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Aula 8

M¶ximos e m¶
 a         ³nimos

Nesta aula estaremos explorando procedimentos estrat¶gicos para determinar os valores
                                                    e
extremos de uma fun»~o f , ou seja, o valor m¶ximo e o valor m¶
                      ca                     a                 ³nimo de uma fun»~o
                                                                                 ca
f , em um intervalo I ½ R, sem recorrer a um esbo»o do gr¶¯co de f nesse intervalo.
                                                 c       a
     Um teorema da An¶lise Matem¶tica, conhecido na literatura como Teorema de
                          a     a
Weierstrass, nos garante:
(Teorema de Weierstrass) Se uma fun»~o f ¶ cont¶
                                            ca     e    ³nua em um intervalo fechado
[a; b] (sendo a e b n¶meros reais), ent~o existem pontos x0 e x1 em [a; b] tais que
                        u                a
f (x0 ) e f(x1 ) s~o, respectivamente, os valores m¶ximo e m¶
                  a                                 a       ³nimo de f (x), para x em
[a; b].
     Os pontos x0 e x1 aos quais se refere o teorema de Weierstrass s~o chamados
                                                                       a
ponto de m¶³nimo de f e ponto de m¶ximo de f , respectivamente. O teorema ¶ ilustrado
                                  a                                       e
na ¯gura 8.1.
Elucidando os conceitos aqui apresentados, sendo I ½ D(f) um intervalo (limitado ou
ilimitado), dizemos que

   1. f (x0 ) ¶ o valor m¶
              e          ³nimo de f (ou de f (x)) em I se

                             f (x0 ) · f (x), para todo x em I:

   2. f (x1 ) ¶ o valor m¶ximo de f (ou de f(x)) em I se
              e          a

                             f (x1 ) ¸ f (x), para todo x em I:
     Por exemplo, no intervalo I = [¡1; +1[, a fun»~o dada por f (x) = x2 tem um
                                                   ca
ponto de m¶³nimo x0 = 0, sendo f(0) = 0 seu valor m¶  ³nimo, pois x2 ¸ 0 para todo
x 2 I. Nesse intervalo, f n~o tem valor m¶ximo pois lim f (x) = +1.
                           a             a
                                                     x!+1




                                         69
Maximos e m¶
 ¶         ³nimos                                                                   70


                                    y


                                         y = f(x)




                           a            x0          x1   b   x



                             ³nua em [a; b], tem x0 e x1 como seus pontos de m¶
Figura 8.1. A fun»~o f , cont¶
                 ca                                                           ³nimo e
de m¶ximo, respectivamente.
     a

8.1     Estrat¶gias para determinar m¶ximos e m¶
              e                       a           ³nimos
        de uma fun»~o cont¶
                   ca       ³nua, em um intervalo
Como determinar os pontos de um intervalo fechado [a; b], onde uma fun»~o cont¶
                                                                          ca      ³nua
f atinge seus valores m¶ximo e m¶
                        a            ³nimo? Uma solu»~o deste problema seria esbo»ar o
                                                     ca                          c
gr¶¯co de f nesse intervalo, conforme as estrat¶gias desenvolvidas nas aulas 6 e 7, e
   a                                              e
ent~o localizar os valores extremos de f . Mas como determinar os valores m¶ximo e
     a                                                                         a
m¶³nimo de f , no intervalo [a; b], sem recorrer ao estudo do esbo»o de seu gr¶¯co? E
                                                                  c           a      ¶
isto que trataremos de responder.
Recapitulando um conceito introduzido na aula 6, diremos que x0 ¶ um ponto de
                                                                   e
 ³nimo local de f se existe um intervalo aberto I ½ D(f ), com x0 2 I, tal que
m¶

                          f (x0 ) · f(x), para todo x em I

E neste caso, f(x0 ) ¶ um valor m¶
                     e             ³nimo local de f.
Analogamente, diremos que x1 ¶ um ponto de m¶ximo local de f , e que f(x1 ) ¶ um
                                 e                 a                            e
valor m¶ximo local de f , se existe um intervalo aberto I ½ D(f), com x1 2 I, tal que
       a

                          f (x1 ) ¸ f(x), para todo x em I

Teorema 8.1 Se f tem derivada em um intervalo aberto I, e se x0 2 I ¶ ponto de
                                                                           e
                             0
m¶ ³nimo local de f , ent~o f (x0 ) = 0. Se x1 2 I ¶ ponto de m¶ximo local de f, ent~o
                         a                         e           a                    a
f 0 (x1 ) = 0.
Demonstra»~o. Mostraremos que f 0 (x0 ) = 0, usando a de¯ni»~o de derivada.
         ca                                                ca
      Tome ¢x 60, com x0 + ¢x 2 I.
              =
      Ent~o f(x0 ) · f (x0 + ¢x) e da¶ ¢f = f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 ) ¸ 0.
         a                           ³
                          ¢f                         ¢f
      Se ¢x > 0, temos       ¸ 0, e se ¢x < 0, temos    · 0.
                          ¢x                         ¢x
                            ¢f
      Temos f 0 (x0 ) = lim    .
                       ¢x!0 ¢x
Maximos e m¶
 ¶         ³nimos                                                                       71

                             ¢f          ¢f
      Neste caso, f 0 (x0 ) = lim +
                                = lim ¡     .
                       ¢x!0 ¢x    ¢x!0 ¢x

                ¢f        ¢f             ¢f         ¢f
      Mas lim +    = lim     ¸ 0 e lim ¡     = lim     · 0.
         ¢x!0 ¢x    ¢x!0 ¢x       ¢x!0 ¢x     ¢x!0 ¢x
                     ¢x>0                      ¢x<0

      Logo, f 0 (x0 ) ¸ 0 e f 0 (x0 ) · 0, e portanto f 0 (x0 ) = 0.
      Deixamos ao leitor a dedu»~o do resultado para pontos de m¶ximo locais.
                               ca                               a
Observemos que se x0 ¶ um ponto de m¶
                        e           ³nimo (absoluto) de f , ent~o x0 tem uma das
                                                               a
seguintes caracter¶
                  ³sticas:

 (i) x0 ¶ tamb¶m um ponto de m¶
        e      e                 ³nimo local de f , e f tem derivada em x0 . Neste
      caso, conforme o teorema 8.1, f 0 (x0 ) = 0.

         e              ³nimo local de f, mas f n~o tem derivada no ponto x0 .
 (ii) x0 ¶ um ponto de m¶                        a

 (iii) x0 ¶ um dos extremos do intervalo [a; b], ou seja, x0 = a ou x0 = b.
          e

Os casos (i), (ii) e (iii) s~o ilustrados na ¯gura 8.2.
                            a

    (i)                              (ii)                              (iii)




    a               x0   b           a             x0    b             a       x0 = b



                             Figura 8.2. Pontos de m¶
                                                    ³nimo t¶
                                                           ³picos.


