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Cálculo Numérico I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
18 de fevereiro de 2021
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Introdução
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Introdução
Interpolar consiste em aproximar uma função f de determinada classe através de outra
g que não necessita estar nesta mesma classe.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Introdução
Interpolar consiste em aproximar uma função f de determinada classe através de outra
g que não necessita estar nesta mesma classe.
Por exemplo, um truncamento da série de Taylor é uma aproximação para a função
exponencial.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Introdução
Interpolar consiste em aproximar uma função f de determinada classe através de outra
g que não necessita estar nesta mesma classe.
Por exemplo, um truncamento da série de Taylor é uma aproximação para a função
exponencial.
Devido à razoável facilidade com a qual os polinômios podem ter as suas raízes,
derivadas e integrais calculadas por métodos computacionais, estudaremos aqui o
método da interpolação polinomial.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Introdução
Interpolar consiste em aproximar uma função f de determinada classe através de outra
g que não necessita estar nesta mesma classe.
Por exemplo, um truncamento da série de Taylor é uma aproximação para a função
exponencial.
Devido à razoável facilidade com a qual os polinômios podem ter as suas raízes,
derivadas e integrais calculadas por métodos computacionais, estudaremos aqui o
método da interpolação polinomial.
Portanto, existe uma vantagem considerável na substituição de uma função, de
expressão altamente complicada, por um polinômio, considerando uma margem de erro
pequena e aceitável.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Introdução
Interpolar consiste em aproximar uma função f de determinada classe através de outra
g que não necessita estar nesta mesma classe.
Por exemplo, um truncamento da série de Taylor é uma aproximação para a função
exponencial.
Devido à razoável facilidade com a qual os polinômios podem ter as suas raízes,
derivadas e integrais calculadas por métodos computacionais, estudaremos aqui o
método da interpolação polinomial.
Portanto, existe uma vantagem considerável na substituição de uma função, de
expressão altamente complicada, por um polinômio, considerando uma margem de erro
pequena e aceitável.
A garantia da existência de um polinômio que aproxime uma determinada função é
dada pelo Teorema de Weirstrass.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Introdução
Utilizamos a interpolação, principalmente, quando:
queremos determinar a imagem da função em um ponto cuja imagem não fora
estabelecida, ou seja, não conhecemos a expressão analítica de f(x) e, a partir dos
pontos (x0; f(x0)), (x1; f(x1)), . . ., (xn; f(xn)), obtemos o polinômio. Esta situação
ocorre frequentemente quando se trabalha com dados experimentais e
necessitamos manipular f(x).
a função possui expressão extremamente complicada, de difícil ou impossível
determinação. Visto isso, às vezes, se torna interessante sacrificar a precisão dos
valores obtidos na imagem em prol do benefício da simplificação dos cálculos.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Introdução
Utilizamos a interpolação, principalmente, quando:
queremos determinar a imagem da função em um ponto cuja imagem não fora
estabelecida, ou seja, não conhecemos a expressão analítica de f(x) e, a partir dos
pontos (x0; f(x0)), (x1; f(x1)), . . ., (xn; f(xn)), obtemos o polinômio. Esta situação
ocorre frequentemente quando se trabalha com dados experimentais e
necessitamos manipular f(x).
a função possui expressão extremamente complicada, de difícil ou impossível
determinação. Visto isso, às vezes, se torna interessante sacrificar a precisão dos
valores obtidos na imagem em prol do benefício da simplificação dos cálculos.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Introdução
Utilizamos a interpolação, principalmente, quando:
queremos determinar a imagem da função em um ponto cuja imagem não fora
estabelecida, ou seja, não conhecemos a expressão analítica de f(x) e, a partir dos
pontos (x0; f(x0)), (x1; f(x1)), . . ., (xn; f(xn)), obtemos o polinômio. Esta situação
ocorre frequentemente quando se trabalha com dados experimentais e
necessitamos manipular f(x).
a função possui expressão extremamente complicada, de difícil ou impossível
determinação. Visto isso, às vezes, se torna interessante sacrificar a precisão dos
valores obtidos na imagem em prol do benefício da simplificação dos cálculos.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
Consideremos o conjunto X = {x0, x1, x2, . . . , xn} com n + 1 elementos e a função:
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
Consideremos o conjunto X = {x0, x1, x2, . . . , xn} com n + 1 elementos e a função:
f : X → R
xi 7→ f(xi).
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
Consideremos o conjunto X = {x0, x1, x2, . . . , xn} com n + 1 elementos e a função:
f : X → R
xi 7→ f(xi).
Devemos encontrar uma função g(x), tal que
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
Consideremos o conjunto X = {x0, x1, x2, . . . , xn} com n + 1 elementos e a função:
f : X → R
xi 7→ f(xi).
Devemos encontrar uma função g(x), tal que
g(xk) = f(xk), k ∈ {0, 1, . . . , n}.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
Consideremos o conjunto X = {x0, x1, x2, . . . , xn} com n + 1 elementos e a função:
f : X → R
xi 7→ f(xi).
Devemos encontrar uma função g(x), tal que
g(xk) = f(xk), k ∈ {0, 1, . . . , n}.
Neste tipo de interpolação, dados os n + 1 pontos (xi; f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n, devemos
aproximar f(x) por um polinômio pn(x) de grau no máximo igual a n tal que
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
Consideremos o conjunto X = {x0, x1, x2, . . . , xn} com n + 1 elementos e a função:
f : X → R
xi 7→ f(xi).
Devemos encontrar uma função g(x), tal que
g(xk) = f(xk), k ∈ {0, 1, . . . , n}.
Neste tipo de interpolação, dados os n + 1 pontos (xi; f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n, devemos
aproximar f(x) por um polinômio pn(x) de grau no máximo igual a n tal que
pn(xi) = f(xi), ∀ i ∈ {0, 1, . . . , n}.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
Tal polinômio é então chamado polinômio interpolador de uma função y = f(x) sobre
um conjunto de pontos distintos (xi; f(xi)), i = {0, 1, . . . , n}.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
Tal polinômio é então chamado polinômio interpolador de uma função y = f(x) sobre
um conjunto de pontos distintos (xi; f(xi)), i = {0, 1, . . . , n}.
Como um polinômio de grau n possui n + 1 coeficientes, estes coeficientes são
elementos do conjunto solução do sistema de equações
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
Tal polinômio é então chamado polinômio interpolador de uma função y = f(x) sobre
um conjunto de pontos distintos (xi; f(xi)), i = {0, 1, . . . , n}.
Como um polinômio de grau n possui n + 1 coeficientes, estes coeficientes são
elementos do conjunto solução do sistema de equações
pn(xi) = f(xi), i = 0, 1, . . . , n,
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
Tal polinômio é então chamado polinômio interpolador de uma função y = f(x) sobre
um conjunto de pontos distintos (xi; f(xi)), i = {0, 1, . . . , n}.
Como um polinômio de grau n possui n + 1 coeficientes, estes coeficientes são
elementos do conjunto solução do sistema de equações
pn(xi) = f(xi), i = 0, 1, . . . , n,
ou seja,
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
Tal polinômio é então chamado polinômio interpolador de uma função y = f(x) sobre
um conjunto de pontos distintos (xi; f(xi)), i = {0, 1, . . . , n}.
Como um polinômio de grau n possui n + 1 coeficientes, estes coeficientes são
elementos do conjunto solução do sistema de equações
pn(xi) = f(xi), i = 0, 1, . . . , n,
ou seja, 












a0 + a1x0 + a2x2
0 + . . . + anxn
0 = f(x0)
a0 + a1x1 + a2x2
1 + . . . + anxn
1 = f(x1)
a0 + a1x2 + a2x2
2 + . . . + anxn
2 = f(x2)
.
.
.
a0 + a1xn + a2x2
n + . . . + anxn
n = f(xn)
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
O sistema acima possui solução única. De fato, a matriz dos coeficientes
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
O sistema acima possui solução única. De fato, a matriz dos coeficientes
X =







1 x0 x2
0 . . . xn
0
1 x1 x2
1 . . . xn
1
1 x2 x2
2 . . . xn
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 xn x2
n . . . xn
n







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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
O sistema acima possui solução única. De fato, a matriz dos coeficientes
X =







1 x0 x2
0 . . . xn
0
1 x1 x2
1 . . . xn
1
1 x2 x2
2 . . . xn
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 xn x2
n . . . xn
n







é uma matriz de Vandermond e seu determinante é obtido por
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
O sistema acima possui solução única. De fato, a matriz dos coeficientes
X =







1 x0 x2
0 . . . xn
0
1 x1 x2
1 . . . xn
1
1 x2 x2
2 . . . xn
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 xn x2
n . . . xn
n







é uma matriz de Vandermond e seu determinante é obtido por
det(X) =
∏
j>i
(xj − xi).
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
Como xi 6= xj, ∀ i 6= j, temos que det(X) 6= 0 e, portanto, o sistema linear admite única
solução. Assim, podemos enunciar o seguinte teorema:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
Como xi 6= xj, ∀ i 6= j, temos que det(X) 6= 0 e, portanto, o sistema linear admite única
solução. Assim, podemos enunciar o seguinte teorema:
Theorem
Existe um único polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que:
pn(xi) = f(xi), i = {0, 1, . . . , n; xi 6= xj, i 6= j.}
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Conceito
Como xi 6= xj, ∀ i 6= j, temos que det(X) 6= 0 e, portanto, o sistema linear admite única
solução. Assim, podemos enunciar o seguinte teorema:
Theorem
Existe um único polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que:
pn(xi) = f(xi), i = {0, 1, . . . , n; xi 6= xj, i 6= j.}
Example
Encontre um polinômio que interpola os pontos da tabela
x −1 0 2
f(x) 4 1 −1
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Ao utilizarmos o polinômio interpolador para determinar uma aproximação para o valor
de f num determinado ponto, estimativas para o erro podem ser obtidas, se a função f
possui algumas propriedades.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Ao utilizarmos o polinômio interpolador para determinar uma aproximação para o valor
de f num determinado ponto, estimativas para o erro podem ser obtidas, se a função f
possui algumas propriedades.
Consideremos os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n, xi ∈ (a, b) e a função
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Ao utilizarmos o polinômio interpolador para determinar uma aproximação para o valor
de f num determinado ponto, estimativas para o erro podem ser obtidas, se a função f
possui algumas propriedades.
Consideremos os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n, xi ∈ (a, b) e a função
ω(t) = f(t) − pn(t) − (f(x) − pn(x)) ·
(t − x0) · . . . · (t − xn)
(x − x0) · . . . · (x − xn)
, (1)
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Ao utilizarmos o polinômio interpolador para determinar uma aproximação para o valor
de f num determinado ponto, estimativas para o erro podem ser obtidas, se a função f
possui algumas propriedades.
Consideremos os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n, xi ∈ (a, b) e a função
ω(t) = f(t) − pn(t) − (f(x) − pn(x)) ·
(t − x0) · . . . · (t − xn)
(x − x0) · . . . · (x − xn)
, (1)
em que f é n + 1 vezes derivável e pn é um polinômio de grau n. Segue, claramente,
que ω é n + 1 derivável.
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Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Observe que ω(xi) = 0, i = 0, 1, . . . , n e w(x) = 0, ou seja, ω(t) possui n + 2 raízes
reais distintas em (a, b).
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Forma de Lagrange
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Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Observe que ω(xi) = 0, i = 0, 1, . . . , n e w(x) = 0, ou seja, ω(t) possui n + 2 raízes
reais distintas em (a, b).
O Teorema de Rolle, aplicado tantas vezes quantas forem necessárias, garante que
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Observe que ω(xi) = 0, i = 0, 1, . . . , n e w(x) = 0, ou seja, ω(t) possui n + 2 raízes
reais distintas em (a, b).
O Teorema de Rolle, aplicado tantas vezes quantas forem necessárias, garante que
∃ ξ ∈ (a, b); ω(n+1)
(ξ) = 0.
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Observe que ω(xi) = 0, i = 0, 1, . . . , n e w(x) = 0, ou seja, ω(t) possui n + 2 raízes
reais distintas em (a, b).
O Teorema de Rolle, aplicado tantas vezes quantas forem necessárias, garante que
∃ ξ ∈ (a, b); ω(n+1)
(ξ) = 0.
Como φ(t) = (t − x0) · . . . · (t − xn) é um polinômio de grau n + 1 com coeficiente do
termo de maior grau com valor unitário, temos que φ(n+1)(t) = (n + 1)!.
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Observe que ω(xi) = 0, i = 0, 1, . . . , n e w(x) = 0, ou seja, ω(t) possui n + 2 raízes
reais distintas em (a, b).
O Teorema de Rolle, aplicado tantas vezes quantas forem necessárias, garante que
∃ ξ ∈ (a, b); ω(n+1)
(ξ) = 0.
Como φ(t) = (t − x0) · . . . · (t − xn) é um polinômio de grau n + 1 com coeficiente do
termo de maior grau com valor unitário, temos que φ(n+1)(t) = (n + 1)!.
Derivando-se n + 1 vezes a expressão ω e considerando as duas afirmações anteriores,
temos que
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Observe que ω(xi) = 0, i = 0, 1, . . . , n e w(x) = 0, ou seja, ω(t) possui n + 2 raízes
reais distintas em (a, b).
O Teorema de Rolle, aplicado tantas vezes quantas forem necessárias, garante que
∃ ξ ∈ (a, b); ω(n+1)
(ξ) = 0.
Como φ(t) = (t − x0) · . . . · (t − xn) é um polinômio de grau n + 1 com coeficiente do
termo de maior grau com valor unitário, temos que φ(n+1)(t) = (n + 1)!.
Derivando-se n + 1 vezes a expressão ω e considerando as duas afirmações anteriores,
temos que
ω(n+1)
(t) = f(n+1)
(t) − (f(x) − pn(x)) ·
(n + 1)!
(x − x0) · . . . · (x − xn)
.
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Portanto,
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Portanto,
0 = ω(n+1)
(ξ) = f(n+1)
(ξ) − (f(x) − pn(x)) ·
(n + 1)!
(x − x0) · . . . · (x − xn)
,
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Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Portanto,
0 = ω(n+1)
(ξ) = f(n+1)
(ξ) − (f(x) − pn(x)) ·
(n + 1)!
(x − x0) · . . . · (x − xn)
,
ou seja,
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Portanto,
0 = ω(n+1)
(ξ) = f(n+1)
(ξ) − (f(x) − pn(x)) ·
(n + 1)!
(x − x0) · . . . · (x − xn)
,
ou seja,
f(x) = pn(x) + (x − x0) · . . . · (x − xn) ·
f(n+1)(ξ)
(n + 1)!
.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Portanto,
0 = ω(n+1)
(ξ) = f(n+1)
(ξ) − (f(x) − pn(x)) ·
(n + 1)!
(x − x0) · . . . · (x − xn)
,
ou seja,
f(x) = pn(x) + (x − x0) · . . . · (x − xn) ·
f(n+1)(ξ)
(n + 1)!
.
Logo, o erro obtido ao utilizar um polinômio interpolador é dado por:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Portanto,
0 = ω(n+1)
(ξ) = f(n+1)
(ξ) − (f(x) − pn(x)) ·
(n + 1)!
(x − x0) · . . . · (x − xn)
,
ou seja,
f(x) = pn(x) + (x − x0) · . . . · (x − xn) ·
f(n+1)(ξ)
(n + 1)!
.
Logo, o erro obtido ao utilizar um polinômio interpolador é dado por:
En(x) = f(x) − pn(x) =
n
∏
i=0
(x − xi)
f(n+1)(ξ)
(n + 1)!
.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Theorem
Considere f : [a, b] → R uma função (n + 1) vezes derivável em (a, b), (xi, f(xi)),
i = 0, 1, 2, . . . , n, com xi > xj, se i > j.
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Forma de Lagrange
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Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Theorem
Considere f : [a, b] → R uma função (n + 1) vezes derivável em (a, b), (xi, f(xi)),
i = 0, 1, 2, . . . , n, com xi > xj, se i > j.
Seja pn(x) o polinômio interpolador nestes n + 1 pontos distintos. Então, para
x ∈ [a, b], ∃ ξ ∈ (a, b), tal que o erro é dado por:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Theorem
Considere f : [a, b] → R uma função (n + 1) vezes derivável em (a, b), (xi, f(xi)),
i = 0, 1, 2, . . . , n, com xi > xj, se i > j.
Seja pn(x) o polinômio interpolador nestes n + 1 pontos distintos. Então, para
x ∈ [a, b], ∃ ξ ∈ (a, b), tal que o erro é dado por:
En(x) =
n
∏
i=0
(x − xi)
f(n+1)(ξ)
(n + 1)!
. (1)
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Forma de Newton
Interpolação Inversa
Estudo do Erro
Theorem
Considere f : [a, b] → R uma função (n + 1) vezes derivável em (a, b), (xi, f(xi)),
i = 0, 1, 2, . . . , n, com xi > xj, se i > j.
