Cálculo Aplicação de derivadas Teorema do Valor médio

1. Cap´ıtulo 17
Teorema do Valor M´edio
17.1 Introdu¸c˜ao
Vimos no Cap. 16 como podemos utilizar a derivada para tra¸car gr´aficos de fun¸c˜oes. Muito embora o apelo gr´afico
apresentado naquele cap´ıtulo relacionando fun¸c˜oes crescentes e decrescentes com o sinal da derivada fosse muito
sugestivo, n˜ao pode ser entendido como uma prova das afirma¸c˜oes feitas. Para uma demonstra¸c˜ao rigorosa da rela¸c˜ao
existente entre o crescimento ou decrescimento de uma fun¸c˜ao e o sinal da sua derivada, precisamos de um resultado
conhecido como teorema do valor m´edio. O teorema do valor m´edio ´e um dos resultados mais importantes do c´alculo
diferencial e ´e usado, principalmente, na demonstra¸c˜ao de outros teoremas.
O teorema do valor m´edio ´e a tradu¸c˜ao matem´atica para um fato que aparece de forma corriqueira em muitas
situa¸c˜oes de nossa vida. Por exemplo, se a m´edia de velocidade em uma viagem de carro de uma cidade a outra ´e de
80 km/h, ent˜ao em algum momento da viagem o veloc´ımetro do carro deve ter marcado 80 km.
Vamos traduzir a afirma¸c˜ao acima em termos matem´aticos. Seja s(t) a posi¸c˜ao do carro, em cada instante de
tempo t. Se a viagem come¸ca em t = a (horas) e termina em t = b (horas), a velocidade m´edia ´e dada por
vm =
s(b) − s(a)
b − a
.
A afirma¸c˜ao de que, em algum momento da viagem, a velocidade instantˆanea deve ser igual a velocidade m´edia
significa que para algum instante de tempo c entre a e b tem-se
vm =
s(b) − s(a)
b − a
= v(c) = s′
(c).
O teorema do valor m´edio estabelece as condi¸c˜oes m´ınimas que uma fun¸c˜ao s deve satisfazer para que a igualdade
acima seja verdadeira.
Antes de provar o teorema do valor m´edio, enunciaremos um de seus casos particulares que ficou conhecido como
teorema de Rolle, em homenagem a Michel Rolle (1652-1719), que o demonstrou em 1690.
17.1.1 Teorema de Rolle
Considere uma fun¸c˜ao f satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes:
(1) f ´e cont´ınua no intervalo fechado [a, b]
(2) f ´e deriv´avel no intervalo aberto (a, b)
(3) f(a) = f(b)
Ent˜ao, existe um n´umero c em (a, b), tal que, f′
(c) = 0.
O teorema de Rolle pode ser interpretado, geometricamente, da
maneira descrita a seguir. Seja f uma curva suave (cont´ınua e
deriv´avel), n˜ao constante, ligando os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)),
tal que f(a) = f(b). Ent˜ao, se o gr´afico de f sobe, dever´a descer,
e vice-versa. Portanto, como a curva ´e suave, em algum ponto
entre a e b, onde o gr´afico para de subir e come¸ca a descer (ou
vice-versa), a reta tangente deve ser horizontal.
c
f(a)=f(b)
ba
Demonstra¸c˜ao Como f ´e cont´ınua em [a, b], pelo teorema dos valores extremos f assume um valor m´aximo e um
valor m´ınimo em [a, b]. Sejam m e n os pontos de [a, b] onde estes valores s˜ao atingidos, isto ´e, sejam m e n tais que
f(n) ≤ f(x) ≤ f(m), para todo x em [a, b].

2. 230 Cap. 17. Teorema do Valor M´edio
Existem dois casos a serem considerados:
(i) A fun¸c˜ao f ´e constante em [a, b].
Neste caso, f(x) = f(a) = f(b) para todo x de [a, b]. Assim, f′
(x) = 0 para todo x de (a, b).
(ii) f(x) ̸= f(a) = f(b) para algum x no intervalo aberto (a, b).
Neste caso, ou m ou n ´e diferente das extremidades a e b do intervalo considerado. Sem perda de generalidade,
suponhamos que seja m este ponto. Como m ´e um ponto de m´aximo e est´a no intervalo aberto (a, b) onde f ´e
deriv´avel, tem-se f′
(m) = 0. Logo, o ponto c = m satisfaz a conclus˜ao do teorema.
Observa¸c˜ao As hip´oteses do teorema de Rolle s˜ao essenciais para que a conclus˜ao se verifique, isto ´e, se uma das
condi¸c˜oes do teorema n˜ao for verificada, poder´a n˜ao existir o ponto c que satisfaz f′
(c) = 0. Os exemplos a seguir
ilustram como este teorema pode ser aplicado e mostram como o teorema falha, caso qualquer uma de suas hip´oteses
n˜ao se verifique.
Exemplo 1
Considere a fun¸c˜ao f(x) =
{
(x − 1)2
, 1 ≤ x < 1, 5
(x − 2)2
, 1, 5 ≤ 2
.
Esta fun¸c˜ao ´e cont´ınua no intervalo [1, 2], f(1) = f(2) = 0 mas
n˜ao ´e deriv´avel em (1, 2). Repare que n˜ao existe nenhum ponto
da curva y = f(x) no qual a reta tangente a esta curva seja zero.
