O documento apresenta um modelo matemático para representar o comportamento de transformadores sob condições de regime permanente. O modelo descreve o transformador por um transformador ideal e impedâncias série e transversais que representam perdas no cobre e núcleo. Parâmetros do modelo podem ser determinados por ensaios em vazio e curto-circuito.

1. Aula 16
Modelagem de
Transformador

2. Modelagem
Iremos apresentar o modelo do transformador
para uso no cálculo de fluxo de potência
em redes de alta tensão.
Estes modelos descrevem matematicamente o
comportamento do transformador sob
condições estacionárias, com as tensões e
correntes variando senoidalmente, ou seja,
em regime permanente para a freqüência
fundamental do sistema (60 Hz).
Para estas condições poderemos representar os
transformadores trifásicos por seu
equivalente de seqüência positiva.
No caso de ligações em delta iremos converter
para ligações em estrela equivalentes para
podermos trabalhar com a seqüência
positiva.

3. Modelagem (cont.)
Os transformadores utilizados em sistema de
potência (alta tensão) têm algumas
características diferentes dos demais.
Em geral os efeitos de corrente de
magnetização podem ser desprezados (em
condições de regime permanente).
Os modelos que iremos utilizar serão
semelhantes aos modelos Pis utilizados
para linhas de transmissão.
Iremos rever o sistema pu e aplicaremos o
conceito para transformadores.
Finalmente apresentaremos as equações de
fluxo de potência para os transformadores
em condições de regime permanente
(representados por seu equivalente de
seqüência positiva em pu).

4. Equivalentes de transformador
monofásico
Dado o transformador monofásico a seguir
Podemos representá-lo pelo modelo
abaixo.
Ip rd j xd Is
+ +
Vp gm j bm Vs
- -
a:1
Este modelo será utilizado para dedução
da expressão de fluxo de potência
através do transformador.

5. Modelo teórico
No modelo o comportamento elétrico do
transformador é representado por um
transformador ideal, com relação de
transformação a:1.
A impedância série representa o fluxo de
dispersão (reatância) e a perda no cobre
(resistência).
A admitância transversal representa a perda
de magnetização (susceptância) e as
perdas no ferro (Foucault -condutância).

6. Indutâncias
Da teoria de transformadores surgem as
indutâncias
• Lp – indutância própria do primário
• Ls – indutância própria do secundário
• Mps – indutância mútua primário-
secundário
Estas indutâncias são descritas pela
permeabilidade magnética do material,
um fator que depende da geometria do
trafo e um fator de dispersão, além do
número de espiras dos enrolamentos
primário e secundário.

7. Indutâncias (cont.)
Analisando os fasores das tensões no
primário e no secundário do
transformador pode-se relacionar estas
indutâncias com as impedâncias
longitudinais e transversais do modelo.

8. Transformador monofásico ideal
• Circuito equivalente:
• Relações de tensão:
dϕ dϕ
v1 = N1 v2 = N 2
dt dt
V1 N1
= =a
V2 N 2
• a – relação de espiras
• Relação de corrente:
i1 N1 − i2 N 2 = 0
i1 N 2 1
= =
i2 N1 a

9. Transformador monofásico ideal
• Relações de Potência:
S1 = V I = V2 I 2 = S 2
* *
1 1
• Não há perdas (potência de entrada igual a
potência de saida)
• Relações de impedâncias(reflexão):
V1 a V2 2 V2
Z1 = = =a = a Z2
2
I1 I 2 I2
a

10. Transformador monofásico real
• Considera-se:
•Perdas ôhmicas, resistência dos enrrolamentos do
primário e secundário (r1 , r2 );
• Perdas magnéticas por dispersão de fluxo
magnético Representadas por Reatâncias lineares
(x1 , x2).
•Perdas no núcleo – Perdas ativas por Foulcaut e
histerese representada por resistência (rc) e a
magnetização do núcleo aproximada por reatância
linear (aprox. Pela componente de 1ª h da Corrente de
magnetização em quadratura com o fluxo) - xm ;
• Circuito equivalente:
• A relação de espiras é válida para V1’ e V2’ e para I1’
e I2.

