O documento discute como analisar o sinal da derivada de uma função para determinar os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente. Ele define monotonicidade e apresenta um teorema que estabelece que se a derivada de uma função for sempre positiva ou sempre negativa em um intervalo, então a função é crescente ou decrescente nesse intervalo, respectivamente. Dois exemplos ilustram como aplicar esse teorema.

1. Cálculo Diferencial e Integral I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
01/06/2022
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento

2. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Introdução
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

3. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Introdução
Esboçar o gráfico de uma função real de uma variável real se tornará uma atividade
possível, observando como a derivada desta nos ajudará neste processo de construção.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

4. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Introdução
Esboçar o gráfico de uma função real de uma variável real se tornará uma atividade
possível, observando como a derivada desta nos ajudará neste processo de construção.
Dada uma curva y = f(x), usaremos as derivadas de primeira ordem para obter os inter-
valos de crescimento e de decrescimento e verificar a existência de pontos extremantes,
e de segunda ordem, para verificar em quais intervalos a concavidade do gráfico de f é
positiva ou negativa e verificar a existência de pontos de inflexão.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

5. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Introdução
Esboçar o gráfico de uma função real de uma variável real se tornará uma atividade
possível, observando como a derivada desta nos ajudará neste processo de construção.
Dada uma curva y = f(x), usaremos as derivadas de primeira ordem para obter os inter-
valos de crescimento e de decrescimento e verificar a existência de pontos extremantes,
e de segunda ordem, para verificar em quais intervalos a concavidade do gráfico de f é
positiva ou negativa e verificar a existência de pontos de inflexão.
Entretanto, durante o nosso estudo, precisaremos relembrar alguns conceitos.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

6. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Intervalos de monotonicidade
Definition 1.
Dizemos que uma função real f é crescente (decrescente) em I ⊂ Dom(f) se,
para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes a I, com x1 < x2, tivermos:
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

7. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Intervalos de monotonicidade
Definition 1.
Dizemos que uma função real f é crescente (decrescente) em I ⊂ Dom(f) se,
para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes a I, com x1 < x2, tivermos:
f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022

8. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Intervalos de monotonicidade
Definition 1.
Dizemos que uma função real f é crescente (decrescente) em I ⊂ Dom(f) se,
para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes a I, com x1 < x2, tivermos:
f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
Assim, por exemplo, a função f(x) = 2x é crescente em R, pois dados dois valores reais
quaisquer x1 < x2, temos que 2x1 < 2x2 .
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9. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Intervalos de monotonicidade
Definition 1.
Dizemos que uma função real f é crescente (decrescente) em I ⊂ Dom(f) se,
para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes a I, com x1 < x2, tivermos:
f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
Assim, por exemplo, a função f(x) = 2x é crescente em R, pois dados dois valores reais
quaisquer x1 < x2, temos que 2x1 < 2x2 .
Já a função g(x) = −2x é decrescente. De fato, para quaisquer valores reais x1 < x2,
temos que −2x1 > −2x2, ou seja, g(x1) > g(x2).
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10. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Intervalos de monotonicidade
Definition 1.
Dizemos que uma função real f é crescente (decrescente) em I ⊂ Dom(f) se,
para quaisquer dois valores x1 e x2 pertencentes a I, com x1 < x2, tivermos:
Observação
Se uma função é somente crescente ou decrescente em todo o seu domínio,
dizemos que ela é monótona.
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11. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Ao analisarmos o sinal da função derivada de uma função, veremos que é possível de-
terminar os intervalos os quais a função é crescente ou decrescente.
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12. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Ao analisarmos o sinal da função derivada de uma função, veremos que é possível de-
terminar os intervalos os quais a função é crescente ou decrescente.
Theorem 2.
Seja f : [a, b] → R uma função derivável no intervalo aberto (a, b). Se f′(x) > 0
(f′(x) < 0), para todo x ∈ (a, b), então f é crescente (decrescente) em [a, b].
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13. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação
da reta tangente:
for positiva, a função é crescente numa
vizinhança do ponto de tangência;
for negativa, a função será decrescente numa
vizinhança do ponto de tangência.
x
y
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14. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação
da reta tangente:
for positiva, a função é crescente numa
vizinhança do ponto de tangência;
for negativa, a função será decrescente numa
vizinhança do ponto de tangência.
x
y
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15. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação
da reta tangente:
for positiva, a função é crescente numa
vizinhança do ponto de tangência;
for negativa, a função será decrescente numa
vizinhança do ponto de tangência.
x
y
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16. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação
da reta tangente:
for positiva, a função é crescente numa
vizinhança do ponto de tangência;
for negativa, a função será decrescente numa
vizinhança do ponto de tangência.
Como f′(x0) é a inclinação da reta tangente à curva
y = f(x) no ponto x = x0, então, numa vizinhança
do ponto de tangência, f é:
crescente quando f′(x) > 0 e;
decrescente quando f′(x) < 0.
x
y
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17. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação
da reta tangente:
for positiva, a função é crescente numa
vizinhança do ponto de tangência;
for negativa, a função será decrescente numa
vizinhança do ponto de tangência.
Como f′(x0) é a inclinação da reta tangente à curva
y = f(x) no ponto x = x0, então, numa vizinhança
do ponto de tangência, f é:
crescente quando f′(x) > 0 e;
decrescente quando f′(x) < 0.
x
y
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18. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Observe, na figura ao lado, que quando a inclinação
da reta tangente:
for positiva, a função é crescente numa
vizinhança do ponto de tangência;
for negativa, a função será decrescente numa
vizinhança do ponto de tangência.
Como f′(x0) é a inclinação da reta tangente à curva
y = f(x) no ponto x = x0, então, numa vizinhança
do ponto de tangência, f é:
crescente quando f′(x) > 0 e;
decrescente quando f′(x) < 0.
x
y
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19. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Example 2.
A função f(x) = x3 é crescente em R, pois sua
derivada é f′(x) = 3x2 ≥ 0, ∀ x ∈ R. x
y
f(x) = x3
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20. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Example 2.
A função f(x) =
1
x
é decrescente em qualquer
intervalo que não tenha o zero como elemento,
pois, sua derivada é f′(x) = −
1
x2
< 0, ∀ x ∈ R∗.
x
y
f(x) =
1
x
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21. A Derivada e os Intervalos Monótonos Análise do sinal da função derivada e os intervalos de monotonicidade
Referências
M. B. Gonçalves and D. M. Flemming.
Cálculo A.
Pearson Education, 5 edition, 2007.
H. L. Guidorizzi.
Um curso de cálculo, volume 1.
Grupo Gen-LTC, 5 edition, 2000.
A. Howard.
Cálculo, um novo horizonte, volume 1.
Bookman, Porto Alegre, 2000.
E. L. Lima.
Curso de Análise, volume 1.
IMPA, Rio de Janeiro, 2000.
J. Stewart.
Cálculo, volume 1.
Cengage Learning, São Paulo, 6 edition, 2009.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 01/06/2022