Aula 5- Profmat-Aplicacoes do mdc - Equacoes diofantinas - Expressoes binomias - Numeros de Fibonacci - 01 09-17

Equa¸cões Diofantinas Lineares
Expressões binômias
Números de Fibonacci
Aritmética - MA14
AULA 5 - APLICA¸CÕES DO MDC:
Equa¸cões Diofantinas Lineares, Expressões Binômias, Números de
Fibonacci
Aline de Lima Guedes Machado
PROFMAT - IME/UERJ
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
aline.guedes@ime.uerj.br
01 de Setembro de 2017
1 / 38

Sumário
1 Equa¸cões Diofantinas Lineares
2 Expressões binômias
3 Números de Fibonacci
2 / 38

Sum´ario
3 / 38

A resolu¸cão de vários problemas de aritmética recai na solu¸cão, em
números interios, de equa¸cões do tipo
aX + bY = c
com a, b, c ∈ Z valores conhecidos.
Já X, Y são também valores inteiros, mas são valores desconhecidos
chamados incógnitas.
Tais equa¸cões são chamadas de equa¸cões diofantinas lineares em
homenagem a Diofanto de Alexandria (aprox. 300d.C.).
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Nem sempre essas equa¸cões possuem solu¸cão. Por exemplo a equa-
¸cão
4X + 6Y = 3
não possui nenhuma solu¸cão x0, y0 em números inteiros, já que 4X +
6Y só gera números pares com X, Y ∈ Z.
Pergunta importante:
Em que condi¸cões tal equa¸cão aX + bY = c possui solu¸cões e,
caso as tenha, como determiná-las?
É o que vamos estudar a partir de agora!
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Equa¸cões Diofantinas Lineares: proposi¸cões
Proposi¸cão 1: Sejam a, b, c ∈ Z. A equa¸cão aX + bY = c admite
solu¸cão em números inteiros se, e somente se, (a, b)|c.
Demonstra¸cão:
IDA Se existe solu¸cão, então (x0, y0) é uma solu¸cão. Então ao
substituir na equa¸cão aX + bY = c encontramos c:
ax0 + by0 = c
Tem-se que:
(a, b)|a, (a, b)|b e por resultados anteirores, (a, b)|ax0 + by0,
logo (a, b)|c.
VOLTA:
Tem-se que (a, b)|c. Então existe e tal que c = e(a, b). Pelo
teorema do conjunto I, existem x, y ∈ Z tais que xa + yb = (a, b).
Assim: exa + eyb = e(a, b)
exa + eyb = c
a(ex) + b(ey) = c
Da´ı: X=ex, Y=eY é uma solu¸cão. 6 / 38

Corolário da Proposi¸cão 1:
Se (a, b) |c., então a equa¸cão aX + bY = c NÃO admite solu¸cão
em números inteiros!
Exemplos para análise de equa¸cões diofantinas, em busca de
solu¸cões inteiras:
a) 2X+16Y=234
b) 5X+15Y=33
c) 3X+5Y=543
d) 3X+5Y=12345678
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Exemplos
Exemplos:
Exemplos para análise de equa¸cões diofantinas, em busca de
solu¸cões inteiras:
a) 2X+16Y=234
(2, 16) = 2, 2|234. Possui solu¸cão.
b) 5X+15Y=33
(5, 15) = 5, 5 |33. Não possui solu¸cão.
c) 3X+5Y=543
(3, 5) = 1, 1|543. Possui solu¸cão SEMPRE.
d) 3X+5Y=12345678
(3, 5) = 1, 1|12345678. Possui solu¸cão SEMPRE.
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Corolário 2 da Proposi¸cão 1:
A equa¸cão aX + bY = c, com a = 0 ou b = 0 e (a, b)|c é
equivalente à equa¸cão
a
(a, b)
X +
b
(a, b)
Y =
c
(a, b)
.
Como a
(a,b) , b
(a,b) = 1, podemos nos restrigir às equa¸cões
aX + bY = c, (a, b) = 1
já que essas equa¸cões sempre tem solu¸cão (INFINITAS
SOLU¸CÕES). Isso seria o mesmo que ”simplicar”uma equa¸cão
diofantina pelo (a,b).
Exemplo: 4X+16Y=80. (4,16)=4. Simplificando: X+4Y=20.
Da´ı (1,4)=1 e 1|20. Logo tem solu¸cão. 9 / 38

