O documento discute aplicações do máximo divisor comum (MDC) em três tópicos: equações diofantinas lineares, expressões binômias e números de Fibonacci. Especificamente, apresenta proposições e métodos para calcular o MDC dessas expressões e determinar se equações diofantinas possuem soluções inteiras ou naturais.

1. Sumário
APLICAÇÕES DO MÁXIMO DIVISOR
COMUM
Luciana Santos da Silva Martino
lulismartino.blogspot.com.br
lulismartino@gmail.com
PROFMAT - Colégio Pedro II
14 de outubro de 2016

2. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
Sumário
1 Equações Diofantinas Lineares
2 Expressões Binômias
3 Números de Fibonacci

3. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
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1 Equações Diofantinas Lineares
2 Expressões Binômias
3 Números de Fibonacci

4. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
Equações Diofantinas Lineares
A resolução de vários problemas de aritmética recai na
solução, em números interios, de equações do tipo
aX + bY = Z
com a, b, c ∈ Z
Tais equações são chamadas de equações diofantinas lineares
em homenagem a Diofanto de Alexandria (aprox. 300d.C.)
Pergunta: Em que condições tal equação possui soluções e,
caso as tenha, como determiná-las?

5. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
Equações Diofantinas Lineares
Proposição 6.1: Sejam a, b, c ∈ Z. A equação aX + bY = c
admite solução em números inteiros se, e somente se, (a, b) | c
Proposição 6.2: Seja x0, y0 uma solução da equação
aX + bY = c, onde (a, b) = 1. Então as soluções x, y ∈ Z da
equação são
x = x0 + tb
y = y0 − ta , t ∈ Z

6. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
Equações Diofantinas Lineares
. método para encontrar uma solução particular de uma
equação do tipo aX + bY = c, quando (a, b) = 1
Exemplo 6.3: Resolvamos a equação 24X + 14Y = 18
Em algumas situações é necessário resolver em N ∪ {0}
equações diofantinas da forma aX + bY = c, onde a, b, c ∈ N.
Para responder às mesmas perguntas formuladas
anteriormente para essas equações, vamos precisar do
resultado a seguir
Proposição 6.4: Sejam a, b ∈ N, com (a, b) = 1. Todo número
inteiro c pode ser escrito de modo único da forma c = ma + nb,
com 0 ≤ m < b e n ∈ Z

7. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
Equações Diofantinas Lineares
Definição: Sejam a, b ∈ N. Definimos o conjunto
S(a, b) = {xa + yb; x, y ∈ N ∪ {0}
que é chamado de semigrupo gerado por a e b
A equação aX + bY = c, com (a, b) = 1, tem solução em
N ∪ {0} se, e somente se, c ∈ S(a, b)
Proposição 6.5: Tem-se que c ∈ S(a, b) se, e somente se,
existem m, n ∈ N ∪ {0}, com m < b (univocamente
determinados por c) tais que c = ma + nb

8. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
Equações Diofantinas Lineares
Definição: Definimos o conjunto lacunas de S(a, b) como sendo o conjunto
L (a, b) = N S(a, b)
Corolário 6.6: Temos que
L (a, b) = {ma − nb ∈ N; m, n ∈ N, m < b}
Teorema 6.7: A equação aX + bY = c, onde (a, b) = 1, tem solução em
números naturais se, e somente se,
c /∈ L (a, b) = {ma − nb ∈ N; m, n ∈ N, m < b}
Corolário 6.8: Sejam a, b ∈ N tais que (a, b) = 1. Tem-se que (a − 1)(b − 1)
é o menor inteiro tal que c ∈ S(a, b) para todo c ≥ (a − 1)(b − 1)

9. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
Equações Diofantinas Lineares
Definição: O número natural k = (a − 1)(b − 1) é cahmado de condutor de
S(a, b)
. O número k = (b − 1)a − b é a maior lacuna de S(a, b)
. Na prática, não é difícil determinar se a equação aX + bY = c admite
solução
. A única solução m, n da equação aX + bY = c, com m < b, é uma solução
minimal, no sentido de quebrase x, y é uma solução, então x ≥ m
Proposição 6.9: Suponhamos que a equação aX + bY = c, com (a, b) = 1,
tenha solução e seja x0 = m, y0 = n a solução minimal
As soluções x, y da equação são dadas pelas fórmulas
x = m + tb e y = n − ta, t ∈ N ∪ {0}, n − ta ≥ 0

10. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
Equações Diofantinas Lineares
Exemplo 6.10: Vamos determinar para quais valores de c ∈ N
a equação 11X + 7Y = c tem soluções em N ∪ {0}
Exemplo 6.11: Resolvamos a equação 11X + 7Y = 58

11. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
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1 Equações Diofantinas Lineares
2 Expressões Binômias
3 Números de Fibonacci

12. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
Expressões Binômias
Como calcular o mdc de pares de números da forma an ± bn,
onde a, b ∈ N, n ∈ N ∪ {0} e (a, b) = 1, mediante o uso do
Algoritmo de Euclides
Proposição 6.12: Dada uma sequência (an)n = (a0, a1, a2, ...)
de números naturais tal que a0 = 0 e ∀m ≥ n,
(am, an) = (an, ar ), onde r é o resto da divisão de m por n,
então tem-se que (am, an) = a(m,n)
Proposição 6.13: Sejam a, b ∈ N, m, n ∈ N ∪ {0} e (a, b) = 1.
Se d = (m, n), então
(am
− bm
, an
− bn
) = ad
− bd

13. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
Expressões Binômias
Para calcular (am ± bm, an ± bn) nos outros casos,
necessitaremos de alguns lemas
Lema 6.14: Sejam a, b ∈ N e m, n, q, r ∈ N ∪ {0} tais que
n = mq + r e (a, b) = 1, então
(an
+ bn
, am
− bm
) = (am
− bm
, ar
+ br
)
Lema 6.15: Sejam a, b ∈ N e m, n, q, r ∈ N ∪ {0} tais que
m = nq + r e (a, b) = 1, então
(am
− bm
, an
+ bn
) =
(an + bn, ar − br ), se q é par
(an + bn, ar + br ), se q é ímpar

14. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
Expressões Binômias
Lema 6.16: Sejam a, b ∈ N e m, n, q, r ∈ N ∪ {0} tais que
m = nq + r e (a, b) = 1, então
(am
+ bm
, an
+ bn
) =
(an + bn, ar + br ), se q é par
(an + bn, ar − br ), se q é ímpar
Corolário 6.17: Sejam a, b, n, m ∈ N com (a, b) = 1, n | m e m
n
par. Tem-se que
(am
+ bm
, an
+ bn
) =
1, se a e b têm paridades distintas
2, se a e b são ambos ímpares

15. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
Expressões Binômias
Exemplo 6.18: Se n = m, então
a) (22n
+ 1, 22m
+ 1) = 1
b) (22n
+ 32n
, 22m
+ 32m
) = 1
c) (32n
+ 52n
, 32m
+ 52m
) = 2
Teorema 6.19: Sejam a, b ∈ N com (a, b) = 1, e n, m ∈ N ∪ {0}. Se
d = (m, n), então
(am
− bm
, an
− bn
) = ad
− bd
(am
± bm
, an
+ bn
) ∈ {1, 2, ad
+ bd
}
Exemplo 6.20: Note que 22
− 1 | 23
+ 1. Vamos mostrar que, dados
n, m ∈ N, com m > 2, então 2m
− 1 2n
+ 1

16. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
Expressões Binômias
Os seguintes dois Corolários do Teorema 6.19 permitir-nos-ão determinar os
números (am
± bm
, an
+ bn
), com (a, b) = 1, em todos os casos
Corolário 6.21: Sejam a, b ∈ N com (a, b) = 1, e n, m ∈ N ∪ {0}. Se
d = (n, m) então
(am
+ bm
, an
+ bn
) =



ad
+ bd
, se mn
d2 é ímpar
2, se mn
d2 é par e ab é ímpar
1, se mn
d2 é par e ab é par
Corolário 6.21: Sejam a, b ∈ N com (a, b) = 1, e n, m ∈ N ∪ {0}. Se
d = (n, m) então
(am
− bm
, an
+ bn
) =



ad
+ bd
, se m
d
é par
2, se m
d
e ab são ímpares
1, se m
d
é ímpar e ab é par

17. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
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1 Equações Diofantinas Lineares
2 Expressões Binômias
3 Números de Fibonacci

18. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
Números de Fibonacci
Tais números são termos da sequência (un) definida recursivamente por
un+2 = un+1 + un, com u1 = u2 = 1
Lema 6.23: Dois termos consecutivos da sequência de Fibonacci são
coprimos
Lema 6.24: Se m, n ∈ N são tais que m | n, então um | un
Teorema 6.25: Seja (un)n a sequência de Fibonacci. Então (um, un) = u(m,n)
Teorema 6.26: Sejam m ≥ n > 2. Na sequência de Fibonacci temos que un
divide um se, e somente se, n divide m
Exemplo 6.27: O resultado acima nos permite estabelecer alguns critérios
de divisibilidade para os termos da sequência de Fibonacci que
descrevemos a seguir

19. Equações Diofantinas Lineares Expressões Binômias Números de Fibonacci
Outro Jogo
Um jogo, jogado por duas pessoas, consiste de um tablete de
chocolate dividido em 6x10 quadradinhos separados por
sulcos.
Cada jogador, na sua vez, quebra a barra de chocolate numa
horizontal ou numa vertical ao longo de todo um sulco e come
uma das partes. O jogo prossegue com a parte restante até
que um dos jogadores é obrigado a comer o último
quadradinho que restar, perdendo o jogo