Seja pn(x) o polinômio interpolador nestes n + 1 pontos distintos. Então, para
x ∈ [a, b], ∃ ξ ∈ (a, b), tal que o erro é dado por:
En(x) =
n
∏
i=0
(x − xi)
f(n+1)(ξ)
(n + 1)!
. (1)
Uma consequência imediata deste teorema é que, apesar de se saber da existência de
um valor x = ξ que determina este erro e não conseguir encontrá-lo, podemos estimar
o erro no cálculo da aproximação para o valor da função pelo polinômio interpolador.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Cota para o erro na Interpolação Polinomial
Theorem
A cota para o erro En(x̄) obtido numa interpolação polinomial é
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Cota para o erro na Interpolação Polinomial
Theorem
A cota para o erro En(x̄) obtido numa interpolação polinomial é
Emax(x̄) =
n
∏
i=0
|x̄ − xi| · max
x∈[a,b]
{
|f(n+1)(x)|
(n + 1)!
}
. (2)
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Cota para o erro na Interpolação Polinomial
Theorem
A cota para o erro En(x̄) obtido numa interpolação polinomial é
Emax(x̄) =
n
∏
i=0
|x̄ − xi| · max
x∈[a,b]
{
|f(n+1)(x)|
(n + 1)!
}
. (2)
Example
Usando a tabela de valores dada abaixo, determine uma aproximação para e1.35 e
calcule uma cota para o erro cometido
x 1, 0 1, 2 1, 4 1, 6
ex 2, 718 3, 320 4, 055 4, 953
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Além de ser muito trabalhosa a determinação do polinômio interpolador por meio da
solução de um sistema de equações lineares, esta pode acarretar erros de
arredondamento, fazendo com que a solução obtida seja irreal. Por isso, veja outros
métodos que determinam o polinômio pn(x).
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n.
A forma de Lagrange para o polinômio interpolador é dada por:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n.
A forma de Lagrange para o polinômio interpolador é dada por:
pn(x) =
n
∑
i=0
f(xi) · Li(x), em que Li(x) =
n
∏
j=0
j̸=i
(x − xj)
(xi − xj)
.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Example
Encontre, pela forma de Lagrange, o polinômio que interpola os pontos da tabela
x −1 0 2
f(x) 4 1 −1
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Example
Encontre, pela forma de Lagrange, o polinômio que interpola os pontos da tabela
x −1 0 2
f(x) 4 1 −1
Solução: O polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 (observe aqui que temos
três pontos) é:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Example
Encontre, pela forma de Lagrange, o polinômio que interpola os pontos da tabela
x −1 0 2
f(x) 4 1 −1
Solução: O polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 (observe aqui que temos
três pontos) é:
p2(x) = f(x0) · L0(x) + f(x1) · L1(x) + f(x2) · L2(x).
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Os multiplicadores Li(x), i = 0, 1, 2, são:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Os multiplicadores Li(x), i = 0, 1, 2, são:
L0(x) =
(x − x1) · (x − x2)
(x0 − x1) · (x0 − x2)
=
(x − 0) · (x − 2)
(−1 + 0) · (0 − 2)
=
x2 − 2x
3
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Os multiplicadores Li(x), i = 0, 1, 2, são:
L0(x) =
(x − x1) · (x − x2)
(x0 − x1) · (x0 − x2)
=
(x − 0) · (x − 2)
(−1 + 0) · (0 − 2)
=
x2 − 2x
3
L1(x) =
(x − x0) · (x − x2)
(x1 − x0) · (x1 − x2)
=
(x + 1) · (x − 2)
(0 + 1) · (0 − 2)
=
−x2 + x + 2
2
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Os multiplicadores Li(x), i = 0, 1, 2, são:
L0(x) =
(x − x1) · (x − x2)
(x0 − x1) · (x0 − x2)
=
(x − 0) · (x − 2)
(−1 + 0) · (0 − 2)
=
x2 − 2x
3
L1(x) =
(x − x0) · (x − x2)
(x1 − x0) · (x1 − x2)
=
(x + 1) · (x − 2)
(0 + 1) · (0 − 2)
=
−x2 + x + 2
2
L2(x) =
(x − x0) · (x − x1)
(x2 − x0) · (x2 − x1)
=
(x + 1) · (x − 0)
(2 + 1) · (2 − 0)
=
x2 + x
6
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Assim,
p2(x) = 4 ·
x2 − 2x
3
+ 1 ·
−x2 + x + 2
2
+ (−1) ·
x2 + x
6
= 1 −
7
3
x +
2
3
x2
.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Assim,
p2(x) = 4 ·
x2 − 2x
3
+ 1 ·
−x2 + x + 2
2
+ (−1) ·
x2 + x
6
= 1 −
7
3
x +
2
3
x2
.
Observe que o polinômio obtido é o mesmo que o da resolução do sistema.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Example
Determine p3(0, 5) sabendo que o gráfico de p3 passa pelos pontos (−1; 1), (0; 3),
(1; 1), (2; 1).
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Example
Determine p3(0, 5) sabendo que o gráfico de p3 passa pelos pontos (−1; 1), (0; 3),
(1; 1), (2; 1).
Solução:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Example
Determine p3(0, 5) sabendo que o gráfico de p3 passa pelos pontos (−1; 1), (0; 3),
(1; 1), (2; 1).
Solução:
O polinômio interpolador de Lagrange de grau 3 avaliado em 0, 5 é:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Example
Determine p3(0, 5) sabendo que o gráfico de p3 passa pelos pontos (−1; 1), (0; 3),
(1; 1), (2; 1).
Solução:
O polinômio interpolador de Lagrange de grau 3 avaliado em 0, 5 é:
p2(0, 5) = f(x0) · L0(0, 5) + f(x1) · L1(0, 5) + f(x2) · L2(0, 5) + f(x3) · L3(0, 5).
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Example
Determine p3(0, 5) sabendo que o gráfico de p3 passa pelos pontos (−1; 1), (0; 3),
(1; 1), (2; 1).
Solução:
O polinômio interpolador de Lagrange de grau 3 avaliado em 0, 5 é:
p2(0, 5) = f(x0) · L0(0, 5) + f(x1) · L1(0, 5) + f(x2) · L2(0, 5) + f(x3) · L3(0, 5).
Os multiplicadores Li(x), i = 0, 1, 2, 3, avaliados em x = 0, 5 são:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Example
Determine p3(0, 5) sabendo que o gráfico de p3 passa pelos pontos (−1; 1), (0; 3),
(1; 1), (2; 1).
Solução:
O polinômio interpolador de Lagrange de grau 3 avaliado em 0, 5 é:
p2(0, 5) = f(x0) · L0(0, 5) + f(x1) · L1(0, 5) + f(x2) · L2(0, 5) + f(x3) · L3(0, 5).
Os multiplicadores Li(x), i = 0, 1, 2, 3, avaliados em x = 0, 5 são:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
L0(0, 5) =
(0, 5 − x1) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3)
(−1 − x1) · (−1 − x2) · (−1 − x3)
=
(0, 5 − 0) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2)
(−1 − 0) · (−1 − 1) · (−1 − 2)
=
1
16
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
L0(0, 5) =
(0, 5 − x1) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3)
(−1 − x1) · (−1 − x2) · (−1 − x3)
=
(0, 5 − 0) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2)
(−1 − 0) · (−1 − 1) · (−1 − 2)
=
1
16
L1(0, 5) =
(0, 5 − x0) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3)
(x1 − x0) · (x1 − x2) · (x1 − x3)
=
(0, 5 + 1) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2)
(0 + 1) · (0 − 1) · (0 − 2)
=
9
16
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
L0(0, 5) =
(0, 5 − x1) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3)
(−1 − x1) · (−1 − x2) · (−1 − x3)
=
(0, 5 − 0) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2)
(−1 − 0) · (−1 − 1) · (−1 − 2)
=
1
16
L1(0, 5) =
(0, 5 − x0) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3)
(x1 − x0) · (x1 − x2) · (x1 − x3)
=
(0, 5 + 1) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2)
(0 + 1) · (0 − 1) · (0 − 2)
=
9
16
L2(0, 5) =
(x − x0) · (x − x1) · (x − x3)
(x2 − x0) · (x2 − x1) · (x2 − x3)
=
(0, 5 + 1) · (0, 5 − 0) · (0, 5 − 2)
(1 + 1) · (1 − 0) · (1 − 2)
=
1
16
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
L0(0, 5) =
(0, 5 − x1) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3)
(−1 − x1) · (−1 − x2) · (−1 − x3)
=
(0, 5 − 0) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2)
(−1 − 0) · (−1 − 1) · (−1 − 2)
=
1
16
L1(0, 5) =
(0, 5 − x0) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3)
(x1 − x0) · (x1 − x2) · (x1 − x3)
=
(0, 5 + 1) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2)
(0 + 1) · (0 − 1) · (0 − 2)
=
9
16
L2(0, 5) =
(x − x0) · (x − x1) · (x − x3)
(x2 − x0) · (x2 − x1) · (x2 − x3)
=
(0, 5 + 1) · (0, 5 − 0) · (0, 5 − 2)
(1 + 1) · (1 − 0) · (1 − 2)
=
1
16
L3(0, 5) =
(x − x0) · (x − x1) · (x − x2)
(x3 − x0) · (x3 − x1) · (x3 − x2)
=
(0, 5 + 1) · (0, 5 − 0) · (0, 5 − 1)
(2 + 1) · (2 − 0) · (2 − 1)
=
−1
16
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Assim,
p3(0, 5) = 1 ·
1
16
+ 3 ·
9
16
+ 1 ·
1
16
+ 1 ·
−1
16
=
7
4
.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Assim,
p3(0, 5) = 1 ·
1
16
+ 3 ·
9
16
+ 1 ·
1
16
+ 1 ·
−1
16
=
7
4
.
Observe que não foi necessário determinar a expressão do polinômio.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Forma de Lagrange
Assim,
p3(0, 5) = 1 ·
1
16
+ 3 ·
9
16
+ 1 ·
1
16
+ 1 ·
−1
16
=
7
4
.
Observe que não foi necessário determinar a expressão do polinômio.
Atividade Básica
Determine, em cada caso, p3(1, 5), sabendo que o gráfico de p3 passa pelos pontos:
(a) (0; 1), (1; 2), (2; 3), (3; 0);
(b) (−1; 1), (0; 5), (2; −1), (3; 4).
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Para que possamos utilizar os mesmos cálculos tanto na interpolação quanto na
determinação do erro, introduziremos aqui algumas notações para reescrevermos, de
forma conveniente, as funções de Lagrange Li(x).
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
O polinômio interpolador de Lagrange é dado por:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
O polinômio interpolador de Lagrange é dado por:
pn(x) =
n
∑
i=0
f(xi) · Li(x),
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
O polinômio interpolador de Lagrange é dado por:
pn(x) =
n
∑
i=0
f(xi) · Li(x),
em que
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
O polinômio interpolador de Lagrange é dado por:
pn(x) =
n
∑
i=0
f(xi) · Li(x),
em que
Li(x) =
n
∏
j=0
j̸=i
(x − xj)
(xi − xj)
=
(x − x0) · . . . · (x − xi−1) · (x − xi+1) · . . . · (x − xn)
(xi − x0) · . . . · (xi − xi−1) · (xi − xi+1) · . . . · (xi − xn)
.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Multiplicando o numerador e o denominador desta última fração pelo fator (x − xi),
temos que:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Multiplicando o numerador e o denominador desta última fração pelo fator (x − xi),
temos que:
Li(x) =
(x − x0) · . . . · (x − xi−1) · (x − xi) · (x − xi+1) · . . . · (x − xn)
(xi − x0) · . . . · (xi − xi−1) · (x − xi) · (xi − xi+1) · . . . · (xi − xn)
.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Multiplicando o numerador e o denominador desta última fração pelo fator (x − xi),
temos que:
Li(x) =
(x − x0) · . . . · (x − xi−1) · (x − xi) · (x − xi+1) · . . . · (x − xn)
(xi − x0) · . . . · (xi − xi−1) · (x − xi) · (xi − xi+1) · . . . · (xi − xn)
.
Denotando o numerador por N(x) e o denominador por Di(x), isto é,
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Multiplicando o numerador e o denominador desta última fração pelo fator (x − xi),
temos que:
Li(x) =
(x − x0) · . . . · (x − xi−1) · (x − xi) · (x − xi+1) · . . . · (x − xn)
(xi − x0) · . . . · (xi − xi−1) · (x − xi) · (xi − xi+1) · . . . · (xi − xn)
.
Denotando o numerador por N(x) e o denominador por Di(x), isto é,
{
N(x) = (x − x0) · . . . · (x − xi−1) · (x − xi) · (x − xi+1) · . . . · (x − xn)
Di(x) = (xi − x0) · . . . · (xi − xi−1) · (x − xi) · (xi − xi+1) · . . . · (xi − xn)
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Tem-se, então
Li(x) =
N(x)
Di(x)
.
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Tem-se, então
Li(x) =
N(x)
Di(x)
.
Assim, pode-se reescrever, respectivamente, o polinômio interpolador de Lagrange e a
cota para o erro, da seguinte forma:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Tem-se, então
Li(x) =
N(x)
Di(x)
.
Assim, pode-se reescrever, respectivamente, o polinômio interpolador de Lagrange e a
cota para o erro, da seguinte forma:
pn(x) =
n
∑
i=0
f(xi) · Li(x) =
n
∑
i=0
f(xi) ·
N(x)
Di(x)
= N(x) ·
n
∑
i=0
f(xi)
Di(x)
,
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Tem-se, então
Li(x) =
N(x)
Di(x)
.
Assim, pode-se reescrever, respectivamente, o polinômio interpolador de Lagrange e a
cota para o erro, da seguinte forma:
pn(x) =
n
∑
i=0
f(xi) · Li(x) =
n
∑
i=0
f(xi) ·
N(x)
Di(x)
= N(x) ·
n
∑
i=0
f(xi)
Di(x)
,
Emax(x) =
|N|
(n + 1)!
· max
x∈[a,b]
{|f(n+1)
(x)|}.
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Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Com o intuito de determinar o valor de um polinômio de interpolação num ponto não
tabelado, sem determinar sua expressão, a seguinte tabela pode ser utilizada
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Com o intuito de determinar o valor de um polinômio de interpolação num ponto não
tabelado, sem determinar sua expressão, a seguinte tabela pode ser utilizada
i Di(x) f(xi) f(xi)/Di(x)
0 (x − x0) (x0 − x1) · · · (x0 − xn)
1 (x1 − x0) (x − x1) · · · (x1 − xn)
.
.
.
.
.
.
.
.
. · · ·
.
.
.
n (xn − x0) (xn − x1) · · · (x − xn)
∑
f(xi)/Di(x)
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Example
Usando a tabela de valores dada abaixo, determine uma aproximação para e1,35 e
calcule uma cota para o erro cometido
x 1, 0 1, 2 1, 4 1, 6
ex
2, 718 3, 320 4, 055 4, 953
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Example
Usando a tabela de valores dada abaixo, determine uma aproximação para e1,35 e
calcule uma cota para o erro cometido
x 1, 0 1, 2 1, 4 1, 6
ex
2, 718 3, 320 4, 055 4, 953
Solução:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Example
Usando a tabela de valores dada abaixo, determine uma aproximação para e1,35 e
calcule uma cota para o erro cometido
x 1, 0 1, 2 1, 4 1, 6
ex
2, 718 3, 320 4, 055 4, 953
Solução:
i Di(x) f(xi) f(xi)/Di(x)
0 1, 35 − 1, 00 1, 00 − 1, 20 1, 00 − 1, 40 1, 00 − 1, 60
1 1, 20 − 1, 00 1, 35 − 1, 20 1, 20 − 1, 40 1, 20 − 1, 60
2 1, 40 − 1, 00 1, 40 − 1, 20 1, 35 − 1, 40 1, 40 − 1, 60
3 1, 60 − 1, 00 1, 60 − 1, 20 1, 60 − 1, 40 1, 35 − 1, 60
∑
f(xi)/Di(x)
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
Example
Usando a tabela de valores dada abaixo, determine uma aproximação para e1,35 e
calcule uma cota para o erro cometido
x 1, 0 1, 2 1, 4 1, 6
ex
2, 718 3, 320 4, 055 4, 953
Solução:
i Di(x) f(xi) f(xi)/Di(x)
0 0, 35 −0, 20 −0, 40 −0, 60 −0, 0168 2, 718 −161, 786
1 0, 20 0, 15 −0, 20 −0, 40 0, 0024 3, 320 1383, 333
2 0, 40 0, 20 −0, 05 −0, 20 0, 0008 4, 055 5068, 750
3 0, 60 0, 40 0, 20 −0, 25 −0, 0120 4, 953 −412, 750
5877, 547
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
N(1, 35) = 0, 35 · 0, 15 · (−0, 05) · (−0, 25) = 0, 00065625
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
N(1, 35) = 0, 35 · 0, 15 · (−0, 05) · (−0, 25) = 0, 00065625
Logo, e1,35 ≈ 0, 00065625 · 5877, 547 ≈ 3, 85714.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
N(1, 35) = 0, 35 · 0, 15 · (−0, 05) · (−0, 25) = 0, 00065625
Logo, e1,35 ≈ 0, 00065625 · 5877, 547 ≈ 3, 85714.
f(x) = ex
=⇒ f(4)
(x) = ex
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
N(1, 35) = 0, 35 · 0, 15 · (−0, 05) · (−0, 25) = 0, 00065625
Logo, e1,35 ≈ 0, 00065625 · 5877, 547 ≈ 3, 85714.
f(x) = ex
=⇒ f(4)
(x) = ex
Como, f(4)(x) = ex é uma função crescente no intervalo [1, 0; 1, 6],
|f(4)
(x)| ≤ e1,6
≈ 4, 953, ∀ x ∈ [1, 0; 1, 6].