Em outras palavras, n˜ao existe c em (1, 2) tal que f′
(c) = 0.
O teorema de Rolle n˜ao pode ser aplicado a este caso porque a
fun¸c˜ao dada n˜ao ´e deriv´avel no intervalo (1, 2). 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
0.24
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2x
Exemplo 2
Seja f(x) =
{
x2
, x ̸= 0
1 , x = 0
definida no intervalo [−1, 1]. Temos
que f(−1) = f(1) = 1, mas f n˜ao ´e cont´ınua no zero. N˜ao existe
c em (−1, 1) tal que f′
(c) = 0. O teorema de Rolle falha neste
caso porque f n˜ao ´e cont´ınua em [−1, 1].
Exemplo 3
Determine um ponto c que satisfa¸ca o teorema de Rolle para as seguintes fun¸c˜oes:
(a) f(x) = 2 +
√
x −
√
x3 definida em [0, 1].
(b) f(x) = 2 + sen x definida em [0, 2 π].
Solu¸c˜ao
(a) A fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em [0, 1] e deriv´avel em (0, 1). Mesmo
que ela n˜ao seja deriv´avel no zero, isto n˜ao importa: o teorema
exige apenas que f seja deriv´avel em (0, 1). Tamb´em temos que
f(0) = f(1) = 2, de modo que todas as condi¸c˜oes do teorema de
Rolle s˜ao satisfeitas. Assim, existe um ponto c em (0, 1), tal que
f′
(c) = 0.
Como f′
(x) = 1
2
√
x
− 3
√
x
2 = (1−3 x)
2
√
x
, esta derivada ser´a zero para
x = 1
3 . Logo, no ponto c = 1
3 a reta tangente `a curva ´e horizontal. 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
0.2 0.4 0.6 0.8 1x
(b) Neste caso f ´e cont´ınua e deriv´avel em [0, 2 π] e f(0) = f(2 π) = 2. Assim, pelo teorema de Rolle, existe um
ponto c em (0, 2 π)), tal que f′
(c) = 0. De fato, usando o Maple para resolver esta ´ultima equa¸c˜ao, obtemos
> f:=x->2+sin(x):
> solve(diff(f(x),x)=0,x);
1
2
π
Portanto, c = π
2 . Veja o gr´afico a seguir.
> plot([f(x),f(Pi/2),[[Pi/2,0],[Pi/2,f(Pi/2)]]],x=0..2*Pi,color=[red,blue]);

3. W.Bianchini, A.R.Santos 231
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1 2 3 4 5 6
x
Observe que, neste exemplo, existe um outro ponto c em (0, 2 π), a saber, c = 3 π
2 , no qual a reta tangente ao
gr´afico da fun¸c˜ao tamb´em ´e horizontal. Isto n˜ao contradiz o teorema de Rolle. Este teorema garante a existˆencia de
pelo menos um ponto no intervalo considerado, tal que f′
(c) = 0. Como vimos no exemplo acima, pode existir mais
de um ponto com esta propriedade.
17.1.2 Teorema do valor m´edio
Considere uma fun¸c˜ao f satisfazendo as condi¸c˜oes:
(1) f ´e cont´ınua no intervalo fechado [a, b]
(2) f ´e deriv´avel no intervalo aberto (a, b)
Ent˜ao, existe um n´umero c em (a, b), tal que f′
(c) =
f(b) − f(a)
b − a
.
Geometricamente, o teorema do valor m´edio diz que se f ´e uma
fun¸c˜ao “suave” que liga os pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)),
existe um ponto c, entre a e b, tal que a reta tangente ao gr´afico
de f em c ´e paralela `a reta secante que passa por A e por B.
B
A
bca
Demonstra¸c˜ao A demonstra¸c˜ao ´e feita usando-se o teorema de Rolle. Para isso, considere a fun¸c˜ao d(x) =
f(x) − g(x), onde g(x) ´e a reta que une os pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)), isto ´e, g(x) = f(a) + f(b)−f(a)
b−a (x − a).
Repare que a fun¸c˜ao d(x) assim definida, mede, para cada x, a distˆancia vertical entre os pontos (x, f(x)), do
gr´afico de f, e (x, g(x)), na reta suporte do segmento AB.
A fun¸c˜ao d(x) satisfaz as hip´oteses do teorema de Rolle, isto ´e, d ´e cont´ınua em [a, b], diferenci´avel em (a, b), pois
f e g o s˜ao, e, al´em disso, d(a) = d(b) = 0. Assim, existe um ponto c ∈ (a, b) onde d′
(c) = 0.
Note no diagrama a seguir que a reta tangente ao gr´afico de f ´e paralela ao segmento AB exatamente no ponto
em que a diferen¸ca d(x) atinge o seu maior valor.
Logo, 0 = d′
(c) = f′
(c) − g′
(c) = f′
(c) − f(b)−f(a)
b−a , ou seja, f′
(c) = f(b)−f(a)
b−a .
17.1.3 Conseq¨uˆencias do teorema do valor m´edio
A primeira conseq¨uˆencia ´e a rec´ıproca do fato trivial de que a derivada de uma fun¸c˜ao constante ´e igual a zero, ou seja,
se a derivada de uma fun¸c˜ao ´e zero, a fun¸c˜ao ´e constante. A princ´ıpio nada nos assegura que este fato seja verdadeiro.
