Este documento introduz os conceitos de tensão contínua e alternada, e descreve as características de tensões senoidais. Explica que uma tensão alternada varia com o tempo de acordo com uma função senoidal, e apresenta suas representações gráfica e matemática. Também aborda conceitos como frequência, período, valores de pico e eficaz de tensões e correntes alternadas.
2. Tensão Continua
Uma tensão é chamada de continua ou
constante quando o seu valor não se altera
com o tempo.
Exemplo de geradores que geram tensão
continua são as pilhas e as baterias.
A Figura a seguir mostra o aspecto físico,
símbolo e curva da tensão em função do
tempo deste tipo de gerador.
4. Tensão Alternada
É uma tensão cujo valor e polaridade se
modificam ao longo do tempo. Conforme o
comportamento da tensão, temos os
diferentes tipos de tensão:
Senoidal, quadrada, triangular, pulsante,
etc.
De todas essas, analisaremos a partir de
agora a senoidal, porque é a tensão fornecida
nas fontes geradoras e que alimenta as
industrias e residências.
5. Tensão Alternada
Seja o circuito da próxima Figura, no qual
temos duas baterias e uma chave que ora
conecta a bateria B1 ao resistor, ora conecta
a bateria B2 ao resistor.
Vamos supor que cada
bateria fica conectada ao
resistor durante 1s.
Como seria o gráfico da
tensão em função do tempo nos
terminais da bateria ?
6. Exemplo de Geração Alternada
• O valor negativo significa que a polaridade da tensão mudou. Desta forma
obtemos uma forma de onda quadrada. Além desta, usualmente temos aplicações
em eletricidade as formas triangular e principalmente a senoidal.
• O tempo que leva para repetir uma mesma situação é 2s, sendo chamado de
período (T). O valor máximo da tensão é 12V ( sendo chamado de valor de pico
ou valor máximo VM). A seguir analisaremos mais em detalhes a senoidal.
7. Tensão Senoidal
É uma tensão que varia com o tempo de
acordo com uma função senoidal
A expressão matemática é dada pela função:
( ) . ( . )Mv t V sen tω θ= +
Onde VM é o valor de pico (valor máximo que a tensão
pode ter) , em (rad/s) é a freqüência angular e (rd ou
graus) é o angulo de fase inicial.
9. Representação gráfica de uma tensão
senoidal em função do angulo
A rotação da bobina ao longo de 360º geométricos( 1
rotação ) gera sempre 1 ciclo ( 360º) de Tensão (
Gerador de 2 pólos).
10. Corrente Alternada
Quando uma tensão senoidal é ligada aos terminais
de uma resistência de carga, a corrente também é
uma onda senoidal.
11. Exemplo
Exemplo 1:
Uma tensão senoidal ca é
aplicada a uma resistência
de carga de 10 . Mostre a
onda senoidal resultante
para a corrente alternada.
O valor máximo da corrente é
10
1
10
M
M
V
I A
R
= = =
O Valor instantâneo da
corrente é i=v/R. Num
circuito apenas com
resistência, a forma de onda
da corrente segue a
polaridade da forma de onda
da tensão.
Graficamente, é representado por:
Como a corrente é definida
pela expressão:
.Mi I senθ=
12. Freqüência e Período
O número de ciclos por minuto é chamado de Freqüência.
É representada pela letra f e unidade em hertz [Hz].
O intervalo de tempo para que um ciclo se complete é chamado de período.
É representado pelo símbolo T e expresso em segundos [s].
A freqüência é o recíproco do período, ou seja:
1 1
f e T
T f
= =
Quanto maior a freqüência,
menor o período.
13. Relação entre graus
elétricos e tempo
O ângulo de 360º representa o tempo para um ciclo,
ou período T.
Portanto, temos a seguinte representação gráfica.
14. Exemplo
Exemplo 2
Uma corrente ca varia ao longo de um ciclo completo em 1/100s. Qual
o período e a freqüência? Se a corrente tiver um valor máximo de 5A,
mostre a forma de onda para a corrente em graus e em segundos.
1
10 10
100
T s ou ms ou ms=
1 1
100
1/100
f Hz
T
= = =
Graficamente
15. Relações de Fase
O ângulo de fase entre duas formas de onda de mesma freqüência é a
diferença angular num dado instante.
Na figura abaixo, o ângulo de fase entre as ondas B e A é de 90º
Enquanto a onda A começa com seu valor máximo e cai para zero em
90º.
A onda B atinge o seu valor máximo 90º na frente de A.
Este ângulo de fase de 90º entre as ondas B e A é mantido durante o
ciclo completo e todos os ciclos sucessivos.