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange
N(1, 35) = 0, 35 · 0, 15 · (−0, 05) · (−0, 25) = 0, 00065625
Logo, e1,35 ≈ 0, 00065625 · 5877, 547 ≈ 3, 85714.
f(x) = ex
=⇒ f(4)
(x) = ex
Como, f(4)(x) = ex é uma função crescente no intervalo [1, 0; 1, 6],
|f(4)
(x)| ≤ e1,6
≈ 4, 953, ∀ x ∈ [1, 0; 1, 6].
Logo,
Emax =
|N|
· 4, 953 ≈ 0, 000136.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Introdução
A forma de Lagrange para a determinação do polinômio de interpolação de uma
função y = f(x) sobre um conjunto de pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n possui um
inconveniente: sempre que se deseja passar de um polinômio de grau n sobre n + 1
pontos para um polinômio de grau n + 1 sobre n + 2 pontos, todo o trabalho tem que
ser praticamente refeito.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Introdução
A forma de Lagrange para a determinação do polinômio de interpolação de uma
função y = f(x) sobre um conjunto de pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n possui um
inconveniente: sempre que se deseja passar de um polinômio de grau n sobre n + 1
pontos para um polinômio de grau n + 1 sobre n + 2 pontos, todo o trabalho tem que
ser praticamente refeito.
Seria interessante se houvesse a possibilidade de, conhecido o polinômio de grau n,
passar-se para o de grau n + 1 apenas acrescentando-se mais um termo ao de grau n.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Introdução
A forma de Lagrange para a determinação do polinômio de interpolação de uma
função y = f(x) sobre um conjunto de pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n possui um
inconveniente: sempre que se deseja passar de um polinômio de grau n sobre n + 1
pontos para um polinômio de grau n + 1 sobre n + 2 pontos, todo o trabalho tem que
ser praticamente refeito.
Seria interessante se houvesse a possibilidade de, conhecido o polinômio de grau n,
passar-se para o de grau n + 1 apenas acrescentando-se mais um termo ao de grau n.
Tal objetivo é alcançado através da forma de Newton do polinômio de interpolação,
porém, para a construção do polinômio de interpolação por este método, precisamos
do operador de diferenças divididas de uma função.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Operador de Diferenças Divididas
Um operador é uma aplicação cujo domínio é um espaço vetorial e tem como
contra-domínio R.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Operador de Diferenças Divididas
Definition
Seja f(x) uma função definida em n + 1 valores distintos x0, x1, …e xn. O operador de diferença
dividida de ordem:
zero, em xk: f[xk] = f(xk)
um, em xk e xk+1: f[xk, xk+1] =
f[xk+1] − f[xk]
xk+1 − xk
dois, em xk, xk+1 e xk+2: f[xk, xk+1, xk+2] =
f[xk+1, xk+2] − f[xk, xk+1]
xk+2 − xk
3, em xk, xk+1, xk+2 e xk+3: f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] =
f[xk+1, xk+2, xk+3] − f[xk, xk+1, xk+2]
xk+3 − xk
n, em xk, xk+1 . . . xk+n: f[xk, xk+1, . . . , xk+n] =
f[xk+1, . . . , xk+n] − f[xk, . . . , xk+n−1]
xk+n − xk
.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Operador de Diferenças Divididas
Definition
zero, em xk: f[xk] = f(xk)
um, em xk e xk+1: f[xk, xk+1] =
f[xk+1] − f[xk]
xk+1 − xk
dois, em xk, xk+1 e xk+2: f[xk, xk+1, xk+2] =
f[xk+1, xk+2] − f[xk, xk+1]
xk+2 − xk
3, em xk, xk+1, xk+2 e xk+3: f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] =
f[xk+1, xk+2, xk+3] − f[xk, xk+1, xk+2]
xk+3 − xk
n, em xk, xk+1 . . . xk+n: f[xk, xk+1, . . . , xk+n] =
f[xk+1, . . . , xk+n] − f[xk, . . . , xk+n−1]
xk+n − xk
.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Operador de Diferenças Divididas
Definition
zero, em xk: f[xk] = f(xk)
um, em xk e xk+1: f[xk, xk+1] =
f[xk+1] − f[xk]
xk+1 − xk
dois, em xk, xk+1 e xk+2: f[xk, xk+1, xk+2] =
f[xk+1, xk+2] − f[xk, xk+1]
xk+2 − xk
3, em xk, xk+1, xk+2 e xk+3: f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] =
f[xk+1, xk+2, xk+3] − f[xk, xk+1, xk+2]
xk+3 − xk
n, em xk, xk+1 . . . xk+n: f[xk, xk+1, . . . , xk+n] =
f[xk+1, . . . , xk+n] − f[xk, . . . , xk+n−1]
xk+n − xk
.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Operador de Diferenças Divididas
Definition
zero, em xk: f[xk] = f(xk)
um, em xk e xk+1: f[xk, xk+1] =
f[xk+1] − f[xk]
xk+1 − xk
dois, em xk, xk+1 e xk+2: f[xk, xk+1, xk+2] =
f[xk+1, xk+2] − f[xk, xk+1]
xk+2 − xk
3, em xk, xk+1, xk+2 e xk+3: f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] =
f[xk+1, xk+2, xk+3] − f[xk, xk+1, xk+2]
xk+3 − xk
n, em xk, xk+1 . . . xk+n: f[xk, xk+1, . . . , xk+n] =
f[xk+1, . . . , xk+n] − f[xk, . . . , xk+n−1]
xk+n − xk
.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Operador de Diferenças Divididas
Definition
zero, em xk: f[xk] = f(xk)
um, em xk e xk+1: f[xk, xk+1] =
f[xk+1] − f[xk]
xk+1 − xk
dois, em xk, xk+1 e xk+2: f[xk, xk+1, xk+2] =
f[xk+1, xk+2] − f[xk, xk+1]
xk+2 − xk
3, em xk, xk+1, xk+2 e xk+3: f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] =
f[xk+1, xk+2, xk+3] − f[xk, xk+1, xk+2]
xk+3 − xk
n, em xk, xk+1 . . . xk+n: f[xk, xk+1, . . . , xk+n] =
f[xk+1, . . . , xk+n] − f[xk, . . . , xk+n−1]
xk+n − xk
.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Operador de Diferenças Divididas
Definition
zero, em xk: f[xk] = f(xk)
um, em xk e xk+1: f[xk, xk+1] =
f[xk+1] − f[xk]
xk+1 − xk
dois, em xk, xk+1 e xk+2: f[xk, xk+1, xk+2] =
f[xk+1, xk+2] − f[xk, xk+1]
xk+2 − xk
3, em xk, xk+1, xk+2 e xk+3: f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] =
f[xk+1, xk+2, xk+3] − f[xk, xk+1, xk+2]
xk+3 − xk
n, em xk, xk+1 . . . xk+n: f[xk, xk+1, . . . , xk+n] =
f[xk+1, . . . , xk+n] − f[xk, . . . , xk+n−1]
xk+n − xk
.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Operador de Diferenças Divididas
As diferenças divididas da função y = f(x) é um operador simétrico, isto é, independe
da ordem de seus argumentos. Assim, a ordem com a qual arrumamos a sequencia
deste operador não modifica o seu valor, ou seja,
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Operador de Diferenças Divididas
As diferenças divididas da função y = f(x) é um operador simétrico, isto é, independe
da ordem de seus argumentos. Assim, a ordem com a qual arrumamos a sequencia
deste operador não modifica o seu valor, ou seja,
f[x0, x1, . . . , xk] = f[xj0 , xj1 , . . . , xjk
],
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Operador de Diferenças Divididas
As diferenças divididas da função y = f(x) é um operador simétrico, isto é, independe
da ordem de seus argumentos. Assim, a ordem com a qual arrumamos a sequencia
deste operador não modifica o seu valor, ou seja,
f[x0, x1, . . . , xk] = f[xj0 , xj1 , . . . , xjk
],
em que (j0, j1, . . . , jk) é uma permutação qualquer da sequencia (0, 1, . . . , k).
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas
Note que a forma de cálculo desses operadores é construtiva, ou seja, para obter a
diferença dividida de ordem n é necessário as diferenças divididas de ordem
n − 1, n − 2, . . . , 1, 0.
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas
Note que a forma de cálculo desses operadores é construtiva, ou seja, para obter a
diferença dividida de ordem n é necessário as diferenças divididas de ordem
n − 1, n − 2, . . . , 1, 0.
Um esquema prático para o cálculo desses operadores é dado pela tabela
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas
x f[xk] f[xk, xk+1] f[xk, xk+1, xk+2] · · · f[xk, . . . , xk+n]
x0 f[x0]
f[x0, x1]
x1 f[x1] f[x0, x1, x2]
f[x1, x2]
x2 f[x2] f[x1, x2, x3]
.
.
.
.
.
.
f[xk, . . . , xk+n]
.
.
.
.
.
.
xn−2 f[xn−2] f[xn−3, xn−2, xn−1]
f[xn−2, xn−1]
xn−1 f[xn−1] f[xn−2, xn−1, xn]
f[xn−1, xn]
xn f[xn]
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas
Example
Para a função
x −2 −1 0 1 2
f(x) −2 29 30 31 62
construa a tabela de diferenças divididas.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas
Example
Para a função
x −2 −1 0 1 2
f(x) −2 29 30 31 62
construa a tabela de diferenças divididas.
Solução:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas
Example
Para a função
x −2 −1 0 1 2
f(x) −2 29 30 31 62
construa a tabela de diferenças divididas.
Solução: Usando a tabela do dispositivo prático para o método de Newton, temos:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas
Example
Para a função
x −2 −1 0 1 2
f(x) −2 29 30 31 62
construa a tabela de diferenças divididas.
Solução: Usando a tabela do dispositivo prático para o método de Newton, temos:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas
xk f[xk] f[xk, xk+1] f[xk, xk+1, xk+2] f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] f[xk, xk+1, xk+2, xk+3, xk+4]
−2 −2
29 − (−2)
−1 − (−2)
= 31
−1 29
1 − (−31)
0 − (−2)
= −15
30 − 29
0 − (−1)
= 1
0 − (−15)
1 − (−2)
= 5
0 30
1 − 1
1 − (−1)
= 0
5 − 5
2 − (−2)
= 0
31 − 30
1 − 0
= 1
15 − 0
2 − (−1)
= 5
1 31
31 − 1
2 − 0
= 15
62 − 31
2 − 1
= 31
2 62
10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Veremos, mais adiante, que os resultados a serem utilizados na forma de Newton para
a determinação do polinômio de interpolação são os primeiros valores em cada coluna
desta tabela.
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Veremos, mais adiante, que os resultados a serem utilizados na forma de Newton para
a determinação do polinômio de interpolação são os primeiros valores em cada coluna
desta tabela.
A forma de Newton do polinômio interpolador é baseada nos operadores de diferenças
divididas e, ao contrário da forma de Lagrange, ela permite aumentar o grau do
polinômio sem termos que refazer os cálculos já efetuados.
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Veremos, mais adiante, que os resultados a serem utilizados na forma de Newton para
a determinação do polinômio de interpolação são os primeiros valores em cada coluna
desta tabela.
A forma de Newton do polinômio interpolador é baseada nos operadores de diferenças
divididas e, ao contrário da forma de Lagrange, ela permite aumentar o grau do
polinômio sem termos que refazer os cálculos já efetuados.
Consequentemente, esta forma de interpolar é bastante importante na prática, pois,
podemos aumentar o grau do polinômio interpolador sem o aumento expressivo do
esforço computacional.
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n.
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n.
A diferença dividida de ordem dois entre os pontos x, x0 e x1 é:
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n.
A diferença dividida de ordem dois entre os pontos x, x0 e x1 é:
f[x, x0, x1] =
f[x, x0] − f[x0, x1]
x1 − x
.
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n.
A diferença dividida de ordem dois entre os pontos x, x0 e x1 é:
f[x, x0, x1] =
f[x, x0] − f[x0, x1]
x1 − x
.
Isolando a diferença de ordem um que depende de x, temos:
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n.
A diferença dividida de ordem dois entre os pontos x, x0 e x1 é:
f[x, x0, x1] =
f[x, x0] − f[x0, x1]
x1 − x
.
Isolando a diferença de ordem um que depende de x, temos:
f[x, x0] = f[x0, x1] + (x1 − x) · f[x, x0, x1]
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Aplicamos a definição de diferença de ordem um no primeiro termo. Assim,
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Aplicamos a definição de diferença de ordem um no primeiro termo. Assim,
f(x0) − f(x)
x0 − x
= f[x0, x1] + (x1 − x) · f[x, x0, x1]
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Aplicamos a definição de diferença de ordem um no primeiro termo. Assim,
f(x0) − f(x)
x0 − x
= f[x0, x1] + (x1 − x) · f[x, x0, x1]
e isto implica que
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Aplicamos a definição de diferença de ordem um no primeiro termo. Assim,
f(x0) − f(x)
x0 − x
= f[x0, x1] + (x1 − x) · f[x, x0, x1]
e isto implica que
f(x) = f(x0) + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f[x, x0, x1].
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Se fizermos
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Se fizermos
p1(x) = f(x0) + (x − x0) · f[x0, x1] e E1(x) = (x − x0)(x − x1)f[x, x0, x1],
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Se fizermos
p1(x) = f(x0) + (x − x0) · f[x0, x1] e E1(x) = (x − x0)(x − x1)f[x, x0, x1],
a função f(x) se torna a soma de um polinômio de grau um e uma função E1(x), que
depende da diferença dividida de ordem dois em x, x0 e x1.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Se fizermos
p1(x) = f(x0) + (x − x0) · f[x0, x1] e E1(x) = (x − x0)(x − x1)f[x, x0, x1],
a função f(x) se torna a soma de um polinômio de grau um e uma função E1(x), que
depende da diferença dividida de ordem dois em x, x0 e x1.
Desta forma, podemos dizer que o polinômio p1(x) interpola valores de x entre x0 e x1,
com erro de E1(x), pois,
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Se fizermos
p1(x) = f(x0) + (x − x0) · f[x0, x1] e E1(x) = (x − x0)(x − x1)f[x, x0, x1],
a função f(x) se torna a soma de um polinômio de grau um e uma função E1(x), que
depende da diferença dividida de ordem dois em x, x0 e x1.
Desta forma, podemos dizer que o polinômio p1(x) interpola valores de x entre x0 e x1,
com erro de E1(x), pois,
p1(x0) = f(x0) + (x0 − x0) · f[x0, x1] = f(x0)
p1(x1) = f(x0) + (x1 − x0) · f[x0, x1] = f(x1)
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
De forma análoga, podemos calcular a diferença dividida de ordem n, sobre os pontos
x, x0, x1, …e xn, obtendo:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
De forma análoga, podemos calcular a diferença dividida de ordem n, sobre os pontos
x, x0, x1, …e xn, obtendo:
f(x) = pn(x) + En(x),
em que
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
De forma análoga, podemos calcular a diferença dividida de ordem n, sobre os pontos
x, x0, x1, …e xn, obtendo:
f(x) = pn(x) + En(x),
em que
pn(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2]
+ . . . + (x − x0) · . . . · (x − xn−1) · f[x0, . . . , xn]
= f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] +
n
∑
i=2
(x − x0) · . . . · (x − xi−1)f[x1, . . . , xi],
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
De forma análoga, podemos calcular a diferença dividida de ordem n, sobre os pontos
x, x0, x1, …e xn, obtendo:
f(x) = pn(x) + En(x),
em que
pn(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2]
+ . . . + (x − x0) · . . . · (x − xn−1) · f[x0, . . . , xn]
= f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] +
n
∑
i=2
(x − x0) · . . . · (x − xi−1)f[x1, . . . , xi],
e
En(x) =
n
∏
i=0
(x − xi) · f[x, x0, x1, . . . , xn].
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Esta equação representa o erro cometido na interpolação sobre os valores x0, x1 …e xn.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Esta equação representa o erro cometido na interpolação sobre os valores x0, x1 …e xn.
Quando aproximamos f(ξ) por pn(ξ), o erro é dado por En(ξ).
