O documento aborda os conceitos fundamentais de limites, derivadas e integrais em matemática, apresentando suas definições e aplicações. Discutem-se também exemplos de funções e gráficas para ilustrar como cada um desses conceitos se relaciona e poderá ser aplicado em problemas práticos, especialmente na mecânica. Além disso, destaca-se o teorema fundamental do cálculo, que conecta a derivação e a integração, evidenciando sua importância na análise de movimento e áreas sob curvas.

1. Apostila: Introdução a Limite, Derivada e Integral
Maria Teresa Thomaz
Instituto de Física, UFF
Versão revisada em 10 de Julho de 2013
Digitação feita por: João Pedro Boechat Florencio.
1. Noção de Limites
Antes de discutirmos o conceito de limite, vamos rever o significado de uma
função de um dado parâmetro.
Note que a função é a forma que temos para relacionar dois números: o número
dado pelo parâmetro x e o número associado a x pela função f(x).
Seja um parâmetro que representamos por x. Associamos a esse parâmetro
um outro número que chamamos de f(x):
Vejamos um tipo de função que estamos acostumados a tratar no nosso dia-a-dia:
o ônibus 47 sai do ponto final, ao lado das barcas, às 7 horas. Às 7h10 o ônibus está na
Rua Passo da Pátria, às 7h20 o ônibus está passando em frente ao supermercado Pão de
Açúcar...

2. Neste exemplo, a cada instante de tempo associamos a posição em que o ônibus
se encontra. Criamos na verdade, uma função do tempo, que relaciona, em cada
instante, a posição em que o ônibus se encontra: x(t) e o instante de tempo t em que
isto ocorre. A Matemática nos permite mostrar essa correlação através de uma frase
com símbolos, que é muito mais curta de se escrever:
Consideremos agora, um exemplo simples, a função:
Através dessa relação matemática, estamos representando de forma mais
simples e compacta todo o conjunto de números:
x f(x)
-4 32
-1 2
0 0
2 8
5 50
Na verdade, o conjunto (x, f(x)) representa não só o conjunto de números acima,
mas qualquer número x que está no intervalo (-∞,∞) e o número f(x) associado a ele.
Uma forma diferente de se representar esses pontos é através de um gráfico:
Consideremos x = 2 e o valor da função f(x) para x=2:

3. Vejamos o que acontece quando consideramos valores de x próximos ao valor
x=2:
Vemos que à medida que a variável x se aproxima de número 2, a função f(x) se
aproxima do valor 8. Dizemos então que no limite em que x tende a 2, por valores
menores e maiores que 2, a função f(x) tende ao valor de f(2) = 8. Podemos reescrever
esta última frase através de símbolos matemáticos:
Em resumo, o limite de uma dada função f(x) é o valor para o qual ela se
aproxima à medida em que x se aproxima de um valor estipulado.
2. Noções de Derivadas
Para discutirmos a definição de derivada, necessitamos do conceito de limite
que discutimos na seção 1. A derivada corresponde a determinarmos o limite de uma
divisão bem definida.
Antes de discutirmos a derivada, relembramos algumas relações trigonométri -
cas. Seja um triângulo retângulo ABC, como desenhado a seguir:
x f(x)
1,9 7,22
1,99 7,9202
1,999 7,992002
1,9999 7,99920002
1,99999 7,99992
x f(x)
2,1 8,082
2,01 8,0802
2,001 8,0080002
2,0001 8,00080002
2,00001 8,00008
a: hipotenusa

4. As seguintes relações trigonométricas são escritas em termos dos lados de um
triângulo retângulo:
Lembrando que
Para fixarmos a ideia da definição de derivada, continuamos a considerar a
função:
Fixamos o ponto x = 2 para continuar a nossa discussão sobre a derivada desta
função. Definimos a derivada da função f(x) = 2x² no ponto x = 2 como sendo:

5. Note que à medida que x se aproxima de 2, a reta que liga os dois pontos em
que a reta corta a função: f(x) 2 x2
, se aproxima também à tangente da função f(x) no
ponto x = 2. Lembre-se que a tangente no ponto x é a reta que toca na curva f(x)
uma única vez e o ponto em que ela toca tem coordenadas (x, f(x)).
Vejamos numericamente qual o limite desta divisão no ponto x = 2. Temos:
x f (x)
3 18
2,5 12,5
2,1 8,82
2,01 8,0802
2,001 8,008002
2,00001 8,00008
2,000001 8,000008

6. Verificamos numericamente que:
Note que uma maneira diferente de escrever a expressão da derivada é notar que
se x tende a 2, x → 2, então isso quer dizer que podemos escrever:
e o pedacinho Δx tem que se aproximar de zero para que x se aproxime de 2. Então,
a expressão da derivada fica sendo:
Logo,
onde Δx é um valor muito pequeno, muito próximo de zero. O valor de Δx é MUITO
próximo de zero mas nunca é igual a zero.
Calculamos numericamente a derivada no ponto x = 2. Se quisermos calcular a
derivada em outro ponto x, por exemplo x = 5, será que temos que sempre fazer esta
análise numérica, ou temos uma outra maneira sistemática de realizar o cálculo da
derivada em qualquer ponto x?
Para ver isso, utilizamos a definição de derivada para a função f(x) = 2x² .
Então,

7. Mas,
Assim, para f(x) = 2x², temos que:
Logo, a derivada da função f(x) = 2x² em qualquer ponto x é:
Lembramos que a derivada no ponto x é igual ao valor da inclinação da reta
neste ponto x.
Se considerarmos agora a função:
= 2

