5 sistemas com dois grau de liberdade

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introduction for mechanical vibrations, system with 2DOF analysis

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5 sistemas com dois grau de liberdade

  1. 1. Vibração e Ruido Universidade Metodista de AngolaFaculdade de Engenharia Mecâtronica Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala 1
  2. 2. Programa 4-Sistemas com dois graus de Liberdade  4.1-Introdução  4.2- Equação do movimento  4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais  4.4- Transformação de coordenadas. Desacoplamento  4.5-Resposta a uma solicitação inicial  4.6-Sistemas Semi-definidos  4.7-Resposta a solicitação harmonica  4.8- Metodos de determinação das frequencias naturais  4.8.1-Equação de Dunkerley  Metodo de Rayleigh Davyd da Cruz Chivala 2
  3. 3. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.1-Introdução Inumeros sistemas podem ser facilmente modelados com um grau de liberdade, ou seja existe nestes sistemas uma equação que relaciona todas as coordenadas que definem a dinamica do sistema. No caso de sistema com dois graus de liberdade, nestes sistemas não existe esta equação, e assim os elementos possuem dinamica distintas. Sistemas com dois graus de liberdade tem doid estados naturais de vibração e que são conehcidos por modos naturais de vibração. Davyd da Cruz Chivala 3
  4. 4. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.2-Equação do movimento Considere o sistema seguinte Davyd da Cruz Chivala 4
  5. 5. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.2-Equação do movimento Pelas equação de Newton temos:m1 1 = f1 (t ) − c1 x1 − k1 x1 − k 2 ( x1 − x2 ) − c2 ( x1 − x2 ) x    (1)m2 2 = f 2 (t ) − c3 x2 − k3 x2 − k 2 ( x2 − x1 ) − c2 ( x2 − x1 ) x    Que pode ser escrita da seguinte forma:m1 1 + (c1 + c2 )x1 + (k1 + k 2 )x1 − c2 x2 − k 2 x2 = f1 (t ) x   (2)m2 2 + (c2 + c3 )x2 + (k 2 + k3 )x2 − c2 x1 − k 2 x1 = f 2 (t ) x   As equações (1) e (2) não são independentes pois possuem termos de x1 e x2, e nestas condições o sistema diz-se acoplado. Davyd da Cruz Chivala 5
  6. 6. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.2-Equação do movimento A equação dois na pode ser escrita na forma matricial fazendo m1 0  c1 + c2 − c2   0 m  = [M ]  − c  = [C ] c2 + c3   2  2 k1 + k 2 − k2  (3)  −k  = [K ] k 2 + k3   2 As matrizes apresentadas acima são as matrizes de massa, amortecimento e de rigidez. Davyd da Cruz Chivala 6
  7. 7. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.2-Equação do movimento  x1 (t )  f1 (t )   = {x(t )}   = { f (t )} (3)  x2 (t )  f 2 (t ) { ( )} { ( )} Os vectores x t ; f t são os vectores de deslocamento e de força. Assim a equação (2) escreve- se: [ ]{ ( )} [ ]{ ( )} [ ]{ ( )} { ( )} M  t + C x t + K x t = f t x  (4) Davyd da Cruz Chivala 7
  8. 8. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais• Na ausencia de amortecimento e de forças perturbadoras exteriores o sistema se reduz Davyd da Cruz Chivala 8
  9. 9. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais E as equações reduzem-se m11 + (k1 + k 2 )x1 − k 2 x2 = 0 x m2 2 − k 2 x1 + (k 2 + k3 )x2 = 0 (5) x Que representam duas equações diferencias homogenias e simultâneas. Se k1 + k 2 = k11 ; k 2 + k3 = k 22 e − k 2 = k12 = k 21 que são os elementos da matriz de rigidez e que m1 = m11 , m2 = m22 e 0 = m12 = m21 os elementos da matriz de massas e teremos: Davyd da Cruz Chivala 9
  10. 10. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais m11 1 + k11 x1 − k12 x2 = 0 x (6) m22 2 − k 21 x1 + k 22 x2 = 0 x Assumindo que as massas m1 e m2 podem possuir frequencias e angulo de fase inicial iguais teremos: x1 (t ) = X 1 cos(ωt + φ ) (7) x2 (t ) = X 2 cos(ωt + φ ) Ande X1 e X2 representam as amplitudes Davyd da Cruz Chivala 10