Ser´a que n˜ao poderia existir uma fun¸c˜ao desconhecida, estranha e n˜ao constante, cuja derivada fosse zero?

4. 232 Cap. 17. Teorema do Valor M´edio
Usando o teorema do valor m´edio podemos provar que tal fun¸c˜ao estranha n˜ao existe. Isto ´e feito no Corol´ario 1
a seguir. Nesse corol´ario e nos seguintes, consideramos f e g cont´ınuas no intervalo fechado [a, b] e deriv´aveis em (a,
b).
Corol´ario 1 (Fun¸c˜oes com derivada zero)
Se f′
(x) = 0 em (a, b), ent˜ao f ´e uma fun¸c˜ao constante em [a, b], isto ´e, existe um n´umero real k, tal que, f(x) = k,
qualquer que seja o ponto x de [a, b].
Demonstra¸c˜ao
Seja x ∈ (a, b]. Apliquemos o teorema do valor m´edio em [a, x]. Ent˜ao existe c ∈ (a, x), tal que,
f(x) − f(a) = f′
(c) (x − a).
Como f′
(x) = 0 em (a, b), tem-se f′
(c) = 0. Assim, f(x) = f(a), para todo x em (a, b]. Por´em, obviamente, esta
igualdade vale para todo x em [a, b]. Assim, f ´e constante em [a, b].
Corol´ario 2 (Fun¸c˜oes com derivadas iguais)
Suponha que f′
(x) = g′
(x) para todo x no intervalo (a, b). Ent˜ao, f e g diferem por uma constante, isto ´e, existe um
n´umero real k, tal que
f(x) = g(x) + k,
para todo x em [a, b].
Demonstra¸c˜ao
Considere a fun¸c˜ao h(x) = f(x) − g(x). Ent˜ao, h′
(x) = f′
(x) − g′
(x) = 0, para todo x em (a, b). Logo, pelo
Corol´ario 1, h(x) = k para todo x em [a, b] e alguma constante k real, ou seja,
f(x) − g(x) = k, que ´e equivalente a f(x) = g(x) + k.
Interpreta¸c˜ao geom´etrica
Como as duas fun¸c˜oes f e g diferem por uma constante, o gr´afico de
f pode ser obtido a partir do gr´afico de g, ou vice-versa, por uma
transla¸c˜ao vertical. Al´em disso, como estas fun¸c˜oes tˆem a mesma
derivada em cada ponto x de [a, b], seus gr´aficos tˆem retas tangentes
paralelas nos correspondentes pontos (x, f(x)) e (x, g(x)). Por isso estes
gr´aficos s˜ao ditos paralelos.
–2
0
2
4
6
y
–2 –1 1 2
x
Exemplo 1
Se f′
(x) = 3 sen x e f(0) = 2, determine a fun¸c˜ao f.
Solu¸c˜ao Observe que a derivada da fun¸c˜ao g(x) = −3 cos x ´e igual a 3 sen x = f′
(x). Assim, f e g diferem por
uma constante, isto ´e, f(x) = g(x) + k = −3 cos x + k, onde k ´e um n´umero real qualquer.
Como f(0) = 2, temos que f(0) = −3 + k = 2, ou seja, k = 5. Assim,
f(x) = −3 cos x + 5.
Exemplo 2
Suponha que f′
(x) = k em um intervalo [a, b], com k real. Prove que f ´e uma reta.
Solu¸c˜ao
Seja g(x) = k x + b. Ent˜ao, g′
(x) = k. Logo, f e g diferem por uma constante, ou seja, f(x) = g(x) + c, onde c ´e
real. Assim,
f(x) = k x + b + c = k x + d,
onde d = b + c. Logo, f ´e uma reta.

5. W.Bianchini, A.R.Santos 233
Corol´ario 3 (Fun¸c˜oes crescentes e decrescentes)
(i) Se f′
(x) > 0 para todo x em [a, b], ent˜ao f ´e uma fun¸c˜ao crescente em [a, b].
(ii) Se f′
(x) < 0 para todo x em [a, b], ent˜ao f ´e uma fun¸c˜ao decrescente em [a, b].
Demonstra¸c˜ao
Vamos demonstrar o primeiro item; a demonstra¸c˜ao do segundo ´e an´aloga.
Sejam m e n pontos de [a, b], tais que m < n. Aplicamos o teorema do valor m´edio no intervalo [m, n]. Como este
intervalo est´a contido em [a, b], as hip´oteses do teorema do valor m´edio continuam v´alidas em [m, n]. Assim, existe
um ponto c em (m, n), tal que
f(n) − f(m) = f′
(c) (n − m).
Como, por hip´otese, f′
(c) > 0 e (n − m) > 0, segue que
f(n) − f(m) > 0, isto ´e, f(m) < f(n).
Como m e n s˜ao pontos quaisquer em [a, b], segue que f ´e uma fun¸c˜ao crescente em [a, b].
Corol´ario 4 (Teorema do valor m´edio generalizado)
Sejam f e g cont´ınuas em [a, b] e deriv´aveis em (a, b) e suponha, al´em disso, que g′
(x) ̸= 0 para a < x < b. Ent˜ao,
existe pelo menos um c entre a e b, tal que
f′
(c)
g′(c)
=
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
.