Exemplo:4X+6Y=10.
Simplificando por (4,6)=2:
2X+3Y=5. Tem solu¸cão inteira. Vamos analisar as solu¸cões:
X Y
1 1
4 −1
7 −3
10 −5
... ...
x0 + 3t y0 − 2t
De modo geral, veremos que x = x0 + bt e y = y0 − at.
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Proposi¸cão 2: Seja x0, y0 uma solu¸cão da equa¸cão aX + bY = c,
onde (a, b) = 1. Então as solu¸cões x, y ∈ Z da equa¸cão são
x = x0 + tb, y = y0 − ta, t ∈ Z ou
x = x0 − tb, y = y0 + ta, t ∈ Z.
Demonstra¸cão: (considerando a = 0, b = 0)
Caso x = x0 + tb, y = y0 − ta, t ∈ Z (o outro caso é análogo):
Se a equa¸cão não tiver (a,b)=1, simplificar a equa¸cão de modo
que a X + b Y = c tenha (a , b ) = 1.
Se x, y são solu¸cões de aX + bY = c, então
: ax + by = ax0 + by0 = c. Assim:
a(x − x0) = b(y0 − y). Como (a,b)=1, então só temos que
b|(x − x0). Da´ı, existe t tal que x − x0 = tb. Substituindo acima ,
encontramos y = y0 − ta. Além disso,
ax + by = a(x0 + tb) + b(y0 − ta) = ax0 + by0 = c.
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Solu¸cão geral
Resultado da proposi¸cão anterior: A partir de uma solu¸cão parti-
cular (x0, y0) da equa¸cão aX + bY = c, pode-se encontrar qualquer
solu¸cão da equa¸cão fazendo a seguinte substitui¸cão:
x = x0 + tb, y = y0 − ta, t ∈ Z
.
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Exemplo:
De quantas maneiras ´e poss´ıvel comprar selos de R$10, 00 e
R$14, 00 gastando R$100, 00?
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Exemplo:
De quantas maneiras é poss´ıvel comprar selos de R$10, 00 e
R$14, 00 gastando R$100, 00?
10X+14Y=100
mdc(10,14)=2, 2|100. Existe solu¸cão inteira.
5X+7Y=50
Solu¸cão trivial (particular): x0 = 10, y0 = 0
x = 10 − 7t, t ∈ Z
y = 0 + 5t, t ∈ Z
t: 0 1 2 −1
x:10 3 −4 17
y: 0 5 10 −5
Logo, só temos duas maneiras para resolver o problema, as
solu¸cões não negativas: (10,0) e (3,5).
OBS: Esse problema foi feito por tentativas.
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Exemplo
Resolver a equa¸c˜ao 97X + 43Y = 1 nos inteiros.
Dif´ıcil resolver essa equa¸c˜ao por tentativas.
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Exemplo
Resolver a equa¸cão 97X + 43Y = 1 nos inteiros.
Estratégia: encontrar o mdc pelo Algoritmo de Euclides estendido:
2 3 1 1
97 43 11 10 10
11 10 1 0
97 = 2 · 43 + 11 → 97 − 2 · 43 = 11
43 = 3 · 11 + 10 → 43 − 3 · 11 = 10
11 = 1 · 10 + 1 → 11 − 1 · 10 = 1
Donde se segue que (fazendo as substitui¸cões de trás pra frente):
1 = 11 − 1 · (43 − 3 · 11) = −1 · 43 + 4 · 11=
= −1 · 43 + 4 · (97 − 2 · 43) = −9 · 43 + 4 · 97
Temos então, que:
x0 = 4; y0 = −9 → x = 4 − 43t, y = −9 + 97t, t ∈ Z.
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Exemplo
Se o problema fosse resolver a equa¸c˜ao 97X + 43Y = 3 nos
inteiros?
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Exemplo
Se o problema fosse resolver a equa¸cão 97X + 43Y = 3 nos
inteiros?
Usar o resultado anterior e multiplicar a última equa¸cão por 3.
1 = −9 · 43 + 4 · 97
3 = (−9 · 3) · 43 + (4 · 3) · 97
ou seja,
3 = −27 · 43 + 12 · 97
Da´ı:
x0 = 12; y0 = −27 → x = 12 − 43t, y = −27 + 97t, t ∈ Z.
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Equa¸cões Diofantinas Lineares em N ∪ {0}
Em algumas situa¸cões é necessário resolver em N ∪ {0} equa¸cões
diofantinas da forma aX + bY = c, onde a, b, c ∈ N.
Para responder às mesmas perguntas formuladas anteriormente para
essas equa¸cões, vamos precisar de novos resultados.
Proposi¸cão 3: Sejam a, b ∈ N, com (a, b) = 1. Todo número
inteiro c pode ser escrito de modo único na forma:
c = ma + nb, 0 ≤ m < b, n ∈ Z
Demonstra¸cão:
Existem u, v ∈ Z pelo conjunto I tais que ua + vb = (a, b) = 1.
Multiplicando por c, tem-se: auc + bvc = c.
Pela divisão euclidiana de uc por b, existem q, m ∈ Z, 0 ≤ m < b
tais que uc = qb + m. Substituindo esse valor de uc na igualdade
acima:
c = a(qb+m)+bvc = aqb+am+bvc = am+b(aq+vc) = am+bn
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Defini¸cão: Semigrupo gerado por a e b
S(a, b) é chamado de semigrupo gerado por a e b e é dado por:
S(a, b) = {xa + yb; x, y ∈ N ∪ {0}}.
Uma equa¸cão aX +bY = c, com (a, b) = 1 tem solu¸cão em N∪{0}
se, e somente se, c ∈ S(a, b).
Então é importante caracterizar esse conjunto S(a, b) ou então
o seu conjunto complementar, o conjunto Lacunas de S(a, b):
Defini¸cão: Conjunto Lacuna:
L(a, b) = N − S(a, b)
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Proposi¸cão 4: Caracteriza¸cão do conjunto S(a, b)
Tem-se que c ∈ S(a, b) se e somente se, existem
m, n ∈ N ∪ {0}, m < b, tais que c = ma + nb.
Corolário: Caracteriza¸cão do conjunto coluna L(a, b):
L(a, b) = {ma − nb ∈ N; m, n ∈ N, m < b}
Demonstra¸cão:
Suponha x ∈ L(a, b). Então x ∈ N e x ∈ S(a, b). Então
∃m, n ∈ N tais que x = ma + nb, m < b pela proposi¸cão 4.
Porém, pela proposi¸cão 3, existe n ∈ Z tal que
x = ma + n b, 0 ≤ m < b. Logo, n ∈ Z−. Tome n = −n . Então
n ∈ Z+. Substituindo: x = ma − nb, com m < b, n ∈ N.
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Teorema: solu¸cão de uma equa¸cão diofantina linear em N ∪ {0}
A equa¸cão aX + bY = c, onde (a, b) = 1 tem solu¸cão em número
naturais se e somente se,
c ∈ L(a, b) = {ma − nb ∈ N; m, n ∈ N, m < b}
Demonstra¸cão:
O conjunto L(a, b) é finito, já que por ser subconjunto de N
possui um menor elemento e, além disso, possui um maior
elemento: quando m = b − 1 e n = 1: maxL(a, b) = (b − 1)a − b.
Portanto, se c = (b − 1)a − b = ab − a − b + 1 − 1 =
b(a −1)−(a −1)−1 = (a −1)(b −1)−1, a equa¸cão aX +bY = c
não admite solu¸cão, já que c ainda pertence ao conjunto Lacuna.
Mas, utilizando c com valores a partir do sucessor dele, ou seja,
para c ≥ (a − 1)(b − 1) − 1 + 1 = (a − 1)(b − 1), a equa¸cão
sempre admitirá solu¸cões. 22 / 38