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Esta equação representa o erro cometido na interpolação sobre os valores x0, x1 …e xn.
Quando aproximamos f(ξ) por pn(ξ), o erro é dado por En(ξ).
Porém, este depende da diferença dividida f[ξ, x0, x1, . . . , xn], que por sua vez, depende
do valor de f(ξ).
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Esta equação representa o erro cometido na interpolação sobre os valores x0, x1 …e xn.
Quando aproximamos f(ξ) por pn(ξ), o erro é dado por En(ξ).
Porém, este depende da diferença dividida f[ξ, x0, x1, . . . , xn], que por sua vez, depende
do valor de f(ξ).
Como a função f(x) é tabelada, não temos como calcular este valor.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Esta equação representa o erro cometido na interpolação sobre os valores x0, x1 …e xn.
Quando aproximamos f(ξ) por pn(ξ), o erro é dado por En(ξ).
Porém, este depende da diferença dividida f[ξ, x0, x1, . . . , xn], que por sua vez, depende
do valor de f(ξ).
Como a função f(x) é tabelada, não temos como calcular este valor.
Portanto, para esta forma, trabalhamos com a mesma estimativa feita para a forma de
Lagrange.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Example
Encontre um polinômio, pela forma de Newton, que interpola os pontos da tabela
x −1 0 2
f(x) 4 1 −1
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Solução:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Solução:
Pela forma de Newton, temos que:
p2(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2].
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Solução:
Pela forma de Newton, temos que:
p2(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2].
Calculemos os valores dos operadores diferenças divididas.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
f[x0] = f(x0) = 4; f[x1] = f(x1) = 1; f[x2] = f(x2) = −1
f[x0, x1] =
f[x1] − f[x0]
x1 − x0
=
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
=
1 − 4
0 − (−1)
= −3
f[x1, x2] =
f[x2] − f[x1]
x2 − x1
=
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
=
−1 − 1
2 − 0
= −1
f[x0, x1, x2] =
f[x1, x2] − f[x0, x1]
x2 − x0
=
−1 − (−3)
2 − (−1)
=
2
3
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
f[x0] = f(x0) = 4; f[x1] = f(x1) = 1; f[x2] = f(x2) = −1
f[x0, x1] =
f[x1] − f[x0]
x1 − x0
=
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
=
1 − 4
0 − (−1)
= −3
f[x1, x2] =
f[x2] − f[x1]
x2 − x1
=
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
=
−1 − 1
2 − 0
= −1
f[x0, x1, x2] =
f[x1, x2] − f[x0, x1]
x2 − x0
=
−1 − (−3)
2 − (−1)
=
2
3
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
f[x0] = f(x0) = 4; f[x1] = f(x1) = 1; f[x2] = f(x2) = −1
f[x0, x1] =
f[x1] − f[x0]
x1 − x0
=
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
=
1 − 4
0 − (−1)
= −3
f[x1, x2] =
f[x2] − f[x1]
x2 − x1
=
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
=
−1 − 1
2 − 0
= −1
f[x0, x1, x2] =
f[x1, x2] − f[x0, x1]
x2 − x0
=
−1 − (−3)
2 − (−1)
=
2
3
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
f[x0] = f(x0) = 4; f[x1] = f(x1) = 1; f[x2] = f(x2) = −1
f[x0, x1] =
f[x1] − f[x0]
x1 − x0
=
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
=
1 − 4
0 − (−1)
= −3
f[x1, x2] =
f[x2] − f[x1]
x2 − x1
=
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
=
−1 − 1
2 − 0
= −1
f[x0, x1, x2] =
f[x1, x2] − f[x0, x1]
x2 − x0
=
−1 − (−3)
2 − (−1)
=
2
3
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Assim,
p2(x) = 4 + (x + 1) · (−3) + (x + 1) · x ·
2
3
= 1 −
7
3
x +
2
3
x2
.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Example
Encontre um polinômio, pela forma de Newton, que interpola os pontos da tabela
x −1 0 1 2 3
f(x) 1 1 0 −1 −2
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Example
Encontre um polinômio, pela forma de Newton, que interpola os pontos da tabela
x −1 0 1 2 3
f(x) 1 1 0 −1 −2
Solução:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Example
Encontre um polinômio, pela forma de Newton, que interpola os pontos da tabela
x −1 0 1 2 3
f(x) 1 1 0 −1 −2
Solução: Pela forma de Newton, temos que:
11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Example
Encontre um polinômio, pela forma de Newton, que interpola os pontos da tabela
x −1 0 1 2 3
f(x) 1 1 0 −1 −2
Solução: Pela forma de Newton, temos que:
p4(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2]
+ (x − x0) · (x − x1) · (x − x2) · f[x0, x1, x2, x3]
+ (x − x0) · (x − x1) · (x − x2) · (x − x3)f[x0, x1, x2, x3, x4].
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Example
Encontre um polinômio, pela forma de Newton, que interpola os pontos da tabela
x −1 0 1 2 3
f(x) 1 1 0 −1 −2
Solução: Pela forma de Newton, temos que:
p4(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2]
+ (x − x0) · (x − x1) · (x − x2) · f[x0, x1, x2, x3]
+ (x − x0) · (x − x1) · (x − x2) · (x − x3)f[x0, x1, x2, x3, x4].
Calculemos os valores dos operadores diferenças divididas.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Apliquemos o dispositivo prático:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Apliquemos o dispositivo prático:
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ordem 4
−1 1
0
0 1 −1/2
−1 1/6
1 0 0 −1/24
−1 0
2 −1 0
−1
3 −2
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Apliquemos o dispositivo prático:
x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ordem 4
−1 1
0
0 1 −1/2
−1 1/6
1 0 0 −1/24
−1 0
2 −1 0
−1
3 −2
Logo,
p4(x) = 1+(x+1)0+(x+1)x(−1/2)+(x+1)x(x−1)(1/6)+(x+1)x(x−1)(x−2)(−1/24).
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
O Polinômio Interpolador de Newton
Example
Considere a função f(x) = arctan(x).
(a) A partir dos valores f(0.3), f(0.5), f(0.7) e f(0.9), determine o valor
de f(0.8) utilizando um polinômio interpolador de Newton de grau 3;
(b) Usando a definição formal de f(x), determine o valor exato e o erro
cometido no item anterior.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Critério de escolha dos pontos
Uma das características da interpolação é que esta pode fornecer uma aproximação
local, sem a necessidade de usar todos os dados disponíveis.
12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Critério de escolha dos pontos
Example
Encontre uma aproximação para f(0.44), utilizando um polinômio de grau dois.
x 0.20 0.34 0.40 0.52 0.60 0.72
f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Critério de escolha dos pontos
Example
Encontre uma aproximação para f(0.44), utilizando um polinômio de grau dois.
x 0.20 0.34 0.40 0.52 0.60 0.72
f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
Solução:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Critério de escolha dos pontos
Example
Encontre uma aproximação para f(0.44), utilizando um polinômio de grau dois.
x 0.20 0.34 0.40 0.52 0.60 0.72
f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
Solução: Como a interpolação é através de um polinômio de grau dois,
necessitamos de três pontos.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Critério de escolha dos pontos
Example
Encontre uma aproximação para f(0.44), utilizando um polinômio de grau dois.
x 0.20 0.34 0.40 0.52 0.60 0.72
f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
Solução: Como a interpolação é através de um polinômio de grau dois,
necessitamos de três pontos.
O critério de escolha destes valores deve ser feito de maneira que minimizemos o erro.
Geralmente, tomamos aqueles valores que estão mais próximos do valor que desejamos
aproximar.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Critério de escolha dos pontos
Example
Encontre uma aproximação para f(0.44), utilizando um polinômio de grau dois.
x 0.20 0.34 0.40 0.52 0.60 0.72
f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
Solução: Como a interpolação é através de um polinômio de grau dois,
necessitamos de três pontos.
O critério de escolha destes valores deve ser feito de maneira que minimizemos o erro.
Geralmente, tomamos aqueles valores que estão mais próximos do valor que desejamos
aproximar.
Se escolhermos os valores x0 = 0.34, x1 = 0.40 e x2 = 0.52, o erro esta limitado por
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Critério de escolha dos pontos
Emax(0.44) = |(0.44 − 0.34)(0.44 − 0.40)(0.44 − 0.52)| · max
x∈[a,b]
{
|f(n+1)(x)|
(n + 1)!
}
= 0, 00032 · max
x∈[a,b]
{
|f(n+1)(x)|
(n + 1)!
}
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Critério de escolha dos pontos
Emax(0.44) = |(0.44 − 0.34)(0.44 − 0.40)(0.44 − 0.52)| · max
x∈[a,b]
{
|f(n+1)(x)|
(n + 1)!
}
= 0, 00032 · max
x∈[a,b]
{
|f(n+1)(x)|
(n + 1)!
}
Para x0 = 0, 40, x1 = 0, 52 e x2 = 0, 60, o erro esta limitado por
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Critério de escolha dos pontos
Emax(0.44) = |(0.44 − 0.34)(0.44 − 0.40)(0.44 − 0.52)| · max
x∈[a,b]
{
|f(n+1)(x)|
(n + 1)!
}
= 0, 00032 · max
x∈[a,b]
{
|f(n+1)(x)|
(n + 1)!
}
Para x0 = 0, 40, x1 = 0, 52 e x2 = 0, 60, o erro esta limitado por
Emax(0, 44) = |(0, 44 − 0, 40)(0, 44 − 0, 52)(0, 44 − 0, 60)| · max
x∈[a,b]
{
|f(n+1)(x)|
(n + 1)!
}
= 0, 000512 · max
x∈[a,b]
{
|f(n+1)(x)|
(n + 1)!
}
12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Critério de escolha dos pontos
Portanto, devemos utilizar os valores x0 = 0, 34, x1 = 0, 40 e x2 = 0, 52.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
O problema de interpolação inversa consiste em descobrir um valor para x̄ ∈ [a, b],
conhecido o valor f(x̄).
13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Temos duas formas de resolver o problema:
13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Temos duas formas de resolver o problema:
Obter o polinômio interpolador de f(x) e resolver a equação pn(x̄) = f(x̄). Em
geral, esta equação tem mais de uma solução se o grau do polinômio for maior
que dois. O procedimentos analíticos de resolução da equação se tornam mais
complicados ou até não existe tal procedimento.
Fazer uma interpolação inversa. Se f(x) é inversível num intervalo contendo y,
então interpolamos a função inversa, isto é, consideramos o conjunto de dados
x = f−1(y) e achamos o polinômio interpolador de f−1(y).
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Temos duas formas de resolver o problema:
Obter o polinômio interpolador de f(x) e resolver a equação pn(x̄) = f(x̄). Em
geral, esta equação tem mais de uma solução se o grau do polinômio for maior
que dois. O procedimentos analíticos de resolução da equação se tornam mais
complicados ou até não existe tal procedimento.
Fazer uma interpolação inversa. Se f(x) é inversível num intervalo contendo y,
então interpolamos a função inversa, isto é, consideramos o conjunto de dados
x = f−1(y) e achamos o polinômio interpolador de f−1(y).
13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Temos duas formas de resolver o problema:
Obter o polinômio interpolador de f(x) e resolver a equação pn(x̄) = f(x̄). Em
geral, esta equação tem mais de uma solução se o grau do polinômio for maior
que dois. O procedimentos analíticos de resolução da equação se tornam mais
complicados ou até não existe tal procedimento.
Fazer uma interpolação inversa. Se f(x) é inversível num intervalo contendo y,
então interpolamos a função inversa, isto é, consideramos o conjunto de dados
x = f−1(y) e achamos o polinômio interpolador de f−1(y).
A condição para que a função seja inversível é que esta seja monótona crescente ou
decrescente.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Temos duas formas de resolver o problema:
Obter o polinômio interpolador de f(x) e resolver a equação pn(x̄) = f(x̄). Em
geral, esta equação tem mais de uma solução se o grau do polinômio for maior
que dois. O procedimentos analíticos de resolução da equação se tornam mais
complicados ou até não existe tal procedimento.
Fazer uma interpolação inversa. Se f(x) é inversível num intervalo contendo y,
então interpolamos a função inversa, isto é, consideramos o conjunto de dados
x = f−1(y) e achamos o polinômio interpolador de f−1(y).
A condição para que a função seja inversível é que esta seja monótona crescente ou
decrescente.
Em termos dos pontos tabelados, tal condição é satisfeita quando f(xi) < f(xj) ou
f(xi) > f(xj), ∀ i > j.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 2 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 50 0, 60 0, 70 0, 80 0, 90 1, 00
f(x) 1, 65 1, 82 2, 01 2, 23 2, 46 2, 72
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 2 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 50 0, 60 0, 70 0, 80 0, 90 1, 00
f(x) 1, 65 1, 82 2, 01 2, 23 2, 46 2, 72
Solução: Observe que a interpolação será feita por um polinômio interpolador de grau
dois.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 2 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 50 0, 60 0, 70 0, 80 0, 90 1, 00
f(x) 1, 65 1, 82 2, 01 2, 23 2, 46 2, 72
Solução: Observe que a interpolação será feita por um polinômio interpolador de grau
dois. Assim, devemos escolher três pontos de forma que garanta uma aproximação
mais confiável. Utilizemos o seguinte critério:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
Solução: Observemos que existem duas possibilidades de encontramos um valor para x
tal que f(x) = 0, 9. Para x ∈ (0, 3; 0, 4) ou x ∈ (0, 6; 0, 7).
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
Solução: Observemos que existem duas possibilidades de encontramos um valor para x
tal que f(x) = 0, 9. Para x ∈ (0, 3; 0, 4) ou x ∈ (0, 6; 0, 7).
Como a função f(x) é crescente no intervalo (0, 2; 0, 5), esta admite inversa neste
intervalo. A função admite inversa no intervalo (0, 5; 0, 8), pois esta é decrescente
neste intervalo.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
Nos concentremos no intervalo [0, 2; 0, 5]. Montando a tabela da função inversa, temos
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
Nos concentremos no intervalo [0, 2; 0, 5]. Montando a tabela da função inversa, temos
y 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000
f−1(y) 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
Como desejamos um polinômio de grau dois, devemos escolher três valores.
Escolhamos os valores que estão mais próximos do valor y = 0, 9.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
Como desejamos um polinômio de grau dois, devemos escolher três valores.
Escolhamos os valores que estão mais próximos do valor y = 0, 9.
Assim, x0 = 0, 809; x1 = 0, 951 e x2 = 1, 000.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
Calculando-se as diferenças divididas, temos:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
Calculando-se as diferenças divididas, temos:
y f−1
(y) ordem 1 ordem 2
0, 809 0, 3
0, 704
0, 951 0, 4 6, 999
2, 040
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
e, consequentemente, o polinômio é dado por
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
e, consequentemente, o polinômio é dado por
p2(y) = 0, 3 + (y − 0, 809) · 0, 704 + (y − 0, 951)(y − 0, 809) · 6, 999
= 5, 115 − 11, 605y + 6, 994y2.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
Portanto, o valor de x tal que f(x) = 0, 9 é, aproximadamente,
x = f−1
(0, 9) ≈ p2(0, 9) = 0, 3315.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
Portanto, o valor de x tal que f(x) = 0, 9 é, aproximadamente,
x = f−1
(0, 9) ≈ p2(0, 9) = 0, 3315.
De forma análoga, obtemos x tal f(x) = 0, 9, no intervalo [0, 5; 0, 8]. Montando a
tabela da função inversa, temos:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
De forma análoga, obtemos x tal f(x) = 0, 9, no intervalo [0, 5; 0, 8]. Montando a
tabela da função inversa, temos:
y 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
f−1(y) 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
Como desejamos um polinômio de grau dois, devemos escolher três valores.
Escolhamos os valores que estão mais próximos do valor y = 0, 9.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
Como desejamos um polinômio de grau dois, devemos escolher três valores.
Escolhamos os valores que estão mais próximos do valor y = 0, 9.
Assim, x0 = 1, 000; x1 = 0, 912 e x2 = 0, 893.
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
Como desejamos um polinômio de grau dois, devemos escolher três valores.
Escolhamos os valores que estão mais próximos do valor y = 0, 9.
Assim, x0 = 1, 000; x1 = 0, 912 e x2 = 0, 893.
Calculando-se as diferenças divididas, temos:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
y f−1
(y) ordem 1 ordem 2
1, 000 0, 5
0, 912 0, 6
0, 893 0, 7
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
e, consequentemente, o polinômio é dado por:
13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
e, consequentemente, o polinômio é dado por:
p2(y) = 0, 5 + (y − 1) + (y − 1)(y − 0, 912)
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange
Forma de Newton
Interpolação Inversa
Interpolação Inversa
Example
Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de
grau dois.
x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8
f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788
e, consequentemente, o polinômio é dado por:
p2(y) = 0, 5 + (y − 1) + (y − 1)(y − 0, 912)
Portanto, o valor de x tal que f(x) = 0, 9 é, aproximadamente, x = f−1(0, 9) ≈ p2(0, 9).