Demonstra¸c˜ao
Repare que se g(a) = g(b), pelo teorema de Rolle g′
(x) se anula em algum ponto entre a e b, o que contradiz
a hip´otese. Portanto, g(a) ̸= g(b), e o segundo membro da igualdade acima faz sentido. Para provar o corol´ario,
considere a fun¸c˜ao
F(x) = (f(b) − f(a)) (g(x) − g(a)) − (f(x) − f(a)) (g(b) − g(a)).
´E f´acil ver que esta fun¸c˜ao satisfaz as hip´oteses do teorema de Rolle. Logo, existe um ponto c, entre a e b, tal que
F′
(c) = 0. Esta ´ultima afirma¸c˜ao ´e equivalente a
(f(b) − f(a)) g′
(c) − f′
(c) (g(b) − g(a)) = 0 ,
que, por sua vez, ´e equivalente a afirma¸c˜ao que se quer provar.
Repare que se g(x) = x, este corol´ario se reduz ao teorema do valor m´edio e, portanto, ´e uma generaliza¸c˜ao deste
teorema.
17.2 Exerc´ıcios
1. (a) Nos itens a seguir, mostre que a fun¸c˜ao dada satisfaz as hip´oteses do teorema de Rolle no intervalo [a, b]
indicado e ache todos os n´umeros c em (a, b) que verificam a conclus˜ao do teorema:
i. f(x) = x2
− 2 x em [0, 2]
ii. f(x) = 9 x2
− x4
em [−3, 3]
iii. f(x) = 1−x2
1+x2 em [−1, 1]
(b) Nos ´ıtens a seguir, mostre que a fun¸c˜ao dada n˜ao satisfaz a conclus˜ao do teorema de Rolle no intervalo
indicado. Explicite que hip´otese do teorema n˜ao ´e satisfeita.
i. f(x) = 1 − | x | em [−1, 1]
ii. f(x) = 1 − (2 − x)
2
3 em [1, 3]
iii. f(x) = x4
+ x2
em [0, 1]
2. (a) Em cada um dos ´ıtens a seguir, decida se o teorema do valor m´edio se aplica. Em caso afirmativo, ache
um n´umero c em (a, b) tal que f′
(c) = f(b)−f(a)
b−a . Esboce um gr´afico mostrando a tangente passando por
(c, f(c)) e a reta passando pelos pontos extremos do gr´afico em [a, b], indicado em cada caso.
i. f(x) = 1
x em [1, 2]
ii. f(x) = 1
x em [−1, 2]
iii. f(x) = x3
em [0, 1]
iv. f(x) = x3
em [−1, 0]
v. g(x) = sen (x) em [0, π
2 ]
vi. h(x) = tg(x) em [π
4 , 3 π
4 ]
vii. f(x) =
√
1 − x2 em [−1, 0]
viii. f(t) = t2
(t − 1) em [0, 1]
ix. f(x) = x
2
3 em [−1, 27]
x. f(x) =
{
1 0 < x
0 x < 0
em [−1, 1]

6. 234 Cap. 17. Teorema do Valor M´edio
(b) Como vimos no item (ix) acima, o teorema do valor m´edio n˜ao se aplica `a fun¸c˜ao f(x) = x
2
3 no intervalo
[−1, 27]. No entanto, mostre que existe um n´umero c em (−1, 27), tal que f′
(c) = f(27)−f(−1)
27−(−1) .
(c) Explique por que o teorema do valor m´edio n˜ao se aplica `a fun¸c˜ao f(x) = | x |, no intervalo [−1, 2].
3. Para as fun¸c˜oes dadas em cada um dos ´ıtens a seguir, determine os intervalos abertos em que cada uma delas ´e
crescente ou decrescente. Com base nas respostas encontradas, fa¸ca a correspondˆencia de cada fun¸c˜ao com um
dos gr´aficos dados.
(a) f(x) = 4 − x2
(b) f(x) = x2
− 2 x + 1
(c) f(x) = x2
− 4 x + 1
(d) f(x) = x3
4 − 3 x
(e) f(x) = x3
3 − x2
2 − 2 x + 1
(f) f(x) = 2 x − x2
6 − x3
9
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
(1)
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
(2)
–4
–2
0
2
4
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
(3)
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
(4)
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
(5)
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4x
(6)
4. (a) Use o teorema de Rolle para mostrar que a equa¸c˜ao
26
5 x5
− x4
+ 2 x3
− 2 x2
− x = 0, tem pelo menos uma raiz real no intervalo (0, 1).
(b) Se f(x) ´e um polinˆomio de grau 3, use o teorema de Rolle para provar que f tem no m´aximo trˆes zeros
reais. Generalize este resultado para polinˆomios de grau n.
(c) Nos itens seguintes, mostre que a equa¸c˜ao dada tem exatamente uma solu¸c˜ao no intervalo indicado.
i. x5
+ 2 x − 3 = 0 em [0, 1]
ii. x10
= 1000 em [1, 2]
iii. x4
− 3 x = 20 em [2, 3]
5. (a) Nos ´ıtens seguintes, determine a fun¸c˜ao f que satisfaz `as condi¸c˜oes dadas:
i. f′
(x) = 4x ; f(0) = 5
ii. f′
(x) =
√
(x); f(0) = 4
iii. f′
(x) = 2√
x
; f(0) =3
iv. f′′
(x) = 0; f(0) = 1
2 e f′
(0) = 1
3
(b) Em cada um dos ´ıtens, ache todas as fun¸c˜oes f tais que:
i. f′
(x) = sen x ii. f′′
(x) = x3
iii. f′′′
(x) = x + x2
17.3 Problemas propostos
1. (a) Seja f(x) = x2
. Neste caso, mostre que para qualquer intervalo [a, b] o ponto c dado pelo teorema do valor
m´edio ´e em realidade o ponto m´edio c = a+b
2 , do intervalo [a, b].