11. Transformador 1φ real (em vazio)
• EM VAZIO (SECUNDÁRIO EM ABERTO)
• I2 = 0 I1’ = 0;
• A impedância do ramo de magnetização (rc e xm ) é
muito maior que a impedância série equivalente
(pode-se desprezar os parâmetros série).
• Circuito equivalente:
•Corrente no primário (da ordem de 5 % da corrente
nominal do trafo):
i1 (t ) = iϕ (t ) + im (t )
• Corrente no tensão no secundário:
V1
V2 =
a

12. Transformador 1φ real (em vazio)
• Devido à não linearidades da curva B x H do núcleo
(ciclo de histerese e eventualmente saturação):
• A corrente de excitação não é senoidal;
• A análise de Fourier mostra que a corrente
de magnetização possui uma componente
fundamental em fase com o fluxo e
harmónicas de ordem ímpar (3ª, 5ª, … )
• Como a If é pequena considera-se somente a
componente de primeira harmônica:
I1 = Iϕ
• Diagrama fasorial

13. Transformador 1φ real (com carga)
• I2 ≠ 0 Todos os parâmetros do circuito
equivalente são considerados;
•Podemos eliminar o transformador ideal refletindo as
impedâncias do secundário para o primário e
utilizando a relação de transformação de tensão e
corrente.
• Circuito equivalente:
• Como Iϕ << I1 pode-se desprezar o ramo de
magnetização:
• Em geral para trafos de Potência (centenas de kVA),
depreza-se as perdas ôhmicas.

14. Ensaios
A partir de ensaios é possível determinar
os parâmetros do modelo do
transformador nas condições de regime
permanente :
• Curto-circuito
– Com o lado de baixa (secundário) em curto-
circuito impõe-se uma tensão menor do que
a nominal no lado de alta (primário) de
modo a se ter corrente nominal no
secundário em curto e mede-se a tensão e a
corrente no primário, além da corrente no
secundário e a potência consumida no
primário.
• Em Vazio
– Com o terminal do lado de alta (secundário)
em vazio ompõe-se tensão nominal no lado
de baixa (primário) e mede-se a tensão no
secundário, além da corrente no primário e
a potência consumida no primário.

15. Determinação de parâmetros (Ensaio em
vazio)
• Teste em aberto: Um dos lados do transformador é
deixado em aberto, normalmente o lado de alta tensão.
Instrumentos de medição são conectados para medir a
corrente I1, V1 e a potência ativa na entrada P1. A
tensão aplicada V1 deve ser igual a tensão nominal do
transformador (dado de placa).
• Como um dos lados em vazio teremos:
•I2 = 0 I1’ = 0;
• A impedância do ramo de magnetização (rc e xm ) é
muito maior que a impedância série equivalente
(pode-se desprezar os parâmetros série).
• Toda a corrente é responsável pela magnetização do
núcleo do trafo.

16. Determinação de parâmetros (Ensaio em
vazio)
• Como foram desprezadas as perdas ôhmicas no
cobre, toda a potência ativa medida representa as
perdas ôhmicas no núcleo do tranformador, e desta
forma calculamos rc e xm:
• Resistência do ramo de magnetização
2
V1
rc1 =
P0
• Correntes Ic e Im do ramo de magnetização
V1
Ic = I m = I1 − I c
2 2
rc
• Reatância de magnetização:
V1
X m1 =
Im
• Nota: Os parâmetros são referentes ao lado de
aplicação da tensão V1.

