar o gráfico das funções do 1º grau, determinar as suas raízes e classificar a função em crescente/decrescente. a) f(x) = -3x + 1 b) f(x) = 2x c) f(x) = 2x + 2 Função polinomial do 2º grau O salão de festas de um edifício tem a forma de um retângulo com 12 metros de comprimento e 8 metros de largura. Pretende-se aumentar x metros no comprimento e x metros na largura desse salão. Qual é a lei matemática em função de x que representa a nova área A do salão em metros quadrados? O novo salão terá o formato de um retângulo de dimensões, em metros, (12 + x) e (8 + x). Assim, sua área A, em metros quadrados, será dada pela expressão A = (12 + x) . (8 + x). A = (12 + x) . (8 + x) ⇒ A = 96 + 12x + 8x + x2 ⇒ A = x2 + 20x + 96 A lei obtida acima define uma função polinomial. Observe que x2 é o termo em que a variável apresenta expoente igual a 2, e esse é o maior expoente da expressão. Então, o grau do polinômio é 2. Por isso, essa função é chamada de função do 2o grau ou função quadrática. Na função quadrática de lei A(x) = x2 + 20x + 96, os coeficientes são a = 1, b = 20 e c = 96. Veja como é possível obter a nova área do salão de festas desse edifício para alguns valores de x. • se x = 1 ⇒ A(1) = 12 + 20.1 + 96 ⇒ A(1) = 117 • se x = 5 ⇒ A(5) = 52 + 20.5 + 96 ⇒ A(5) = 221 Pode-se dizer que 117 e 221 são, respectivamente, as imagens correspondentes a x = 1 e a x = 5.
  • 9. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 9 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio Pode-se ainda calcular o valor de x para o qual a nova área do salão seja igual a 192 m2. Para isso, basta resolver a equação x2 + 20x + 96 = 192, ou seja, x2 + 20x - 96 = 0. Assim, a = 1, b = 20, c = - 96. ∆ = b2 – 4ac ⇒ ∆ = (20)2 - 4 . 1 . (-96) = 784 − 20 ± 784 − 20 ± 28 x= ⇒ x= . Assim, x’ = 4 e x” = -24 2 .1 2 No problema apresentado, x representa o valor de uma medida em metros. Nesse caso, x só pode assumir valores maiores que zero. Então, o valor de x para que a área seja igual a 192 m2 é igual a 4. Função quadrática Uma função é dita do 2º grau(quadrática) quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a ≠ 0. Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1, onde a = 1, b = -2, c = 1; y = - x2, onde a = -1, b = 0, c = 0. Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c: é sempre uma parábola de eixo vertical. Construa o gráfico da função y=x²: Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. x f(x) = y = x² y (x, y) -2 y = (-2)2 = 4 4 (-2, 4) -1 y = (-1)2 =1 1 (-1, 1) 0 y = (0)2 =0 0 (0, 0) 1 y = (1)2 =1 1 (1, 1) 2 y = (2)2 =4 4 (2, 4) O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos. Coordenadas do vértice A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y= x² -4x + 3 Temos: a=1, b=-4 e c=3 Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y? Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y. Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y=x² -4x + 3, devemos substituir o valor de x por 2. y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1 Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1).  b ∆ Ainda, podemos calcular o vértice por: V = − , −  , onde ∆ = b2 – 4ac  2a 4a 
  • 10. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 10 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio Relação entre a concavidade de uma parábola e o coeficiente a concavidade voltada para baixo concavidade voltada para cima Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c 1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo. 2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo 3) o vértice da parábola é o ponto V(xv, yv) onde: b ∆ xv = − yv = − , onde ∆ = b2 - 4ac 2a 4a 4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa x' e x'', que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0. −b+ ∆ −b− ∆ x’ = e x” = 2a 2a 5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c). b 6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = − . 2a ∆ 7) ymáximo = − ( a < 0 ). Concavidade da parábola voltada para baixo. 4a ∆ 8) ymínimo = − ( a > 0 ). Concavidade da parábola voltada para cima. 4a 9) Forma fatorada: sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c, então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir: y = a(x - x1).(x - x2). 10) Im(f) = { y ∈ R; y ≥ - ∆ /4a } ( a > 0) 11) Im(f) = { y ∈ R; y ≤ - ∆ /4a} ( a < 0) O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
  • 11. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 11 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio 1ª - quando a > 0, 2ª quando a < 0, Imagem da função Imagem da função a>0 a<0 Quadro resumo: a>0 a<0 ∆ = b2 – 4ac A parábola no plano cartesiano concavidade concavidade (boca) para cima (boca) para baixo ∆>0 Corta o eixo horizontal(eixo das abcissas) em 2 há duas raízes reais e pontos distintas ∆=0 Toca em 1 ponto do eixo horizontal(eixo das abcissas) só uma raiz real ∆<0 Não corta o eixo horizontal(eixo das abcissas) não há raiz real Atividades de sistematização: 1) Identificar a, b e c nas funções quadráticas abaixo, relacionando a concavidade da parábola com o coeficiente a. a) f(x) = x2 - 9x + 8 b) f(x) = -2x2 + 7x – 3 2) Determinar os zeros(as raízes) de cada uma das funções quadráticas abaixo: a) y = -x2 + 2x + 3 b) y = x2 – 2x + 1 c) y = -x2 + x – 1 3) Esboçar o gráfico da função y = 2x2 – 3x + 1, determinando: a) as raízes b) as coordenadas do vértice c) a classificação de yv (valor mínimo ou valor máximo da função) d) intersecção da curva com o eixo y
  • 12. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 12 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio 4) Esboçar o gráfico da função y = -x2 + x + 6, determinando: a) as raízes b) as coordenadas do vértice c) a classificação de yv (valor mínimo ou valor máximo da função) d) intersecção da curva com o eixo y 5) Determinar o conjunto imagem das funções quadráticas: a) y = x2 – 2x – 3 b) y = -x2 + 6x – 9 c) y = x2 – 4 Sinais da função quadrática Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos. Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos: 1º) ∆ > 0 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros(raízes) reais distintos (x1 ≠ x2). A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo: quando a > 0 quando a < 0 y > 0 ⇔(x < x1 ou x > x2) y > 0 ⇔x1 < x < x2 y < 0 ⇔x1 < x < x2 y < 0 ⇔ (x < x1 ou x > x2) + _ _ + + _ 2º) ∆ = 0 Nesse caso a função quadrática admite um zero(raiz) real (x1 = x2). A parábola intercepta o eixo Ox em um ponto e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo: quando a > 0 quando a < 0 _ _ + +
  • 13. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 13 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio 3º) ∆< 0 Nesse caso a função quadrática não admite zeros(raízes) reais. A parábola não intercepta o eixo Ox e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo: quando a > 0 quando a < 0 _ + Atividade de sistematização: 1) O esquema mostra o estudo dos sinais de uma função quadrática. Dê o sinal do coeficiente a e do discriminante ∆. a) - + - b) + + x x x’ x” x’ = x” c) - - - d) + - + x x x’ x” 2) Determine o domínio e o conjunto imagem das funções: a) f(x) = x2 – 9x + 20 b) f(x) = -x2 – 4x – 4 3) O valor máximo da função f(x) = -x2 + 2x + 2 tem ordenada: A( ) 2 B( ) 3 C( ) 4 D( ) 5 E( ) 6 Referências: BARRETO FILHO, Benigno & SILVA, Cláudio Xavier da. Matemática aula por aula. 1. ed. São Paulo: FTD, 2003. GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. 2. ed. São Paulo: FTD, 2005.