,

1. Pr -C lculo ECT2101
Slides de apoio: Fun es I
Prof. Ronaldo Carlotto Batista
10 de mar o de 2017

2. Produto Cartesiano
De ni o
Sejam dois conjuntos n o vazios A e B, o produto cartesiano
entre A e B dado por:
A × B = {(x,y) |x ∈A,y ∈B} ,
onde (x,y) dito um par ordenado.
Al m desta de ni o, podemos de nir que se A ou B s o
vazios, ent o A × B = ∅
.

3. Produto Cartesiano
De ni o
Sejam dois conjuntos n o vazios A e B, o produto cartesiano
entre A e B dado por:
A × B = {(x,y) |x ∈A,y ∈B} ,
onde (x,y) dito um par ordenado.
Al m desta de ni o, podemos de nir que se A ou B s o
vazios, ent o A × B = ∅
.
Ex. 1
Seja A = {0, 1,2} e B = {−1,0,1}, determine A × B.

4. Produto Cartesiano
De ni o
Sejam dois conjuntos n o vazios A e B, o produto cartesiano
entre A e B dado por:
A × B = {(x,y) |x ∈A,y ∈B} ,
onde (x,y) dito um par ordenado.
Al m desta de ni o, podemos de nir que se A ou B s o
vazios, ent o A × B = ∅
.
Ex. 1
Seja A = {0, 1,2} e B = {−1,0,1}, determine A × B.
Ex. 2
Seja A = (0,1] e B = [0,3), represente gra camente
A × B e B × A.

5. De ni o de Fun o
Uma fun o uma regra que leva elementos de um
conjunto A em elementos de um conjunto B. Essa regra
deve ser tal que, para cada elemento x ∈A, associe-se
um nico elemento y ∈B.
O conjunto A o domnio da fun o f : Df = A
O conjunto B contra-dom nio de f .
O subconjunto de B que cont m apenas os valores
gerados pela fun o a imagem, indicado por If .
Em geral, vamos tratar de fun es que levam n meros
reais em n mero reais:
f : A → B , A ⊂ R, B ⊂ R

6. De ni o de Fun o
O gr co de uma fun o dado pelo conjunto
G = {(x,y) |x ∈A,y = f (x)}
Dado o gr co de uma poss vel fun o f , podemos
veri car se essa regra de fato uma fun o fazendo o
teste da Reta Vertical. Se existir uma reta x = a que
corte o gr co de f (x) mais que uma vez, ent o f (x)
n o fun o.

7. De ni o de Fun o
O gr co de uma fun o dado pelo conjunto
G = {(x,y) |x ∈A,y = f (x)}
Dado o gr co de uma poss vel fun o f , podemos
veri car se essa regra de fato uma fun o fazendo o
teste da Reta Vertical. Se existir uma reta x = a que
corte o gr co de f (x) mais que uma vez, ent o f (x)
n o fun o.
Exemplo: Usando o teste da reta vertical mostre que
y2
+ x2
= 4 n o fun o.

8. Fun o de primeiro grau
A fun o de primeiro grau, ou linear, ou a m, dada por:
f (x) = ax + b,
onde a o coe ciente angular da reta. Dado o gr co de uma
fun o linear, podemos identi car os coe cientes b e a:
b = f (0) ,
a =
f (x2) −f (x1)
.
x2 −x1

9. Fun o de segundo grau
A fun o de segundo grau dada por:
f (x) = ax2
+ bx + c.
Suas ra zes s o dadas por
1 h √
x = −b ± b2
i
—4ac .
2a
Seu v rtice dado por
b
x = −
2a

10. Fun o de segundo grau
A fun o de segundo grau dada por:
f (x) = ax2
+ bx + c.
Suas ra zes s o dadas por
1 h √
x = −b ± b2
i
—4ac .
2a
Seu v rtice dado por
b
x = −
2a
Exemplo: Fa a o gr co da fun o f (x) = x2
−2x + 1
entre os valores de x onde f (x) = g (x) = x + 1.

11. Fun es de nidas por partes:
Um exemplo de uma fun o de nida por partes a Fun o
M dulo, dada por:
|x| =
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Exemplo 1: Fa a o gr co e determine o domnio e a
imagem f (x) = |x + 1|−1.

12. Fun es de nidas por partes:
Um exemplo de uma fun o de nida por partes a Fun o
M dulo, dada por:
|x| =
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Exemplo 1: Fa a o gr co e determine o domnio e a
imagem f (x) = |x + 1|−1.
Exemplo 2: Fa a o gr co e determine o domnio e a
imagem
f (x) =
−x , x < 0
x2
, 0 < x < 1
1 , x ≥ 1

13. Fun o Pot ncia
Uma fun o pot ncia dada por:
f (x) = kxa
,
onde k ∈R e a ∈Q. O comportamento desse tipo de fun o
determinado pelo expoente a. Alguns casos s o:
a > 1. Exemplos:
y = x2
, y = x3
, y = x4
, y = x5
, y = x3/2
.

14. Fun o Pot ncia
Uma fun o pot ncia dada por:
f (x) = kxa
,
onde k ∈R e a ∈Q. O comportamento desse tipo de fun o
determinado pelo expoente a. Alguns casos s o:
a > 1. Exemplos:
y = x2
, y = x3
, y = x4
, y = x5
, y = x3/2
.
a < 0. Exemplos:
y = x−1
, y = x−2
.