(b) Mostre que o resultado acima vale para qualquer polinˆomio do segundo grau f(x) = c2 x2
+ c1 x + c0.
(c) Ache uma fun¸c˜ao f para a qual o “ponto de valor m´edio” c n˜ao ´e o ponto m´edio de [a, b].
2. (a) Prove que a fun¸c˜ao f(x) = (1 + x)
3
2 − 3 x
2 − 1 ´e crescente em (0, ∞). Conclua ent˜ao que (1 + x)
3
2 > 1 + 3 x
2
para todo x > 0.
(b) Mostre que
√
x < 1 + x
2 se x > 0.
3. Mostre que D(tg2
x) = D(sec2
x) no intervalo aberto ( −π
2 , π
2 ). Conclua que existe uma constante C tal que
tg2
x = sec2
x + C para todo x em (−π
2 , π
2 ). Calcule C.

7. W.Bianchini, A.R.Santos 235
4. (a) Suponha que haja n pontos distintos em [a, b] nos quais a fun¸c˜ao deriv´avel f se anule. Prove que f′
deve
se anular em pelo menos n − 1 pontos de [a,b].
(b) Suponha que a fun¸c˜ao f seja deriv´avel em [−1, 1] e tal que f(−1) = −1 e f(2) = 5. Prove que existe um
ponto no gr´afico de f em que a reta tangente ´e paralela `a reta de equa¸c˜ao y = 2x.
5. Suponha que as fun¸c˜oes f e g sejam cont´ınuas em [a, b] e diferenci´aveis em (a, b). Suponha tamb´em que f(a) =
g(a) e que f′
(x) < g′
(x) para a < x < b. Prove que f(b) < g(b).
Sugest˜ao: Aplique o teorema do valor m´edio `a fun¸c˜ao h = f − g.
6. Usando o teorema de Rolle, prove que, qualquer que seja o valor de m, a fun¸c˜ao fm(x) = x3
− 3 x + m n˜ao pode
ter duas ra´ızes reais em [0, 1]. Para entender geometricamente o que acontece, trace na mesma janela os gr´aficos
de f0 e f1 e conclua como seria o gr´afico de fm, para m qualquer.
7. Seja f(x) = 1
x e g(x) =
{ 1
x , se x > 0
1 + 1
x , se x < 0
Mostre que f′
(x) = g′
(x) para todo x nos seus dom´ınios. ´E
poss´ıvel concluir que f − g ´e constante?
8. (a) Se f ´e um polinˆomio de grau menor ou igual a um, sabemos que f′′
(x) = 0 para todo x. Demonstre
a rec´ıproca desta afirma¸c˜ao, isto ´e, se f ´e uma fun¸c˜ao qualquer, tal que f′′
(x) = 0 para todo x, ent˜ao
f(x) = a1 x + a0, onde a1 = f′
(0) e a0 = f(0).
(b) Se f ´e um polinˆomio de grau menor ou igual a dois, sabemos que f′′′
(x) = 0 para todo x. Demonstre a
rec´ıproca desta afirma¸c˜ao isto ´e, se f ´e uma fun¸c˜ao qualquer tal que f′′′
(x) = 0 para todo x, ent˜ao f ´e um
polinˆomio de grau menor ou igual a dois. De fato, f(x) = f(0) + f′
(0) x + x2
2 f′′
(x).
(c) Suponha que fn
(x) = 0, para todo x. Caracterize f e demonstre a sua resposta.
9. (a) Suponha que f(1) = 1, f′
(1) = 3, f′′
(1) = 6 e f′′′
(x) = 0 para todo x. Demonstre que, para todo x,
f′′
(x) = 6, f′
(x) = 6 x − 3 e que f(x) = 3 x2
− 3 x + 1.
(b) Suponha que c ´e uma constante e que f(c) = a0, f′
(c) = a1, f′′
(c) = a2 e f′′′
(x) = 0 para todo x.
Demonstre que f(x) = a2
2 (x − c)2
+ a1(x − c) + a0.
(c) Suponha que c ´e uma constante e que f(c) = a0, f′
(c) = a1, ..., f(n)
(c) = an e f(n+1)
(x) = 0, para todo x.
Demonstre que f(x) = f(c) + (x − c) f′
(c) + (x−c)2
2 f′′
(c) + . . . + (x−c)n
n! f(n)
(c), onde n! =
n∏
k=1
k.
10. `As duas horas da tarde, o veloc´ımetro de um carro marca 30 km/h. `As duas horas e dez minutos, marca 50
km/h. Mostre que, em algum instante entre duas e duas e dez, a acelera¸c˜ao deste carro foi exatamente igual a
120 km/h2
.
11. Dois corredores come¸cam uma disputa ao mesmo tempo e terminam empatados. Prove que, em algum instante
durante a corrida, eles correram com a mesma velocidade.
Sugest˜ao: Considere a fun¸c˜ao f(t) = g(t) − h(t), onde g e h s˜ao as fun¸c˜oes que fornecem as posi¸c˜oes dos dois
corredores, para qualquer instante de tempo t.