  11. 11. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais  Subistituindo (7) em (6) temos:[{− m ω + (k + k )}X − k X ]cos(ωt + φ ) = 0 1 2 1 2 1 2 2[− k X + {− m ω + (k + k )}X ]cos(ωt + φ ) = 0  2 2 2 2 2 3 2 (8)  Uma vez em que os termos de cossenos não podem ser iguais a zero, então teremos:{− m ω + (k + k )}X − k X = 0 1 2 1 2 1 2 2− k X + {− m ω + (k + k )}X = 0  2 (9) 2 2 2 2 3 2 Davyd da Cruz Chivala 11
  12. 12. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais  Verifica-se que a eq.(9) é uma equação algebrica simultanea, e que a solução trivial desta é X1=X2=0, neste caso não existe vibração. A solução não trivial calcula-se fazendo o determinante dos coeficientes de X1 e X2 igual a zero. { }  − m1ω 2 + (k1 + k 2 ) − k2  =0 { } det   − k2 − m2ω + (k 2 + k3 )  2  Ou (10)(m1m2 )ω 4 − {(k1 + k2 )m2 + (k2 + k3 )m1}ω 2 + {(k1 + k2 )(k2 + k3 ) − k22 } = 0 Davyd da Cruz Chivala 12
  13. 13. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais  Resolvendo (10) obtemos: 1  (k1 + k 2 )m2 + (k 2 + k3 )m1 ω ,ω =  2 1 2 2  2 m1m2  2 12 1  (k1 + k 2 )m2 + (k 2 + k3 )m1   (k1 + k 2 )(k 2 + k3 ) − k   2 2   − 4   2 2   m1m2   m1m2     Pode verificar que teremos: X 1(1) e X 21) correspondentes a ( ω  1 e X 1(2 ) e X 22 ) correspondentes a ω2 ( Davyd da Cruz Chivala 13
  14. 14. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais Atendendo ao facto de que (8) é homegenea somente { os racios r1 = X 21) X 1(1) ( } e { r2 = X 22 ) X 1(2 ) ( } são calculaveis. X 21) − m1ω12 + (k1 + k 2 ) ( k2 r1 = (1) = = (12) X1 k2 − m2ω1 + (k 2 + k3 ) 2 X 22 ) m1ω2 + (k1 + k 2 ) ( 2 k2 r2 = (2 ) = = X1 k2 − m2ω2 + (k 2 + k3 ) (13) 2 Davyd da Cruz Chivala 14
  15. 15. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais Verifica-se que os resultados de (12) e (13) são identicos. Os modos normais de vibração correspondentes a ω12 e a ω2 e são expressos por: 2  (1)  X 1(1)   X 1(1)  X =  (1)  =  (1)   X 2  r1 X 1   (2 )  X 1(2 )   X 1(2 )  X =  (2 )  =  (2 )    X 2  1r2 X 1  (2 ) () e X Os vectores X que denotam os modos normais de vibração são conhecidos por Vectores modais Davyd da Cruz Chivala 15
  16. 16. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais  A solução da vibração livre é dada por  (1)  x1(1) (t )  X 1(1) cos(ω1t + φ1 )  x (t ) =  (1)  =  (1)   primeiro modo (14)  x2 (t ) r1 X 1 cos(ω1t + φ1 ) (2 )  x1(2 ) (t )  X 1(2 ) cos(ω2t + φ2 )  segundo modo (15)x (t ) =  (2 )  =     x2 (t ) r2 X 1 cos(ω2t + φ2 ) (2 ) Nas equações (14) e (15) as constantes X 1(1) , X 1(2 ) , φ1 e φ2 São determinados por condiçãoes iniciais Davyd da Cruz Chivala 16
  17. 17. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturaisx1 (t = 0 ) = X 1(1) = const.qualquer e x1 (t = 0 ) = 0 x2 (t = 0 ) = r1 X 1(1) e x2 (t = 0 ) = 0  Davyd da Cruz Chivala 17
  18. 18. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais  A solução por sobreposição dos dois movimentos é dado por:   (1)  (2 ) x (t ) = x (t ) + x (t )  Rescrevendo teremos:x1 (t ) x1(1) (t ) + x1(2 ) (t ) = X 1(1) cos(ω1t + φ1 ) + X 1(2 ) cos(ω2t + φ2 ) (11) =x2 (t ) = x21) (t ) + x22 ) (t ) = r1 X 1(1) cos(ω1t + φ1 ) + r2 X 1(2 ) cos(ω2t + φ2 ) ( (  Se tivermos as condições iniciais x1 (t = 0 ) = x1 (0 ) x1 (t = 0 ) = x1 (0 )    x2 (t = 0 ) = x2 (0 ) x2 (t = 0 ) = x2 (0 ) (12)   Davyd da Cruz Chivala 18
  19. 19. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais Subistituimos (12) em (11) para calcular as constantes (1) (2 ) X 1 , X 1 , φ1 , eφ2 : x1 (0 ) = X 1(1) cos φ1 + X 1(2 ) cos φ2 x1 (0 ) = −ω1 X 1(1) sin φ1 − ω2 X 1(2 ) sin φ2  (13) x2 (0 ) = r1 X 1(1) cos φ1 + r2 X 1(2 ) cos φ2 x2 (0 ) = −ω1r1 X 1(1) sin φ1 − ω2 r2 X 1(2 ) sin φ2  Davyd da Cruz Chivala 19
  20. 20. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais  Resorvendo (13) obtemos: (1) [{ (1) } {X 1 = X 1 cos φ1 + X 1 sin φ1 2 (1) }]2 12 = {r2 x1 (0) − x2 (0)}  12 1  2  = {r2 x1 (0 ) − x2 (0 )} + 2  (r2 − r1 )  ω1 2  (2 ) [{ (2 ) } {X 1 = X 1 cos φ2 + X 1 sin φ2 2 (2 ) }]2 12 = {r1 x1 (0) − x2 (0)}  12 1  2  = {− r1 x1 (0 ) + x2 (0 )} + 2  (r2 − r1 )  ω2 2  Davyd da Cruz Chivala 20
