polaçãoo

1. Interpolação

2.  A necessidade de obter um valor
intermediário que não consta de uma
tabela ocorre comumente
 Dados experimentais, tabelas estatísticas
e de funções complexas são exemplos
desta situação.
 Como obter estes dados?

3.  Dado um conjunto de dados {xi
,f(xi
)} tal como na
tabela abaixo:
 Como obter o valor de f(x) para um valor de x que
não tenha sido medido, como x=2.0 ?
 Quando se deseja saber o valor de f(x) para um x
intermediário entre duas medidas, isto é, xi
<x<xi+1
,
pode-se usar as técnicas da interpolação
0,0570,0460,0280,0160,001f(xi
)
6,04,53,01,50xi

4.  A interpolação consiste em determinar uma
função, que assume valores conhecidos em
certos pontos (nós de interpolação)
 A classe de funções escolhida para a
interpolação é a priori arbitrária, e deve ser
adequada às características que pretendemos
que a função possua
 Função a ser considerada:
Polinômios ⇒ Interpolação Polinomial

5.  Métodos de interpolação polinomial são
utilizados para aproximar uma função f(x),
principalmente nas seguintes situações:
conhece-se apenas valores de f(x) em
apenas pontos discretos x0, x1 , x2 , ...
f(x) é extremamente complicada e de difícil
manejo
f(x) não é conhecida explicitamente

6.  A interpolação por meio de polinômios consiste em:
 Interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi
,f(xi
)},
significa calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma
analítica de f(x) ou ajustar uma função analítica aos dados

7.  Interpolação polinomial consiste em se obter um polinômio p(x)
que passe por todos os pontos do conjunto de (n+1) dados
{xi
,f(xi
)}, isto é:
p(x0
)=f(x0
)
p(x1
)=f(x1
)
…
p(xn
)=f(xn
)
Obs: contagem começa em zero, portanto tem-se n+1 pontos na expressão

8.  Polinômio p(x) - polinômio interpolador
Pode-se demonstrar que existe um único
polinômio p(x) de grau menor ou igual a n que
passa por todos os (n+1) pontos do conjunto
{xi
,f(xi
)}
( ) ( )p x a a x a x a x f xn n
n
0 0 1 0 2 0
2
0 0
= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =...
( ) ( )p x a a x a x a x f xn n
n
1 0 1 1 2 1
2
1 1
= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =...
( ) ( )p x a a x a x a x f xn n n n n n
n
n
= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
0 1 2
2 ...
...

9.  O conjunto de equações corresponde a um
sistema linear de n+1 equações e n+1 variáveis
Quais são as variáveis independentes? ai
ou xi
?
Poderia ser resolvido diretamente
Essa é uma das formas de se obter o
polinômio interpolador

10. xx
xx
yy
yxP
y
y
a
a
x
x
yxaa
yxaa
yxP
yxP
xaaxPxf
)()(
1
1
)(
)(
)()(
0
01
01
01
1
0
1
0
1
0
1110
0010
111
001
101
−
−
−
+=






=











⇔



=+
=+
=
=
+=≈

11. Problema
 Determinar o polinômio interpolador
através da resolução de um sistema linear
é caro computacionalmente
 Outros modos de se obter o polinômio:
Lagrange
Newton

12.  Seja um conjunto de n+1 dados {xi
,f(xi
)}.
Encontrar um polinômio interpolador p(x)
que passe por todos os pontos
p x L x f x L x f x L x f xn n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅ + + ⋅0 0 1 1
...
Lk
(x) são polinômios tais que:
( )L xk i ki= δ sendo que:
δki
se k i
se k i
=
≠
=



0
1
,
,

13. ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )L x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
k
k k n
k k k ki k ki k n
( ) =
− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −
− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −
− +
− +
0 1 1 1
0 1 1 1
... ...
... ...
( )
( )
L x e
L x se i k
k k
k i
=
= ≠
1
0 ,
Pois:

14. Interpolação Linear
 Interpolação para 2 pontos (n+1=2) -
ajuste de retas (n=1) (Interpolação
Linear) xi
x0
x1
f(xi
) f(x0
) f(x1
)
∑=
+==
1
0
1100 )().()().()().()(
i
ii xfxLxfxLxfxLxp

15.  Ajuste uma reta aos seguintes pontos
(x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6)
( ) ( ) ( )1
01
0
0
10
1
xf
xx
xx
xf
xx
xx
xp ⋅





−
−
+⋅





−
−
=

16.  Ajuste uma reta aos seguintes pontos
(x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6)
( ) ( ) ( )1
01
0
0
10
1
xf
xx
xx
xf
xx
xx
xp ⋅





−
−
+⋅





−
−
=
( ) ( ) ( )28.2455.16.5
24
2
1.3
42
4
−⋅+−⋅−=⋅





−
−
+⋅





−
−
= xx
xx
xp
( ) 6.025.1 +⋅= xxp

17. Forma de Newton
( )
))...()((
...))(()(
021
012010
xxxxxxd
xxxxdxxddxp
nnn −−−
++−−+−+=
−−
dn -> é o operador diferença dividida

18. Diferenças divididas
)(][ 00 xfxf =
01
01
01
01
1,0
)()(][][
][
xx
xfxf
xx
xfxf
xxf
−
−
=
−
−
=
02
1,02,1
2,1,0
][][
][
xx
xxfxxf
xxxf
−
−
=
03
2,1,03,2,1
3,2,1,0
][][
][
xx
xxxfxxxf
xxxxf
−
−
=
Ordem 0
Ordem 1
Ordem 2
Ordem 3

19. ][ 1xf
][ 2xf
][ 3xf
][ nxf
][ 0xf
][ 1,0 xxf
][ 2,1 xxf
][ 3,2 xxf
][ 2,1,0 xxxf
][ 3,2,1 xxxf
...
...
Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2

20. Exemplo
 Calcule a tabela de diferenças divididas
para os seguintes valores:
x -1 0 1 2 3
F(x) 1 1 0 -1 -2

21. 1
0
1 - 1/2
-1 1/6
0 0 - 1/24
-1 0
-1 0
-1
-2

22.  Mas qual o valor de d?
],...,[
],,[
],[
)(
10
2102
101
00
nn xxxfd
xxxfd
xxfd
xfd
=
=
=
=

23.  Assim,
( )
))...()(](,...,[
...))(](,,[
)](,[)(
02110
01210
0100
xxxxxxxxxf
xxxxxxxf
xxxxfxfxp
nnn −−−
++−−
+−+=
−−