1. CENTRO UNIVERSITÁRIO DO SUL DE MINAS –
UNIS/MG
COMPLEMENTAÇÃO DE CARGA HORÁRIA
ENGENHARIA CIVIL
INTEGRAIS
Aluna:
Estela Mesquita Lasmar
Professor:
Dr. Alessandro Ferreira Alves
Varginha - MG
2013

2. ESTELA MESQUITA LASMAR
INTEGRAIS
Relatório apresentado
ao curso de Engenharia civil
na instituição de ensino
Centro universitário do Sul
de Minas-UNIS/MG, como
requisito a complementação
de carga horária na disciplina
de Cálculo diferencial e
integral I/Matemática.
Professor: Dr. Alessandro Ferreira Alves.
Varginha- MG
2013
Página | 2

3. SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO.................................................................................4
2. INTEGRAL INDEFINIDA..............................................................5
I.
II.
III.
Contexto..............................................................................5
Estudo de primitivas..........................................................5
Exemplos resolvidos..........................................................6
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
3. INTEGRAL DEFINIDA...................................................................7
I. Áreas...................................................................................7
II. Integral definida................................................................9
III. Propriedades......................................................................9
IV. Teorema do cálculo..........................................................10
V. Exemplos resolvidos.........................................................10
1. Exemplo
2. Exemplo
3. Exemplo
VI. Continuação de áreas.......................................................11
1. Situações
2. Situações
3. Situações
VII. Exemplos resolvidos.........................................................12
1. Exemplo
2. Exemplo
3. Exemplo
4. INTEGRAÇÃO TRIGONOMÉTRICA.......................................13
I. Contexto............................................................................13
II. Substituição trigonométrica............................................13
III. Tabela de substituição trigonométrica...........................14
IV. Observação.......................................................................14
5. EXERCÍCIOS.................................................................................15
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS.........................................................18
7. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA..............................................19
Página | 3

4. 1. INTRODUÇÃO
Neste relatório serão apresentadas definições e técnicas para o cálculo de
integrais, embasadas nos conhecimentos adquiridos na disciplina de Funções
Matemáticas (Cálculo Diferencial e Integral I).
As observações foram feitas a partir do entendimento de cada tópico. Os
exemplos e exercícios ou foram retirados do livro Cálculo vol. I de James
Stewart ou de própria autoria.
Os tópicos abordados serão: Integral indefinida, integral definida, cálculo de
áreas e integração de funções trigonométricas.
Página | 4

5. 2. INTEGRAL INDEFINIDA
I.
Contexto:
Podemos imaginar a integral como uma “derivação para trás”. A integral é
o inverso da derivada de uma função para achar a própria função.
As regras usadas no cálculo de integrais são praticamente similares as
regras de derivação, no entanto são usadas no sentido contrário.
II.
Estudo de primitivas
Dada uma função deve-se encontrar uma função F cuja derivada é uma
função conhecida ƒ.
Se a função F existir, ela é chamada de primitiva de ƒ.
Uma função F é denominada uma primitiva de ƒ no intervalo I se F’(x) = f(x)
para todo x em I.
Note: A primitiva de uma função é uma função que quando eu derivo
retorna à função inicial.
Por exemplo, seja f(x) = x²
Note: Não é difícil descobrir uma primitiva de ƒ se nos lembrarmos da
Regra da Potência.
Se F(x) = ⅓ x³, então F’(x) = x² = f(x).
Note: Mas a função H(x) = ⅓ x³ + 100, H(x) = ⅓ x³ + 45, H(x) =⅓ x³+27
... também satisfazem H’(x) = x².
Logo, F e H são primitivas de ƒ.
Note: Na verdade, qualquer função com a forma de H(x)=⅓ x3 + C, em
que C é uma constante, é uma primitiva de ƒ.
Generalizando, se y = f(x) e F é uma primitiva de f, ou seja, F’=f é a família
de primitivas de f.
Então, usa-se a notação abaixo para indicar a família de primitivas de f, que
também é chamada de Integral Indefinida de f.
⌡f(x)dx = F(x) = C
Note: Para facilitar o entendimento podemos pensar na integral
indefinida como uma família de funções.
Página | 5

6. III.
Exemplos resolvidos:
1.
Exemplo : ⌡sen x dx= -cos x + C
Pois, sabemos que (-cos x + C)’ = - (-sen x) = sen x
2.
Exemplo :
dx=
Note: Percebemos então que, se a f(x) =x^n, n≠0, n≠-1, temos que:
⌡
⌡
3.
Exemplo :
Pois,
⌡
(
dx =
)’= 3 x (
)=
Lembrando que (ln x)’= 1/x
Logo, no intervalo a primitiva de 1/x é ln x + C.
Note: Isto para todo x diferente de zero, ou, para todo intervalo que não
contenha o zero.
Tal conceito é verdadeiro nos intervalos (-∞, 0) e (0, ∞). Então a primitiva geral
de f é:
ln x + C
x>0
ln(-x) +C
x<0
F(x) =
4.
Exemplo : ⌡e^x = e^x + C
5.
Exemplo : ⌡sec²x dx = tg x + C
6.
Exemplo : ⌡sec.tg x dx = sec x + C
Página | 6