    (i)                             (ii)                               (iii)




    a               x1   b           a             x1    b             a       x1 = b



                             Figura 8.3. Pontos de m¶ximo t¶
                                                    a      ³picos.
Maximos e m¶
 ¶         ³nimos                                                                    72


Analogamente, se x1 ¶ um ponto de m¶ximo de f , ent~o x1 tem uma das tr^s seguintes
                    e              a               a                   e
caracter¶
        ³sticas:

 (i) x1 ¶ tamb¶m um ponto de m¶ximo local de f , e f tem derivada em x1 . Neste
        e      e                 a
      caso, conforme o teorema 8.1, f 0 (x1 ) = 0.

 (ii) x1 ¶ um ponto de m¶ximo local de f , mas f n~o tem derivada no ponto x1 .
         e              a                         a

 (iii) x1 ¶ um dos extremos do intervalo [a; b], ou seja, x1 = a ou x1 = b.
          e

Esses casos s~o ilustrados na ¯gura 8.3.
             a

Um n¶mero real x ¶ chamado um ponto cr¶
     u           e                      ³tico de f quando f 0 (x) = 0 ou quando f
e     ³nua em x mas n~o existe f 0 (x).
¶ cont¶              a

Assim, um ponto de m¶ximo ou de m¶
                      a             ³nimo de uma fun»~o f, em um intervalo [a; b],
                                                     ca
             ³tico de f ou uma das extremidades do intervalo.
¶ um ponto cr¶
e

                                            ³nimo de f (x) = 2x3 + 3x2 ¡ 12x, no
Exemplo 8.1 Determinar os valores m¶ximo e m¶
                                   a
intervalo [¡3; 3].

Solu»~o. A fun»~o f ¶ cont¶
     ca         ca      e    ³nua no intervalo [¡3; 3]. Temos f 0 (x) = 6x2 + 6x ¡ 12 =
6(x + x ¡ 2). As solu»~es de f 0 (x) = 0 s~o x1 = ¡2 e x2 = 1. Estes s~o os pontos
    2
                          co                 a                              a
  ³ticos de f no intervalo [¡3; 3]. Calculando os valores de f nos extremos do intervalo
cr¶
e nos pontos cr¶³ticos, temos:
     f (x1 ) = f (¡2) = 20, f (x2 ) = f (1) = ¡7, f (¡3) = 9 e f(3) = 45.
      Assim sendo, por compara»~o dos valores obtidos, o ponto de m¶
                                 ca                                 ³nimo de f , para
¡3 · x · 3, ¶ xmin = x2 = 1, sendo f (1) = ¡7 o valor m¶
               e                                          ³nimo de f nesse intervalo.
J¶ o ponto de m¶ximo de f , para ¡3 · x · 3, ¶ xmax = 3, sendo f (3) = 45 o valor
 a                a                            e
m¶ximo de f nesse intervalo. Como ilustra»~o, temos um esbo»o do gr¶¯co de f , no
  a                                      ca                   c        a
intervalo [¡3; 3], na ¯gura 8.4.

                                                y
                                           45




                                                20


                                                9

                                                              x
                         -3    -2                    1    3
                                           -7



                                     Figura 8.4.
Maximos e m¶
 ¶         ³nimos                                                                             73

                                                                             p
                                                                               x2 ¢ (x ¡ 2)2 , no
                                                                             3
                                            ³nimo de f (x) =
Exemplo 8.2 Determinar os valores m¶ximo e m¶
                                   a
intervalo ¡1 · x · 1.

                                                                        4(2x2 ¡ 5x + 2)
    ca        ca    e     ³nua no intervalo [¡1; 1]. f 0 (x) =
Solu»~o. A fun»~o f ¶ cont¶                                                   p         .
                                                                             33x
     Temos f 0 (x) = 0 se e somente se x = 2 ou x = 1=2.
     Agora, 0 tamb¶m ¶ um ponto cr¶
                   e e                                             ³nua no ponto 0,
                                  ³tico de f , uma vez que f ¶ cont¶
                                                             e
mas n~o se de¯ne f 0 (0).
     a
     Assim, Como 2 6
                   2 [¡1; 1], os pontos cr¶
                                          ³ticos de f s~o x1 = 1=2 e x2 = 0.
                                                       a
     Calculando os valores de f nos extremos do intervalo e nos pontos cr¶
                                                                         ³ticos, temos:
                           9
                                       p
     f (x1 ) = f (1=2) = 4 p4 ¼ 1; 4 ( 3 4 ¼ 1; 6), f(0) = 0, f(¡1) = 9 e f (1) = 1.
                           3


     Portanto, f (0) = 0 ¶ o valor m¶
                         e          ³nimo de f , enquanto que f (¡1) = 9 ¶ seu valor
                                                                         e
m¶ximo.
 a
Quest~o Como determinar os pontos de um intervalo I ½ D(f ), nos quais f atinge
       a
seus valores m¶ximo e m¶
               a         ³nimo, se I ¶ um intervalo aberto ou ilimitado, e f ¶ cont¶
                                     e                                       e      ³nua
em I?
Neste caso, a resposta ¶:
                       e
Sendo f cont¶ ³nua em um intervalo I, comparamos os valores de f nos extremos que
efetivamente pertencem ao intervalo com os valores de f nos seus pontos cr¶ ³ticos desse
intervalo. Comparamos ainda esses valores com os limites de f (x) quando x tende a
extremos que n~o pertencem ao intervalo.
                a
     Como refor»o estrat¶gico na pesquisa de m¶ximos e m¶
                c       e                     a         ³nimos locais, temos tamb¶m
                                                                                 e
o seguinte teorema.

Teorema 8.2 Sendo f uma fun»~o cont¶
                                ca    ³nua, com f 0 tamb¶m cont¶
                                                        e      ³nua, em um in-
tervalo aberto I, e x0 um ponto de I,

   1. se f 0 (x0 ) = 0 e f 00 (x0 ) > 0, ent~o x0 ¶ um ponto de m¶
                                            a     e              ³nimo local de f ;

   2. se f 0 (x0 ) = 0 e f 00 (x0 ) < 0, ent~o x0 ¶ um ponto de m¶ximo local de f ;
                                            a     e              a


                                                         f '(x 0) = 0
                           f '(x 0) = 0                 f "(x0) < 0
                          f "(x 0) > 0



                                x0          x                 x0             x



                                          Figura 8.5.