12. Uma fun¸c˜ao f, n˜ao necessariamente deriv´avel, definida em um intervalo I, ´e chamada convexa em I, se
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
≤
f(x3) − f(x2)
x3 − x2
,
sempre que x1 < x2 < x3 forem trˆes pontos de I. Veja a figura a seguir `a esquerda e interprete geometricamente
a defini¸c˜ao dada.
(a) Demonstre que se f′
existe em I e ´e crescente, ent˜ao f ´e convexa.
(b) Demonstre que se f′′
´e maior ou igual a zero em todo o intervalo I, ent˜ao f ´e convexa em I.
(c) Mostre que se x1 < x2 < x3, as duas condi¸c˜oes abaixo s˜ao equivalentes:
y2 − y1
x2 − x1
≤
y3 − y2
x3 − x2
⇔ y2 ≤ y1 +
y3 − y1
x3 − x1
(x2 − x1)
(Esta ´ultima condi¸c˜ao fornece uma outra defini¸c˜ao geom´etrica alternativa para convexidade: entre dois pon-
tos quaisquer x1 e x2 de I, o gr´afico de f fica abaixo da reta que passa por P1 = (x1, f(x1)) e P3 = (x3, f(x3)),
como mostra a figura a seguir `a direita.

8. 236 Cap. 17. Teorema do Valor M´edio
P3P2
P1
x3x2x1
P3P2
P1
x3x2x1
17.4 Para vocˆe meditar: O significado de c
Em muitas situa¸c˜oes f´ısicas, os fenˆomenos observ´aveis s˜ao apresentados em tabelas, que relaciona a velocidade de um
autom´ovel com a distˆancia percorrida at´e que o mesmo pare, ap´os acionados os freios.
velocidade (km/h) 40 60 80 100 120
distˆancia (m) 8 18 32 50 72
Fonte: Revista Quatro Rodas - Autom´ovel Fiat-Uno
A partir de tabelas deste tipo, tentamos deduzir a lei ou fun¸c˜ao matem´atica que melhor se ajusta aos dados
apresentados. Muitas vezes, precisamos fazer uma estimativa de um valor da vari´avel dependente (neste exemplo, a
distˆancia percorrida pelo autom´ovel) correspondente a um valor da vari´avel independente (neste caso a velocidade do
autom´ovel), que n˜ao faz parte da tabela. Por exemplo, qual a distˆancia percorrida por um autom´ovel que viaja a 70
km/h, antes que este pare completamente?
Em geral, para obter uma resposta aproximada para esta pergunta usamos interpola¸c˜ao linear, isto ´e, aproximamos
o gr´afico da fun¸c˜ao que modela o problema por segmentos de reta que ligam os pontos da tabela e estimamos o valor
pedido como se a fun¸c˜ao procurada variasse linearmente, entre os pontos dados.
No exemplo apresentado, a equa¸c˜ao da reta que liga os pontos (60, 18) e (80, 32) ´e
> f:=unapply(interp([60,80],[18,32],x),x);
f := x →
7
10
x − 24
Usando esta equa¸c˜ao para calcular uma estimativa para o valor pedido, temos:
> f(70.);
25.00000000
Como as grandezas anteriores, claramente n˜ao est˜ao relacionadas por uma linha reta, o valor calculado envolve um
erro que, “a priori”, nada garante que seja pequeno.
1. Explique como o teorema do valor m´edio est´a relacionado com o erro m´aximo cometido ao usarmos interpola¸c˜ao
linear para estimarmos os valores correspondentes a pontos que n˜ao est˜ao explicitados na tabela.
2. Observando os valores apresentados na tabela dada, vocˆe ´e capaz de deduzir a lei que governa o fenˆomeno?
(Use a t´ecnica da n-´esima diferen¸ca – se¸c˜ao Para meditar, do Cap 7 – para tentar chegar a uma conclus˜ao e o
comando interp do Maple para conferir a sua resposta.)
3. Fa¸ca um gr´afico da interpola¸c˜ao linear e da fun¸c˜ao deduzida no item acima para tentar concluir se 25 m ´e uma
“boa” resposta para a indaga¸c˜ao feita. Esta estimativa ´e por falta ou por excesso?
4. Use a fun¸c˜ao deduzida acima e o teorema do valor m´edio para, usando interpola¸c˜ao linear, estimar o erro m´aximo
cometido ao calcularmos a distˆancia que um autom´ovel percorre antes de parar completamente, ap´os acionados
os freios.
17.5 Projetos
17.5.1 Estudando a queda dos corpos - Movimento uniformemente acelerado
Suponha que uma part´ıcula esteja se movendo, de acordo com uma determinada lei, ao longo de uma reta. Se vocˆe
imaginar que o movimento se d´a ao longo do eixo y, ent˜ao o movimento pode ser descrito por uma fun¸c˜ao s, isto ´e,

9. W.Bianchini, A.R.Santos 237
para cada tempo t do intervalo I, s(t) fornece a posi¸c˜ao da part´ıcula neste instante.
