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Slides de apoio: Fun es I
Prof. Ronaldo Carlotto Batista
10 de mar o de 2017
Produto Cartesiano
De ni o
Sejam dois conjuntos n o vazios A e B, o produto cartesiano
entre A e B dado por:
A × B = {(x,y) |x ∈A,y ∈B} ,
onde (x,y) dito um par ordenado.
Al m desta de ni o, podemos de nir que se A ou B s o
vazios, ent o A × B = ∅
.
Produto Cartesiano
De ni o
Sejam dois conjuntos n o vazios A e B, o produto cartesiano
entre A e B dado por:
A × B = {(x,y) |x ∈A,y ∈B} ,
onde (x,y) dito um par ordenado.
Al m desta de ni o, podemos de nir que se A ou B s o
vazios, ent o A × B = ∅
.
Ex. 1
Seja A = {0, 1,2} e B = {−1,0,1}, determine A × B.
Produto Cartesiano
De ni o
Sejam dois conjuntos n o vazios A e B, o produto cartesiano
entre A e B dado por:
A × B = {(x,y) |x ∈A,y ∈B} ,
onde (x,y) dito um par ordenado.
Al m desta de ni o, podemos de nir que se A ou B s o
vazios, ent o A × B = ∅
.
Ex. 1
Seja A = {0, 1,2} e B = {−1,0,1}, determine A × B.
Ex. 2
Seja A = (0,1] e B = [0,3), represente gra camente
A × B e B × A.
De ni o de Fun o
Uma fun o uma regra que leva elementos de um
conjunto A em elementos de um conjunto B. Essa regra
deve ser tal que, para cada elemento x ∈A, associe-se
um nico elemento y ∈B.
O conjunto A o domnio da fun o f : Df = A
O conjunto B contra-dom nio de f .
O subconjunto de B que cont m apenas os valores
gerados pela fun o a imagem, indicado por If .
Em geral, vamos tratar de fun es que levam n meros
reais em n mero reais:
f : A → B , A ⊂ R, B ⊂ R
De ni o de Fun o
O gr co de uma fun o dado pelo conjunto
G = {(x,y) |x ∈A,y = f (x)}
Dado o gr co de uma poss vel fun o f , podemos
veri car se essa regra de fato uma fun o fazendo o
teste da Reta Vertical. Se existir uma reta x = a que
corte o gr co de f (x) mais que uma vez, ent o f (x)
n o fun o.
De ni o de Fun o
O gr co de uma fun o dado pelo conjunto
G = {(x,y) |x ∈A,y = f (x)}
Dado o gr co de uma poss vel fun o f , podemos
veri car se essa regra de fato uma fun o fazendo o
teste da Reta Vertical. Se existir uma reta x = a que
corte o gr co de f (x) mais que uma vez, ent o f (x)
n o fun o.
Exemplo: Usando o teste da reta vertical mostre que
y2
+ x2
= 4 n o fun o.
Fun o de primeiro grau
A fun o de primeiro grau, ou linear, ou a m, dada por:
f (x) = ax + b,
onde a o coe ciente angular da reta. Dado o gr co de uma
fun o linear, podemos identi car os coe cientes b e a:
b = f (0) ,
a =
f (x2) −f (x1)
.
x2 −x1
Fun o de segundo grau
A fun o de segundo grau dada por:
f (x) = ax2
+ bx + c.
Suas ra zes s o dadas por
1 h √
x = −b ± b2
i
—4ac .
2a
Seu v rtice dado por
b
x = −
2a
Fun o de segundo grau
A fun o de segundo grau dada por:
f (x) = ax2
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b
x = −
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Exemplo: Fa a o gr co da fun o f (x) = x2
−2x + 1
entre os valores de x onde f (x) = g (x) = x + 1.
Fun es de nidas por partes:
Um exemplo de uma fun o de nida por partes a Fun o
M dulo, dada por:
|x| =
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Exemplo 1: Fa a o gr co e determine o domnio e a
imagem f (x) = |x + 1|−1.
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Um exemplo de uma fun o de nida por partes a Fun o
M dulo, dada por:
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Exemplo 1: Fa a o gr co e determine o domnio e a
imagem f (x) = |x + 1|−1.