16. Fasores
Forma alternativa para representação de correntes e tensões
alternadas (senoidais).
Um fasor é uma entidade com módulo e sentido.
O comprimento do fasor representa o módulo da
tensão/corrente alternada.
O ângulo em relação ao eixo horizontal indica ao ângulo de fase.
17. Representação Fasorial
Tomando com exemplo a figura abaixo, o fasor VA representa a
onda de tensão A com ângulo de fase de 0º.
O fasor VB é vertical para mostrar o ângulo de fase de 90º com
relação ao fasor VA, que serve de referência.
18. Representação Fasorial
Quando duas ondas estão em fase, o ângulo de fase é
zero. As amplitudes se somam.
Quando as ondas estão exatamente fora de fase, o
ângulo de fase é de 180º. Suas amplitudes são
opostas.
19. Exemplo
Exemplo 3
Qual o ângulo de fase entre as ondas A e B? Faça o diagrama de fasores primeiro
com a onda A como referência e depois como a onda B como referência.
Ângulo de fase é a distância angular entre pontos
correspondentes nas ondas A e B.
Os pontos correspondentes mais convenientes sâo os pontos
de máximo, dos mínimos e dos zeros de cada onda.
A como referência B como referência
No cruzamento dos zeros no eixo horizontal, =30º.
20. Valores Características de
Tensão e de Corrente
Valor de pico é o valor máximo VMax ou IMax.
Valor de pico a pico é igual ao dobro do valor de pico, quando os picos positivo e
negativo são simétricos.
Valor médio, corresponde à média aritmética de todos os valores numa onda
senoidal, considerando um meio ciclo.
ValorMedio 0,637
0,6237.
0,637.
M Max
M Max
xvalor de pico
V V
I I
=
=
=
O valor rms de uma onda senoidal corresponde à mesma quantidade de tensão
ou corrente contínua capaz de produzir a mesma potência dissipada.
O valor eficaz ou rms ou valor médio quadrático corresponde a 0,707 vezes o
valor de pico.
Valorrms 0,707
0,707.
0,707.
M Max
M Max
xvalor de pico
V V
I I
=
=
=
22. Resistência em Circuitos CA
Em circuitos ca somente com resistência.
Tensão e Corrente estão em fase.
Esta relação entre V e I em fase, significa que este circuito ca
pode ser analisado pelos métodos usados para o circuito cc.
Seja o circuito, abaixo, em série.
2 2110
11 . 11 .10 1210
10
V
I A P I R W
R
= = = = = =
25. Indutância, Reatância e
Circuitos Indutivos
A capacidade de um condutor possui de induzir tensão em si
mesmo quando a corrente varia é chamada de auto-indutância
ou simplesmente indutância.
lv
L
i
t
=
∆
∆
Onde: L= indutância, [H]
v= tensão induzida através da bobina, [V]
i/ t= taxa de variação da corrente, [A/s]
26. Indutância Mútua
Quando a corrente num condutor ou numa bobina varia, este
fluxo pode interceptar qualquer outro condutor ou bobina nas
vizinhanças, induzindo tensões em ambos.
27. Características das Bobinas
A indutância de uma bobina depende de como ela é enrolada, material
do núcleo em torno do qual é enrolada, e do número de espiras que
formam o enrolamento.
A indutância L aumenta com o número de espiras N em torno do núcleo. A
indutância aumenta com o quadrado do número de espiras.
A indutância aumenta com a permeabilidade relativa r do material de que
é feito o núcleo.
À medida que a área A abrangida em cada espira aumenta. A indutância
aumenta com o quadrado do diâmetro.
A indutância diminui à medida que o comprimento da bobina aumenta.
( )
2
6.
. 1,26 10 ,[ ]r
N A
L x H
l
µ −
=
28. Reatância Indutiva
Onde XL= reatância indutiva,[ ]
f = freqüência angular,[Hz]
L = indutância, [Hz]
2. . .LX f Lπ=
A reatância indutiva XL é a oposição à corrente ca
devida à indutância do circuito.
A unidade da reatância indutiva é o ohm.
A fórmula para a reatância indutiva é
29. Indutores em série
Se os indutores forem dispostos afastados um do outro de modo
que não interajam eletromagneticamente entre si.
Podem ser associados como resistores.
1 2 3 ........T nL L L L L= + + + +
1 2 2.T ML L L L= + ±
Se duas bobinas ligadas em série
forem colocadas próximas de modo
que linhas de campo magnético se
interliguem.
A indutância total será:
30. Indutores em paralelo
Afastados, de modo que a indutância mútua seja
desprezível, tem-se que:
1 2 3
1 1 1 1 1
........