Na figura a seguir, a part´ıcula se move durante o intervalo de tempo [t1, t4]. Al´em disso, o movimento come¸ca em
t = t1 quando a part´ıcula est´a no ponto y = 1; no intervalo de tempo [t1, t2], a part´ıcula se move do ponto y =1 at´e
o ponto y = 4; no intervalo [t2, t3], a part´ıcula retrocede e muda da posi¸c˜ao y = 4 para y = -1; e no intervalo [t3, t4],
a part´ıcula avan¸ca de y = −1 at´e y = 6.
6
–1
4
1
t3
t4t2t1
A figura mostra o movimento restrito a um intervalo de tempo I = [t1, t4] finito. Mais geralmente, a fun¸c˜ao s
pode ser definida num intervalo de tempo da forma I = [ t1, ∞) ou mesmo I = R = (−∞, ∞). Mas, na maioria das
vezes, na Terra, os movimentos come¸cam em algum instante de tempo t0 e terminam quando a part´ıcula se choca com
alguma coisa ou por alguma outra raz˜ao, cessa de se movimentar de acordo com a lei dada.
Como j´a vimos no Cap. 11, desde que a fun¸c˜ao s seja deriv´avel – o que ela usualmente ´e –, a velocidade da
part´ıcula, em cada instante de tempo t, ´e dada pela derivada de s, isto ´e, v(t) = s′
(t). Desde que a fun¸c˜ao v seja
deriv´avel, o que ela usualmente ´e, a acelera¸c˜ao da part´ıcula ´e dada, em cada instante de tempo t, pela derivada de v,
isto ´e, a(t) = v′
(t) ou a(t) = s′′
(t). (Observe que para movimentos no plano ou no espa¸co a velocidade e a acelera¸c˜ao
em um dado instante devem ser entendidas como quantidades vetoriais, isto ´e, como grandezas que tˆem, tamb´em,
sentido e dire¸c˜ao. Somente para movimentos retil´ıneos podem ser descritos como fizemos acima, pois sobre uma reta
a dire¸c˜ao est´a definida e o sentido ´e determinado pelo sinal da velocidade.)
H´a ainda uma quarta fun¸c˜ao associada ao movimento da part´ıcula que denotaremos por F. Essa fun¸c˜ao F
representa, em cada instante de tempo t, a resultante das for¸cas F(t) que agem sobre o corpo no instante t.
O objetivo deste projeto ´e descrever por meio de equa¸c˜oes matem´aticas o movimento de uma part´ıcula em queda
livre. Antes de podermos trabalhar matematicamente com este problema, precisamos estabelecer as hip´oteses f´ısicas
a serem consideradas.
A Segunda Lei de Newton afirma que a acelera¸c˜ao de um corpo em movimento ´e proporcional `a for¸ca dividida pela
massa do corpo, isto ´e,
(1) a(t) = k1 F (t)
m (k1= constante)
Para um corpo caindo em queda livre (ou um proj´etil lan¸cado verticalmente para cima), a for¸ca ´e a resultante do
peso (que atua para baixo) e a resistˆencia do ar (que atua no sentido contr´ario ao do movimento). Se a velocidade do
corpo n˜ao ´e muito grande, a resistˆencia do ar pode ser desprezada. Assim, temos que
(2) F(t) = P(t) < 0
(o peso ´e negativo porque “puxa” o objeto para baixo).
“Obviamente” o peso n˜ao varia somente porque o tempo est´a passando, mas na realidade depende de y, isto ´e,
da altitude do corpo no qual a gravidade est´a agindo: quanto maior a altitude, menor a for¸ca com que a Terra atrai
o corpo. Por outro lado se a altitude n˜ao ´e muito grande, o peso pode ser considerado constante. Para todos os
fins pr´aticos, podemos considerar o peso de um objeto caindo em queda livre, pr´oximo `a superf´ıcie da Terra, como
constante. Assim, temos
(3) F(t) = k2 < 0 (k2 = constante).
Como j´a vimos que o peso ´e a resultante das for¸cas que atuam sobre a part´ıcula de (1) e (3), temos que
a(t) = k3
m < 0 para todo t, onde k3 = k1 k2.
Esta ´ultima equa¸c˜ao diz que para cada corpo caindo em queda livre existe uma constante que ´e igual a sua
acelera¸c˜ao, independentemente do tempo que dure o movimento.
Permanece, entretanto, uma quest˜ao fundamental: existe uma constante que descreve a acelera¸c˜ao de todos os
corpos em queda livre, caso contr´ario a constante de acelera¸c˜ao depende de qual propriedade do corpo?
Por muito tempo pensou-se que esta constante dependia da massa m do corpo, isto ´e, a lei que governa a queda de
corpos pesados (balas de canh˜ao, por exemplo) deveria ser diferente da lei que governa a queda de corpos leves (por
exemplo, bolas de pingue-pongue).

10. 238 Cap. 17. Teorema do Valor M´edio
De fato, at´e a ´epoca de Galileu pensava-se que corpos pesados ca´ıssem mais depressa. A hist´oria conta que para
provar a falsidade desta hip´otese Galileu apelou para a for¸ca bruta: deixou cair do alto da Torre de Pisa duas bolas
de ferro de tamanhos diferentes provando, assim, que elas chegavam ao ch˜ao ao mesmo tempo.
Esta constante, que independe da massa do corpo e que fornece a acelera¸c˜ao de qualquer objeto em queda livre, ´e
chamada acelera¸c˜ao da gravidade e ´e denotada, usualmente, pela letra g. Se a distˆancia ´e medida em metros (m) e o
tempo em segundos (s), numericamente, temos que g ´e aproximadamente igual a 10 m s2
.