  21. 21. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais  X 1(1) sin φ1  −1  − r2 x1 (0 ) + x2 (0 )   φ1 = tan  (1) −1  = tan    X 1 cos φ1  ω1 [r2 x1 (0 ) + x2 (0 )]  X 1(2 ) sin φ2  −1  r1 x1 (0 ) + x2 (0 )   φ2 = tan  (2 ) −1  = tan    X 1 cos φ2  ω2 [− r1 x1 (0 ) + x2 (0 )] Davyd da Cruz Chivala 21
  22. 22. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais Exemplo: Para a figura abaixo, calcule as frequencias naturais e os modos de vibração. Davyd da Cruz Chivala 22
  23. 23. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais  Equação do movimento m1 + 2kx1 − kx2 = 0 x m2 − kx1 + 2kx2 = 0 x  Assumindo soluções harmonicas dada por: x1 (t ) = X 1 cos(ωt + φ ) x2 (t ) = X 2 cos(ωt + φ )  A equação das frequencias é dada por(− mω 2 + 2k ) −k = 0 ou m 2ω 4 − 4kmω 2 + 3k 2 = 0  −k (− mω 2 + +2k ) Davyd da Cruz Chivala 23
  24. 24. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade 4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais  As frequencias serão dadas por: [ ] 12  4mk − 16k m − 12k m  2 2 2 2 12   k ω1 =   =   2m 2   m [ ] 12  4mk + 16k 2 m 2 − 12k 2 m  2 12   3k ω2 =   =   2m 2   m  Os racios r1 e r2 serão: (1) X2 − mω12 + 2k kr1 = (1) = = =1 X1 k − mω1 + 2k 2 X 22 ) − mω2 + 2k ( 2 kr2 = (2 ) = = = −1 X1 k − mω2 + 2k 2 Davyd da Cruz Chivala 24
  25. 25. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais os modos naturais são dados por:  (1)  k   X 1 cos  m t + φ1    (1)    Primeiro modo x (t ) =    X (1) cos k t + φ     1  m 1      (2 )  3k   X 1 cos   m t + φ2    (2 ) x (t ) =      − X (2 ) cos 3k t + φ  Segundo modo    1  m 2     Davyd da Cruz Chivala 25
  26. 26. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais graficamente teremos: Davyd da Cruz Chivala 26
  27. 27. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais  A equação que representa a dinamica do sisrema é:  k   3k x1 (t ) = X 1 (1)  cos (2 ) t + φ1  + X 1 cos    m t + φ2   m     k   3k x2 (t ) = X 1 (1)  cos  (2 ) t + φ1  − X 1 cos  m t + φ2    m    Davyd da Cruz Chivala 27
  28. 28. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais 4.3.1-Sistemas torcionais Considere o sistema torcional abaixo Davyd da Cruz Chivala 28
  29. 29. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais 4.3.1-Sistemas torcionais os treis eixos the constantes de rigidez kt1 ; kt 2 ekt 3 os discos tem momentos de inercia J1eJ 2 e sofrem os torques de M t1eM t 2 A equação diferencial do movimento é dada porJ1θ = −kt1θ1 + kt 2 (θ 2 − θ1 ) + M t1  1J θ = −k θ − k (θ − θ ) + M  2 2 t3 2 t2 2 1 t2 Davyd da Cruz Chivala 29
  30. 30. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais 4.3.1-Sistemas torcionais rearranjando a equação teremos: J1θ + (kt1 + kt1 )θ1 − kt 2θ 2 = M t1  1 J θ − k θ + (k + k )θ = M  2 2 t2 1 t2 t3 2 t2 Davyd da Cruz Chivala 30
  31. 31. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais 4.3.1-Sistemas torcionais Exemplo2: calcule a frequencia natural e os modos de vibração do sistema torcional abaixo, sabendo que J1 = J 0 , J 2 = 2J 0 e kt1 = kt 2 = kt Davyd da Cruz Chivala 31
  32. 32. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais 4.3.1-Sistemas torcionais Exemplo2: calcule a frequencia natural e os modos de vibração do sistema torcional abaixo, sabendo que J 0θ + 2ktθ1 − ktθ 2 = 0  1 2 J 2θ2 − ktθ1 + ktθ 2 = 0  2ω 4 J 0 − 5ω 2 J 0 kt + kt = 0 2 2 ω1 = kt 4J0 ( 5 − 17 ) ω2 = kt 4J0 5 + 17 ( ) r = θ( ) 2 1 = 2− (5 − 17 ) r2 = θ( )2 2 = 2− (5 + 17 ) θ (1 ) θ1(2 ) 1 1 4 Davyd da Cruz Chivala 4 32
  33. 33. 4-Sistemas com dois grau de Liberdade4.3- Vibração Livre não amortecidas. Modos naturais 4.3.1-Sistemas torcionais Exemplo3: calcule a frequencia natural e os modos de vibração do sistema abaixo: Davyd da Cruz Chivala 33

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