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Prof. Roberto Cristóvão
robertocristovao@gmail.com
Aula 18
Séries de Taylor e de Maclaurin
Série de Taylor e de Maclaurin
Se tiver uma representação (expansão)
em série de potências em isto é, se
então seus coeficientes são dados pela
fórmula
Série de Taylor
Substituindo essa fórmula para de volta
na série, então teremos a chamada série
de Taylor da função em (ou em
torno de ou centrada em )
Série de Maclaurin
Para o caso especial , a série de
Taylor torna-se
e recebe o nome especial de série de
Maclaurin
Exemplo 1
Encontre a série de Maclaurin da função
e seu raio de convergência.
Solução: Se então
Assim para todo
Logo a série de Maclaurin é
Exemplo 1
Fazendo temos
Pelo Teste da Razão a série converge para
todo , e o raio de convegência é
Investigação
Sob quais circunstâncias uma função é igual
à soma de sua série Taylor?
Em outras palavras, se tiver derivadas de
todas as ordens, quando é verdade que
Polinômio de Taylor de grau n
é o limite da sequência das somas
parciais. No caso da série de Taylor, as
somas parciais são:
é chamado polinômio de Taylor de
grau de em
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Para os polinômios de Taylor em
0 com e 3 são
Teste de Comparação no LimiteGraficamente
Teorema
Se , onde é um
polinômio de Taylor de grau de em
e
para , então é igual à soma
de uma série de Taylor no intervalo
Exemplo 3
Encontre a série de Taylor de em
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Exemplo 4
Encontre a série de Maclaurin para senx.
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Encontre a série de Maclaurin para cosx.
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Série Binomial
Se é um número real e , então
Exemplo 9
Encontre a série de Maclaurin para afunção
e seu raio de convergência.
Solução
Série binomial com . Substituindo por :
Solução
A série converge para , ou seja, .
Portanto o raio de convergência é
Tabela
Exemplo 10
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