Os resultados desta discuss˜ao podem ser resumidos da seguinte maneira:
Se a resistˆencia do ar puder ser desprezada e se considerarmos desprez´ıvel a varia¸c˜ao do peso devido `a altitude, a
acelera¸c˜ao de um corpo em queda livre ´e dada pela equa¸c˜ao
a(t) = −g,
onde g ´e uma constante e vale aproximadamente 10 m s2
.
A discuss˜ao precedente serviu para tentarmos mostrar porque a afirma¸c˜ao acima, sob certas hip´otese razo´aveis, ´e
uma boa tradu¸c˜ao matem´atica para o problema em quest˜ao. N´os n˜ao provamos que esta afirma¸c˜ao ´e sempre correta
ou para que valores limites ela vale. Esta n˜ao ´e uma quest˜ao matem´atica, mas algo com que os f´ısicos se preocupam
e tentam corroborar por meio de experimentos.
A quest˜ao matem´atica que queremos resolver ´e a de encontrar fun¸c˜oes que satisfa¸cam a equa¸c˜ao
a(t) = f′′
(t) = −g
Esta equa¸c˜ao ´e um exemplo do que em matem´atica chamamos de equa¸c˜ao diferencial ordin´aria, porque estabelece
uma rela¸c˜ao entre a fun¸c˜ao e suas derivadas. Para resolver esta equa¸c˜ao ´e necess´ario encontrar a fun¸c˜ao f que satisfa¸ca
a rela¸c˜ao dada.
Esta quest˜ao ´e adequadamente formulada no problema a seguir.
Problema
Ache a fun¸c˜ao s que satisfaz as seguintes propriedades:
(a) s′′
(t) = −g para todo t.
(b) s′
(0) ´e um dado n´umero v0.
(c) s(0) ´e um dado n´umero s0.
Este problema pode ser interpretado em termos f´ısicos da seguinte maneira:
Conhecendo-se a acelera¸c˜ao da gravidade g, a velocidade inicial v0 e a posi¸c˜ao inicial s0, determine a lei que governa
o movimento de queda livre de um corpo, no v´acuo.
Problemas envolvendo equa¸c˜oes diferenciais onde s˜ao conhecidos os valores da fun¸c˜ao e suas derivadas em um
determinado ponto s˜ao conhecidos como problemas de valor inicial.
Este problema pode ser generalizado como se segue:
Se I ´e um intervalo de tempo qualquer (finito ou infinito) e t0 ´e um ponto qualquer de I, determine a fun¸c˜ao s que
satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:
(a) s′′
(t) = −g para todo t.
(b) s′
t0 = v0.
(c) st0 = s0.
A solu¸c˜ao deste ´ultimo problema ´e exatamente igual `a do anterior.
1. Tendo em vista a discuss˜ao acima e usando o que vimos at´e agora sobre derivadas de fun¸c˜oes, resolva o problema
proposto, isto ´e, determine a lei que governa a queda livre dos corpos.
2. Se vocˆe resolveu corretamente o item acima, em algum momento da dedu¸c˜ao deve ter usado uma conseq¨uˆencia
importante do teorema do valor m´edio. Especifique que resultado foi e onde ele foi usado.
3. Em cada um dos ´ıtens a seguir ache a fun¸c˜ao desconhecida que satisfaz as condi¸c˜oes dadas. Em todos os ´ıtens,
exceto em um deles, as condi¸c˜oes dadas s˜ao suficientes para determinar a fun¸c˜ao. Nesse ´unico item, entretanto,
h´a infinitas possibilidades. Neste caso, tente determinar que tipo de fun¸c˜oes satisfazem as condi¸c˜oes dadas.
(a) f′
(t) = 3 t + 4, f(0) = 4
(b) f′
(x) = x3
− 7 x + 5, f(0) = −1
(c) f′′
(t) = −1, f′
(0) = 2, f(0) = 3
(d) f′′
(x) = 3 x2
, f′
(1) = 0
4. Para resolver os ´ıtens a seguir, n˜ao aplique f´ormulas. Escreva as equa¸c˜oes que modelam o problema e resolva o
sistema resultante.

11. W.Bianchini, A.R.Santos 239
(a) Um proj´etil ´e lan¸cado verticalmente para cima, da superf´ıcie da Terra, num tempo t = 0, com velocidade
inicial de 3 m/s. Quando ele atingir´a o solo novamente? Para que intervalo de tempo o movimento ´e
descrito pela condi¸c˜ao a(t) = −g?
(b) Um proj´etil ´e lan¸cado verticalmente para cima e atinge o solo 10 segundos mais tarde. Qual era a sua
velocidade inicial?
(c) Uma bola de bilhar ´e deixada cair do alto de um edif´ıcio e atinge o solo 10 segundos mais tarde. Qual ´e a
altura do edif´ıcio?
(d) Queda livre perto da superf´ıcie da Lua funciona da mesma maneira que queda livre perto da superf´ıcie
da Terra, exceto pela acelera¸c˜ao da gravidade −gL, que ´e diferente por causa da massa menor da Lua.
Suponha que vocˆe est´a na Lua e deixa cair uma bola de bilhar, descobrindo, ent˜ao, que a bola cai 1 metro,
no primeiro segundo. O que vocˆe pode concluir a respeito de gL?