17. Determinação de parâmetros (ensaio em
curto)
• Ensaio em curto: Um dos lados do transformador é
curto-circuitado, normalmente o lado de baixa tensão.
Instrumentos de medição são conectados para medir
as correntes I2, I1, V2 e potência ativa na entrada P2. A
tensão aplicada V2 deve ser tal que I1 seja igual a
corrente nominal do transformador (dado de placa).
• Com o terminal em curto (situação de plena carga) a
tensão aplicada que resulta na corrente nominal é
muito menor que a tensão nominal do trafo no lado
em que a tensão é aplicada;
• Como vimos a corrente de magnétização é de
pequena ordem de grandeza, na prática as perdas no
ramo de magnetização são desprezadas neste ensaio.

18. Determinação de parâmetros (ensaio em
curto)
• Desta forma calcula-se o módulo da impedância, Z2
V2
Z2 =
I2
• Resistência de perdas no cobre:
P2
requiv 2 = 2
I1
• Reatância de dispersão:
xequiv 2 = Z 2 − r2
2 2

19. Exemplos (circuito equivalente)
• Testes são feitos em um transformador monofásico,
10 kVA, 2200/220, 60 Hz e anotados na tabela abaixo.
Circuito Aberto Curto Circuito
Tensão (V) 220 150
Corrente (A) 2,5 4,55
Potência (W) 100 215
• (a)Encontre o circuito equivalente aproximado, com
os parametros refletidos de alta e do lado de baixa
tensão.
•(b)Expressa a corrente de excitação como uma
porcentagem da corrente nominal.
•(c)Determine o fator de potência para os testes de
circuito aberto (sem carga) e curto circuito(plena
carga).

20. Solução:
Os valores nominais (em módulo) do trafo são
descritos abaixo.
V2(nominal) = 2200 V V1(nominal) = 220 V
2200
a= = 10
220
10000 10000
I 2(nominal) = = 4,55 A I1(nominal) = 220 = 45,5 A
2200
V2 I 2(nominal) = V1I1(nominal) = 10 kVA
•(a) Parâmetros do Circuito equivalente.
•Diagrama fasorial para o teste de circuito aberto.
2
V1 220 2
rc1 = = = 484
P1 100
V1 220
Ic = = = 0,45 A
rc 484
I m = I1 − I c = 2,52 − 0,452 = 2,46 A
2 2
V1 220
X m1 = = = 89,4
I m 2,46
•Parâmetros referidos para o lado de alta
rc 2 = a 2 rc 2 = 48400 Ω X m 2 = a 2 X m1 = 8940 Ω

21. Solução:
•Circuito equivalente e diagrama fasorial para o teste
de curto-circuito.
P2 215
requiv 2 = 2 = 2
= 10,4
I1 4,55
150
Z2 = = 32,97 Ω
4,55
xequiv 2 = Z 2 − r2 equiv = 32,97 2 − 10,4 2 = 31,3 Ω
2 2
•Parâmetros referidos para o lado de baixa
1
1
requiv1 = 2 rc 2 = 0,104 Ω xequiv1 = x
2 equiv 2
= 0,313 Ω
a a

22. Solução:
•(b) Relação porcentual entre corrente de
magnetização e nominal. Do teste de circuito aberto, a
corrente (magnetização) é de 2,5 A. Portanto:
Iϕ 2,5
%= = 5,5%
I no min al 45,5
•(c) Fatores de potência
•Teste de circuito aberto
P100
fp = = = 0,182
S 2,5 ⋅ 220
•Teste de curto-circuito
P100
fp = = = 0,315
S 4,5 ⋅150

23. Modelos referidos ao primário e
secundário
Nos modelos para regime permanente o
transformador é representado por um
transformador ideal, com sua relação de
transformação e a impedância série
referida a um dos lados. O ramo da
magnetização e as perdas no ferros são
desprezados.
Modelo referido ao secundário
Ip zs Is
+ +
Vp Vs
- -
a:1
Modelo referido ao primário
Ip zp = a2zs Is
+ +
Vp Vs
- -
a:1