     N~o faremos a demonstra»~o do teorema 8.2 aqui, mas faremos a seguinte obser-
       a                      ca
va»~o geom¶trica, que o torna intuitivamente obvio.
  ca      e                                  ¶
Maximos e m¶
 ¶         ³nimos                                                                          74


      Se f 0 (x0 ) = 0, a reta tangente ao gr¶¯co de f , em P = (x0 ; f (x0 )), ¶ horizontal.
                                             a                                  e
       Se, al¶m disso, f 00 (x0 ) > 0, temos a concavidade do gr¶¯co de f , em P , voltada
             e                                                   a
para cima, e assim x0 ¶ um ponto de m¶
                        e                  ³nimo local de f . Se f 00 (x0 ) < 0, a concavidade
do gr¶¯co de f , em P , ¶ voltada para baixo, e x0 ¶ ent~o um ponto de m¶ximo local
      a                     e                          e     a                      a
de f . Estas duas possibilidades s~o ilustradas na ¯gura 8.5.
                                     a

                                                                1
                                            ³nimo de f (x) = x + , para x > 0.
Exemplo 8.3 Determinar os valores m¶ximo e m¶
                                   a
                                                                x

Solu»~o. Estamos procurando os valores m¶ximo e m¶
    ca                                      a         ³nimo de f no intervalo ]0; +1[.
                    1
Temos f 0 (x) = 1 ¡ 2 , e portanto f 0 (x) = 0 (com x > 0) se e somente se x = 1.
                   x
                                1
      Agora, lim f (x) = 0 + + = +1 e lim f(x) = +1. Portanto, f n~o tem        a
              x!0+             0              x!+1
valor m¶ximo em ]0; +1[.
       a
                             2
      Temos ainda f 00 (x) = 3 e f 00 (1) > 0. Assim, x1 = 1 ¶ ponto de m¶
                                                              e           ³nimo local de
                            x
f . Como f n~o tem outros pontos cr¶
              a                         ³ticos, 1 ¶ o ponto de m¶
                                                  e             ³nimo global de f , sendo
f (1) = 2 o valor m¶
                   ³nimo de f no intervalo ]0; +1[.


8.2        Aplica»oes a problemas de otimiza»~o
                 c~                         ca
Exemplo 8.4 Qual ¶ a maior ¶rea retangular que pode ser cercada com 200 m de tela
                 e         a
de arame?

Solu»~o.
    ca
(Passo 1) Analisamos o problema, e desenhamos um diagrama incluindo toda a infor-
ma»~o. Introduzimos vari¶veis.
   ca                   a
      Fazemos isto na ¯gura 8.6

                                              y



                              x                               x



                                              y


                                     ³metro do ret^ngulo ¶ 2x + 2y.
                    Figura 8.6. O per¶            a      e

(Passo 2) Expressamos a quantidade a ser maximizada como uma fun»~o de uma
                                                                    ca
vari¶vel. Determinamos o dom¶ dessa fun»~o a partir das condi»~es do problema.
    a                       ³nio        ca                   co
Maximos e m¶
 ¶         ³nimos                                                                      75


     A ¶rea do ret^ngulo deve ser maximizada, sob a condi»~o de que o per¶
       a          a                                      ca              ³metro ¶
                                                                                e
200 m.
     Essa ¶rea ¶ dada por A = xy. Como y = 100 ¡ x, temos
          a    e

                                A = A(x) = x(100 ¡ x)

e, nas condi»~es do problema, temos 0 · x · 100.
            co
(Passo 3) Determinamos o ponto de m¶ximo e o valor m¶ximo da fun»~o, no intervalo
                                   a                a           ca
em que ela est¶ de¯nida.
              a
     Usando os procedimentos discutidos anteriormente, sendo A(x) = 100x ¡ x2 ,
temos A0 (x) = 100 ¡ 2x.
    A0 (x) = 0 se e somente se x = 50. Temos A(50) = 50 ¢ (100 ¡ 50) = 502 = 2500.
Temos ainda A(0) = A(100) = 0 (valor m¶ ³nimo da ¶rea).
                                                 a
      Assim, o valor m¶ximo de A(x) ¶ atingido quando x = 50 m. Assim, o ret^ngulo
                      a             e                                       a
      ³metro 200 m, com ¶rea m¶xima, ¶ um quadrado de 50 m de lado.
de per¶                  a     a      e

Exemplo 8.5 Uma grande caixa deve ser constru¶ cortando-se quadrados iguais dos
                                                    ³da
quatro cantos de uma folha retangular de zinco, de 3 m por 8 m, dobrando-se os quatro
lados (abas laterais) para cima e soldando-se as arestas verticais que ¯caram justapostas.
Encontre o maior volume poss¶ para esta caixa.
                               ³vel

Solu»~o.
    ca
(1) Um diagrama contendo todas as informa»~es do problema, bem como a introdu»~o
                                         co                                  ca
de uma vari¶vel, ¶ mostrado na ¯gura 8.7
           a     e

                  8 - 2x




                                     3 - 2x
                                                                             3 - 2x
                                                 x

                                                            8 - 2x
                                 x


                                      Figura 8.7.

(2) O volume da caixa da ¯gura 8.7 ¶ dado por
                                   e

                  V = V (x) = x(8 ¡ 2x)(3 ¡ 2x); para 0 · x · 3=2

(3) V 0 (x) = 0 se e somente se x = 2=3 ou x = 3 (esta ultima solu»~o est¶ descartada,
                                                       ¶          ca     a
pois 3 62 D(V )).
Maximos e m¶
 ¶         ³nimos                                                                                76


      ¶             ³tico de V ¶ 2=3. Nas extremidades do dom¶ temos V = 0.
    O unico ponto cr¶           e                                ³nio
Como V ¸ 0, o ponto cr¶
                      ³tico s¶ pode ser m¶ximo local, e portanto m¶ximo absoluto.
                             o           a                         a
     Assim, x = 2=3 ¶ ponto de m¶ximo de V , e as dimens~es da caixa de volume
                     e            a                        o
m¶ximo s~o 20=3, 5=3 e 2=3 m, tendo ela volume 200=27 m3 .
 a      a

Exemplo 8.6 Deseja-se construir uma lata cil¶ ³ndrica totalmente fechada, de volume v,
gastando-se, em sua confec»~o, a menor quantidade de material poss¶
                             ca                                      ³vel. Determine a
raz~o entre a altura e o di^metro dessa lata.
   a                       a

Solu»~o.
    ca
(1) Diagramas contendo todas as informa»oes do problema, bem como a introdu»~o de
                                       c~                                  ca
uma vari¶vel, est~o na ¯gura 8.8
        a        a

                      área do topo = π r 2

                                r
                                                    h         área da superfície
                                                              lateral = 2 π r h
                         v = πr2 h     h

                                                                     2πr
                                                        área da superfície externa total
                      área da base = π r 2              = π r2 + π r 2 + 2 π r h


                                                Figura 8.8.