7. 3. INTEGRAL DEFINIDA
I.
Áreas
Para melhor entendimento da integral definida vamos introduzir o
conceito de área. Quando queremos saber a área de alguma figura esta não parece
ser uma pergunta muito difícil...
Se quisermos, por exemplo, saber a área de um retângulo basta
multiplicarmos seu comprimento pela sua altura.
Se quisermos determinar a área de um quadrado, basta multiplicarmos
seus lados por eles mesmos, l².
Se quisermos a área do triangulo sabemos que ela é igual a Multiplicação
de sua base pela altura e dividida por dois. (BxA)/2
Suponha, então, que queiramos calcular a área da região A, representada
no esquema abaixo compreendida entre as retas x=a e x=b abaixo, do gráfico
y=f(x):
Página | 7

8. Pelos métodos que conhecemos não existe fórmula especifica para
calcular esta figura, logo temos o intuito subdividir esta área em figuras
conhecidas e somá-las.
No entanto, não é tão fácil, encontrar a área de uma região com lados
curvos.
Temos uma idéia que se aproxima da área desta região, mas parte do problema
da área é tornar precisa essa idéia intuitiva, dando uma definição exata de área.
Aproximando infinitamente a faixa por um retângulo com largura ∆x e
altura f(x), então a área de cada retângulo é ∆x.f(x), e a área total da figura é
aproximada pela soma das áreas dos retângulos é representada por:
S = f(x¹)∆x + f(x²)∆x + f(x³)∆x +.... f(xn) ∆x
Portanto, a melhor forma de definia esta área é da seguinte forma:
A = Lim [f(x¹)∆x + f(x²)∆x + f(x³)∆x +.... f(xn) ∆x]
Página | 8

9. Note: A área, então, é uma função contínua f e o limite da soma das áreas
dos retângulos.
Para melhor adequação usa-se a notação de somatória para escrever a soma de
muitos números de maneira compacta:
∑ f(xn)∆x
Note: Esta notação é chamada de soma de Riemann.
II.
Integral Definida
A integral definida é uma integral com limites, ou seja, é a integral que
representa uma quantidade definida.
A integral definida de f de a à b é representada por:
⌡ f(x)dx = Lim ∑ f(x¹)∆x
Desde que, este limite exista.
Note: A integral definida é o limite da soma de Riemann.
Se o limite existir podemos dizer que f é integrável em [a, b].
Note: Se f(x) <0 em [a, b], então A= área S=-⌡ f(x)dx
Curiosidade: O símbolo ⌡ foi introduzido por Leibniz e é denominado sinal de
integral. Ele é um S alongado e foi assim escolhido porque uma integral é um
limite de somas.
III.
Propriedades:
Supondo que f e g sejam funções continuas a integral passa a ter algumas
Propriedades:
⌡ c dx = c (b-a), onde c é uma constante
⌡ [f(x) = g(x)] dx = ⌡ f(x) dx + ⌡ g(x) dx
⌡ c f(x) dx = c ⌡f(x) dx, onde c é uma constante
⌡ [f(x) – g(x)] dx = ⌡f(x) dx - ⌡g(x) dx
Se f é continua em [a, b] e c esta contido (a, b), então
⌡ f(x) dx = ⌡ f(x) dx + ⌡ g(x) dx
6. Se f(x) ≥ 0 para a ≤ x≤ b, então
⌡ f(x) dx ≥ 0
7. Se f(x) ≥ g(x) para a ≤ x ≤ b, então
⌡f(x) dx ≥ ⌡ g(x) dx
8. Se m ≤ f(x) ≤M para a≤x≤b, então
m(b-a) ≤ ⌡ f(x) dx ≤ M (b-a)
1.
2.
3.
4.
5.
Página | 9