Exemplo 2: Fa a o gr co e determine o domnio e a
imagem
f (x) =
−x , x < 0
x2
, 0 < x < 1
1 , x ≥ 1
Fun o Pot ncia
Uma fun o pot ncia dada por:
f (x) = kxa
,
onde k ∈R e a ∈Q. O comportamento desse tipo de fun o
determinado pelo expoente a. Alguns casos s o:
a > 1. Exemplos:
y = x2
, y = x3
, y = x4
, y = x5
, y = x3/2
.
Fun o Pot ncia
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, y = x3
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.
a < 0. Exemplos:
y = x−1
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Uma fun o pot ncia dada por:
f (x) = kxa
,
onde k ∈R e a ∈Q. O comportamento desse tipo de fun o
determinado pelo expoente a. Alguns casos s o:
a > 1. Exemplos:
y = x2
, y = x3
, y = x4
, y = x5
, y = x3/2
.
a < 0. Exemplos:
y = x−1
, y = x−2
.
0 < a < 1. Exemplos:
y = x1/2
, y = x2/3
.
Fun o Polinomial
A formal geral de uma fun o polinomial :
f (x) = an n−1 1 0
nx + an−1x + ···+ a1x + a0x .
Onde n ∈N de ne o grau do polin mio. Um fun o
polinomial pode ter at n ra zes reais.
Por exemplo,
f (x) = x4
+ 2x3
−x1
+ 1,
um fun o polinomial de quarto grau.
Fun o Par & Fun o mpar
Fun o Par:
Uma fun o f (x) Par se, para todo seu dom nio,
f (−x) = f (x) .
Exemplos: x2
, x4
,cos(x) .
Fun o mpar:
Uma fun o g (x) mpar se, para todo seu dom nio,
g (−x) = −g (x) .
Exemplos: x , x3
,sen(x) .
Exemplos
Para as fun es abaixo, fa a um esbo o de seu gr co,
determine dom nio, imagem e paridade.
Exemplo 1: f (x) = x3
.
Exemplos
Para as fun es abaixo, fa a um esbo o de seu gr co,
determine dom nio, imagem e paridade.
Exemplo 1: f (x) = x3
.
Exemplo 2: f (x) =
√
x.
Exemplos
Para as fun es abaixo, fa a um esbo o de seu gr co,
determine dom nio, imagem e paridade.
Exemplo 1: f (x) = x3
.
Exemplo 2: f (x) =
√
x.
Exemplo 3: f (x) =
√
1 −x2.
Exemplos
Para as fun es abaixo, fa a um esbo o de seu gr co,
determine dom nio, imagem e paridade.
Exemplo 1: f (x) = x3
.
Exemplo 2: f (x) =
√
x.
Exemplo 3: f (x) =
√
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Exemplo 4: f (x) = 1/x e g (x) = 1/x2
.
Exemplos
Para as fun es abaixo, fa a um esbo o de seu gr co,
determine dom nio, imagem e paridade.
Exemplo 1: f (x) = x3
.
Exemplo 2: f (x) =
√
x.
Exemplo 3: f (x) =
√
1 −x2.
Exemplo 4: f (x) = 1/x e g (x) = 1/x2
.
1
x f
Exemplo 5: f (x) = −2 com D = (0,∞).
Fun o Racional
Uma fun o racional dada pelo quociente entre dois
polin mios:
f (x) =
p (x)
q (x)
.
O domnio de uma fun o racional s o o reais, excludos os
valores x tais que q (x) = 0.
Fun o Racional
Uma fun o racional dada pelo quociente entre dois
polin mios:
f (x) =
p (x)
q (x)
.
O domnio de uma fun o racional s o o reais, excludos os
valores x tais que q (x) = 0.
Exemplo:
Fa a um esbo o do gr co e determine o domnio e
imagem da fun o racional
f (x) =
x3
−2x2
−x + 2
x2 −x −2
.
Fun o Composta
A composi o de uma fun o f com uma fun o g uma
nova fun o h, denotada por
h (x) = f (g (x)) ,
o que corresponde a aplicar a regra de f para a fun o g.