Defini¸cão: solu¸cão minimal
A única solu¸cão (m, n) da equa¸cão aX + bY = c, com m < b é
uma solu¸cão mininal se um outro par (x, y) também for solu¸cão
da equa¸cão e então x ≥ m. Sum
Proposi¸cão 5: solu¸cões a partir da solu¸cão minimal
Suponha que a equa¸cão aX + bY = c, (a, b) = 1 tenha solu¸cão e
seja x0 = m, y0 = n a solu¸cão minimal. As solu¸cões x, y da
equa¸cão são dadas pelas fórmulas
x = m + tb, y = n − ta, t ∈ N ∪ {0}, n − ta ≤ 0
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Exemplo: Quais os valores de c ∈ N a equa¸cão 11X + 7Y = c não
possui solu¸cão em N ∪ {0}?
c pertence ao conjunto lacunas de S(a, b):
L(a, b) = {ma − nb, m, n ∈ N, m < b} = {m11 − n7, m, n ∈
N, m < 7}
L(a, b) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 17, 19,
20, 23, 24, 26, 27, 30, 31, 34, 37, 38, 41, 45, 48, 52, 59}
Exemplo: Resolver a equa¸cão 11X + 7Y = 58 em N ∪ {0}.
58 não pertence ao conjunto de lacunas, então tem solu¸cão em
N ∪ {0}: 1 = 2 · 11 − 3 · 7
58 = (58 · 2) · 11 − (58 · 3) · 7. Mas não pode ser valor negativo.
Então rearrumar: 58 = (4 + 16 · 7) · 11 − 174 · 7 = 4 · 11 + 2 · 7
Da´ı: x0 = 4; y0 = −2 → x = 4 + 7t, y = 2 − 11t, t ∈ Z.
Só tem sentido para t = 0, logo esta solu¸cão particular é única.
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Sum´ario
25 / 38