(2) A superf¶ externa total da lata cil¶
            ³cie                       ³ndrica, ilustrada na ¯gura 8.8, ¶ dada por
                                                                        e

                                           S = 2¼r2 + 2¼rh
                                      v
Como ¼r2 h = v, temos h =                , e ent~o
                                                a
                                     ¼r2
                                                                    2v
                                       S = S(r) = 2¼r2 +
                                                                     r
sendo S(r) de¯nida somente para r > 0.
                      2v
(3) S 0 (r) = 4¼r ¡      .
                      r2
                                           r
         0                                      v
     S = 0 se e somente se r =             3
                                                                             ³tico de S no intervalo
                                                  , e este ¶ o unico ponto cr¶
                                                           e ¶
                                               2¼
r > 0.
     Temos tamb¶m que lim S(r) = +1 e lim S(r) = +1. Assim, S(r) n~o tem
               e                                                  a
                               r!0                         r!+1
valor m¶ximo, e seu unico ponto cr¶
       a            ¶             ³tico s¶ pode ser ponto de m¶
                                         o                    ³nimo local. Isto ¶
                                                                                e
                              00            4v
con¯rmado observando-se que S (r) = 4¼ + 3 > 0 para todo r > 0. Portanto, o
                                            r
Maximos e m¶
 ¶         ³nimos                                                                     77

                                                                                  r
                                                                               v
gr¶¯co de S = S(r) tem convavidade voltada para cima, o que con¯rma r =
  a                                                                               3

                                                                             2¼
como seu ponto de m¶                               ³nimo absoluto da fun»~o S.
                   ³nimo local, e tamb¶m ponto de m¶
                                      e                                 ca
               p
     Sendo r = 3 v=(2¼), temos

                        h   v              v                 v
                          = 3 =          µr        ¶3 =     ³ v ´ =2
                        r  ¼r                  v          ¼
                                          3
                                    ¼                        2¼
                                              2¼

      Portanto, h = 2r, ou seja, a altura da lata deve ser igual ao di^metro da base se
                                                                      a
quisermos minimizarmos o material a ser gasto em sua confec»~o.
                                                              ca
      Este ¶ o padr~o, ao menos aproximado, de algumas latas de conservas, tais como
           e       a
latas de creme de leite e de leite condensado. Por quest~es de praticidade, muitas latas
                                                        o
fogem deste padr~o, como por exemplo as latas de oleo comest¶
                 a                                  ¶           ³vel.


8.3     Problemas
Encontre os pontos de m¶ximo e de m¶
                         a              ³nimo, bem como os valores m¶ximo e m¶
                                                                    a        ³nimo,
das fun»~es dadas, nos intervalos indicados.
       co
               p
  1. f (x) =   3
                 x(x + 4), x 2 [¡4; 2]
                                                           p
      Resposta. xmin = ¡1, xmax = 2, f (¡1) = ¡3, f (2) = 6 3 2 ¼ 7; 6.

  2. f (x) = x2 + 2x ¡ 4, x 2 [¡2; 2].
      Resposta. xmin = ¡1, xmax = 2, f (¡1) = ¡5, f (2) = 4.
                x
  3. f (x) =        , x 2 R.
             1 + x2
      Resposta. xmin = ¡1, xmax = 1, f (¡1) = ¡1=2, f (1) = 1=2.
                x
  4. f (x) =        , x 6§1.
                        =
             1 ¡ x2
      Resposta. f n~o tem m¶ximo, nem m¶
                   a       a           ³nimo.

Resolva os seguintes problemas de otimiza»~o.
                                         ca

  1. Um recipiente de lata, de forma cil¶
                                        ³ndrica e aberto no topo, deve ter capacidade
     de v litros. Determine a raz~o entre a altura h e o di^metro d da base de modo
                                 a                         a
     que a quantidade de lata usada na sua fabrica»~o seja a menor poss¶
                                                   ca                    ³vel.
      Resposta. h = d=2.
Maximos e m¶
 ¶         ³nimos                                                                           78


  2. Um estudante quer construir um viveiro ret^ngular para seu hamster, usando a
                                                  a
     parede de um c^modo como um dos lados e cercando os demais tr^s lados com 3
                    o                                                   e
     metros de tela dispon¶
                          ³veis, obtendo a maior ¶rea retangular poss¶
                                                 a                   ³vel. Quais devem
     ser as dimens~es de seu viveiro?
                  o
     Resposta. O viveiro deve ter 1;5 m na frente e 0;75 m nos lados.

  3. Determinar as dimens~es de um cilindro, de volume m¶ximo, inscrito em uma
                         o                              a
     esfera de raio R.
     Sugest~o. Fa»a um desenho visualizando o cilindro de per¯l dentro da esfera. No
             a      c
     desenho, voc^ ter¶ um ret^ngulo dentro de um c¶
                   e a          a                    ³rculo. Demarque a altura h do
     cilindro, e di^metro da sua base, 2r. Demarque tamb¶m o raio R da esfera. Use
                   a                                      e
     o teorema de Pit¶goras obter rela»~es entre h e r. O volume do cilindro ¶ dado
                       a                co                                    e
     por V = (¶rea da base) ¢ (altura) = ¼r2 ¢ h.
                a
                                    q                             p
     Resposta. r = raio da base = 2 R. h = altura do cilindro = 2r.
                                       3

  4. Determinar as dimens~es de um cilindro, inscrito em uma esfera de raio R, cuja
                          o
     ¶rea da superf¶ externa total ¶ a m¶xima poss¶
     a             ³cie            e     a          ³vel.
                                 q p               q p
     Resposta. r = raio da base = 5+ 5 R, h = 2 5¡ 5 R.
                                      10               10

                2   2
  5. Na elipse x2 + y2 = 1, inscreva um ret^ngulo, de
               a    b
                                            a
                                                                   y
     ¶rea m¶xima, com dois de seus lados paralelos
     a      a                                                          (0,b)
     ao eixo x (e os outros dois paralelos ao eixo y).
     Sugest~o. Os quatro v¶rtices do ret^ngulo, to-
            a                e             a             (-a,0)                 (a,0)

     dos pertencentes µ elipse, ser~o pontos (x; y),
                        a           a                                                   x

     (¡x; y), (x; ¡y) e (¡x; ¡y).
                                                                       (0,-b)

                                              p    p
     Resposta. O ret^ngulo tem dimens~es
                    a                o         2a e 2b.

  6. Quer-se construir um tanque de a»o para armazenar g¶s propano, com a forma de
                                      c                   a
     um cilindro circular reto, com um hemisf¶rio (semi-esfera) em cada extremidade.
                                             e
     Se a capacidade desejada para o tanque ¶ 100 dec¶
                                              e         ³metros c¶bicos (litros), quais
                                                                 u
     as dimens~es que exigem a menor quantidade de a»o ? (Despreze a espessura das
               o                                      c
     paredes do tanque).
                                                   p
     Resposta. O tanque deve ser esf¶rico, de raio 3 75=¼ ¼ 2; 88 metros.
                                     e

  7. Qual ponto da par¶bola y = x2 + 1 est¶ mais pr¶ximo do ponto A = (3; 1) ?
                        a                   a        o
     Sugest~o. A dist^ncia de um ponto qualquer P = (x; y) ao ponto A ¶ dada por
           p a        a                                                  e
     d = (x ¡ 3)    2 + (y ¡ 1)2 . Se P ¶ um ponto da par¶bola, temos y = x2 + 1,
                                         e                 a
                  p
     e ent~o d = (x ¡ 3)
           a                2 + x4 . Como d ¸ 0, temos que d ter¶ seu valor m¶
                                                                 a            ³nimo
               2
     quando d assumir seu valor m¶   ³nimo. Assim, basta procurarmos o valor m¶
                                                                              ³nimo
     de f (x) = (x ¡ 3)2 + x4 . Resposta. (1; 2).