Fun o Composta
A composi o de uma fun o f com uma fun o g uma
nova fun o h, denotada por
h (x) = f (g (x)) ,
o que corresponde a aplicar a regra de f para a fun o g.
Exemplo:
Seja f (x) = x2
e g (x) = x + 1. Determine f (g (x)) e
g (f (x)).
De ni o de Fun o Inversa
Uma fun o f (x) possui inversa f −1
(x) se injetora. Uma
fun o injetora se cada ponto da sua imagem gerado por
apenas um ponto do seu dom nio. A fun o inversa, por
de ni o, assume os pontos da imagem de f , i.e., x ∈If e
retorna os pontos do domnio de f , i.e., y ∈Df , o que pode
ser expresso por:
x = f (y) ,
f −1
(x) = y .
Fazendo a composi o da fun o com sua inversa, e
vice-versa, temos que:
f f − 1
(x) = x ,
f −1
(f (x)) = x .
Fun o Inversa exemplos
x
Para os exemplos abaixo, determine o domnio e a imagem das
fun es e suas inversas, quando esta existir.
Exemplo 1.
f (x) =
2
+ 1.
Exemplo 2.
f (x) =
√
x2 + 1.
Exemplo 3.
f (x) =
√
x2 + 1,com Df = (−∞,0].
Fun es Alg bricas
Uma fun o alg brica constru da a partir de opera es
alg bricas com polin mios. Considere os polin mios
p (x) = x2
−4 e q (x) = x3
−2x, podemos construir v rias
fun es alg bricas tomando opera es deles, por exemplo:
f (x) = p (x) [q (x)]2
= x3
−2x
2
x2
−4 .
g (x) = [p (x) −q (x)]1/2
.
Note que todas as fun es vistas at aqui s o alg bricas.

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  • 1. Pr -C lculo ECT2101 Slides de apoio: Fun es I Prof. Ronaldo Carlotto Batista 10 de mar o de 2017
  • 2. Produto Cartesiano De ni o Sejam dois conjuntos n o vazios A e B, o produto cartesiano entre A e B dado por: A × B = {(x,y) |x ∈A,y ∈B} , onde (x,y) dito um par ordenado. Al m desta de ni o, podemos de nir que se A ou B s o vazios, ent o A × B = ∅ .
  • 3. Produto Cartesiano De ni o Sejam dois conjuntos n o vazios A e B, o produto cartesiano entre A e B dado por: A × B = {(x,y) |x ∈A,y ∈B} , onde (x,y) dito um par ordenado. Al m desta de ni o, podemos de nir que se A ou B s o vazios, ent o A × B = ∅ . Ex. 1 Seja A = {0, 1,2} e B = {−1,0,1}, determine A × B.
  • 4. Produto Cartesiano De ni o Sejam dois conjuntos n o vazios A e B, o produto cartesiano entre A e B dado por: A × B = {(x,y) |x ∈A,y ∈B} , onde (x,y) dito um par ordenado. Al m desta de ni o, podemos de nir que se A ou B s o vazios, ent o A × B = ∅ . Ex. 1 Seja A = {0, 1,2} e B = {−1,0,1}, determine A × B. Ex. 2 Seja A = (0,1] e B = [0,3), represente gra camente A × B e B × A.
  • 5. De ni o de Fun o Uma fun o uma regra que leva elementos de um conjunto A em elementos de um conjunto B. Essa regra deve ser tal que, para cada elemento x ∈A, associe-se um nico elemento y ∈B. O conjunto A o domnio da fun o f : Df = A O conjunto B contra-dom nio de f . O subconjunto de B que cont m apenas os valores gerados pela fun o a imagem, indicado por If . Em geral, vamos tratar de fun es que levam n meros reais em n mero reais: f : A → B , A ⊂ R, B ⊂ R
  • 6. De ni o de Fun o O gr co de uma fun o dado pelo conjunto G = {(x,y) |x ∈A,y = f (x)} Dado o gr co de uma poss vel fun o f , podemos veri car se essa regra de fato uma fun o fazendo o teste da Reta Vertical. Se existir uma reta x = a que corte o gr co de f (x) mais que uma vez, ent o f (x) n o fun o.
