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Cálculo Diferencial e Integral I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
01/06/2022
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Introdução
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Introdução
Esboçar o gráfico de uma função real de uma variável real se tornará uma atividade
possível, observando como a derivada desta nos ajudará neste processo de construção.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Introdução
Esboçar o gráfico de uma função real de uma variável real se tornará uma atividade
possível, observando como a derivada desta nos ajudará neste processo de construção.
Dada uma curva y = f(x), usaremos as derivadas de primeira ordem para obter os inter-
valos de crescimento e de decrescimento e verificar a existência de pontos extremantes,
e de segunda ordem, para verificar em quais intervalos a concavidade do gráfico de f é
positiva ou negativa e verificar a existência de pontos de inflexão.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Introdução
Esboçar o gráfico de uma função real de uma variável real se tornará uma atividade
possível, observando como a derivada desta nos ajudará neste processo de construção.
Dada uma curva y = f(x), usaremos as derivadas de primeira ordem para obter os inter-
valos de crescimento e de decrescimento e verificar a existência de pontos extremantes,
e de segunda ordem, para verificar em quais intervalos a concavidade do gráfico de f é
positiva ou negativa e verificar a existência de pontos de inflexão.
Entretanto, durante o nosso estudo, precisaremos relembrar alguns conceitos.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Intervalos de monotonicidade
Definition 1.
Dizemos que uma função real f é crescente (decrescente) em I ⊂ Dom(f) se,
para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes a I, com x1 < x2, tivermos:
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Intervalos de monotonicidade
Definition 1.
Dizemos que uma função real f é crescente (decrescente) em I ⊂ Dom(f) se,
para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes a I, com x1 < x2, tivermos:
f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Intervalos de monotonicidade
Definition 1.
Dizemos que uma função real f é crescente (decrescente) em I ⊂ Dom(f) se,
para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes a I, com x1 < x2, tivermos:
f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
Assim, por exemplo, a função f(x) = 2x é crescente em R, pois dados dois valores reais
quaisquer x1 < x2, temos que 2x1 < 2x2 .
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Intervalos de monotonicidade
Definition 1.
Dizemos que uma função real f é crescente (decrescente) em I ⊂ Dom(f) se,
para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes a I, com x1 < x2, tivermos:
f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
Assim, por exemplo, a função f(x) = 2x é crescente em R, pois dados dois valores reais
quaisquer x1 < x2, temos que 2x1 < 2x2 .
Já a função g(x) = −2x é decrescente. De fato, para quaisquer valores reais x1 < x2,
temos que −2x1 > −2x2, ou seja, g(x1) > g(x2).
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Intervalos de monotonicidade
Definition 1.
Dizemos que uma função real f é crescente (decrescente) em I ⊂ Dom(f) se,
para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes a I, com x1 < x2, tivermos:
Observação
Se uma função é somente crescente ou decrescente em todo o seu domínio,
dizemos que ela é monótona.
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Ao analisarmos o sinal da função derivada de uma função, veremos que é possível de-
terminar os intervalos os quais a função é crescente ou decrescente.
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Ao analisarmos o sinal da função derivada de uma função, veremos que é possível de-
terminar os intervalos os quais a função é crescente ou decrescente.
Theorem 2.
Seja f : [a, b] → R uma função derivável no intervalo aberto (a, b). Se f′(x) > 0
(f′(x) < 0), para todo x ∈ (a, b), então f é crescente (decrescente) em [a, b].
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação
da reta tangente:
for positiva, a função é crescente numa
vizinhança do ponto de tangência;
for negativa, a função será decrescente numa
vizinhança do ponto de tangência.
x
y
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação
da reta tangente:
for positiva, a função é crescente numa
vizinhança do ponto de tangência;
for negativa, a função será decrescente numa
vizinhança do ponto de tangência.
x
y
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação
da reta tangente:
for positiva, a função é crescente numa
vizinhança do ponto de tangência;
for negativa, a função será decrescente numa
vizinhança do ponto de tangência.
x
y
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A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação
da reta tangente:
for positiva, a função é crescente numa
vizinhança do ponto de tangência;
for negativa, a função será decrescente numa
vizinhança do ponto de tangência.