  8. Um veterin¶rio tem 100 m de tela de arame. Com isto deseja construir seis canis,
                a
     primeiro cercando uma regi~o retangular e depois subdividindo essa regi~o em seis
                               a                                            a
Maximos e m¶
 ¶         ³nimos                                                                         79


    ret^ngulos menores, atrav¶s de cinco cercas divis¶rias internas, paralelas a um
       a                        e                       o
    dos lados. Que dimens~es externas, dessa regi~o retangular, maximizam sua ¶rea
                             o                      a                           a
    total, se o veterin¶rio gasta os 100 m de tela nessa constru»~o ?
                       a                                        ca
    Resposta. 25 m por 50=7 ¼ 7; 14 m.

  9. Ao procurar o ponto da hip¶rbole x2 ¡ y 2 = 1 mais pr¶ximo da origem, Jo~ozinho
                               e                          o                  a
     raciocinou da seguinte maneira.
    pTemos que procurar, dentre os pontos da hip¶rbole, aquele para o qual d =
                                                  e
      x2 + y 2 tem valor m¶                       a ³nimo quando d2 for m¶
                          ³nimo. Como d ¸ 0, d ser¶ m¶                   ³nimo.
    Agora, sendo P = (x; y) um ponto da hip¶rbole, temos y = x ¡ 1, logo d2 =
                                            e             2    2

    x2 + y 2 = 2x2 ¡ 1.
    Procurando o valor m¶  ³nimo de d2 = f (x) = 2x2 ¡ 1, calculamos f 0 (x) = 4x.
    Temos f 0 (x) = 0 se e somente se x = 0. Para x = 0 por¶m, temos y 2 = 02 ¡ 1 =
                                                           e
    ¡1, uma impossibilidade. Logo, n~o h¶ nenhum ponto da hip¶rbole cuja dist^ncia
                                      a a                      e              a
    µ origem seja m¶
    a               ³nima.
    Explique o erro no racioc¶ de Jo~ozinho,
                             ³nio     a
                                                                y      x2 y2
    j¶ que um esbo»o da hip¶rbole (fa»a-o) re-
     a              c        e        c                                __ _ __
                                                                       a 2 b2
                                                                               =1
    vela que os pontos (§1; 0) s~o seus pontos
                                 a                                  (0,b)
    mais pr¶ximos da origem. Sugest~o. Para
           o                         a
    quais valores de x de¯ne-se d?                     (-a,0)                 (a,0)
                                                                                      x


                                                                    (0,-b)

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Máximos e mínimos de funções