15. Fun o Pot ncia
Uma fun o pot ncia dada por:
f (x) = kxa
,
onde k ∈R e a ∈Q. O comportamento desse tipo de fun o
determinado pelo expoente a. Alguns casos s o:
a > 1. Exemplos:
y = x2
, y = x3
, y = x4
, y = x5
, y = x3/2
.
a < 0. Exemplos:
y = x−1
, y = x−2
.
0 < a < 1. Exemplos:
y = x1/2
, y = x2/3
.

16. Fun o Polinomial
A formal geral de uma fun o polinomial :
f (x) = an n−1 1 0
nx + an−1x + ···+ a1x + a0x .
Onde n ∈N de ne o grau do polin mio. Um fun o
polinomial pode ter at n ra zes reais.
Por exemplo,
f (x) = x4
+ 2x3
−x1
+ 1,
um fun o polinomial de quarto grau.

17. Fun o Par & Fun o mpar
Fun o Par:
Uma fun o f (x) Par se, para todo seu dom nio,
f (−x) = f (x) .
Exemplos: x2
, x4
,cos(x) .
Fun o mpar:
Uma fun o g (x) mpar se, para todo seu dom nio,
g (−x) = −g (x) .
Exemplos: x , x3
,sen(x) .

18. Exemplos
Para as fun es abaixo, fa a um esbo o de seu gr co,
determine dom nio, imagem e paridade.
Exemplo 1: f (x) = x3
.

19. Exemplos
Para as fun es abaixo, fa a um esbo o de seu gr co,
determine dom nio, imagem e paridade.
Exemplo 1: f (x) = x3
.
Exemplo 2: f (x) =
√
x.

20. Exemplos
Para as fun es abaixo, fa a um esbo o de seu gr co,
determine dom nio, imagem e paridade.
Exemplo 1: f (x) = x3
.
Exemplo 2: f (x) =
√
x.
Exemplo 3: f (x) =
√
1 −x2.

21. Exemplos
Para as fun es abaixo, fa a um esbo o de seu gr co,
determine dom nio, imagem e paridade.
Exemplo 1: f (x) = x3
.
Exemplo 2: f (x) =
√
x.
Exemplo 3: f (x) =
√
1 −x2.
Exemplo 4: f (x) = 1/x e g (x) = 1/x2
.

22. Exemplos
Para as fun es abaixo, fa a um esbo o de seu gr co,
determine dom nio, imagem e paridade.
Exemplo 1: f (x) = x3
.
Exemplo 2: f (x) =
√
x.
Exemplo 3: f (x) =
√
1 −x2.
Exemplo 4: f (x) = 1/x e g (x) = 1/x2
.
1
x f
Exemplo 5: f (x) = −2 com D = (0,∞).

23. Fun o Racional
Uma fun o racional dada pelo quociente entre dois
polin mios:
f (x) =
p (x)
q (x)
.
O domnio de uma fun o racional s o o reais, excludos os
valores x tais que q (x) = 0.

24. Fun o Racional
Uma fun o racional dada pelo quociente entre dois
polin mios:
f (x) =
p (x)
q (x)
.
O domnio de uma fun o racional s o o reais, excludos os
valores x tais que q (x) = 0.
Exemplo:
Fa a um esbo o do gr co e determine o domnio e
imagem da fun o racional
f (x) =
x3
−2x2
−x + 2
x2 −x −2
.

25. Fun o Composta
A composi o de uma fun o f com uma fun o g uma
nova fun o h, denotada por
h (x) = f (g (x)) ,
o que corresponde a aplicar a regra de f para a fun o g.

26. Fun o Composta
A composi o de uma fun o f com uma fun o g uma
nova fun o h, denotada por
h (x) = f (g (x)) ,
o que corresponde a aplicar a regra de f para a fun o g.
Exemplo:
Seja f (x) = x2
e g (x) = x + 1. Determine f (g (x)) e
g (f (x)).

27. De ni o de Fun o Inversa
Uma fun o f (x) possui inversa f −1
(x) se injetora. Uma
fun o injetora se cada ponto da sua imagem gerado por
apenas um ponto do seu dom nio. A fun o inversa, por
de ni o, assume os pontos da imagem de f , i.e., x ∈If e
retorna os pontos do domnio de f , i.e., y ∈Df , o que pode
ser expresso por:
x = f (y) ,
f −1
(x) = y .
Fazendo a composi o da fun o com sua inversa, e
vice-versa, temos que:
f f − 1
(x) = x ,
f −1
(f (x)) = x .

28. Fun o Inversa exemplos
x
Para os exemplos abaixo, determine o domnio e a imagem das
fun es e suas inversas, quando esta existir.
Exemplo 1.
f (x) =
2
+ 1.
Exemplo 2.
f (x) =
√
x2 + 1.
Exemplo 3.
f (x) =
√
x2 + 1,com Df = (−∞,0].

29. Fun es Alg bricas
Uma fun o alg brica constru da a partir de opera es
alg bricas com polin mios. Considere os polin mios
p (x) = x2
−4 e q (x) = x3
−2x, podemos construir v rias
fun es alg bricas tomando opera es deles, por exemplo:
f (x) = p (x) [q (x)]2
= x3
−2x
2
x2
−4 .
g (x) = [p (x) −q (x)]1/2
.
Note que todas as fun es vistas at aqui s o alg bricas.