10. IV.
Teorema do Cálculo
Seja f contínua em um intervalo fechado [a, b]:
Note: Se a função G é definida por G(x) = ⌡ f(t)dt para todo x existente
em [a, b], então G é uma primitiva de f em [a, b], ou seja, G’=f.
Note: Se F é uma primitiva de f, ou seja, F’=f, então
⌡ f(x)dx = F(b) – F(a)
Usamos a notação F(x)
para indicar a diferença F(b) – F(a). Assim:
⌡ f(x)dx = F(x)
= F(b) – F(a)
Onde, F’(x) = f(x).
E se, a = b temos que ⌡ f(x) dx = F(a) – F(a) = 0
V.
Exemplos Resolvidos
1.
Exemplo: ⌡ (6x²-5)dx= 45
Ache a primitiva sem o limite 2x³-5x
Coloque ela com os limites 2x³-5x
= F(b) – F(a)
Faça F(b)-F(a) = (2.3³ - 5.3)-(2(-2)³-5(-2)) = 45
2.
Exemplo: ⌡ (x³+1)²dx =
⌡ (x^6 + 1 +2x³)dx=
⌡ (x^7)/7 + x + (2x²)/4)
3.
= F(b) – F(a) = 405/14
Exemplo: ⌡ |x|dx =
-x²/2
= F(b)-F(a)
=0-(-2) =2
x²/2
= F(b)-F(a)
=9/2
=13/2
Página | 10

11. VI.
Continuação de Áreas:
As situações a seguir vão nos fazer entender o conceito de área para uma
classe mais ampla.
1.
Na figura abaixo f(x) ≤ 0 em [a, b] então ⌡ f(x) dx ≤ 0
Logo, área= -⌡ f(x)dx
Note: Se a função é negativa a área é igual a menos a integral.
2.
Seja A o conjunto hachurado na figura ao lado, então a área é:
A=⌡ f(x)dx - ⌡ f(x)dx + ⌡ f(x)dx
3.
Área = ⌡ f(x)-g(x)dx
Página | 11

12. VII.
Exemplos Resolvidos:
1. Encontre a área da região limitada pelo gráfico y = x³, pelo eixo x e pelas
retas x=-1 e x =0.
2. Cálcule a área do conjunto de todos os pontos (x,y) tais que x²≤y≤√x
3. Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de y=x y=x² com
0≤x≤2.
Página | 12

13. 4. INTEGRAÇÃO TRIGONOMÉTRICA
I.
Contexto
Na substituição trigonométrica usam-se identidades trigonométricas para
integrar certas combinações de funções trigonométricas. Além de podermos
integrar as funções básicas dada pela tabela podemos também integrar funções
mais complexas realizando reduções.
Temos diversas formas de integrar uma função e para cada integral
devemos identificar qual o melhor método de se usar.
II.
Substituição Trigonométrica
Calcule ⌡√(1-x²)dx
Página | 13

14. III.
Tabela de substituição Trigonométrica
Expressão
√(a²-x²)
√(a²+x²)
(x²-a²)
IV.
Substituição
x = a.sen u
−π/2 ≤ u ≤ π/2
x = a.tg u
−π/2 < u < π/2
x = a.sec u, 0≤u≤π/2
π ≤ u ≤ 3π/2
Identidade
1-sen²u = cos²u
1+tg²u = sec²u
sec²u-1=tg²u
Observação
A ocorrência de raiz no integrando é algo muito desagradável. Se você
conseguir perceber uma mudança de variável que a elimine, aplique.
Por exemplo, em ⌡√(1-4x²)dx, a mudança 2x=sent ou x =1/2sent elimina a
raiz, veja:
√(1-4x²)= √(1-2x²)= √(1-sen²t)= √(cos²t)= |cos t|
Página | 14

15. 5. EXERCÍCIOS
Note: Os exercícios a seguir foram retirados do livro Cálculo I- James
Stewart.
A. ⌡dx=
B. ⌡x³dx=
C. ⌡3x^4dx=
D. ⌡(4x^5 + 7)dx=
E. ⌡3dx=
F. ⌡5x^7dx=
G. ⌡(5 + 3x² - 7x³)dx=
H. ⌡dx/x^4=
I. ⌡√x³dx=
J. ⌡(7√x² + 3/x³)dx=
K. ⌡3x^-4 – 3x + 4dx=
L. ⌡2/3√x dx=
M. ⌡dx/√x=
N. ⌡ 3s²+2s-1 ds=
Página | 15

16. O. ⌡ x³ + 1/x + 1/x³=
P. ⌡ sem x (1-cos²x)dx =
Calcule a área compreendida entre:
Q. A= {(x, y) e R²; 0≤y≤|sen x|, 0≤x≤2π}
R. A= {(x, y) e R²; x²-1≤y≤0}
Página | 16

17. S. Calcule a área do circulo de raio r>0
Página | 17

18. 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O trabalho apresentado teve a finalidade de demonstrar o conhecimento na
área de integrais. Observa-se que o conteúdo é meramente ilustrativo, já que em
cada tópico o assunto não foi aprofundado.
Para melhores definições recomenda-se pesquisar em livros de calculo I. No
relatório em questão a bibliografia usada é Cálculo I - James Stewart.
Página | 18

19. 7. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
STEWART, James. Cálculo, Vol. 2, 6ª edição. Editora Cengage Learning, 2009.
Página | 19