  • 1. Aula 8 M¶ximos e m¶ a ³nimos Nesta aula estaremos explorando procedimentos estrat¶gicos para determinar os valores e extremos de uma fun»~o f , ou seja, o valor m¶ximo e o valor m¶ ca a ³nimo de uma fun»~o ca f , em um intervalo I ½ R, sem recorrer a um esbo»o do gr¶¯co de f nesse intervalo. c a Um teorema da An¶lise Matem¶tica, conhecido na literatura como Teorema de a a Weierstrass, nos garante: (Teorema de Weierstrass) Se uma fun»~o f ¶ cont¶ ca e ³nua em um intervalo fechado [a; b] (sendo a e b n¶meros reais), ent~o existem pontos x0 e x1 em [a; b] tais que u a f (x0 ) e f(x1 ) s~o, respectivamente, os valores m¶ximo e m¶ a a ³nimo de f (x), para x em [a; b]. Os pontos x0 e x1 aos quais se refere o teorema de Weierstrass s~o chamados a ponto de m¶³nimo de f e ponto de m¶ximo de f , respectivamente. O teorema ¶ ilustrado a e na ¯gura 8.1. Elucidando os conceitos aqui apresentados, sendo I ½ D(f) um intervalo (limitado ou ilimitado), dizemos que 1. f (x0 ) ¶ o valor m¶ e ³nimo de f (ou de f (x)) em I se f (x0 ) · f (x), para todo x em I: 2. f (x1 ) ¶ o valor m¶ximo de f (ou de f(x)) em I se e a f (x1 ) ¸ f (x), para todo x em I: Por exemplo, no intervalo I = [¡1; +1[, a fun»~o dada por f (x) = x2 tem um ca ponto de m¶³nimo x0 = 0, sendo f(0) = 0 seu valor m¶ ³nimo, pois x2 ¸ 0 para todo x 2 I. Nesse intervalo, f n~o tem valor m¶ximo pois lim f (x) = +1. a a x!+1 69
  • 2. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 70 y y = f(x) a x0 x1 b x ³nua em [a; b], tem x0 e x1 como seus pontos de m¶ Figura 8.1. A fun»~o f , cont¶ ca ³nimo e de m¶ximo, respectivamente. a 8.1 Estrat¶gias para determinar m¶ximos e m¶ e a ³nimos de uma fun»~o cont¶ ca ³nua, em um intervalo Como determinar os pontos de um intervalo fechado [a; b], onde uma fun»~o cont¶ ca ³nua f atinge seus valores m¶ximo e m¶ a ³nimo? Uma solu»~o deste problema seria esbo»ar o ca c gr¶¯co de f nesse intervalo, conforme as estrat¶gias desenvolvidas nas aulas 6 e 7, e a e ent~o localizar os valores extremos de f . Mas como determinar os valores m¶ximo e a a m¶³nimo de f , no intervalo [a; b], sem recorrer ao estudo do esbo»o de seu gr¶¯co? E c a ¶ isto que trataremos de responder. Recapitulando um conceito introduzido na aula 6, diremos que x0 ¶ um ponto de e ³nimo local de f se existe um intervalo aberto I ½ D(f ), com x0 2 I, tal que m¶ f (x0 ) · f(x), para todo x em I E neste caso, f(x0 ) ¶ um valor m¶ e ³nimo local de f. Analogamente, diremos que x1 ¶ um ponto de m¶ximo local de f , e que f(x1 ) ¶ um e a e valor m¶ximo local de f , se existe um intervalo aberto I ½ D(f), com x1 2 I, tal que a f (x1 ) ¸ f(x), para todo x em I Teorema 8.1 Se f tem derivada em um intervalo aberto I, e se x0 2 I ¶ ponto de e 0 m¶ ³nimo local de f , ent~o f (x0 ) = 0. Se x1 2 I ¶ ponto de m¶ximo local de f, ent~o a e a a f 0 (x1 ) = 0. Demonstra»~o. Mostraremos que f 0 (x0 ) = 0, usando a de¯ni»~o de derivada. ca ca Tome ¢x 60, com x0 + ¢x 2 I. = Ent~o f(x0 ) · f (x0 + ¢x) e da¶ ¢f = f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 ) ¸ 0. a ³ ¢f ¢f Se ¢x > 0, temos ¸ 0, e se ¢x < 0, temos · 0. ¢x ¢x ¢f Temos f 0 (x0 ) = lim . ¢x!0 ¢x
  • 3. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 71 ¢f ¢f Neste caso, f 0 (x0 ) = lim + = lim ¡ . ¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x ¢f ¢f ¢f ¢f Mas lim + = lim ¸ 0 e lim ¡ = lim · 0. ¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x ¢x>0 ¢x<0 Logo, f 0 (x0 ) ¸ 0 e f 0 (x0 ) · 0, e portanto f 0 (x0 ) = 0. Deixamos ao leitor a dedu»~o do resultado para pontos de m¶ximo locais. ca a Observemos que se x0 ¶ um ponto de m¶ e ³nimo (absoluto) de f , ent~o x0 tem uma das a seguintes caracter¶ ³sticas: (i) x0 ¶ tamb¶m um ponto de m¶ e e ³nimo local de f , e f tem derivada em x0 . Neste caso, conforme o teorema 8.1, f 0 (x0 ) = 0. e ³nimo local de f, mas f n~o tem derivada no ponto x0 . (ii) x0 ¶ um ponto de m¶ a (iii) x0 ¶ um dos extremos do intervalo [a; b], ou seja, x0 = a ou x0 = b. e Os casos (i), (ii) e (iii) s~o ilustrados na ¯gura 8.2. a (i) (ii) (iii) a x0 b a x0 b a x0 = b Figura 8.2. Pontos de m¶ ³nimo t¶ ³picos. (i) (ii) (iii) a x1 b a x1 b a x1 = b Figura 8.3. Pontos de m¶ximo t¶ a ³picos.
  • 4. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 72 Analogamente, se x1 ¶ um ponto de m¶ximo de f , ent~o x1 tem uma das tr^s seguintes e a a e caracter¶ ³sticas: (i) x1 ¶ tamb¶m um ponto de m¶ximo local de f , e f tem derivada em x1 . Neste e e a caso, conforme o teorema 8.1, f 0 (x1 ) = 0. (ii) x1 ¶ um ponto de m¶ximo local de f , mas f n~o tem derivada no ponto x1 . e a a (iii) x1 ¶ um dos extremos do intervalo [a; b], ou seja, x1 = a ou x1 = b. e Esses casos s~o ilustrados na ¯gura 8.3. a Um n¶mero real x ¶ chamado um ponto cr¶ u e ³tico de f quando f 0 (x) = 0 ou quando f e ³nua em x mas n~o existe f 0 (x). ¶ cont¶ a Assim, um ponto de m¶ximo ou de m¶ a ³nimo de uma fun»~o f, em um intervalo [a; b], ca ³tico de f ou uma das extremidades do intervalo. ¶ um ponto cr¶ e ³nimo de f (x) = 2x3 + 3x2 ¡ 12x, no Exemplo 8.1 Determinar os valores m¶ximo e m¶ a intervalo [¡3; 3]. Solu»~o. A fun»~o f ¶ cont¶ ca ca e ³nua no intervalo [¡3; 3]. Temos f 0 (x) = 6x2 + 6x ¡ 12 = 6(x + x ¡ 2). As solu»~es de f 0 (x) = 0 s~o x1 = ¡2 e x2 = 1. Estes s~o os pontos 2 co a a ³ticos de f no intervalo [¡3; 3]. Calculando os valores de f nos extremos do intervalo cr¶ e nos pontos cr¶³ticos, temos: f (x1 ) = f (¡2) = 20, f (x2 ) = f (1) = ¡7, f (¡3) = 9 e f(3) = 45. Assim sendo, por compara»~o dos valores obtidos, o ponto de m¶ ca ³nimo de f , para ¡3 · x · 3, ¶ xmin = x2 = 1, sendo f (1) = ¡7 o valor m¶ e ³nimo de f nesse intervalo. J¶ o ponto de m¶ximo de f , para ¡3 · x · 3, ¶ xmax = 3, sendo f (3) = 45 o valor a a e m¶ximo de f nesse intervalo. Como ilustra»~o, temos um esbo»o do gr¶¯co de f , no a ca c a intervalo [¡3; 3], na ¯gura 8.4. y 45 20 9 x -3 -2 1 3 -7 Figura 8.4.