Como f′(x0) é a inclinação da reta tangente à curva
y = f(x) no ponto x = x0, então, numa vizinhança
do ponto de tangência, f é:
crescente quando f′(x) > 0 e;
decrescente quando f′(x) < 0.
x
y
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A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação
da reta tangente:
for positiva, a função é crescente numa
vizinhança do ponto de tangência;
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Como f′(x0) é a inclinação da reta tangente à curva
y = f(x) no ponto x = x0, então, numa vizinhança
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crescente quando f′(x) > 0 e;
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A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação
da reta tangente:
for positiva, a função é crescente numa
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Como f′(x0) é a inclinação da reta tangente à curva
y = f(x) no ponto x = x0, então, numa vizinhança
do ponto de tangência, f é:
crescente quando f′(x) > 0 e;
decrescente quando f′(x) < 0.
x
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4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Example 2.
A função f(x) = x3 é crescente em R, pois sua
derivada é f′(x) = 3x2 ≥ 0, ∀ x ∈ R. x
y
f(x) = x3
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Example 2.
A função f(x) =
1
x
é decrescente em qualquer
intervalo que não tenha o zero como elemento,
pois, sua derivada é f′(x) = −
1
x2
< 0, ∀ x ∈ R∗.
x
y
f(x) =
1
x
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Referências
M. B. Gonçalves and D. M. Flemming.
Cálculo A.
Pearson Education, 5 edition, 2007.
H. L. Guidorizzi.
Um curso de cálculo, volume 1.
Grupo Gen-LTC, 5 edition, 2000.
A. Howard.
Cálculo, um novo horizonte, volume 1.
Bookman, Porto Alegre, 2000.
E. L. Lima.
Curso de Análise, volume 1.
IMPA, Rio de Janeiro, 2000.
J. Stewart.
Cálculo, volume 1.
Cengage Learning, São Paulo, 6 edition, 2009.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

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  • 1. Cálculo Diferencial e Integral I Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 01/06/2022 Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento
  • 2. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Introdução 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 3. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Introdução Esboçar o gráfico de uma função real de uma variável real se tornará uma atividade possível, observando como a derivada desta nos ajudará neste processo de construção. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 4. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Introdução Esboçar o gráfico de uma função real de uma variável real se tornará uma atividade possível, observando como a derivada desta nos ajudará neste processo de construção. Dada uma curva y = f(x), usaremos as derivadas de primeira ordem para obter os inter- valos de crescimento e de decrescimento e verificar a existência de pontos extremantes, e de segunda ordem, para verificar em quais intervalos a concavidade do gráfico de f é positiva ou negativa e verificar a existência de pontos de inflexão. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 5. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Introdução Esboçar o gráfico de uma função real de uma variável real se tornará uma atividade possível, observando como a derivada desta nos ajudará neste processo de construção. Dada uma curva y = f(x), usaremos as derivadas de primeira ordem para obter os inter- valos de crescimento e de decrescimento e verificar a existência de pontos extremantes, e de segunda ordem, para verificar em quais intervalos a concavidade do gráfico de f é positiva ou negativa e verificar a existência de pontos de inflexão. Entretanto, durante o nosso estudo, precisaremos relembrar alguns conceitos. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 6. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Intervalos de monotonicidade Definition 1. Dizemos que uma função real f é crescente (decrescente) em I ⊂ Dom(f) se, para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes a I, com x1 < x2, tivermos: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 7. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Intervalos de monotonicidade Definition 1. Dizemos que uma função real f é crescente (decrescente) em I ⊂ Dom(f) se, para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes a I, com x1 < x2, tivermos: f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 8. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Intervalos de monotonicidade Definition 1. Dizemos que uma função real f é crescente (decrescente) em I ⊂ Dom(f) se, para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes a I, com x1 < x2, tivermos: f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)). Assim, por exemplo, a função f(x) = 2x é crescente em R, pois dados dois valores reais quaisquer x1 < x2, temos que 2x1 < 2x2 . 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 9. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Intervalos de monotonicidade Definition 1. Dizemos que uma função real f é crescente (decrescente) em I ⊂ Dom(f) se, para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes a I, com x1 < x2, tivermos: f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)). Assim, por exemplo, a função f(x) = 2x é crescente em R, pois dados dois valores reais quaisquer x1 < x2, temos que 2x1 < 2x2 . Já a função g(x) = −2x é decrescente. De fato, para quaisquer valores reais x1 < x2, temos que −2x1 > −2x2, ou seja, g(x1) > g(x2). 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 10. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Intervalos de monotonicidade Definition 1. Dizemos que uma função real f é crescente (decrescente) em I ⊂ Dom(f) se, para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes a I, com x1 < x2, tivermos: Observação Se uma função é somente crescente ou decrescente em todo o seu domínio, dizemos que ela é monótona. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 11. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Ao analisarmos o sinal da função derivada de uma função, veremos que é possível de- terminar os intervalos os quais a função é crescente ou decrescente. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 12. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Ao analisarmos o sinal da função derivada de uma função, veremos que é possível de- terminar os intervalos os quais a função é crescente ou decrescente. Theorem 2. Seja f : [a, b] → R uma função derivável no intervalo aberto (a, b). Se f′(x) > 0 (f′(x) < 0), para todo x ∈ (a, b), então f é crescente (decrescente) em [a, b]. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 13. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação da reta tangente: for positiva, a função é crescente numa vizinhança do ponto de tangência; for negativa, a função será decrescente numa vizinhança do ponto de tangência. x y 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 14. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação da reta tangente: for positiva, a função é crescente numa vizinhança do ponto de tangência; for negativa, a função será decrescente numa vizinhança do ponto de tangência. x y 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 15. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação da reta tangente: for positiva, a função é crescente numa vizinhança do ponto de tangência; for negativa, a função será decrescente numa vizinhança do ponto de tangência. x y 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 16. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação da reta tangente: for positiva, a função é crescente numa vizinhança do ponto de tangência; for negativa, a função será decrescente numa vizinhança do ponto de tangência. Como f′(x0) é a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto x = x0, então, numa vizinhança do ponto de tangência, f é: crescente quando f′(x) > 0 e; decrescente quando f′(x) < 0. x y 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 17. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação da reta tangente: for positiva, a função é crescente numa vizinhança do ponto de tangência; for negativa, a função será decrescente numa vizinhança do ponto de tangência. Como f′(x0) é a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto x = x0, então, numa vizinhança do ponto de tangência, f é: crescente quando f′(x) > 0 e; decrescente quando f′(x) < 0. x y 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 18. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação da reta tangente: for positiva, a função é crescente numa vizinhança do ponto de tangência; for negativa, a função será decrescente numa vizinhança do ponto de tangência. Como f′(x0) é a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto x = x0, então, numa vizinhança do ponto de tangência, f é: crescente quando f′(x) > 0 e; decrescente quando f′(x) < 0. x y 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 19. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Example 2. A função f(x) = x3 é crescente em R, pois sua derivada é f′(x) = 3x2 ≥ 0, ∀ x ∈ R. x y f(x) = x3 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 20. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Example 2. A função f(x) = 1 x é decrescente em qualquer intervalo que não tenha o zero como elemento, pois, sua derivada é f′(x) = − 1 x2 < 0, ∀ x ∈ R∗. x y f(x) = 1 x 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022
  • 21. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade Referências M. B. Gonçalves and D. M. Flemming. Cálculo A. Pearson Education, 5 edition, 2007. H. L. Guidorizzi. Um curso de cálculo, volume 1. Grupo Gen-LTC, 5 edition, 2000. A. Howard. Cálculo, um novo horizonte, volume 1. Bookman, Porto Alegre, 2000. E. L. Lima. Curso de Análise, volume 1. IMPA, Rio de Janeiro, 2000. J. Stewart. Cálculo, volume 1. Cengage Learning, São Paulo, 6 edition, 2009. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022