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Teorema de Bolzano

1) O documento discute o Teorema de Bolzano-Cauchy e sua aplicação para provar a existência de zeros, máximos e mínimos de funções contínuas em intervalos fechados. 2) Pede-se para justificar a existência de máximos e mínimos de uma função contínua em um intervalo fechado e mostrar a existência de um ponto onde a função é igual a zero ou a si mesma. 3) Aplica-se o teorema para mostrar a existência de um zero de uma função contínua entre dois pontos com valores

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Ficha de Trabalho 12.º Ano  Matemática A
Assunto: Teorema de BolzanoCauchy
Miguel Fernandes
1. Verique que a continuidade de uma dada função num intervalo fechado, ao invés de aberto, é um
requisito importante para a aplicação do Teorema de BolzanoCauchy.
2. Seja f : [a, b] −→ [a, b] uma função contínua (a  b).
(a) Justique que f admite um máximo e um mínimo.
(b) Pode concluir que existe x ∈ [a, b] tal que f (x) = 0 (nos pontos a e b, claramente, considerase a
respetiva derivada lateral)?
(c) Mostre que f admite um ponto xo, isto é, existe x ∈ [a, b] tal que f(x) = x.
3. Seja f : ]−2, 2[ −→ R uma função contínua e tal que f(−1) = 3 e f(1) = −2.
(a) Mostre que f admite um zero, isto é, existe x ∈ ]−2, 2[ tal que f(x) = 0.
(b) Mostre que f não possui necessariamente um máximo ou um mínimo.
4. Considere a função polinomial denida por f(x) = −x5
+ 3x2
+ 1. Encontre um intervalo de amplitude
0.5 que contenha uma raíz desse polinómio. (Sugestão: Comece por encontrar dois pontos a e b onde
f admita diferentes sinais. Divida sucessivamente o intervalo [a, b] e aplique, também sucessivamente, o
Teorema de BolzanoCauchy até obter o intervalo desejado).
5. Seja f : R −→ R uma função derivável tal que f (x)  0, para todo x ∈ R, e lim
x→−∞
f(x) = 0. Mostre
que f não admite zeros.
6. Mostre que o contradomínio de uma função contínua f denida em [a, b], a  b, não pode ser um conjunto
nito.
7. Seja f uma função contínua no intervalo [0, 2] e (un)n∈N [0, 2] uma sucessão tal que un → 0.
(a) Indique lim f(un).
(b) Justique que f(un) é uma sucessão limitada, em particular, f(un) admite máximo e mínimo.
8. Sejam f e g duas funções crescentes e contínuas num intervalo [a, b], a  b, com f(a) = g(a) e f(b) = g(b).
Mostre que se f tem um zero no intervalo [a, b], então necessariamente a função g também possui um
zero nesse intervalo.
9. Seja f : ]0, 1] uma função tal que f (1/n) = 1, se n ∈ N é um número par, e f (1/n) = −1, se n ∈ N é
um número ímpar.
(a) Dê um exemplo de uma função contínua, dita f, naquelas condições.
(b) Conclua que qualquer função contínua nas condições enunciadas tem uma innidade de zeros.

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ATIVIDADE 1 - TEORIAS DA ADMINISTRAÇÃO - 51/2024
 

Teorema de Bolzano

  • 1. Ginásios da Educação da Vinci Braga Ficha de Trabalho 12.º Ano Matemática A Assunto: Teorema de BolzanoCauchy Miguel Fernandes 1. Verique que a continuidade de uma dada função num intervalo fechado, ao invés de aberto, é um requisito importante para a aplicação do Teorema de BolzanoCauchy. 2. Seja f : [a, b] −→ [a, b] uma função contínua (a b). (a) Justique que f admite um máximo e um mínimo. (b) Pode concluir que existe x ∈ [a, b] tal que f (x) = 0 (nos pontos a e b, claramente, considerase a respetiva derivada lateral)? (c) Mostre que f admite um ponto xo, isto é, existe x ∈ [a, b] tal que f(x) = x. 3. Seja f : ]−2, 2[ −→ R uma função contínua e tal que f(−1) = 3 e f(1) = −2. (a) Mostre que f admite um zero, isto é, existe x ∈ ]−2, 2[ tal que f(x) = 0. (b) Mostre que f não possui necessariamente um máximo ou um mínimo. 4. Considere a função polinomial denida por f(x) = −x5 + 3x2 + 1. Encontre um intervalo de amplitude 0.5 que contenha uma raíz desse polinómio. (Sugestão: Comece por encontrar dois pontos a e b onde f admita diferentes sinais. Divida sucessivamente o intervalo [a, b] e aplique, também sucessivamente, o Teorema de BolzanoCauchy até obter o intervalo desejado). 5. Seja f : R −→ R uma função derivável tal que f (x) 0, para todo x ∈ R, e lim x→−∞ f(x) = 0. Mostre que f não admite zeros. 6. Mostre que o contradomínio de uma função contínua f denida em [a, b], a b, não pode ser um conjunto nito. 7. Seja f uma função contínua no intervalo [0, 2] e (un)n∈N [0, 2] uma sucessão tal que un → 0. (a) Indique lim f(un). (b) Justique que f(un) é uma sucessão limitada, em particular, f(un) admite máximo e mínimo. 8. Sejam f e g duas funções crescentes e contínuas num intervalo [a, b], a b, com f(a) = g(a) e f(b) = g(b). Mostre que se f tem um zero no intervalo [a, b], então necessariamente a função g também possui um zero nesse intervalo. 9. Seja f : ]0, 1] uma função tal que f (1/n) = 1, se n ∈ N é um número par, e f (1/n) = −1, se n ∈ N é um número ímpar. (a) Dê um exemplo de uma função contínua, dita f, naquelas condições. (b) Conclua que qualquer função contínua nas condições enunciadas tem uma innidade de zeros.