  • 5. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 73 p x2 ¢ (x ¡ 2)2 , no 3 ³nimo de f (x) = Exemplo 8.2 Determinar os valores m¶ximo e m¶ a intervalo ¡1 · x · 1. 4(2x2 ¡ 5x + 2) ca ca e ³nua no intervalo [¡1; 1]. f 0 (x) = Solu»~o. A fun»~o f ¶ cont¶ p . 33x Temos f 0 (x) = 0 se e somente se x = 2 ou x = 1=2. Agora, 0 tamb¶m ¶ um ponto cr¶ e e ³nua no ponto 0, ³tico de f , uma vez que f ¶ cont¶ e mas n~o se de¯ne f 0 (0). a Assim, Como 2 6 2 [¡1; 1], os pontos cr¶ ³ticos de f s~o x1 = 1=2 e x2 = 0. a Calculando os valores de f nos extremos do intervalo e nos pontos cr¶ ³ticos, temos: 9 p f (x1 ) = f (1=2) = 4 p4 ¼ 1; 4 ( 3 4 ¼ 1; 6), f(0) = 0, f(¡1) = 9 e f (1) = 1. 3 Portanto, f (0) = 0 ¶ o valor m¶ e ³nimo de f , enquanto que f (¡1) = 9 ¶ seu valor e m¶ximo. a Quest~o Como determinar os pontos de um intervalo I ½ D(f ), nos quais f atinge a seus valores m¶ximo e m¶ a ³nimo, se I ¶ um intervalo aberto ou ilimitado, e f ¶ cont¶ e e ³nua em I? Neste caso, a resposta ¶: e Sendo f cont¶ ³nua em um intervalo I, comparamos os valores de f nos extremos que efetivamente pertencem ao intervalo com os valores de f nos seus pontos cr¶ ³ticos desse intervalo. Comparamos ainda esses valores com os limites de f (x) quando x tende a extremos que n~o pertencem ao intervalo. a Como refor»o estrat¶gico na pesquisa de m¶ximos e m¶ c e a ³nimos locais, temos tamb¶m e o seguinte teorema. Teorema 8.2 Sendo f uma fun»~o cont¶ ca ³nua, com f 0 tamb¶m cont¶ e ³nua, em um in- tervalo aberto I, e x0 um ponto de I, 1. se f 0 (x0 ) = 0 e f 00 (x0 ) > 0, ent~o x0 ¶ um ponto de m¶ a e ³nimo local de f ; 2. se f 0 (x0 ) = 0 e f 00 (x0 ) < 0, ent~o x0 ¶ um ponto de m¶ximo local de f ; a e a f '(x 0) = 0 f '(x 0) = 0 f "(x0) < 0 f "(x 0) > 0 x0 x x0 x Figura 8.5. N~o faremos a demonstra»~o do teorema 8.2 aqui, mas faremos a seguinte obser- a ca va»~o geom¶trica, que o torna intuitivamente obvio. ca e ¶
  • 6. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 74 Se f 0 (x0 ) = 0, a reta tangente ao gr¶¯co de f , em P = (x0 ; f (x0 )), ¶ horizontal. a e Se, al¶m disso, f 00 (x0 ) > 0, temos a concavidade do gr¶¯co de f , em P , voltada e a para cima, e assim x0 ¶ um ponto de m¶ e ³nimo local de f . Se f 00 (x0 ) < 0, a concavidade do gr¶¯co de f , em P , ¶ voltada para baixo, e x0 ¶ ent~o um ponto de m¶ximo local a e e a a de f . Estas duas possibilidades s~o ilustradas na ¯gura 8.5. a 1 ³nimo de f (x) = x + , para x > 0. Exemplo 8.3 Determinar os valores m¶ximo e m¶ a x Solu»~o. Estamos procurando os valores m¶ximo e m¶ ca a ³nimo de f no intervalo ]0; +1[. 1 Temos f 0 (x) = 1 ¡ 2 , e portanto f 0 (x) = 0 (com x > 0) se e somente se x = 1. x 1 Agora, lim f (x) = 0 + + = +1 e lim f(x) = +1. Portanto, f n~o tem a x!0+ 0 x!+1 valor m¶ximo em ]0; +1[. a 2 Temos ainda f 00 (x) = 3 e f 00 (1) > 0. Assim, x1 = 1 ¶ ponto de m¶ e ³nimo local de x f . Como f n~o tem outros pontos cr¶ a ³ticos, 1 ¶ o ponto de m¶ e ³nimo global de f , sendo f (1) = 2 o valor m¶ ³nimo de f no intervalo ]0; +1[. 8.2 Aplica»oes a problemas de otimiza»~o c~ ca Exemplo 8.4 Qual ¶ a maior ¶rea retangular que pode ser cercada com 200 m de tela e a de arame? Solu»~o. ca (Passo 1) Analisamos o problema, e desenhamos um diagrama incluindo toda a infor- ma»~o. Introduzimos vari¶veis. ca a Fazemos isto na ¯gura 8.6 y x x y ³metro do ret^ngulo ¶ 2x + 2y. Figura 8.6. O per¶ a e (Passo 2) Expressamos a quantidade a ser maximizada como uma fun»~o de uma ca vari¶vel. Determinamos o dom¶ dessa fun»~o a partir das condi»~es do problema. a ³nio ca co
  • 7. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 75 A ¶rea do ret^ngulo deve ser maximizada, sob a condi»~o de que o per¶ a a ca ³metro ¶ e 200 m. Essa ¶rea ¶ dada por A = xy. Como y = 100 ¡ x, temos a e A = A(x) = x(100 ¡ x) e, nas condi»~es do problema, temos 0 · x · 100. co (Passo 3) Determinamos o ponto de m¶ximo e o valor m¶ximo da fun»~o, no intervalo a a ca em que ela est¶ de¯nida. a Usando os procedimentos discutidos anteriormente, sendo A(x) = 100x ¡ x2 , temos A0 (x) = 100 ¡ 2x. A0 (x) = 0 se e somente se x = 50. Temos A(50) = 50 ¢ (100 ¡ 50) = 502 = 2500. Temos ainda A(0) = A(100) = 0 (valor m¶ ³nimo da ¶rea). a Assim, o valor m¶ximo de A(x) ¶ atingido quando x = 50 m. Assim, o ret^ngulo a e a ³metro 200 m, com ¶rea m¶xima, ¶ um quadrado de 50 m de lado. de per¶ a a e Exemplo 8.5 Uma grande caixa deve ser constru¶ cortando-se quadrados iguais dos ³da quatro cantos de uma folha retangular de zinco, de 3 m por 8 m, dobrando-se os quatro lados (abas laterais) para cima e soldando-se as arestas verticais que ¯caram justapostas. Encontre o maior volume poss¶ para esta caixa. ³vel Solu»~o. ca (1) Um diagrama contendo todas as informa»~es do problema, bem como a introdu»~o co ca de uma vari¶vel, ¶ mostrado na ¯gura 8.7 a e 8 - 2x 3 - 2x 3 - 2x x 8 - 2x x Figura 8.7. (2) O volume da caixa da ¯gura 8.7 ¶ dado por e V = V (x) = x(8 ¡ 2x)(3 ¡ 2x); para 0 · x · 3=2 (3) V 0 (x) = 0 se e somente se x = 2=3 ou x = 3 (esta ultima solu»~o est¶ descartada, ¶ ca a pois 3 62 D(V )).
  • 8. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 76 ¶ ³tico de V ¶ 2=3. Nas extremidades do dom¶ temos V = 0. O unico ponto cr¶ e ³nio Como V ¸ 0, o ponto cr¶ ³tico s¶ pode ser m¶ximo local, e portanto m¶ximo absoluto. o a a Assim, x = 2=3 ¶ ponto de m¶ximo de V , e as dimens~es da caixa de volume e a o m¶ximo s~o 20=3, 5=3 e 2=3 m, tendo ela volume 200=27 m3 . a a Exemplo 8.6 Deseja-se construir uma lata cil¶ ³ndrica totalmente fechada, de volume v, gastando-se, em sua confec»~o, a menor quantidade de material poss¶ ca ³vel. Determine a raz~o entre a altura e o di^metro dessa lata. a a Solu»~o. ca (1) Diagramas contendo todas as informa»oes do problema, bem como a introdu»~o de c~ ca uma vari¶vel, est~o na ¯gura 8.8 a a área do topo = π r 2 r h área da superfície lateral = 2 π r h v = πr2 h h 2πr área da superfície externa total área da base = π r 2 = π r2 + π r 2 + 2 π r h Figura 8.8. (2) A superf¶ externa total da lata cil¶ ³cie ³ndrica, ilustrada na ¯gura 8.8, ¶ dada por e S = 2¼r2 + 2¼rh v Como ¼r2 h = v, temos h = , e ent~o a ¼r2 2v S = S(r) = 2¼r2 + r sendo S(r) de¯nida somente para r > 0. 2v (3) S 0 (r) = 4¼r ¡ . r2 r 0 v S = 0 se e somente se r = 3 ³tico de S no intervalo , e este ¶ o unico ponto cr¶ e ¶ 2¼ r > 0. Temos tamb¶m que lim S(r) = +1 e lim S(r) = +1. Assim, S(r) n~o tem e a r!0 r!+1 valor m¶ximo, e seu unico ponto cr¶ a ¶ ³tico s¶ pode ser ponto de m¶ o ³nimo local. Isto ¶ e 00 4v con¯rmado observando-se que S (r) = 4¼ + 3 > 0 para todo r > 0. Portanto, o r
