Teorema do Valor Intermediário,Teorema de Bolzano,Teorema Weiestrass.

1. UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO
CENTRO DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS EXATAS E
NATURAIS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
PROGRAMA DARCY RIBEIRO
PROF (A).:FRANCISCO RABELO
ACADÊMICO.: ZAQUEU OLIVEIRA SILVA
T. V. I
CIDELÂNDIA-MA
2014

2. ZAQUEU OLIVEIRA
T.V.I – TEOREMA DO VALOR
INTERMEDIÁRIO
CIDELÂNDIA-2014

3. UM POUCO DA HISTÓRIA

O Teorema do Valor Intermediário é também
conhecido como Teorema de Bolzano, em
homenagem ao matemático tcheco Bernhard
Bolzano ( 1781 - 1848), que o demonstrou
analiticamente. Embora já ha muito conhecido e
utilizado, só no início do século XIX, o TVI foi
demonstrado, antes disso todos se apoiavam numa
justificativa geométrica. Bolzano nasceu e morreu
na cidade de Praga, e embora fosse padre tinha
ideias contrarias às da igreja. Lastimavelmente,
suas descobertas matemáticas foram muito pouco
reconhecidas por seus contemporâneos.

4. DEFINIÇÕES DE FUNÇÃO CONTÍNUA E
DESCONTÍNUA
Seja uma função f:| a,b| → R e a<c<b. A
função f é contínua no ponto C, se Lim f(x )
existe, quando x → c e é igual a f(c), ou de uma
forma mais concisa:

Se não existe Lim f(x ) ou se existe Lim f(x )
quando x → c, mas Lim f(x ) ≠ f(c), dizemos que a
função f é descontínua em x = c. Que são as famosas
funções de Dirichlet.


5. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS FUNÇÕES

Na sequência, mostramos um gráfico de uma
função f contínua (sem interrupção) e um
gráfico de uma função g descontínua com uma
série de problemas.

Contínua
Descontínua

6. TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO (TVI)
Se f é contínua sobre o intervalo fechado[a,b]
e L é um número real tal que f(a)<L<f(b) ou
f(b)<L<f(a), então existe pelo menos um ponto c
em [a,b] tal que f(c)=L.

7. APLICAÇÕES

Prove que: f(x)= x⁴ - 2x³ - x + 1 tem raiz real no
intervalo [ 0 , 1].
Resolução
 1) É contínuo
 2) função Polinomial
Logo ∃ c ∣ f(c)=0, então c ∈ [ 0, 1]


8. APLICAÇÕES

Seja g:[-1,3] → R g(x) = x³- x² - 1 ; então g assume
o valor ¼.
1)É continua
2) Função Polinomial
Logo existe pelo menos uma raiz real para a
equação
g(-1)= -3 < 0 e g(3)= 17 > 0

9. APLICAÇÃO DE BOLZANO
Uma das aplicações mais pitoresca do TVI é no
problema de existência de raízes reais para uma
equação. Por exemplo, podemos mostrar que o
polinômio
tem pelo menos
uma raiz real no intervalo [0; 2], usando
simplesmente o fato de que
q(0) = -5 < 0 e q(2) = 3 > 0.

10. Esse mesmo raciocínio pode ser usado para provar,
analiticamente, que todo polinômio p(x) a
coeficientes reais de grau impar tem ao menos
uma raiz real. De fato, podemos supor:
e, neste caso,
e
Como toda função polinomial é contínua,
naturalmente existem números reais a e b tais que
p(a)<0 e p(b)>0. Daí,pelo TVI ,existe
tal
que

11. APLICAÇÕES

Mostre que x³ - 4x + 8 = 0 tem pelo menos uma
solução real.
Solução: Seja f (x ) = x³ - 4x + 8: Temos que f e uma
função contínua e como f ( 2) = 8 > 0 e f ( 3) = -7<0
pelo Teorema do anulamento existe c ∈ ( 3; 2) tal
que f (c ) = 0; ou seja, c é uma solução da
equação (de fato c ∈ ( 2:649436; 2:649435)).
(Interação verificada pelo método de Newton)

12. Método de Newton

13. Método de Newton

14. TEOREMA DO VALOR MÁXIMO (KARL
WEIERSTRASS)
Se f é uma função contínua sobre um intervalo
fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor
máximo M e também o seu valor mínimo m, no
intervalo [a,b]. Isto é o mesmo que garantir a
existência de valores x1 e x2 em [a,b] tal que para
todo x em [a,b]:
 f(x1) = m < f(x) < M = f(x2)


15. OBSERVAÇÃO E EXEMPLO

f(x)=sen(x) definida sobre [-π,π], possui máximo em
x=-π e x = π/2 e mínimo em x = -π/2 e x=π.

16. REFERÊNCIAS
 BRITO,Frederico Reis Marques de. Consequências Interessantes
da Continuidade.Universidade Federal do Goias-UFG. Disponível
em http://www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/frederico.reis.pdf

CARVALHO, Alexandre Nolasco de. Os Teoremas de Weierstrass
e Bolzano. ICMC- USP disponível em
http://www.icmc.usp.br/pessoas/andcarva/sma301/Aulas/Aula15.pdf

SODRÉ, Ulysses.Matemática Essencial.Londrina-PR.disponivel em
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/continua/con
tinua.htm

DOERING, Claus I.Introdução a Analise Matemática na
Reta.Universidade do Rio Grande do Sul – URGS. Disponível em
http://www.sbm.org.br/docs/coloquios/NE-1.02.pdf