Polinomios aula

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Polinomios aula

  1. 1. POLINÔMIOS
  2. 2. MONÔMIO Dados um número complexo a e um número natural n, chama-se de monômio à expressão formada por um número e uma parte literal. a . x n a: coeficiente numérico x: incógnita(variável) n: expoente da incógnita(grau do monômio)
  3. 3. POLINÔMIOS São estruturas algébricas resultantes da adição e/ou subtração de monômios. n n-1 n-2 1 P(x) = an . x + an-1 . x + an-2 . x + ... + a1 . x + a0 Observações: I. Os polinômios são representados, geralmente, com seus termos em ordem decrescente de grau; II. an, an-1, ... , a1 e a0 são os coeficientes do polinômio, com a0 sendo o termo independente de P(x).
  4. 4. GRAU DE UM POLINÔMIO O grau de um polinômio é dado pelo maior grau de um monômio com coeficiente não nulo. Exemplos: 3 2 a) P(x) = x + 3x - 7x + 6 4 Grau 3 (completo) b) Q(x) = x + 2x - 1 Grau 4 (incompleto) c) D(x) = x + 4 Grau 1 (completo) d) R(x) = -7 Grau 0 (completo)
  5. 5. VALOR NUMÉRICO É o resultado obtido quando substituímos a incógnita por uma constante qualquer e efetuamos os devidos cálculos. Observação: Indicamos o valor numérico do polinômio P(x) para x = a por P(a). Exemplo: 3 Sendo P(x) = x + 2x – 1, o seu valor numérico para x = 2 é: 3 P(2) = (2) + 2.(2) – 1 ... P(2) = 11 Denominaremos a como a raiz do polinômio, se o número complexo a for tal que P(a) = 0.
  6. 6. 3 2 02. O gráfico da função p(x) = x + (a + 3).x - 5x + b contém os pontos (-1;0) e (2;0). Sendo assim, o valor de p(0) é: a) 1 b) - 6 c) - 1 d) 6 e) 0
  7. 7. POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO É o polinômio que possui todos os coeficientes iguais a zero. n n-1 n-2 P(x) = 0 . x + 0 . x + 0 . x + ... + 0 . x + 0 Exercício: Para que valor(es) de a o polinômio P(x) = (a – 1). x + (a + 1). x é identicamente nulo? 2 2
  8. 8. POLINÔMIOS IDÊNTICOS Dois polinômios de mesmo grau P(x) e Q(x) são idênticos quando possuem todos os coeficientes de mesmo grau iguais. n n-1 n-2 P(x) = an . x + an-1 . x + an-2 . x + ... + a1 . x + a0 n n-1 n-2 Q(x) = bn . x + bn-1 . x + bn-2 . x + ... + b1 . x + b0 P(x) = Q(x) an = bn an-1 = bn-1 .. . a1 = b1 a0 = b0
  9. 9. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Consiste em efetuar os termos semelhantes, ou seja, adicionar e subtrair os termos de mesmo grau. Observação: Se P(x), Q(x) e (P+Q)(x) são polinômios não nulos, então o grau de (P+Q)(x) é menor ou igual ao maior dos graus entre P(X) e Q(x).
  10. 10. 2. MULTIPLICAÇÃO Consiste em aplicar normalmente a propriedade distributiva entre os termos dos polinômios em questão. Ex: Sendo P(x) = 3x + 1 e Q(x) = x 2 - 2x + 3, determine P(x) . Q(x). Observação: Se dois polinômios P(x) e Q(x) são não nulos, então o grau de (P.Q)(x) é igual à soma dos graus de P(X) e Q(x).
  11. 11. Exercício: 01. Sejam os polinômios f e g de graus 4 e 2, respectivamente. Se o polinômio f + g é não nulo, então seu grau sempre será: a) 8 b) 6 c) 4 d) um número par e) menor ou igual a 4
  12. 12. 3. DIVISÃO Sejam dois polinômios, P(x) como dividendo e D(x) como divisor, com D(x) = 0. Dividir P(x) por D(x) significa obter dois outros polinômios: Q(x) que é o quociente e R(x) que é o resto, tais que: P(x) R(x) D(x) Q(x) P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) Observação: Se dois polinômios P(x) e D(x) são não nulos, então o grau de (P/D)(x) é igual à diferença entre os graus de P(X) e D(x).
  13. 13. I. Método das chaves (algoritmo de Euclides) Esse método pode ser aplicado com divisores de qualquer grau. Trata-se do mesmo processo de divisão estudado no ensino infantil. 4 2 Exemplo: Dividir o polinômio P(x) = x + 3x - 3x – 1 por D(x) = x – 1. Observações: a) No método das chaves, é aconselhável que se complete os polinômios incompletos; b) A divisão termina quando o grau do resto for menor do que o grau do divisor.
  14. 14. II. Dispositivo prático de Briot-Ruffini Esse dispositivo só pode ser aplicado com divisores de 1º grau do tipo (x - a). Nesse dispositivo, é obrigatório completar os polinômios incompletos. Exemplo: 4 2 Dividir o polinômio P(x) = 2x - x + 2 por D(x) = x – 2.
  15. 15. TEOREMA DO RESTO O resto da divisão de um polinômio P(x) por (x - a) é igual a P(a). P(x) r x - a Q(x) P(x) = (x – a) . Q(x) + r P(a) = (a – a) . Q(a) + r P(a) = 0 . Q(a) + r P(a) = r
  16. 16. Exercício: 3 01. Obter o resto da divisão de P(x) = 2x + x – 9 por x – 2. 02. Se os polinômios P(x) = 2x + 9x + 3bx – (b - 9) e Q(x) = x 3 – bx + 7x - 3b, quando divididos por x – 1, fornecem restos iguais, então determine o valor de b. 3 2 2
  17. 17. TEOREMA DE D’ALEMBERT Um polinômio P(x) é divisível por (x - a) se, e somente se, P(a) = 0, ou seja, se a é raiz de P(x). P(x) 0 x - a Q(x) P(a) = 0 *Obs.: Se a é raiz de P(x), então P(a) = 0. Exercício: Determine o valor de m para que o polinômio 3 2 P(x) = x + 2x + mx – 6 seja divisível por x – 2.

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