Como calcular o mdc de pares de números da forma an ± bn, onde
a, b ∈ N, n ∈ N ∪ {0} e (a, b) = 1, mediante o uso do Algoritmo de
Euclides.
O resultado a seguir permite calcular o mdc de elementos de sequên-
cias de números naturais cujos elementos possuem propriedades arit-
méticas especiais.
Proposi¸cão: Dada uma sequência (an)n = (a0, a1, a2, ...) de
números naturais tal que a0 = 0 e ∀m ≥ n, (am, an) = (an, ar ),
onde r é o resto da divisao de m por n, então tem-se que
(am, an) = a(m,n)
Exemplificando:
(4, 3) = (3, 1) = 1, (4, 3) = a(4,3) = a1 = 1
(8, 4) = (4, 0) = 4, (8, 4) = a(8,4) = a4 = 4
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Proposi¸cão: Dada uma sequência (an)n = (a0, a1, a2, ...) de
números naturais tal que a0 = 0 e ∀m ≥ n, (am, an) = (an, ar ),
onde r é o resto da divisao de m por n, então tem-se que
(am, an) = a(m,n)
Demonstra¸cão:
Sejam r1, r2, ..., rs = 0 e rs+1 = 0 os restos parciais no Algoritmo
de Euclides aplicado sucessivamente ao par m, n. Logo,
rs = (m, n), já que é o último resto diferente de zero. Portanto,
pela propriedade da sequência (an)n:
(am, an) = (an, ar1) = (ar1, ar2) = ... = (ars, ars+1) = (ars, a0) =
= (ars, 0) = ars = (m, n)
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O uso da proposi¸cão anterior vai permitir prova o resultado a seguir:
Sejam a, b ∈ N, m, n ∈ N ∪ {0} e (a, b) = 1. Se d = (n, m) então
(am − bm, an − bn) = ad − bd
Demonstra¸cão:
Podemos supor m ≥ n. Pela divisão euclidiana de m por n, tem-se
m = nq + r, onde 0 ≤ r < n e q ∈ N ∪ {0}. Logo, substituindo:
am
− bm
= anq+r
− bnq+r
= anq
ar
+ ar
bnq
− ar
bnq
− bnq+r
= ar (anq − bnq) + ar bnq − bnq+r = ar (anq − bnq) + bnq(ar − br )
Como an − bn|anq − bnq, fazendo a substitui¸cão acima e pelo lema
fundamental temos:
(am − bm, an − bn) = (ar (anq − bnq) + bnq(ar − br ), an − bn)
= (bnq(ar − br ), an − bn)
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Sejam a, b ∈ N, m, n ∈ N ∪ {0} e (a, b) = 1. Se d = (n, m) então
(am − bm, an − bn) = ad − bd
Continua¸cão da demonstra¸cão:
Como (a, b) = 1, por exerc´ıcio anterior (an, bn) = 1. Pelo lema,
(an, bn) = (bn, an − bn) = 1. Como bn|bnq então
(bnq, an − bn) = 1. Então (am − bm, an − bn) = (ar − br , an − bn).
Pela proposi¸cão anterior, sejam r1, r2, ..., rs = 0 e rs+1 = 0 os
restos parciais no Algoritmo de Euclides aplicado sucessivamente
ao par m, n, então rs = (m, n) e assim temos:
(am − bm, an − bn) = (an − bn, ar1 − br1) = ... =
(ars − brs, ars+1 − br+1) = (ars − brs, 0) = ad − bd .
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Exemplos:
(318 − 218, 315 − 215) = 3(18,15) − 2(18,15) = 33 − 23 = 27 − 8 = 19.
(225 − 1, 220 − 1) = 225,20 − 1 = 25 − 1 = 32 − 1 = 31.
OBS: Outras expressões binômias interessantes estão descritas no
livro da disciplina.
30 / 38