T nL L L L L
= + + + +
No caso de apenas duas bobinas em paralelo, tem-se
que:
1 2
1 2
.
T
L L
L
L L
=
+
31. Circuitos Indutivos
Seja uma tensão ca, v, aplicada a um circuito que tenha
somente indutância.
A corrente iL, que passa pela indutância estará atrasada da
tensão vL, de 90º.
32. Circuito RL em série
Quando uma bobina têm uma resistência em série, a corrente I é
limitada tanto por XL quanto por R.
A corrente I , através de XL, está defasada da tensão VL de 90º.
. .R L LV I R e V I X= =
33. Exemplo
Exemplo 4
Um circuito ca com RL em série tem uma corrente de 1A de pico, com R=50 e XL=50
.
Calcule VR, VL, VT e . Faça o diagrama de fasores de VT e I. Faça também o diagrama
de tempo i, vR, vL e vT.
34. Impedância RL série
A resultante da adição dos fasores R e XL é chamada de
impedância. É representada pelo símbolo Z.
A impedância é a reação total ao fluxo da corrente em ohms [ ].
2 2 2
T R LV V V= +
( ) ( ) ( )
2 2 2
. . . LI Z I R I X= +
2 2
LZ R X= +
L LX X
tg arctg
R R
θ θ= → =
2 2 2
LZ R X= +
35. Circuito RL paralelo
Para circuitos paralelo contendo R e XL , uma mesma tensão VT
está aplicada a eles.
Portanto esta tensão será usada como referência.
37. Impedância RL paralelo
Cálculo a partir da tensão como referência.
Exemplo: Qual a impedância de ZT de um R de 200 em paralelo
com XL de 400 ? Suponha que a tensão VT seja de 400 V.
400
2
200
T
R
V
I A
R
= = =
400
1
400
T
L
L
V
I A
X
= = =
2 2
4 1 5 2,24T R LI I I A= + = + = =
400
178,6
2,24
T
T
T
V
Z
I
= = = Ω
38. Potência em circuitos RL
Num circuito ca com reatância indutiva, a corrente está
atrasada em relação a tensão aplicada.
Existe neste caso 3 tipos de potência.
. ( .cos ) cosPot real P V I VIθ θ= =
. ( . )Pot reativa Q V I sen VIsenθ θ= =
.Pot aparente S VI=
Tensão e corrente expressos em valor rms.
39. Exemplo
Exemplo 6
O circuito ca tem 2A através de um R de 173 Ω em série com um XL de 100
Ω. Calcule o fator de potência, a tensão aplicada V, a potência real P, a
potência reativa Q e a potência aparente S.
100
0,578 30
173
cos cos30 0,866
173
200
cos cos30º
oL
o
X
arctg arctg arctg
R
FP
R
Z
θ
θ
θ
= = = =
= = =
= = = Ω
. 2(200) 400V I Z V= = = . . 400.(2).( 30º) 400
. 400.(2) 600
Q V I sen sen VAr
S V I VA
θ= = =
= = =
2 2
2 .(173) 692
. .cos 400.(2).(cos30º) 692
P I R W
ou
P V I Wθ
= = =
= = =
40. Capacitância, Reatância
Capacitiva e Circuitos Capacitivos
Um capacitor é um dispositivo elétrico
formado por duas placas condutoras de metal
separadas por um material isolante chamado
dielétrico.
42. Capacitância
Capacitância
Capacidade de armazenamento de carga elétrica.
Quantidade de carga que pode ser armazenada num
capacitor dividida pela tensão aplicada às placas.
Q
C
V
=
Onde C=capacitância,F
Q= quantidade de carga,C
V=tensão,V
43. Capacitores em série e em
paralelo
Associação série.
1 2 3
1 1 1 1 1
...................
T nC C C C C
= + + +
Associação paralelo.
1 2 3 ...................T nC C C C C= + + +
44. Reatância Capacitiva
A reatância capacitiva XC é a oposição
ao fluxo de corrente.
Unidade: [ohm] ou [ ].
1 1 0,159
2. . . 6,28. . .
CX
f C f C f Cπ
= = =
Onde XC = reatância capacitiva,
f = freqüência, Hz
C = capacitância, F
46. Circuitos RC Série
A associação da resistência com a reatância
capacitiva é chamada de impedância.
2 2 2
T R CV V V= + C C
R R
V V
tg arctg
V V
θ θ
= − → = −
47. Exemplo
Exemplo 7. Um circuito ca RC em série tem uma
corrente de pico de 1 A com R=50 e XC=120 .
Calcule VR, VC, VT e . Faça o diagrama de fasores