  • 7. De ni o de Fun o O gr co de uma fun o dado pelo conjunto G = {(x,y) |x ∈A,y = f (x)} Dado o gr co de uma poss vel fun o f , podemos veri car se essa regra de fato uma fun o fazendo o teste da Reta Vertical. Se existir uma reta x = a que corte o gr co de f (x) mais que uma vez, ent o f (x) n o fun o. Exemplo: Usando o teste da reta vertical mostre que y2 + x2 = 4 n o fun o.
  • 8. Fun o de primeiro grau A fun o de primeiro grau, ou linear, ou a m, dada por: f (x) = ax + b, onde a o coe ciente angular da reta. Dado o gr co de uma fun o linear, podemos identi car os coe cientes b e a: b = f (0) , a = f (x2) −f (x1) . x2 −x1
  • 9. Fun o de segundo grau A fun o de segundo grau dada por: f (x) = ax2 + bx + c. Suas ra zes s o dadas por 1 h √ x = −b ± b2 i —4ac . 2a Seu v rtice dado por b x = − 2a
  • 10. Fun o de segundo grau A fun o de segundo grau dada por: f (x) = ax2 + bx + c. Suas ra zes s o dadas por 1 h √ x = −b ± b2 i —4ac . 2a Seu v rtice dado por b x = − 2a Exemplo: Fa a o gr co da fun o f (x) = x2 −2x + 1 entre os valores de x onde f (x) = g (x) = x + 1.
  • 11. Fun es de nidas por partes: Um exemplo de uma fun o de nida por partes a Fun o M dulo, dada por: |x| = x se x ≥ 0 −x se x < 0 Exemplo 1: Fa a o gr co e determine o domnio e a imagem f (x) = |x + 1|−1.
  • 12. Fun es de nidas por partes: Um exemplo de uma fun o de nida por partes a Fun o M dulo, dada por: |x| = x se x ≥ 0 −x se x < 0 Exemplo 1: Fa a o gr co e determine o domnio e a imagem f (x) = |x + 1|−1. Exemplo 2: Fa a o gr co e determine o domnio e a imagem f (x) = −x , x < 0 x2 , 0 < x < 1 1 , x ≥ 1
  • 13. Fun o Pot ncia Uma fun o pot ncia dada por: f (x) = kxa , onde k ∈R e a ∈Q. O comportamento desse tipo de fun o determinado pelo expoente a. Alguns casos s o: a > 1. Exemplos: y = x2 , y = x3 , y = x4 , y = x5 , y = x3/2 .
  • 14. Fun o Pot ncia Uma fun o pot ncia dada por: f (x) = kxa , onde k ∈R e a ∈Q. O comportamento desse tipo de fun o determinado pelo expoente a. Alguns casos s o: a > 1. Exemplos: y = x2 , y = x3 , y = x4 , y = x5 , y = x3/2 . a < 0. Exemplos: y = x−1 , y = x−2 .
  • 15. Fun o Pot ncia Uma fun o pot ncia dada por: f (x) = kxa , onde k ∈R e a ∈Q. O comportamento desse tipo de fun o determinado pelo expoente a. Alguns casos s o: a > 1. Exemplos: y = x2 , y = x3 , y = x4 , y = x5 , y = x3/2 . a < 0. Exemplos: y = x−1 , y = x−2 . 0 < a < 1. Exemplos: y = x1/2 , y = x2/3 .
  • 16. Fun o Polinomial A formal geral de uma fun o polinomial : f (x) = an n−1 1 0 nx + an−1x + ···+ a1x + a0x . Onde n ∈N de ne o grau do polin mio. Um fun o polinomial pode ter at n ra zes reais. Por exemplo, f (x) = x4 + 2x3 −x1 + 1, um fun o polinomial de quarto grau.
  • 17. Fun o Par & Fun o mpar Fun o Par: Uma fun o f (x) Par se, para todo seu dom nio, f (−x) = f (x) . Exemplos: x2 , x4 ,cos(x) . Fun o mpar: Uma fun o g (x) mpar se, para todo seu dom nio, g (−x) = −g (x) . Exemplos: x , x3 ,sen(x) .