24. Conexões de transformadores
trifásicos
Transformadores trifásicos são utilizados para
mudar a tensão dos sistemas trifásicos.
Normalmente em alta tensão se utiliza bancos
de transformadores trifásicos formador por 03
unidades monofásicas.
Os enrolamentos primário e secundário podem
ser conectados em delta ou estrela, formando
bancos ∆- ∆; ∆ Y ; Y ∆ ou Y Y.
Os transformadores Y-Y têm um menor custo
de isolamento (tensão do enrolamento menor)
e permitem acesso ao neutro para aterramento.
Para eliminar harmônicas um terceiro
conjunto de enrolamento (terciário) é
conectado em delta (harmônicas de seqüência
zero – 3a harm.).
O enrolamento terciário é utilizado para
alimentação local e instalação de compensação
reativa.

25. Conexões de transformadores
trifásicos (cont.)
A tensão do enrolamento terciário é
normalmente menor (por ex., 500 Y – 230 Y –
69 ∆).
A conexão em delta tem que se isolada para
tensão de linha (custo maior).
As conexões ∆ Y e Y ∆ são bastante
freqüentes e são utilizadas como
transformadores elevadores junto a usinas e
transformadores abaixadores junto a cargas. O
neutro do Y normalmente é aterrado.

26. Relação de transformação de
transformadores trifásicos
Define-se a relação de transformação dos
transformadores trifásicos como sendo a
relação entre as tensões nominais dos
enrolamentos primário e secundário (relação
entre o número de espiras).
a a'
Transformador
Zc
VenrP VenrS
VenrP carga
a eq =
VenrS
b b'
Zc Zc
c c'
Vamos analisar o banco de transformador Y-Y
e Y-∆ .

27. Transformador Y-Y ou ∆−∆
Como definimos, a relação de transformação a
é definida pela razão entre as tensões dos
enrolamentos primário e secundário.
a a'
b'
b
Zc
Zc
carga
Vp Vs
Zc
c c'
No caso do banco trifásico com conexão Y-Y
(ou ∆−∆) a relação entre as tensões de linha
primário/secundário é igual à relação entre as
tensões de fase primário/secundário (igual à
tensão dos enrolamentos) e não há defasagem
entre as tensões dos lados de alta e baixa :
Vp φφ
Vp Vp φt Vp φφ
a= = = 3 =
Vs Vs φt Vs φφ Vs φφ
3

28. Ou seja, para o transformador trifásico Y-Y
(ou ∆−∆) a relação de transformação a pode
ser obtida da razão entre as tensões
nominais de linha ou da razão entre as
tensões nominais de fase dos lados
primário/secundário.

29. Exercício 1
Um banco de transformador conectado em Y-
Y alimenta uma carga de 80 MVA fp 0,85 ind.
Representar o conjunto transformador + carga
em Ω.
N1 N2
carga
Diagrama unifilar
Dados
Transformador Carga
138 kV/13,8 kV S = 80 MVA
Xdispersão : 15,23 Ω (alta) fp – 0,85 atras.
Potência nominal S = 100 MVA Vnominal 13,8 kV

30. Carga no lado de baixa
2
•
( )
V 2 6
− Vf 2 13,8 / 3 .10 13,82
S= ⇒Z= = = = 2,3805 Ω
−
Z
S1φ (80 / 3).10 6 80
Carga vista do lado de alta
2
 138 
Zalta = 2,3805 × 
  = 238,05 Ω
 13,8 

Ângulo da impedância
θ = cos −1 0,85 = 31,79 °
Reatância de dispersão no lado de baixa
2
 13,8 
X = 15,23 ×   = 0,01523 Ω
 138 

31. Sistema visto do lado de alta
N1 j 15,23 Ω N2
202,34 + j 125,40 Ω
trafo
carga
Sistema visto do lado de baixa
N1 j 0,1523 Ω N2
2,0234 + j 1,2540 Ω
trafo
carga