  • 9. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 77 r v gr¶¯co de S = S(r) tem convavidade voltada para cima, o que con¯rma r = a 3 2¼ como seu ponto de m¶ ³nimo absoluto da fun»~o S. ³nimo local, e tamb¶m ponto de m¶ e ca p Sendo r = 3 v=(2¼), temos h v v v = 3 = µr ¶3 = ³ v ´ =2 r ¼r v ¼ 3 ¼ 2¼ 2¼ Portanto, h = 2r, ou seja, a altura da lata deve ser igual ao di^metro da base se a quisermos minimizarmos o material a ser gasto em sua confec»~o. ca Este ¶ o padr~o, ao menos aproximado, de algumas latas de conservas, tais como e a latas de creme de leite e de leite condensado. Por quest~es de praticidade, muitas latas o fogem deste padr~o, como por exemplo as latas de oleo comest¶ a ¶ ³vel. 8.3 Problemas Encontre os pontos de m¶ximo e de m¶ a ³nimo, bem como os valores m¶ximo e m¶ a ³nimo, das fun»~es dadas, nos intervalos indicados. co p 1. f (x) = 3 x(x + 4), x 2 [¡4; 2] p Resposta. xmin = ¡1, xmax = 2, f (¡1) = ¡3, f (2) = 6 3 2 ¼ 7; 6. 2. f (x) = x2 + 2x ¡ 4, x 2 [¡2; 2]. Resposta. xmin = ¡1, xmax = 2, f (¡1) = ¡5, f (2) = 4. x 3. f (x) = , x 2 R. 1 + x2 Resposta. xmin = ¡1, xmax = 1, f (¡1) = ¡1=2, f (1) = 1=2. x 4. f (x) = , x 6§1. = 1 ¡ x2 Resposta. f n~o tem m¶ximo, nem m¶ a a ³nimo. Resolva os seguintes problemas de otimiza»~o. ca 1. Um recipiente de lata, de forma cil¶ ³ndrica e aberto no topo, deve ter capacidade de v litros. Determine a raz~o entre a altura h e o di^metro d da base de modo a a que a quantidade de lata usada na sua fabrica»~o seja a menor poss¶ ca ³vel. Resposta. h = d=2.
  • 10. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 78 2. Um estudante quer construir um viveiro ret^ngular para seu hamster, usando a a parede de um c^modo como um dos lados e cercando os demais tr^s lados com 3 o e metros de tela dispon¶ ³veis, obtendo a maior ¶rea retangular poss¶ a ³vel. Quais devem ser as dimens~es de seu viveiro? o Resposta. O viveiro deve ter 1;5 m na frente e 0;75 m nos lados. 3. Determinar as dimens~es de um cilindro, de volume m¶ximo, inscrito em uma o a esfera de raio R. Sugest~o. Fa»a um desenho visualizando o cilindro de per¯l dentro da esfera. No a c desenho, voc^ ter¶ um ret^ngulo dentro de um c¶ e a a ³rculo. Demarque a altura h do cilindro, e di^metro da sua base, 2r. Demarque tamb¶m o raio R da esfera. Use a e o teorema de Pit¶goras obter rela»~es entre h e r. O volume do cilindro ¶ dado a co e por V = (¶rea da base) ¢ (altura) = ¼r2 ¢ h. a q p Resposta. r = raio da base = 2 R. h = altura do cilindro = 2r. 3 4. Determinar as dimens~es de um cilindro, inscrito em uma esfera de raio R, cuja o ¶rea da superf¶ externa total ¶ a m¶xima poss¶ a ³cie e a ³vel. q p q p Resposta. r = raio da base = 5+ 5 R, h = 2 5¡ 5 R. 10 10 2 2 5. Na elipse x2 + y2 = 1, inscreva um ret^ngulo, de a b a y ¶rea m¶xima, com dois de seus lados paralelos a a (0,b) ao eixo x (e os outros dois paralelos ao eixo y). Sugest~o. Os quatro v¶rtices do ret^ngulo, to- a e a (-a,0) (a,0) dos pertencentes µ elipse, ser~o pontos (x; y), a a x (¡x; y), (x; ¡y) e (¡x; ¡y). (0,-b) p p Resposta. O ret^ngulo tem dimens~es a o 2a e 2b. 6. Quer-se construir um tanque de a»o para armazenar g¶s propano, com a forma de c a um cilindro circular reto, com um hemisf¶rio (semi-esfera) em cada extremidade. e Se a capacidade desejada para o tanque ¶ 100 dec¶ e ³metros c¶bicos (litros), quais u as dimens~es que exigem a menor quantidade de a»o ? (Despreze a espessura das o c paredes do tanque). p Resposta. O tanque deve ser esf¶rico, de raio 3 75=¼ ¼ 2; 88 metros. e 7. Qual ponto da par¶bola y = x2 + 1 est¶ mais pr¶ximo do ponto A = (3; 1) ? a a o Sugest~o. A dist^ncia de um ponto qualquer P = (x; y) ao ponto A ¶ dada por p a a e d = (x ¡ 3) 2 + (y ¡ 1)2 . Se P ¶ um ponto da par¶bola, temos y = x2 + 1, e a p e ent~o d = (x ¡ 3) a 2 + x4 . Como d ¸ 0, temos que d ter¶ seu valor m¶ a ³nimo 2 quando d assumir seu valor m¶ ³nimo. Assim, basta procurarmos o valor m¶ ³nimo de f (x) = (x ¡ 3)2 + x4 . Resposta. (1; 2). 8. Um veterin¶rio tem 100 m de tela de arame. Com isto deseja construir seis canis, a primeiro cercando uma regi~o retangular e depois subdividindo essa regi~o em seis a a
  • 11. Maximos e m¶ ¶ ³nimos 79 ret^ngulos menores, atrav¶s de cinco cercas divis¶rias internas, paralelas a um a e o dos lados. Que dimens~es externas, dessa regi~o retangular, maximizam sua ¶rea o a a total, se o veterin¶rio gasta os 100 m de tela nessa constru»~o ? a ca Resposta. 25 m por 50=7 ¼ 7; 14 m. 9. Ao procurar o ponto da hip¶rbole x2 ¡ y 2 = 1 mais pr¶ximo da origem, Jo~ozinho e o a raciocinou da seguinte maneira. pTemos que procurar, dentre os pontos da hip¶rbole, aquele para o qual d = e x2 + y 2 tem valor m¶ a ³nimo quando d2 for m¶ ³nimo. Como d ¸ 0, d ser¶ m¶ ³nimo. Agora, sendo P = (x; y) um ponto da hip¶rbole, temos y = x ¡ 1, logo d2 = e 2 2 x2 + y 2 = 2x2 ¡ 1. Procurando o valor m¶ ³nimo de d2 = f (x) = 2x2 ¡ 1, calculamos f 0 (x) = 4x. Temos f 0 (x) = 0 se e somente se x = 0. Para x = 0 por¶m, temos y 2 = 02 ¡ 1 = e ¡1, uma impossibilidade. Logo, n~o h¶ nenhum ponto da hip¶rbole cuja dist^ncia a a e a µ origem seja m¶ a ³nima. Explique o erro no racioc¶ de Jo~ozinho, ³nio a y x2 y2 j¶ que um esbo»o da hip¶rbole (fa»a-o) re- a c e c __ _ __ a 2 b2 =1 vela que os pontos (§1; 0) s~o seus pontos a (0,b) mais pr¶ximos da origem. Sugest~o. Para o a quais valores de x de¯ne-se d? (-a,0) (a,0) x (0,-b)