  • 18. Exemplos Para as fun es abaixo, fa a um esbo o de seu gr co, determine dom nio, imagem e paridade. Exemplo 1: f (x) = x3 .
  • 19. Exemplos Para as fun es abaixo, fa a um esbo o de seu gr co, determine dom nio, imagem e paridade. Exemplo 1: f (x) = x3 . Exemplo 2: f (x) = √ x.
  • 20. Exemplos Para as fun es abaixo, fa a um esbo o de seu gr co, determine dom nio, imagem e paridade. Exemplo 1: f (x) = x3 . Exemplo 2: f (x) = √ x. Exemplo 3: f (x) = √ 1 −x2.
  • 21. Exemplos Para as fun es abaixo, fa a um esbo o de seu gr co, determine dom nio, imagem e paridade. Exemplo 1: f (x) = x3 . Exemplo 2: f (x) = √ x. Exemplo 3: f (x) = √ 1 −x2. Exemplo 4: f (x) = 1/x e g (x) = 1/x2 .
  • 22. Exemplos Para as fun es abaixo, fa a um esbo o de seu gr co, determine dom nio, imagem e paridade. Exemplo 1: f (x) = x3 . Exemplo 2: f (x) = √ x. Exemplo 3: f (x) = √ 1 −x2. Exemplo 4: f (x) = 1/x e g (x) = 1/x2 . 1 x f Exemplo 5: f (x) = −2 com D = (0,∞).
  • 23. Fun o Racional Uma fun o racional dada pelo quociente entre dois polin mios: f (x) = p (x) q (x) . O domnio de uma fun o racional s o o reais, excludos os valores x tais que q (x) = 0.
  • 24. Fun o Racional Uma fun o racional dada pelo quociente entre dois polin mios: f (x) = p (x) q (x) . O domnio de uma fun o racional s o o reais, excludos os valores x tais que q (x) = 0. Exemplo: Fa a um esbo o do gr co e determine o domnio e imagem da fun o racional f (x) = x3 −2x2 −x + 2 x2 −x −2 .
  • 25. Fun o Composta A composi o de uma fun o f com uma fun o g uma nova fun o h, denotada por h (x) = f (g (x)) , o que corresponde a aplicar a regra de f para a fun o g.
  • 26. Fun o Composta A composi o de uma fun o f com uma fun o g uma nova fun o h, denotada por h (x) = f (g (x)) , o que corresponde a aplicar a regra de f para a fun o g. Exemplo: Seja f (x) = x2 e g (x) = x + 1. Determine f (g (x)) e g (f (x)).
  • 27. De ni o de Fun o Inversa Uma fun o f (x) possui inversa f −1 (x) se injetora. Uma fun o injetora se cada ponto da sua imagem gerado por apenas um ponto do seu dom nio. A fun o inversa, por de ni o, assume os pontos da imagem de f , i.e., x ∈If e retorna os pontos do domnio de f , i.e., y ∈Df , o que pode ser expresso por: x = f (y) , f −1 (x) = y . Fazendo a composi o da fun o com sua inversa, e vice-versa, temos que: f f − 1 (x) = x , f −1 (f (x)) = x .
  • 28. Fun o Inversa exemplos x Para os exemplos abaixo, determine o domnio e a imagem das fun es e suas inversas, quando esta existir. Exemplo 1. f (x) = 2 + 1. Exemplo 2. f (x) = √ x2 + 1. Exemplo 3. f (x) = √ x2 + 1,com Df = (−∞,0].
  • 29. Fun es Alg bricas Uma fun o alg brica constru da a partir de opera es alg bricas com polin mios. Considere os polin mios p (x) = x2 −4 e q (x) = x3 −2x, podemos construir v rias fun es alg bricas tomando opera es deles, por exemplo: f (x) = p (x) [q (x)]2 = x3 −2x 2 x2 −4 . g (x) = [p (x) −q (x)]1/2 . Note que todas as fun es vistas at aqui s o alg bricas.