Sum´ario
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A sequência de Fibonacci é a sequência (un) de números naturais
definida, por recorrência, pelas rela¸cões
un = un−1 + un−2, u1 = u2 = 1.
Os elementos da sequência de Fibonacci são chamados de números
de Fibonacci. Os primeiros números dessa sequência são:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
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Proposi¸cão: Dois termos consecutivos quaisquer da sequência de
Fibonacci são sempre coprimos: (un+1, un) = 1
Demonstra¸cão: Indu¸cão sobre n.
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Proposi¸cão: Dois termos consecutivos quaisquer da sequência de
Fibonacci são sempre coprimos: (un+1, un) = 1
Demonstra¸cão: Indu¸cão sobre n.
Base: n=1
De fato, p(1) = (u2, u1) = (1, 1) = 1.
Hipótese de indu¸cão: supor válido para n
p(n) = (un+1, un) = 1
Passo de indu¸cão: mostrar que p(n) → p(n + 1)
Quero mostrar que p(n + 1) = (un+2, un+1) = 1.
De fato, pelo lema: (un+2, un+1) = (un+2 − un+1, un+1). Pela
rela¸cão de recorrência: (un+2 − un+1, un+1) = (un, un+1) = 1,
pela hipótese.
Logo p(n) é válida ∀n ∈ N.
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Proposi¸cão (cap´ıtulo 2): Para todo par de números primos naturais
n e m, temos que: un+m = unum+1 + un−1um
Demonstra¸cão: Fixado n, usar por Indu¸cão completa em m.
Base: m=1
De fato, p(1) = un+1 = unu2 + un−1u1 = un.1 + un−1.1
Verdadeira pela rela¸cão de recorrência
Hipótese de indu¸cão: supor válido para todos os ´ındices
menores ou iguais a m
un+m = unum+1 + un−1um
un+m−1 = unum + un−1um−1 p(n) = (un+1, un) = 1
Passo de indu¸cão: mostrar un+m+1 = unum+2 + un−1um+1.
De fato, pela recorrência: un+m+1 = un+m + un+m−1
= (hipotese)unum+1 + un−1um + unum + un−1um−1 =
= un(um+1 + um) + un−1(um + um−1) = unum+2 + un−1um+1.
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Lema: Se m, n ∈ N são tais que m|n, então um|un
Demonstra¸cão: Como m|n, então existe k tal que n = mk.
Vamos demonstrar por indu¸cão sobre k.
Base: k=1
De fato, p(1) : un = umk = um. Logo um|un
Hipótese de indu¸cão: supor válido para algum k
p(k) : n = mk. Logo um|umk
Passo de indu¸cão: mostrar p(k) → p(k + 1) , ou seja que
p(k + 1)verdadeira : um|um(k+1). Mas um(k+1) = umk+m
De fato, pela proposi¸cão anterior: un+m = unum+1 + un−1um
Da´ı: um(k+1) = umk+m = umkum+1 + umk−1um Como um
divide a segunda parcela e pela hipótese um divide a primeira
parcela, um divide a soma e assim prova-se o resultado.
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Teorema: Seja (un)n a sequência de Fibonacci; então,
(um, un) = u(m,n).
Exemplificando: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
(u4, u8) = (3, 21) = 3 = u4 = u(4,8)
Corolário: Sejam m ≤ n > 2. Na sequência de Fibonacci temos
que un|um ↔ n|m.
Esse resultado permite estabelecer alguns critérios de divisibilidade
para os termos da sequência de Fibonacci. Exemplo:
a) Quais os termos da sequência de Fibonacci são divis´ıveis por 3?
Temos que u4 = 3. Então perguntar para que valores de m, 3|um é
o mesmo que para quais valores de m, u4|um.
Pelo corolário, un|um ↔ n|m. Então queremos m tais que 4|m, ou
seja, para valores de m tais que m = 4k, k ∈ N.
Assim: m=4,8,12,...: u4 = 3, u8 = 21, u12 = 144, ... 37 / 38

Exerc´ıcios:
1) Prove que: um é par se e somente se, m é divis´ıvel por 3
(6.18,a).
2) Calcule: (un, un+4).
(6.20,c)
3) Mostre que a sequência de Fibonacci satisfaz às seguintes
igualdades: (2.19)
a)u1 + u2 + ... + un = un+2 − 1
b)u1 + u3 + ... + u2n−1 = u2n
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