32. Transformador Y-∆ ou ∆−Y
∆
Analisando o transformador trifásico Y-∆ e
lembrando que a relação de transformação é
dada pela relação entre as tensões dos
enrolamentos primário/secundário vemos que :
• No lado em Y a tensão do enrolamento
corresponde à tensão de fase do sistema,
• No lado em ∆ a tensão do enrolamento
corresponde à tensão de linha do sistema.
a b' a'
b
Zc
Vp Vs Zc
carga
Zc
c c'

33. Desta forma temos :
Vp φt Vp φφ
a= ou = 3a
Vs φφ Vs φφ
No caso do banco trifásico com conexão Y-∆
a relação entre as tensões de linha é igual a ◊3
vezes a relação entre as espiras.
Lembrando do diagrama fasorial trifásico
vemos que um transformador ∆-Y atua como
um elemento defasador, por incluir uma
defasagem de 30º entre as tensões ∆/Y.
ca c −b ab
a
b
bc

34. A relação de transformação passa a ser
vetorial, onde a tensão no lado do ∆ está
adiantada de 30º em relação a do lado Y.
Vp φφ
− Vp φt 3 − jπ / 6
a= = .e
Vs φφ .e jπ / 6 Vs φφ
A relação de transformação pode ser
representada como a associação em série de
dois elementos, o primeiro com relação de
transformação real e o segundo somente com a
defasagem.
Vp φφ
− −
3 − jπ / 6
aT = ar + ad = .e
Vs φφ
Vp φφ
3
ar =
Vs φφ
−
a d = 1.e − jπ / 6

35. Normalmente a defasagem é cancelada devido
à existência de vários transformadores em
cascata.
Num sistema radial a defasagem pode ser
ignorada a não ser que haja interesse no
ângulo das tensões. Com relação ao fluxo de
potência no sistema radial não há impacto
porque tanto a tensão quanto a corrente sofrem
o mesmo defasamento.
Em sistemas com malha fechada é preciso
verificar se a defasagem precisa ser
representada.
No Brasil existe uma interligação entre Cemig
e Escelsa onde foi instalado um transformador
Y-∆ (300 MVA 230/138 kV) para gerar a
defasagem devido à restrições de fluxo de
potência e esta defasagem deve ser
corretamente modelada.

36. Y equivalente
Vamos então desprezar a defasagem e lembrar
que estamos trabalhando com a representação
de seqüência positiva (“uma fase”).
Iremos representar a conexão ∆ por um Y
equivalente e assim trabalharemos somente
com uma fase, supondo que o sistema esteja
equilibrado (para que os neutros estejam no
mesmo potencial).
Quando uma impedância for referida ao lado
do ∆ ela deve ser corrigida para o Y
equivalente, lembrando que
Z∆
ZY =
3
Neste caso a relação de transformação Y-Yeq
passa a ser dada pelas relações entre as tensões
de linha (como no caso Y-Y).

37. ∆
Exercício 2 – Trafo Y-∆
Represente o transformador conectado em Y-
∆ por seu equivalente de seqüência positiva.
Desprezar a defasagem gerada pelo
transformador.
N1 N2
Diagrama unifilar
Dados
Transformador
138 kV/13,8 kV – Y-∆
Xdispersão : 15,23 Ω (alta)
Potência nominal S = 100 MVA

38. Reatância de dispersão no lado de baixa
2
 13,8 
X = 15,23 ×  
 138 / 3  = 0,4569 Ω
 
Trabalhando com Y equivalente
Reatância de dispersão no lado de baixa
0,4569
X= = 0,1523 Ω
3

39. Transformador visto do lado de alta
N1 j 15,23 Ω N2
trafo
138 kV
Transformador visto do lado de baixa (Y
equivalente seq pos)
N1 j 0,1523 Ω N2
trafo
13,8 kV

40. Reparem que as impedâncias variam com a
relação de entre as tensões de linha.
O transformador Y-∆ pode ser substituído por
um equivalente Y-Y :
N1 N2 N1 N2
138 kV-13,8 kV 138 kV-13,8 kV
As relações de transformação serão :
Vf 1 VL1
a= a=
VL 2 VL 2