13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
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  • 1. Cálculo Numérico I Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 18 de fevereiro de 2021 Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
  • 2. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Introdução 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 3. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Introdução Interpolar consiste em aproximar uma função f de determinada classe através de outra g que não necessita estar nesta mesma classe. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 4. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Introdução Interpolar consiste em aproximar uma função f de determinada classe através de outra g que não necessita estar nesta mesma classe. Por exemplo, um truncamento da série de Taylor é uma aproximação para a função exponencial. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 5. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Introdução Interpolar consiste em aproximar uma função f de determinada classe através de outra g que não necessita estar nesta mesma classe. Por exemplo, um truncamento da série de Taylor é uma aproximação para a função exponencial. Devido à razoável facilidade com a qual os polinômios podem ter as suas raízes, derivadas e integrais calculadas por métodos computacionais, estudaremos aqui o método da interpolação polinomial. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 6. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Introdução Interpolar consiste em aproximar uma função f de determinada classe através de outra g que não necessita estar nesta mesma classe. Por exemplo, um truncamento da série de Taylor é uma aproximação para a função exponencial. Devido à razoável facilidade com a qual os polinômios podem ter as suas raízes, derivadas e integrais calculadas por métodos computacionais, estudaremos aqui o método da interpolação polinomial. Portanto, existe uma vantagem considerável na substituição de uma função, de expressão altamente complicada, por um polinômio, considerando uma margem de erro pequena e aceitável. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 7. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Introdução Interpolar consiste em aproximar uma função f de determinada classe através de outra g que não necessita estar nesta mesma classe. Por exemplo, um truncamento da série de Taylor é uma aproximação para a função exponencial. Devido à razoável facilidade com a qual os polinômios podem ter as suas raízes, derivadas e integrais calculadas por métodos computacionais, estudaremos aqui o método da interpolação polinomial. Portanto, existe uma vantagem considerável na substituição de uma função, de expressão altamente complicada, por um polinômio, considerando uma margem de erro pequena e aceitável. A garantia da existência de um polinômio que aproxime uma determinada função é dada pelo Teorema de Weirstrass. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 8. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Introdução Utilizamos a interpolação, principalmente, quando: queremos determinar a imagem da função em um ponto cuja imagem não fora estabelecida, ou seja, não conhecemos a expressão analítica de f(x) e, a partir dos pontos (x0; f(x0)), (x1; f(x1)), . . ., (xn; f(xn)), obtemos o polinômio. Esta situação ocorre frequentemente quando se trabalha com dados experimentais e necessitamos manipular f(x). a função possui expressão extremamente complicada, de difícil ou impossível determinação. Visto isso, às vezes, se torna interessante sacrificar a precisão dos valores obtidos na imagem em prol do benefício da simplificação dos cálculos. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 9. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Introdução Utilizamos a interpolação, principalmente, quando: queremos determinar a imagem da função em um ponto cuja imagem não fora estabelecida, ou seja, não conhecemos a expressão analítica de f(x) e, a partir dos pontos (x0; f(x0)), (x1; f(x1)), . . ., (xn; f(xn)), obtemos o polinômio. Esta situação ocorre frequentemente quando se trabalha com dados experimentais e necessitamos manipular f(x). a função possui expressão extremamente complicada, de difícil ou impossível determinação. Visto isso, às vezes, se torna interessante sacrificar a precisão dos valores obtidos na imagem em prol do benefício da simplificação dos cálculos. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 10. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Introdução Utilizamos a interpolação, principalmente, quando: queremos determinar a imagem da função em um ponto cuja imagem não fora estabelecida, ou seja, não conhecemos a expressão analítica de f(x) e, a partir dos pontos (x0; f(x0)), (x1; f(x1)), . . ., (xn; f(xn)), obtemos o polinômio. Esta situação ocorre frequentemente quando se trabalha com dados experimentais e necessitamos manipular f(x). a função possui expressão extremamente complicada, de difícil ou impossível determinação. Visto isso, às vezes, se torna interessante sacrificar a precisão dos valores obtidos na imagem em prol do benefício da simplificação dos cálculos. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 11. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito Consideremos o conjunto X = {x0, x1, x2, . . . , xn} com n + 1 elementos e a função: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 12. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito Consideremos o conjunto X = {x0, x1, x2, . . . , xn} com n + 1 elementos e a função: f : X → R xi 7→ f(xi). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 13. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito Consideremos o conjunto X = {x0, x1, x2, . . . , xn} com n + 1 elementos e a função: f : X → R xi 7→ f(xi). Devemos encontrar uma função g(x), tal que 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 14. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito Consideremos o conjunto X = {x0, x1, x2, . . . , xn} com n + 1 elementos e a função: f : X → R xi 7→ f(xi). Devemos encontrar uma função g(x), tal que g(xk) = f(xk), k ∈ {0, 1, . . . , n}. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 15. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito Consideremos o conjunto X = {x0, x1, x2, . . . , xn} com n + 1 elementos e a função: f : X → R xi 7→ f(xi). Devemos encontrar uma função g(x), tal que g(xk) = f(xk), k ∈ {0, 1, . . . , n}. Neste tipo de interpolação, dados os n + 1 pontos (xi; f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n, devemos aproximar f(x) por um polinômio pn(x) de grau no máximo igual a n tal que 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 16. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito Consideremos o conjunto X = {x0, x1, x2, . . . , xn} com n + 1 elementos e a função: f : X → R xi 7→ f(xi). Devemos encontrar uma função g(x), tal que g(xk) = f(xk), k ∈ {0, 1, . . . , n}. Neste tipo de interpolação, dados os n + 1 pontos (xi; f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n, devemos aproximar f(x) por um polinômio pn(x) de grau no máximo igual a n tal que pn(xi) = f(xi), ∀ i ∈ {0, 1, . . . , n}. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 17. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito Tal polinômio é então chamado polinômio interpolador de uma função y = f(x) sobre um conjunto de pontos distintos (xi; f(xi)), i = {0, 1, . . . , n}. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 18. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito Tal polinômio é então chamado polinômio interpolador de uma função y = f(x) sobre um conjunto de pontos distintos (xi; f(xi)), i = {0, 1, . . . , n}. Como um polinômio de grau n possui n + 1 coeficientes, estes coeficientes são elementos do conjunto solução do sistema de equações 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 19. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito Tal polinômio é então chamado polinômio interpolador de uma função y = f(x) sobre um conjunto de pontos distintos (xi; f(xi)), i = {0, 1, . . . , n}. Como um polinômio de grau n possui n + 1 coeficientes, estes coeficientes são elementos do conjunto solução do sistema de equações pn(xi) = f(xi), i = 0, 1, . . . , n, 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 20. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito Tal polinômio é então chamado polinômio interpolador de uma função y = f(x) sobre um conjunto de pontos distintos (xi; f(xi)), i = {0, 1, . . . , n}. Como um polinômio de grau n possui n + 1 coeficientes, estes coeficientes são elementos do conjunto solução do sistema de equações pn(xi) = f(xi), i = 0, 1, . . . , n, ou seja, 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 21. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito Tal polinômio é então chamado polinômio interpolador de uma função y = f(x) sobre um conjunto de pontos distintos (xi; f(xi)), i = {0, 1, . . . , n}. Como um polinômio de grau n possui n + 1 coeficientes, estes coeficientes são elementos do conjunto solução do sistema de equações pn(xi) = f(xi), i = 0, 1, . . . , n, ou seja,              a0 + a1x0 + a2x2 0 + . . . + anxn 0 = f(x0) a0 + a1x1 + a2x2 1 + . . . + anxn 1 = f(x1) a0 + a1x2 + a2x2 2 + . . . + anxn 2 = f(x2) . . . a0 + a1xn + a2x2 n + . . . + anxn n = f(xn) 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 22. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito O sistema acima possui solução única. De fato, a matriz dos coeficientes 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 23. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito O sistema acima possui solução única. De fato, a matriz dos coeficientes X =        1 x0 x2 0 . . . xn 0 1 x1 x2 1 . . . xn 1 1 x2 x2 2 . . . xn 2 . . . . . . . . . . . . . . . 1 xn x2 n . . . xn n        3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 24. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito O sistema acima possui solução única. De fato, a matriz dos coeficientes X =        1 x0 x2 0 . . . xn 0 1 x1 x2 1 . . . xn 1 1 x2 x2 2 . . . xn 2 . . . . . . . . . . . . . . . 1 xn x2 n . . . xn n        é uma matriz de Vandermond e seu determinante é obtido por 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 25. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito O sistema acima possui solução única. De fato, a matriz dos coeficientes X =        1 x0 x2 0 . . . xn 0 1 x1 x2 1 . . . xn 1 1 x2 x2 2 . . . xn 2 . . . . . . . . . . . . . . . 1 xn x2 n . . . xn n        é uma matriz de Vandermond e seu determinante é obtido por det(X) = ∏ j>i (xj − xi). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 26. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito Como xi 6= xj, ∀ i 6= j, temos que det(X) 6= 0 e, portanto, o sistema linear admite única solução. Assim, podemos enunciar o seguinte teorema: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 27. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito Como xi 6= xj, ∀ i 6= j, temos que det(X) 6= 0 e, portanto, o sistema linear admite única solução. Assim, podemos enunciar o seguinte teorema: Theorem Existe um único polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que: pn(xi) = f(xi), i = {0, 1, . . . , n; xi 6= xj, i 6= j.} 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 28. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Conceito Como xi 6= xj, ∀ i 6= j, temos que det(X) 6= 0 e, portanto, o sistema linear admite única solução. Assim, podemos enunciar o seguinte teorema: Theorem Existe um único polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que: pn(xi) = f(xi), i = {0, 1, . . . , n; xi 6= xj, i 6= j.} Example Encontre um polinômio que interpola os pontos da tabela x −1 0 2 f(x) 4 1 −1 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 29. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Ao utilizarmos o polinômio interpolador para determinar uma aproximação para o valor de f num determinado ponto, estimativas para o erro podem ser obtidas, se a função f possui algumas propriedades. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 30. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Ao utilizarmos o polinômio interpolador para determinar uma aproximação para o valor de f num determinado ponto, estimativas para o erro podem ser obtidas, se a função f possui algumas propriedades. Consideremos os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n, xi ∈ (a, b) e a função 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 31. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Ao utilizarmos o polinômio interpolador para determinar uma aproximação para o valor de f num determinado ponto, estimativas para o erro podem ser obtidas, se a função f possui algumas propriedades. Consideremos os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n, xi ∈ (a, b) e a função ω(t) = f(t) − pn(t) − (f(x) − pn(x)) · (t − x0) · . . . · (t − xn) (x − x0) · . . . · (x − xn) , (1) 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 32. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Ao utilizarmos o polinômio interpolador para determinar uma aproximação para o valor de f num determinado ponto, estimativas para o erro podem ser obtidas, se a função f possui algumas propriedades. Consideremos os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n, xi ∈ (a, b) e a função ω(t) = f(t) − pn(t) − (f(x) − pn(x)) · (t − x0) · . . . · (t − xn) (x − x0) · . . . · (x − xn) , (1) em que f é n + 1 vezes derivável e pn é um polinômio de grau n. Segue, claramente, que ω é n + 1 derivável. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 33. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Observe que ω(xi) = 0, i = 0, 1, . . . , n e w(x) = 0, ou seja, ω(t) possui n + 2 raízes reais distintas em (a, b). 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 34. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Observe que ω(xi) = 0, i = 0, 1, . . . , n e w(x) = 0, ou seja, ω(t) possui n + 2 raízes reais distintas em (a, b). O Teorema de Rolle, aplicado tantas vezes quantas forem necessárias, garante que 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 35. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Observe que ω(xi) = 0, i = 0, 1, . . . , n e w(x) = 0, ou seja, ω(t) possui n + 2 raízes reais distintas em (a, b). O Teorema de Rolle, aplicado tantas vezes quantas forem necessárias, garante que ∃ ξ ∈ (a, b); ω(n+1) (ξ) = 0. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 36. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Observe que ω(xi) = 0, i = 0, 1, . . . , n e w(x) = 0, ou seja, ω(t) possui n + 2 raízes reais distintas em (a, b). O Teorema de Rolle, aplicado tantas vezes quantas forem necessárias, garante que ∃ ξ ∈ (a, b); ω(n+1) (ξ) = 0. Como φ(t) = (t − x0) · . . . · (t − xn) é um polinômio de grau n + 1 com coeficiente do termo de maior grau com valor unitário, temos que φ(n+1)(t) = (n + 1)!. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 37. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Observe que ω(xi) = 0, i = 0, 1, . . . , n e w(x) = 0, ou seja, ω(t) possui n + 2 raízes reais distintas em (a, b). O Teorema de Rolle, aplicado tantas vezes quantas forem necessárias, garante que ∃ ξ ∈ (a, b); ω(n+1) (ξ) = 0. Como φ(t) = (t − x0) · . . . · (t − xn) é um polinômio de grau n + 1 com coeficiente do termo de maior grau com valor unitário, temos que φ(n+1)(t) = (n + 1)!. Derivando-se n + 1 vezes a expressão ω e considerando as duas afirmações anteriores, temos que 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 38. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Observe que ω(xi) = 0, i = 0, 1, . . . , n e w(x) = 0, ou seja, ω(t) possui n + 2 raízes reais distintas em (a, b). O Teorema de Rolle, aplicado tantas vezes quantas forem necessárias, garante que ∃ ξ ∈ (a, b); ω(n+1) (ξ) = 0. Como φ(t) = (t − x0) · . . . · (t − xn) é um polinômio de grau n + 1 com coeficiente do termo de maior grau com valor unitário, temos que φ(n+1)(t) = (n + 1)!. Derivando-se n + 1 vezes a expressão ω e considerando as duas afirmações anteriores, temos que ω(n+1) (t) = f(n+1) (t) − (f(x) − pn(x)) · (n + 1)! (x − x0) · . . . · (x − xn) . 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 39. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Portanto, 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 40. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Portanto, 0 = ω(n+1) (ξ) = f(n+1) (ξ) − (f(x) − pn(x)) · (n + 1)! (x − x0) · . . . · (x − xn) , 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 41. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Portanto, 0 = ω(n+1) (ξ) = f(n+1) (ξ) − (f(x) − pn(x)) · (n + 1)! (x − x0) · . . . · (x − xn) , ou seja, 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 42. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Portanto, 0 = ω(n+1) (ξ) = f(n+1) (ξ) − (f(x) − pn(x)) · (n + 1)! (x − x0) · . . . · (x − xn) , ou seja, f(x) = pn(x) + (x − x0) · . . . · (x − xn) · f(n+1)(ξ) (n + 1)! . 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 43. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Portanto, 0 = ω(n+1) (ξ) = f(n+1) (ξ) − (f(x) − pn(x)) · (n + 1)! (x − x0) · . . . · (x − xn) , ou seja, f(x) = pn(x) + (x − x0) · . . . · (x − xn) · f(n+1)(ξ) (n + 1)! . Logo, o erro obtido ao utilizar um polinômio interpolador é dado por: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 44. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Portanto, 0 = ω(n+1) (ξ) = f(n+1) (ξ) − (f(x) − pn(x)) · (n + 1)! (x − x0) · . . . · (x − xn) , ou seja, f(x) = pn(x) + (x − x0) · . . . · (x − xn) · f(n+1)(ξ) (n + 1)! . Logo, o erro obtido ao utilizar um polinômio interpolador é dado por: En(x) = f(x) − pn(x) = n ∏ i=0 (x − xi) f(n+1)(ξ) (n + 1)! . 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 45. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Theorem Considere f : [a, b] → R uma função (n + 1) vezes derivável em (a, b), (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n, com xi > xj, se i > j. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 46. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Theorem Considere f : [a, b] → R uma função (n + 1) vezes derivável em (a, b), (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n, com xi > xj, se i > j. Seja pn(x) o polinômio interpolador nestes n + 1 pontos distintos. Então, para x ∈ [a, b], ∃ ξ ∈ (a, b), tal que o erro é dado por: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 47. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Theorem Considere f : [a, b] → R uma função (n + 1) vezes derivável em (a, b), (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n, com xi > xj, se i > j. Seja pn(x) o polinômio interpolador nestes n + 1 pontos distintos. Então, para x ∈ [a, b], ∃ ξ ∈ (a, b), tal que o erro é dado por: En(x) = n ∏ i=0 (x − xi) f(n+1)(ξ) (n + 1)! . (1) 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 48. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Estudo do Erro Theorem Considere f : [a, b] → R uma função (n + 1) vezes derivável em (a, b), (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n, com xi > xj, se i > j. Seja pn(x) o polinômio interpolador nestes n + 1 pontos distintos. Então, para x ∈ [a, b], ∃ ξ ∈ (a, b), tal que o erro é dado por: En(x) = n ∏ i=0 (x − xi) f(n+1)(ξ) (n + 1)! . (1) Uma consequência imediata deste teorema é que, apesar de se saber da existência de um valor x = ξ que determina este erro e não conseguir encontrá-lo, podemos estimar o erro no cálculo da aproximação para o valor da função pelo polinômio interpolador. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 49. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Cota para o erro na Interpolação Polinomial Theorem A cota para o erro En(x̄) obtido numa interpolação polinomial é 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 50. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Cota para o erro na Interpolação Polinomial Theorem A cota para o erro En(x̄) obtido numa interpolação polinomial é Emax(x̄) = n ∏ i=0 |x̄ − xi| · max x∈[a,b] { |f(n+1)(x)| (n + 1)! } . (2) 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 51. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Cota para o erro na Interpolação Polinomial Theorem A cota para o erro En(x̄) obtido numa interpolação polinomial é Emax(x̄) = n ∏ i=0 |x̄ − xi| · max x∈[a,b] { |f(n+1)(x)| (n + 1)! } . (2) Example Usando a tabela de valores dada abaixo, determine uma aproximação para e1.35 e calcule uma cota para o erro cometido x 1, 0 1, 2 1, 4 1, 6 ex 2, 718 3, 320 4, 055 4, 953 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 52. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Além de ser muito trabalhosa a determinação do polinômio interpolador por meio da solução de um sistema de equações lineares, esta pode acarretar erros de arredondamento, fazendo com que a solução obtida seja irreal. Por isso, veja outros métodos que determinam o polinômio pn(x). 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 53. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 54. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n. A forma de Lagrange para o polinômio interpolador é dada por: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 55. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n. A forma de Lagrange para o polinômio interpolador é dada por: pn(x) = n ∑ i=0 f(xi) · Li(x), em que Li(x) = n ∏ j=0 j̸=i (x − xj) (xi − xj) . 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 56. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Example Encontre, pela forma de Lagrange, o polinômio que interpola os pontos da tabela x −1 0 2 f(x) 4 1 −1 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 57. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Example Encontre, pela forma de Lagrange, o polinômio que interpola os pontos da tabela x −1 0 2 f(x) 4 1 −1 Solução: O polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 (observe aqui que temos três pontos) é: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 58. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Example Encontre, pela forma de Lagrange, o polinômio que interpola os pontos da tabela x −1 0 2 f(x) 4 1 −1 Solução: O polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 (observe aqui que temos três pontos) é: p2(x) = f(x0) · L0(x) + f(x1) · L1(x) + f(x2) · L2(x). 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 59. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Os multiplicadores Li(x), i = 0, 1, 2, são: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 60. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Os multiplicadores Li(x), i = 0, 1, 2, são: L0(x) = (x − x1) · (x − x2) (x0 − x1) · (x0 − x2) = (x − 0) · (x − 2) (−1 + 0) · (0 − 2) = x2 − 2x 3 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 61. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Os multiplicadores Li(x), i = 0, 1, 2, são: L0(x) = (x − x1) · (x − x2) (x0 − x1) · (x0 − x2) = (x − 0) · (x − 2) (−1 + 0) · (0 − 2) = x2 − 2x 3 L1(x) = (x − x0) · (x − x2) (x1 − x0) · (x1 − x2) = (x + 1) · (x − 2) (0 + 1) · (0 − 2) = −x2 + x + 2 2 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 62. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Os multiplicadores Li(x), i = 0, 1, 2, são: L0(x) = (x − x1) · (x − x2) (x0 − x1) · (x0 − x2) = (x − 0) · (x − 2) (−1 + 0) · (0 − 2) = x2 − 2x 3 L1(x) = (x − x0) · (x − x2) (x1 − x0) · (x1 − x2) = (x + 1) · (x − 2) (0 + 1) · (0 − 2) = −x2 + x + 2 2 L2(x) = (x − x0) · (x − x1) (x2 − x0) · (x2 − x1) = (x + 1) · (x − 0) (2 + 1) · (2 − 0) = x2 + x 6 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 63. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Assim, p2(x) = 4 · x2 − 2x 3 + 1 · −x2 + x + 2 2 + (−1) · x2 + x 6 = 1 − 7 3 x + 2 3 x2 . 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 64. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Assim, p2(x) = 4 · x2 − 2x 3 + 1 · −x2 + x + 2 2 + (−1) · x2 + x 6 = 1 − 7 3 x + 2 3 x2 . Observe que o polinômio obtido é o mesmo que o da resolução do sistema. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 65. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Example Determine p3(0, 5) sabendo que o gráfico de p3 passa pelos pontos (−1; 1), (0; 3), (1; 1), (2; 1). 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 66. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Example Determine p3(0, 5) sabendo que o gráfico de p3 passa pelos pontos (−1; 1), (0; 3), (1; 1), (2; 1). Solução: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 67. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Example Determine p3(0, 5) sabendo que o gráfico de p3 passa pelos pontos (−1; 1), (0; 3), (1; 1), (2; 1). Solução: O polinômio interpolador de Lagrange de grau 3 avaliado em 0, 5 é: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 68. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Example Determine p3(0, 5) sabendo que o gráfico de p3 passa pelos pontos (−1; 1), (0; 3), (1; 1), (2; 1). Solução: O polinômio interpolador de Lagrange de grau 3 avaliado em 0, 5 é: p2(0, 5) = f(x0) · L0(0, 5) + f(x1) · L1(0, 5) + f(x2) · L2(0, 5) + f(x3) · L3(0, 5). 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 69. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Example Determine p3(0, 5) sabendo que o gráfico de p3 passa pelos pontos (−1; 1), (0; 3), (1; 1), (2; 1). Solução: O polinômio interpolador de Lagrange de grau 3 avaliado em 0, 5 é: p2(0, 5) = f(x0) · L0(0, 5) + f(x1) · L1(0, 5) + f(x2) · L2(0, 5) + f(x3) · L3(0, 5). Os multiplicadores Li(x), i = 0, 1, 2, 3, avaliados em x = 0, 5 são: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 70. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Example Determine p3(0, 5) sabendo que o gráfico de p3 passa pelos pontos (−1; 1), (0; 3), (1; 1), (2; 1). Solução: O polinômio interpolador de Lagrange de grau 3 avaliado em 0, 5 é: p2(0, 5) = f(x0) · L0(0, 5) + f(x1) · L1(0, 5) + f(x2) · L2(0, 5) + f(x3) · L3(0, 5). Os multiplicadores Li(x), i = 0, 1, 2, 3, avaliados em x = 0, 5 são: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 71. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange L0(0, 5) = (0, 5 − x1) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3) (−1 − x1) · (−1 − x2) · (−1 − x3) = (0, 5 − 0) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2) (−1 − 0) · (−1 − 1) · (−1 − 2) = 1 16 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 72. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange L0(0, 5) = (0, 5 − x1) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3) (−1 − x1) · (−1 − x2) · (−1 − x3) = (0, 5 − 0) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2) (−1 − 0) · (−1 − 1) · (−1 − 2) = 1 16 L1(0, 5) = (0, 5 − x0) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3) (x1 − x0) · (x1 − x2) · (x1 − x3) = (0, 5 + 1) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2) (0 + 1) · (0 − 1) · (0 − 2) = 9 16 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 73. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange L0(0, 5) = (0, 5 − x1) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3) (−1 − x1) · (−1 − x2) · (−1 − x3) = (0, 5 − 0) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2) (−1 − 0) · (−1 − 1) · (−1 − 2) = 1 16 L1(0, 5) = (0, 5 − x0) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3) (x1 − x0) · (x1 − x2) · (x1 − x3) = (0, 5 + 1) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2) (0 + 1) · (0 − 1) · (0 − 2) = 9 16 L2(0, 5) = (x − x0) · (x − x1) · (x − x3) (x2 − x0) · (x2 − x1) · (x2 − x3) = (0, 5 + 1) · (0, 5 − 0) · (0, 5 − 2) (1 + 1) · (1 − 0) · (1 − 2) = 1 16 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 74. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange L0(0, 5) = (0, 5 − x1) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3) (−1 − x1) · (−1 − x2) · (−1 − x3) = (0, 5 − 0) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2) (−1 − 0) · (−1 − 1) · (−1 − 2) = 1 16 L1(0, 5) = (0, 5 − x0) · (0, 5 − x2) · (0, 5 − x3) (x1 − x0) · (x1 − x2) · (x1 − x3) = (0, 5 + 1) · (0, 5 − 1) · (0, 5 − 2) (0 + 1) · (0 − 1) · (0 − 2) = 9 16 L2(0, 5) = (x − x0) · (x − x1) · (x − x3) (x2 − x0) · (x2 − x1) · (x2 − x3) = (0, 5 + 1) · (0, 5 − 0) · (0, 5 − 2) (1 + 1) · (1 − 0) · (1 − 2) = 1 16 L3(0, 5) = (x − x0) · (x − x1) · (x − x2) (x3 − x0) · (x3 − x1) · (x3 − x2) = (0, 5 + 1) · (0, 5 − 0) · (0, 5 − 1) (2 + 1) · (2 − 0) · (2 − 1) = −1 16 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 75. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Assim, p3(0, 5) = 1 · 1 16 + 3 · 9 16 + 1 · 1 16 + 1 · −1 16 = 7 4 . 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 76. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Assim, p3(0, 5) = 1 · 1 16 + 3 · 9 16 + 1 · 1 16 + 1 · −1 16 = 7 4 . Observe que não foi necessário determinar a expressão do polinômio. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 77. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Forma de Lagrange Assim, p3(0, 5) = 1 · 1 16 + 3 · 9 16 + 1 · 1 16 + 1 · −1 16 = 7 4 . Observe que não foi necessário determinar a expressão do polinômio. Atividade Básica Determine, em cada caso, p3(1, 5), sabendo que o gráfico de p3 passa pelos pontos: (a) (0; 1), (1; 2), (2; 3), (3; 0); (b) (−1; 1), (0; 5), (2; −1), (3; 4). 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 78. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange Para que possamos utilizar os mesmos cálculos tanto na interpolação quanto na determinação do erro, introduziremos aqui algumas notações para reescrevermos, de forma conveniente, as funções de Lagrange Li(x). 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 79. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange O polinômio interpolador de Lagrange é dado por: 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 80. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange O polinômio interpolador de Lagrange é dado por: pn(x) = n ∑ i=0 f(xi) · Li(x), 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 81. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange O polinômio interpolador de Lagrange é dado por: pn(x) = n ∑ i=0 f(xi) · Li(x), em que 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 82. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange O polinômio interpolador de Lagrange é dado por: pn(x) = n ∑ i=0 f(xi) · Li(x), em que Li(x) = n ∏ j=0 j̸=i (x − xj) (xi − xj) = (x − x0) · . . . · (x − xi−1) · (x − xi+1) · . . . · (x − xn) (xi − x0) · . . . · (xi − xi−1) · (xi − xi+1) · . . . · (xi − xn) . 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 83. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange Multiplicando o numerador e o denominador desta última fração pelo fator (x − xi), temos que: 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 84. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange Multiplicando o numerador e o denominador desta última fração pelo fator (x − xi), temos que: Li(x) = (x − x0) · . . . · (x − xi−1) · (x − xi) · (x − xi+1) · . . . · (x − xn) (xi − x0) · . . . · (xi − xi−1) · (x − xi) · (xi − xi+1) · . . . · (xi − xn) . 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 85. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange Multiplicando o numerador e o denominador desta última fração pelo fator (x − xi), temos que: Li(x) = (x − x0) · . . . · (x − xi−1) · (x − xi) · (x − xi+1) · . . . · (x − xn) (xi − x0) · . . . · (xi − xi−1) · (x − xi) · (xi − xi+1) · . . . · (xi − xn) . Denotando o numerador por N(x) e o denominador por Di(x), isto é, 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 86. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange Multiplicando o numerador e o denominador desta última fração pelo fator (x − xi), temos que: Li(x) = (x − x0) · . . . · (x − xi−1) · (x − xi) · (x − xi+1) · . . . · (x − xn) (xi − x0) · . . . · (xi − xi−1) · (x − xi) · (xi − xi+1) · . . . · (xi − xn) . Denotando o numerador por N(x) e o denominador por Di(x), isto é, { N(x) = (x − x0) · . . . · (x − xi−1) · (x − xi) · (x − xi+1) · . . . · (x − xn) Di(x) = (xi − x0) · . . . · (xi − xi−1) · (x − xi) · (xi − xi+1) · . . . · (xi − xn) 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 87. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange Tem-se, então Li(x) = N(x) Di(x) . 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 88. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange Tem-se, então Li(x) = N(x) Di(x) . Assim, pode-se reescrever, respectivamente, o polinômio interpolador de Lagrange e a cota para o erro, da seguinte forma: 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 89. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange Tem-se, então Li(x) = N(x) Di(x) . Assim, pode-se reescrever, respectivamente, o polinômio interpolador de Lagrange e a cota para o erro, da seguinte forma: pn(x) = n ∑ i=0 f(xi) · Li(x) = n ∑ i=0 f(xi) · N(x) Di(x) = N(x) · n ∑ i=0 f(xi) Di(x) , 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 90. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange Tem-se, então Li(x) = N(x) Di(x) . Assim, pode-se reescrever, respectivamente, o polinômio interpolador de Lagrange e a cota para o erro, da seguinte forma: pn(x) = n ∑ i=0 f(xi) · Li(x) = n ∑ i=0 f(xi) · N(x) Di(x) = N(x) · n ∑ i=0 f(xi) Di(x) , Emax(x) = |N| (n + 1)! · max x∈[a,b] {|f(n+1) (x)|}. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 91. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange Com o intuito de determinar o valor de um polinômio de interpolação num ponto não tabelado, sem determinar sua expressão, a seguinte tabela pode ser utilizada 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 92. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange Com o intuito de determinar o valor de um polinômio de interpolação num ponto não tabelado, sem determinar sua expressão, a seguinte tabela pode ser utilizada i Di(x) f(xi) f(xi)/Di(x) 0 (x − x0) (x0 − x1) · · · (x0 − xn) 1 (x1 − x0) (x − x1) · · · (x1 − xn) . . . . . . . . . · · · . . . n (xn − x0) (xn − x1) · · · (x − xn) ∑ f(xi)/Di(x) 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 93. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange Example Usando a tabela de valores dada abaixo, determine uma aproximação para e1,35 e calcule uma cota para o erro cometido x 1, 0 1, 2 1, 4 1, 6 ex 2, 718 3, 320 4, 055 4, 953 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 94. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange Example Usando a tabela de valores dada abaixo, determine uma aproximação para e1,35 e calcule uma cota para o erro cometido x 1, 0 1, 2 1, 4 1, 6 ex 2, 718 3, 320 4, 055 4, 953 Solução: 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 95. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange Example Usando a tabela de valores dada abaixo, determine uma aproximação para e1,35 e calcule uma cota para o erro cometido x 1, 0 1, 2 1, 4 1, 6 ex 2, 718 3, 320 4, 055 4, 953 Solução: i Di(x) f(xi) f(xi)/Di(x) 0 1, 35 − 1, 00 1, 00 − 1, 20 1, 00 − 1, 40 1, 00 − 1, 60 1 1, 20 − 1, 00 1, 35 − 1, 20 1, 20 − 1, 40 1, 20 − 1, 60 2 1, 40 − 1, 00 1, 40 − 1, 20 1, 35 − 1, 40 1, 40 − 1, 60 3 1, 60 − 1, 00 1, 60 − 1, 20 1, 60 − 1, 40 1, 35 − 1, 60 ∑ f(xi)/Di(x) 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 96. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange Example Usando a tabela de valores dada abaixo, determine uma aproximação para e1,35 e calcule uma cota para o erro cometido x 1, 0 1, 2 1, 4 1, 6 ex 2, 718 3, 320 4, 055 4, 953 Solução: i Di(x) f(xi) f(xi)/Di(x) 0 0, 35 −0, 20 −0, 40 −0, 60 −0, 0168 2, 718 −161, 786 1 0, 20 0, 15 −0, 20 −0, 40 0, 0024 3, 320 1383, 333 2 0, 40 0, 20 −0, 05 −0, 20 0, 0008 4, 055 5068, 750 3 0, 60 0, 40 0, 20 −0, 25 −0, 0120 4, 953 −412, 750 5877, 547 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 97. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange N(1, 35) = 0, 35 · 0, 15 · (−0, 05) · (−0, 25) = 0, 00065625 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 98. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange N(1, 35) = 0, 35 · 0, 15 · (−0, 05) · (−0, 25) = 0, 00065625 Logo, e1,35 ≈ 0, 00065625 · 5877, 547 ≈ 3, 85714. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 99. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange N(1, 35) = 0, 35 · 0, 15 · (−0, 05) · (−0, 25) = 0, 00065625 Logo, e1,35 ≈ 0, 00065625 · 5877, 547 ≈ 3, 85714. f(x) = ex =⇒ f(4) (x) = ex 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 100. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange N(1, 35) = 0, 35 · 0, 15 · (−0, 05) · (−0, 25) = 0, 00065625 Logo, e1,35 ≈ 0, 00065625 · 5877, 547 ≈ 3, 85714. f(x) = ex =⇒ f(4) (x) = ex Como, f(4)(x) = ex é uma função crescente no intervalo [1, 0; 1, 6], |f(4) (x)| ≤ e1,6 ≈ 4, 953, ∀ x ∈ [1, 0; 1, 6]. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 101. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Esquema prático para interpolação polinomial pela forma de Lagrange N(1, 35) = 0, 35 · 0, 15 · (−0, 05) · (−0, 25) = 0, 00065625 Logo, e1,35 ≈ 0, 00065625 · 5877, 547 ≈ 3, 85714. f(x) = ex =⇒ f(4) (x) = ex Como, f(4)(x) = ex é uma função crescente no intervalo [1, 0; 1, 6], |f(4) (x)| ≤ e1,6 ≈ 4, 953, ∀ x ∈ [1, 0; 1, 6]. Logo, Emax = |N| · 4, 953 ≈ 0, 000136. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 102. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Introdução A forma de Lagrange para a determinação do polinômio de interpolação de uma função y = f(x) sobre um conjunto de pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n possui um inconveniente: sempre que se deseja passar de um polinômio de grau n sobre n + 1 pontos para um polinômio de grau n + 1 sobre n + 2 pontos, todo o trabalho tem que ser praticamente refeito. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 103. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Introdução A forma de Lagrange para a determinação do polinômio de interpolação de uma função y = f(x) sobre um conjunto de pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n possui um inconveniente: sempre que se deseja passar de um polinômio de grau n sobre n + 1 pontos para um polinômio de grau n + 1 sobre n + 2 pontos, todo o trabalho tem que ser praticamente refeito. Seria interessante se houvesse a possibilidade de, conhecido o polinômio de grau n, passar-se para o de grau n + 1 apenas acrescentando-se mais um termo ao de grau n. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 104. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Introdução A forma de Lagrange para a determinação do polinômio de interpolação de uma função y = f(x) sobre um conjunto de pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, . . . , n possui um inconveniente: sempre que se deseja passar de um polinômio de grau n sobre n + 1 pontos para um polinômio de grau n + 1 sobre n + 2 pontos, todo o trabalho tem que ser praticamente refeito. Seria interessante se houvesse a possibilidade de, conhecido o polinômio de grau n, passar-se para o de grau n + 1 apenas acrescentando-se mais um termo ao de grau n. Tal objetivo é alcançado através da forma de Newton do polinômio de interpolação, porém, para a construção do polinômio de interpolação por este método, precisamos do operador de diferenças divididas de uma função. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 105. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Operador de Diferenças Divididas Um operador é uma aplicação cujo domínio é um espaço vetorial e tem como contra-domínio R. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 106. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Operador de Diferenças Divididas Definition Seja f(x) uma função definida em n + 1 valores distintos x0, x1, …e xn. O operador de diferença dividida de ordem: zero, em xk: f[xk] = f(xk) um, em xk e xk+1: f[xk, xk+1] = f[xk+1] − f[xk] xk+1 − xk dois, em xk, xk+1 e xk+2: f[xk, xk+1, xk+2] = f[xk+1, xk+2] − f[xk, xk+1] xk+2 − xk 3, em xk, xk+1, xk+2 e xk+3: f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] = f[xk+1, xk+2, xk+3] − f[xk, xk+1, xk+2] xk+3 − xk n, em xk, xk+1 . . . xk+n: f[xk, xk+1, . . . , xk+n] = f[xk+1, . . . , xk+n] − f[xk, . . . , xk+n−1] xk+n − xk . 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 107. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Operador de Diferenças Divididas Definition zero, em xk: f[xk] = f(xk) um, em xk e xk+1: f[xk, xk+1] = f[xk+1] − f[xk] xk+1 − xk dois, em xk, xk+1 e xk+2: f[xk, xk+1, xk+2] = f[xk+1, xk+2] − f[xk, xk+1] xk+2 − xk 3, em xk, xk+1, xk+2 e xk+3: f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] = f[xk+1, xk+2, xk+3] − f[xk, xk+1, xk+2] xk+3 − xk n, em xk, xk+1 . . . xk+n: f[xk, xk+1, . . . , xk+n] = f[xk+1, . . . , xk+n] − f[xk, . . . , xk+n−1] xk+n − xk . 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 108. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Operador de Diferenças Divididas Definition zero, em xk: f[xk] = f(xk) um, em xk e xk+1: f[xk, xk+1] = f[xk+1] − f[xk] xk+1 − xk dois, em xk, xk+1 e xk+2: f[xk, xk+1, xk+2] = f[xk+1, xk+2] − f[xk, xk+1] xk+2 − xk 3, em xk, xk+1, xk+2 e xk+3: f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] = f[xk+1, xk+2, xk+3] − f[xk, xk+1, xk+2] xk+3 − xk n, em xk, xk+1 . . . xk+n: f[xk, xk+1, . . . , xk+n] = f[xk+1, . . . , xk+n] − f[xk, . . . , xk+n−1] xk+n − xk . 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 109. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Operador de Diferenças Divididas Definition zero, em xk: f[xk] = f(xk) um, em xk e xk+1: f[xk, xk+1] = f[xk+1] − f[xk] xk+1 − xk dois, em xk, xk+1 e xk+2: f[xk, xk+1, xk+2] = f[xk+1, xk+2] − f[xk, xk+1] xk+2 − xk 3, em xk, xk+1, xk+2 e xk+3: f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] = f[xk+1, xk+2, xk+3] − f[xk, xk+1, xk+2] xk+3 − xk n, em xk, xk+1 . . . xk+n: f[xk, xk+1, . . . , xk+n] = f[xk+1, . . . , xk+n] − f[xk, . . . , xk+n−1] xk+n − xk . 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 110. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Operador de Diferenças Divididas Definition zero, em xk: f[xk] = f(xk) um, em xk e xk+1: f[xk, xk+1] = f[xk+1] − f[xk] xk+1 − xk dois, em xk, xk+1 e xk+2: f[xk, xk+1, xk+2] = f[xk+1, xk+2] − f[xk, xk+1] xk+2 − xk 3, em xk, xk+1, xk+2 e xk+3: f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] = f[xk+1, xk+2, xk+3] − f[xk, xk+1, xk+2] xk+3 − xk n, em xk, xk+1 . . . xk+n: f[xk, xk+1, . . . , xk+n] = f[xk+1, . . . , xk+n] − f[xk, . . . , xk+n−1] xk+n − xk . 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 111. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Operador de Diferenças Divididas Definition zero, em xk: f[xk] = f(xk) um, em xk e xk+1: f[xk, xk+1] = f[xk+1] − f[xk] xk+1 − xk dois, em xk, xk+1 e xk+2: f[xk, xk+1, xk+2] = f[xk+1, xk+2] − f[xk, xk+1] xk+2 − xk 3, em xk, xk+1, xk+2 e xk+3: f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] = f[xk+1, xk+2, xk+3] − f[xk, xk+1, xk+2] xk+3 − xk n, em xk, xk+1 . . . xk+n: f[xk, xk+1, . . . , xk+n] = f[xk+1, . . . , xk+n] − f[xk, . . . , xk+n−1] xk+n − xk . 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 112. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Operador de Diferenças Divididas As diferenças divididas da função y = f(x) é um operador simétrico, isto é, independe da ordem de seus argumentos. Assim, a ordem com a qual arrumamos a sequencia deste operador não modifica o seu valor, ou seja, 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 113. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Operador de Diferenças Divididas As diferenças divididas da função y = f(x) é um operador simétrico, isto é, independe da ordem de seus argumentos. Assim, a ordem com a qual arrumamos a sequencia deste operador não modifica o seu valor, ou seja, f[x0, x1, . . . , xk] = f[xj0 , xj1 , . . . , xjk ], 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 114. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Operador de Diferenças Divididas As diferenças divididas da função y = f(x) é um operador simétrico, isto é, independe da ordem de seus argumentos. Assim, a ordem com a qual arrumamos a sequencia deste operador não modifica o seu valor, ou seja, f[x0, x1, . . . , xk] = f[xj0 , xj1 , . . . , xjk ], em que (j0, j1, . . . , jk) é uma permutação qualquer da sequencia (0, 1, . . . , k). 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 115. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas Note que a forma de cálculo desses operadores é construtiva, ou seja, para obter a diferença dividida de ordem n é necessário as diferenças divididas de ordem n − 1, n − 2, . . . , 1, 0. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 116. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas Note que a forma de cálculo desses operadores é construtiva, ou seja, para obter a diferença dividida de ordem n é necessário as diferenças divididas de ordem n − 1, n − 2, . . . , 1, 0. Um esquema prático para o cálculo desses operadores é dado pela tabela 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 117. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas x f[xk] f[xk, xk+1] f[xk, xk+1, xk+2] · · · f[xk, . . . , xk+n] x0 f[x0] f[x0, x1] x1 f[x1] f[x0, x1, x2] f[x1, x2] x2 f[x2] f[x1, x2, x3] . . . . . . f[xk, . . . , xk+n] . . . . . . xn−2 f[xn−2] f[xn−3, xn−2, xn−1] f[xn−2, xn−1] xn−1 f[xn−1] f[xn−2, xn−1, xn] f[xn−1, xn] xn f[xn] 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 118. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas Example Para a função x −2 −1 0 1 2 f(x) −2 29 30 31 62 construa a tabela de diferenças divididas. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 119. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas Example Para a função x −2 −1 0 1 2 f(x) −2 29 30 31 62 construa a tabela de diferenças divididas. Solução: 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 120. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas Example Para a função x −2 −1 0 1 2 f(x) −2 29 30 31 62 construa a tabela de diferenças divididas. Solução: Usando a tabela do dispositivo prático para o método de Newton, temos: 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 121. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas Example Para a função x −2 −1 0 1 2 f(x) −2 29 30 31 62 construa a tabela de diferenças divididas. Solução: Usando a tabela do dispositivo prático para o método de Newton, temos: 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 122. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Dispositivo Prático para o Cálculo das Diferenças Divididas xk f[xk] f[xk, xk+1] f[xk, xk+1, xk+2] f[xk, xk+1, xk+2, xk+3] f[xk, xk+1, xk+2, xk+3, xk+4] −2 −2 29 − (−2) −1 − (−2) = 31 −1 29 1 − (−31) 0 − (−2) = −15 30 − 29 0 − (−1) = 1 0 − (−15) 1 − (−2) = 5 0 30 1 − 1 1 − (−1) = 0 5 − 5 2 − (−2) = 0 31 − 30 1 − 0 = 1 15 − 0 2 − (−1) = 5 1 31 31 − 1 2 − 0 = 15 62 − 31 2 − 1 = 31 2 62 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 123. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Veremos, mais adiante, que os resultados a serem utilizados na forma de Newton para a determinação do polinômio de interpolação são os primeiros valores em cada coluna desta tabela. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 124. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Veremos, mais adiante, que os resultados a serem utilizados na forma de Newton para a determinação do polinômio de interpolação são os primeiros valores em cada coluna desta tabela. A forma de Newton do polinômio interpolador é baseada nos operadores de diferenças divididas e, ao contrário da forma de Lagrange, ela permite aumentar o grau do polinômio sem termos que refazer os cálculos já efetuados. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 125. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Veremos, mais adiante, que os resultados a serem utilizados na forma de Newton para a determinação do polinômio de interpolação são os primeiros valores em cada coluna desta tabela. A forma de Newton do polinômio interpolador é baseada nos operadores de diferenças divididas e, ao contrário da forma de Lagrange, ela permite aumentar o grau do polinômio sem termos que refazer os cálculos já efetuados. Consequentemente, esta forma de interpolar é bastante importante na prática, pois, podemos aumentar o grau do polinômio interpolador sem o aumento expressivo do esforço computacional. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 126. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 127. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n. A diferença dividida de ordem dois entre os pontos x, x0 e x1 é: 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 128. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n. A diferença dividida de ordem dois entre os pontos x, x0 e x1 é: f[x, x0, x1] = f[x, x0] − f[x0, x1] x1 − x . 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 129. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n. A diferença dividida de ordem dois entre os pontos x, x0 e x1 é: f[x, x0, x1] = f[x, x0] − f[x0, x1] x1 − x . Isolando a diferença de ordem um que depende de x, temos: 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 130. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Considere os n + 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n. A diferença dividida de ordem dois entre os pontos x, x0 e x1 é: f[x, x0, x1] = f[x, x0] − f[x0, x1] x1 − x . Isolando a diferença de ordem um que depende de x, temos: f[x, x0] = f[x0, x1] + (x1 − x) · f[x, x0, x1] 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 131. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Aplicamos a definição de diferença de ordem um no primeiro termo. Assim, 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 132. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Aplicamos a definição de diferença de ordem um no primeiro termo. Assim, f(x0) − f(x) x0 − x = f[x0, x1] + (x1 − x) · f[x, x0, x1] 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 133. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Aplicamos a definição de diferença de ordem um no primeiro termo. Assim, f(x0) − f(x) x0 − x = f[x0, x1] + (x1 − x) · f[x, x0, x1] e isto implica que 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 134. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Aplicamos a definição de diferença de ordem um no primeiro termo. Assim, f(x0) − f(x) x0 − x = f[x0, x1] + (x1 − x) · f[x, x0, x1] e isto implica que f(x) = f(x0) + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f[x, x0, x1]. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 135. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Se fizermos 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 136. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Se fizermos p1(x) = f(x0) + (x − x0) · f[x0, x1] e E1(x) = (x − x0)(x − x1)f[x, x0, x1], 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 137. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Se fizermos p1(x) = f(x0) + (x − x0) · f[x0, x1] e E1(x) = (x − x0)(x − x1)f[x, x0, x1], a função f(x) se torna a soma de um polinômio de grau um e uma função E1(x), que depende da diferença dividida de ordem dois em x, x0 e x1. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 138. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Se fizermos p1(x) = f(x0) + (x − x0) · f[x0, x1] e E1(x) = (x − x0)(x − x1)f[x, x0, x1], a função f(x) se torna a soma de um polinômio de grau um e uma função E1(x), que depende da diferença dividida de ordem dois em x, x0 e x1. Desta forma, podemos dizer que o polinômio p1(x) interpola valores de x entre x0 e x1, com erro de E1(x), pois, 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 139. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Se fizermos p1(x) = f(x0) + (x − x0) · f[x0, x1] e E1(x) = (x − x0)(x − x1)f[x, x0, x1], a função f(x) se torna a soma de um polinômio de grau um e uma função E1(x), que depende da diferença dividida de ordem dois em x, x0 e x1. Desta forma, podemos dizer que o polinômio p1(x) interpola valores de x entre x0 e x1, com erro de E1(x), pois, p1(x0) = f(x0) + (x0 − x0) · f[x0, x1] = f(x0) p1(x1) = f(x0) + (x1 − x0) · f[x0, x1] = f(x1) 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 140. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton De forma análoga, podemos calcular a diferença dividida de ordem n, sobre os pontos x, x0, x1, …e xn, obtendo: 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 141. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton De forma análoga, podemos calcular a diferença dividida de ordem n, sobre os pontos x, x0, x1, …e xn, obtendo: f(x) = pn(x) + En(x), em que 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 142. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton De forma análoga, podemos calcular a diferença dividida de ordem n, sobre os pontos x, x0, x1, …e xn, obtendo: f(x) = pn(x) + En(x), em que pn(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2] + . . . + (x − x0) · . . . · (x − xn−1) · f[x0, . . . , xn] = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + n ∑ i=2 (x − x0) · . . . · (x − xi−1)f[x1, . . . , xi], 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 143. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton De forma análoga, podemos calcular a diferença dividida de ordem n, sobre os pontos x, x0, x1, …e xn, obtendo: f(x) = pn(x) + En(x), em que pn(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2] + . . . + (x − x0) · . . . · (x − xn−1) · f[x0, . . . , xn] = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + n ∑ i=2 (x − x0) · . . . · (x − xi−1)f[x1, . . . , xi], e En(x) = n ∏ i=0 (x − xi) · f[x, x0, x1, . . . , xn]. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 144. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Esta equação representa o erro cometido na interpolação sobre os valores x0, x1 …e xn. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 145. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Esta equação representa o erro cometido na interpolação sobre os valores x0, x1 …e xn. Quando aproximamos f(ξ) por pn(ξ), o erro é dado por En(ξ). 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 146. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Esta equação representa o erro cometido na interpolação sobre os valores x0, x1 …e xn. Quando aproximamos f(ξ) por pn(ξ), o erro é dado por En(ξ). Porém, este depende da diferença dividida f[ξ, x0, x1, . . . , xn], que por sua vez, depende do valor de f(ξ). 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 147. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Esta equação representa o erro cometido na interpolação sobre os valores x0, x1 …e xn. Quando aproximamos f(ξ) por pn(ξ), o erro é dado por En(ξ). Porém, este depende da diferença dividida f[ξ, x0, x1, . . . , xn], que por sua vez, depende do valor de f(ξ). Como a função f(x) é tabelada, não temos como calcular este valor. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 148. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Esta equação representa o erro cometido na interpolação sobre os valores x0, x1 …e xn. Quando aproximamos f(ξ) por pn(ξ), o erro é dado por En(ξ). Porém, este depende da diferença dividida f[ξ, x0, x1, . . . , xn], que por sua vez, depende do valor de f(ξ). Como a função f(x) é tabelada, não temos como calcular este valor. Portanto, para esta forma, trabalhamos com a mesma estimativa feita para a forma de Lagrange. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 149. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Example Encontre um polinômio, pela forma de Newton, que interpola os pontos da tabela x −1 0 2 f(x) 4 1 −1 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 150. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Solução: 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 151. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Solução: Pela forma de Newton, temos que: p2(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2]. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 152. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Solução: Pela forma de Newton, temos que: p2(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2]. Calculemos os valores dos operadores diferenças divididas. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 153. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton f[x0] = f(x0) = 4; f[x1] = f(x1) = 1; f[x2] = f(x2) = −1 f[x0, x1] = f[x1] − f[x0] x1 − x0 = f(x1) − f(x0) x1 − x0 = 1 − 4 0 − (−1) = −3 f[x1, x2] = f[x2] − f[x1] x2 − x1 = f(x2) − f(x1) x2 − x1 = −1 − 1 2 − 0 = −1 f[x0, x1, x2] = f[x1, x2] − f[x0, x1] x2 − x0 = −1 − (−3) 2 − (−1) = 2 3 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 154. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton f[x0] = f(x0) = 4; f[x1] = f(x1) = 1; f[x2] = f(x2) = −1 f[x0, x1] = f[x1] − f[x0] x1 − x0 = f(x1) − f(x0) x1 − x0 = 1 − 4 0 − (−1) = −3 f[x1, x2] = f[x2] − f[x1] x2 − x1 = f(x2) − f(x1) x2 − x1 = −1 − 1 2 − 0 = −1 f[x0, x1, x2] = f[x1, x2] − f[x0, x1] x2 − x0 = −1 − (−3) 2 − (−1) = 2 3 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 155. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton f[x0] = f(x0) = 4; f[x1] = f(x1) = 1; f[x2] = f(x2) = −1 f[x0, x1] = f[x1] − f[x0] x1 − x0 = f(x1) − f(x0) x1 − x0 = 1 − 4 0 − (−1) = −3 f[x1, x2] = f[x2] − f[x1] x2 − x1 = f(x2) − f(x1) x2 − x1 = −1 − 1 2 − 0 = −1 f[x0, x1, x2] = f[x1, x2] − f[x0, x1] x2 − x0 = −1 − (−3) 2 − (−1) = 2 3 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 156. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton f[x0] = f(x0) = 4; f[x1] = f(x1) = 1; f[x2] = f(x2) = −1 f[x0, x1] = f[x1] − f[x0] x1 − x0 = f(x1) − f(x0) x1 − x0 = 1 − 4 0 − (−1) = −3 f[x1, x2] = f[x2] − f[x1] x2 − x1 = f(x2) − f(x1) x2 − x1 = −1 − 1 2 − 0 = −1 f[x0, x1, x2] = f[x1, x2] − f[x0, x1] x2 − x0 = −1 − (−3) 2 − (−1) = 2 3 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 157. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Assim, p2(x) = 4 + (x + 1) · (−3) + (x + 1) · x · 2 3 = 1 − 7 3 x + 2 3 x2 . 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 158. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Example Encontre um polinômio, pela forma de Newton, que interpola os pontos da tabela x −1 0 1 2 3 f(x) 1 1 0 −1 −2 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 159. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Example Encontre um polinômio, pela forma de Newton, que interpola os pontos da tabela x −1 0 1 2 3 f(x) 1 1 0 −1 −2 Solução: 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 160. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Example Encontre um polinômio, pela forma de Newton, que interpola os pontos da tabela x −1 0 1 2 3 f(x) 1 1 0 −1 −2 Solução: Pela forma de Newton, temos que: 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 161. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Example Encontre um polinômio, pela forma de Newton, que interpola os pontos da tabela x −1 0 1 2 3 f(x) 1 1 0 −1 −2 Solução: Pela forma de Newton, temos que: p4(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2] + (x − x0) · (x − x1) · (x − x2) · f[x0, x1, x2, x3] + (x − x0) · (x − x1) · (x − x2) · (x − x3)f[x0, x1, x2, x3, x4]. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 162. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Example Encontre um polinômio, pela forma de Newton, que interpola os pontos da tabela x −1 0 1 2 3 f(x) 1 1 0 −1 −2 Solução: Pela forma de Newton, temos que: p4(x) = f[x0] + (x − x0) · f[x0, x1] + (x − x0) · (x − x1) · f[x0, x1, x2] + (x − x0) · (x − x1) · (x − x2) · f[x0, x1, x2, x3] + (x − x0) · (x − x1) · (x − x2) · (x − x3)f[x0, x1, x2, x3, x4]. Calculemos os valores dos operadores diferenças divididas. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 163. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Apliquemos o dispositivo prático: 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 164. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Apliquemos o dispositivo prático: x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ordem 4 −1 1 0 0 1 −1/2 −1 1/6 1 0 0 −1/24 −1 0 2 −1 0 −1 3 −2 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 165. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Apliquemos o dispositivo prático: x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 ordem 4 −1 1 0 0 1 −1/2 −1 1/6 1 0 0 −1/24 −1 0 2 −1 0 −1 3 −2 Logo, p4(x) = 1+(x+1)0+(x+1)x(−1/2)+(x+1)x(x−1)(1/6)+(x+1)x(x−1)(x−2)(−1/24). 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 166. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa O Polinômio Interpolador de Newton Example Considere a função f(x) = arctan(x). (a) A partir dos valores f(0.3), f(0.5), f(0.7) e f(0.9), determine o valor de f(0.8) utilizando um polinômio interpolador de Newton de grau 3; (b) Usando a definição formal de f(x), determine o valor exato e o erro cometido no item anterior. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 167. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Critério de escolha dos pontos Uma das características da interpolação é que esta pode fornecer uma aproximação local, sem a necessidade de usar todos os dados disponíveis. 12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 168. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Critério de escolha dos pontos Example Encontre uma aproximação para f(0.44), utilizando um polinômio de grau dois. x 0.20 0.34 0.40 0.52 0.60 0.72 f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37 12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 169. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Critério de escolha dos pontos Example Encontre uma aproximação para f(0.44), utilizando um polinômio de grau dois. x 0.20 0.34 0.40 0.52 0.60 0.72 f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37 Solução: 12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 170. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Critério de escolha dos pontos Example Encontre uma aproximação para f(0.44), utilizando um polinômio de grau dois. x 0.20 0.34 0.40 0.52 0.60 0.72 f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37 Solução: Como a interpolação é através de um polinômio de grau dois, necessitamos de três pontos. 12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 171. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Critério de escolha dos pontos Example Encontre uma aproximação para f(0.44), utilizando um polinômio de grau dois. x 0.20 0.34 0.40 0.52 0.60 0.72 f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37 Solução: Como a interpolação é através de um polinômio de grau dois, necessitamos de três pontos. O critério de escolha destes valores deve ser feito de maneira que minimizemos o erro. Geralmente, tomamos aqueles valores que estão mais próximos do valor que desejamos aproximar. 12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 172. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Critério de escolha dos pontos Example Encontre uma aproximação para f(0.44), utilizando um polinômio de grau dois. x 0.20 0.34 0.40 0.52 0.60 0.72 f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37 Solução: Como a interpolação é através de um polinômio de grau dois, necessitamos de três pontos. O critério de escolha destes valores deve ser feito de maneira que minimizemos o erro. Geralmente, tomamos aqueles valores que estão mais próximos do valor que desejamos aproximar. Se escolhermos os valores x0 = 0.34, x1 = 0.40 e x2 = 0.52, o erro esta limitado por 12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 173. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Critério de escolha dos pontos Emax(0.44) = |(0.44 − 0.34)(0.44 − 0.40)(0.44 − 0.52)| · max x∈[a,b] { |f(n+1)(x)| (n + 1)! } = 0, 00032 · max x∈[a,b] { |f(n+1)(x)| (n + 1)! } 12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 174. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Critério de escolha dos pontos Emax(0.44) = |(0.44 − 0.34)(0.44 − 0.40)(0.44 − 0.52)| · max x∈[a,b] { |f(n+1)(x)| (n + 1)! } = 0, 00032 · max x∈[a,b] { |f(n+1)(x)| (n + 1)! } Para x0 = 0, 40, x1 = 0, 52 e x2 = 0, 60, o erro esta limitado por 12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 175. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Critério de escolha dos pontos Emax(0.44) = |(0.44 − 0.34)(0.44 − 0.40)(0.44 − 0.52)| · max x∈[a,b] { |f(n+1)(x)| (n + 1)! } = 0, 00032 · max x∈[a,b] { |f(n+1)(x)| (n + 1)! } Para x0 = 0, 40, x1 = 0, 52 e x2 = 0, 60, o erro esta limitado por Emax(0, 44) = |(0, 44 − 0, 40)(0, 44 − 0, 52)(0, 44 − 0, 60)| · max x∈[a,b] { |f(n+1)(x)| (n + 1)! } = 0, 000512 · max x∈[a,b] { |f(n+1)(x)| (n + 1)! } 12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 176. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Critério de escolha dos pontos Portanto, devemos utilizar os valores x0 = 0, 34, x1 = 0, 40 e x2 = 0, 52. 12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 177. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa O problema de interpolação inversa consiste em descobrir um valor para x̄ ∈ [a, b], conhecido o valor f(x̄). 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 178. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Temos duas formas de resolver o problema: 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 179. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Temos duas formas de resolver o problema: Obter o polinômio interpolador de f(x) e resolver a equação pn(x̄) = f(x̄). Em geral, esta equação tem mais de uma solução se o grau do polinômio for maior que dois. O procedimentos analíticos de resolução da equação se tornam mais complicados ou até não existe tal procedimento. Fazer uma interpolação inversa. Se f(x) é inversível num intervalo contendo y, então interpolamos a função inversa, isto é, consideramos o conjunto de dados x = f−1(y) e achamos o polinômio interpolador de f−1(y). 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 180. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Temos duas formas de resolver o problema: Obter o polinômio interpolador de f(x) e resolver a equação pn(x̄) = f(x̄). Em geral, esta equação tem mais de uma solução se o grau do polinômio for maior que dois. O procedimentos analíticos de resolução da equação se tornam mais complicados ou até não existe tal procedimento. Fazer uma interpolação inversa. Se f(x) é inversível num intervalo contendo y, então interpolamos a função inversa, isto é, consideramos o conjunto de dados x = f−1(y) e achamos o polinômio interpolador de f−1(y). 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 181. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Temos duas formas de resolver o problema: Obter o polinômio interpolador de f(x) e resolver a equação pn(x̄) = f(x̄). Em geral, esta equação tem mais de uma solução se o grau do polinômio for maior que dois. O procedimentos analíticos de resolução da equação se tornam mais complicados ou até não existe tal procedimento. Fazer uma interpolação inversa. Se f(x) é inversível num intervalo contendo y, então interpolamos a função inversa, isto é, consideramos o conjunto de dados x = f−1(y) e achamos o polinômio interpolador de f−1(y). A condição para que a função seja inversível é que esta seja monótona crescente ou decrescente. 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 182. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Temos duas formas de resolver o problema: Obter o polinômio interpolador de f(x) e resolver a equação pn(x̄) = f(x̄). Em geral, esta equação tem mais de uma solução se o grau do polinômio for maior que dois. O procedimentos analíticos de resolução da equação se tornam mais complicados ou até não existe tal procedimento. Fazer uma interpolação inversa. Se f(x) é inversível num intervalo contendo y, então interpolamos a função inversa, isto é, consideramos o conjunto de dados x = f−1(y) e achamos o polinômio interpolador de f−1(y). A condição para que a função seja inversível é que esta seja monótona crescente ou decrescente. Em termos dos pontos tabelados, tal condição é satisfeita quando f(xi) < f(xj) ou f(xi) > f(xj), ∀ i > j. 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 183. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 2 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 50 0, 60 0, 70 0, 80 0, 90 1, 00 f(x) 1, 65 1, 82 2, 01 2, 23 2, 46 2, 72 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 184. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 2 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 50 0, 60 0, 70 0, 80 0, 90 1, 00 f(x) 1, 65 1, 82 2, 01 2, 23 2, 46 2, 72 Solução: Observe que a interpolação será feita por um polinômio interpolador de grau dois. 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 185. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 2 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 50 0, 60 0, 70 0, 80 0, 90 1, 00 f(x) 1, 65 1, 82 2, 01 2, 23 2, 46 2, 72 Solução: Observe que a interpolação será feita por um polinômio interpolador de grau dois. Assim, devemos escolher três pontos de forma que garanta uma aproximação mais confiável. Utilizemos o seguinte critério: 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 186. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 Solução: Observemos que existem duas possibilidades de encontramos um valor para x tal que f(x) = 0, 9. Para x ∈ (0, 3; 0, 4) ou x ∈ (0, 6; 0, 7). 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 187. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 Solução: Observemos que existem duas possibilidades de encontramos um valor para x tal que f(x) = 0, 9. Para x ∈ (0, 3; 0, 4) ou x ∈ (0, 6; 0, 7). Como a função f(x) é crescente no intervalo (0, 2; 0, 5), esta admite inversa neste intervalo. A função admite inversa no intervalo (0, 5; 0, 8), pois esta é decrescente neste intervalo. 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 188. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 Nos concentremos no intervalo [0, 2; 0, 5]. Montando a tabela da função inversa, temos 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 189. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 Nos concentremos no intervalo [0, 2; 0, 5]. Montando a tabela da função inversa, temos y 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 f−1(y) 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 190. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 Como desejamos um polinômio de grau dois, devemos escolher três valores. Escolhamos os valores que estão mais próximos do valor y = 0, 9. 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 191. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 Como desejamos um polinômio de grau dois, devemos escolher três valores. Escolhamos os valores que estão mais próximos do valor y = 0, 9. Assim, x0 = 0, 809; x1 = 0, 951 e x2 = 1, 000. 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 192. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 Calculando-se as diferenças divididas, temos: 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 193. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 Calculando-se as diferenças divididas, temos: y f−1 (y) ordem 1 ordem 2 0, 809 0, 3 0, 704 0, 951 0, 4 6, 999 2, 040 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 194. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 e, consequentemente, o polinômio é dado por 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 195. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 e, consequentemente, o polinômio é dado por p2(y) = 0, 3 + (y − 0, 809) · 0, 704 + (y − 0, 951)(y − 0, 809) · 6, 999 = 5, 115 − 11, 605y + 6, 994y2. 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 196. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 Portanto, o valor de x tal que f(x) = 0, 9 é, aproximadamente, x = f−1 (0, 9) ≈ p2(0, 9) = 0, 3315. 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 197. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 Portanto, o valor de x tal que f(x) = 0, 9 é, aproximadamente, x = f−1 (0, 9) ≈ p2(0, 9) = 0, 3315. De forma análoga, obtemos x tal f(x) = 0, 9, no intervalo [0, 5; 0, 8]. Montando a tabela da função inversa, temos: 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 198. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 De forma análoga, obtemos x tal f(x) = 0, 9, no intervalo [0, 5; 0, 8]. Montando a tabela da função inversa, temos: y 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 f−1(y) 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 199. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 Como desejamos um polinômio de grau dois, devemos escolher três valores. Escolhamos os valores que estão mais próximos do valor y = 0, 9. 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 200. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 Como desejamos um polinômio de grau dois, devemos escolher três valores. Escolhamos os valores que estão mais próximos do valor y = 0, 9. Assim, x0 = 1, 000; x1 = 0, 912 e x2 = 0, 893. 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 201. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 Como desejamos um polinômio de grau dois, devemos escolher três valores. Escolhamos os valores que estão mais próximos do valor y = 0, 9. Assim, x0 = 1, 000; x1 = 0, 912 e x2 = 0, 893. Calculando-se as diferenças divididas, temos: 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 202. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 y f−1 (y) ordem 1 ordem 2 1, 000 0, 5 0, 912 0, 6 0, 893 0, 7 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 203. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 e, consequentemente, o polinômio é dado por: 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 204. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 e, consequentemente, o polinômio é dado por: p2(y) = 0, 5 + (y − 1) + (y − 1)(y − 0, 912) 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021
  • 205. Interpolação Polinomial Forma de Lagrange Forma de Newton Interpolação Inversa Interpolação Inversa Example Encontre um valor para x tal que f(x) = 0, 9 através de um polinômio interpolador de grau dois. x 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 f(x) 0, 587 0, 809 0, 951 1, 000 0, 912 0, 893 0, 788 e, consequentemente, o polinômio é dado por: p2(y) = 0, 5 + (y − 1) + (y − 1)(y − 0, 912) Portanto, o valor de x tal que f(x) = 0, 9 é, aproximadamente, x = f−1(0, 9) ≈ p2(0, 9). 13 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 18 de fevereiro de 2021