8. Qual o valor da derivada da função g(x) no ponto x que escolhemos? Usando a
definição de derivada,
temos então que:
Note que a derivada da função g(x) = 4x não depende do valor x que escolhemos
para calcular a derivada desta função. Isto porque a função g(x) é uma reta que se
confunde com a sua tangente em todos os pontos x.
Na verdade, a derivada de qualquer polinônio:
é,
como obtivemos anteriormente nos casos: n= 1 e n= 2.
Propriedades importantes de derivadas, cujas demonstrações deixamos
como exercícios:
1)
onde a é uma constante qualquer.
2)

9. onde f(x) e g(x) são duas funções quaisquer.
3)
onde f(x) e g(x) são duas funções quaisquer.
3. Noções de Integral
Consideramos a curva y = f(x) representada pelo gráfico abaixo,
Queremos calcular a área que fica compreendida abaixo dessa curva, y = f(x), e
o eixo horizontal e que está entre as retas verticais: x = a e x = b. Como fazer esse
cálculo?
Se não sabemos calcular a área abaixo da curva y = f(x), sabemos pelo menos
calcular a área de retângulos:
área do retângulo = f(xi) Δx

10. Se escolhemos um valor para Δx muito grande, a soma da área dos retângulos na
figura anterior é igual a:
é diferente da área sob a curva que queremos calcular e o número que obtemos é muito
diferente do que procuramos. No entanto, a medida que diminuímos a base de cada
retângulo, Δx vai diminuindo, a área coberta pelos retângulos se aproxima da área
localizada entre a curva f(x) e o eixo horizontal. O intervalo total que temos no eixo
dos x é (b – a). Escolhemos todos os intervalos Δx iguais, de forma que
sendo N um número inteiro. N é igual ao número de retângulos que estamos usando
para calcular aproximadamente a área abaixo da curva y = f(x) e acima do eixo
horizontal.
Como a diferença (b-a) é fixa, então dizer que Δx diminui é equivalente a dizer
que N aumenta, de forma que para N muito grande (N→∞ ), a área sob a curva y =
f(x) é igual a,
∫ f(x).dx com os limites de integração a e b, é chamada de integral definida, no
entanto antes de nos apavorarmos ante essa nova notação, temos que lembrar que a
integral não é nada mais nem nada menos que uma soma e que o seu resultado é a
área fica entre a curva e o eixo horizontal.
A integral tem várias propriedades, mas vamos considerar apenas aquelas que
nos auxiliam no estudo da Mecânica.
Sejam f(x) e g(x) duas funções de x. Queremos calcular a integral da soma de
duas funções: f(x) + g(x). Mostraremos que

11. Usando a definição de integral,
sendo que
Então
Assim,

12. Um outro teorema importante para nós é o que trata de intervalos em que
definimos as integrais.
Teorema: se a função f(x) é integrável nos intervalos fechados [a,b], [a,c] e [c,b],
então
onde as constantes a, b e c satisfazem a desigualdade: a<c<b.
Não vamos demonstrar mas apenas ver o significado dessa soma de integrais:
Esse teorema nos permite partir o nosso intervalo de integração segundo a nossa
conveniência.
Essas demonstrações que estamos apresentando não são rigorosas como as que
são feitas nas aulas de Cálculo. Neste momento, estamos interessados em tornar os
resultados plausíveis para vocês.
Para terminamos com esse passeio pela Matemática vamos ver o chamado
Teorema Fundamental do Cálculo.
Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e
x é um número qualquer que está dentro do intervalo [a,b]. Se F é uma função
definida por

13. onde t é chamada de variável muda, a é um valor fixo e F(a) uma constante que
depende o valor de a que escolhemos, então,
Note que quando x=a, obtemos que a integral é igual a zero. Isto porque neste caso, a
curva se reduz a um único ponto, e a área debaixo de um único ponto é igual a zero.
É através dessa relação que vamos ser capazes de descobrir quem é F(x)!!!
Afinal, derivar nós sabemos.
Para mostrar de maneira plausível esse resultado, vamos pegar o ponto x e outro
ponto muito perto de x, ou seja, x + Δx, então,
Calculando a diferença F(x+ Δx) – F(x), obtemos:
Devemos observar que

14. a medida que Δx → 0.
No limite em que Δx → 0, a diferença anterior dividida por Δx fica:
Qual a importância do Teorema Fundamental do Cálculo? A gente sabe que
a integral é igual a área sob a curva, mas e daí se não sabemos calcular a expressão da
área para qualquer curva? Então a gente adivinha quem é a função F(x) e a deriva, de
forma a verificar se ela é a expressão certa. F(x) é a função correta no caso de sua
derivada ser igual a função g(x).
Vamos ver um caso importante para nós é a integral indefinida
onde A é uma constante determinada pelos valores de a e b do intervalo de integração
definida. Para ver que o resultado anterior está correto, basta ver que,
Exercício: Calcule a integral indefinida: ∫(t²+1) dt.
0

15. Usando a ideia de integral de uma função da variável tempo, vamos obter as
equações de movimento uniformemente acelerado em uma dimensão espacial (D=1).
Pela definição de velocidade instantânea,
O Teorema Fundamental do Cálculo nos dá
Além disso, como pela definição de aceleração instantânea temos que
No caso em que a aceleração é constante:
onde estamos usando a notação: v0 = v(t0 ). Note que v0 é a velocidade do corpo no
instante inicial t = t0.
Escolhendo o instante inicial como sendo 0, ou seja, t0 = 0, a expressão anterior
para a velocidade instantânea de um corpo sujeito a uma aceleração constante a fica

16. Para calcular a posição x(t), temos que
e usando a expressão acima, e usando a notação x0 = x(t0), temos que
Logo,
que é a equação de movimento de uma partícula ao longo de uma reta quando está sob
a ação de uma aceleração constante a tendo como posição inicial x0 e velocidade
inicial v0. Estamos assumindo que começamos a observar o movimento do corpo ao
longo da reta no instante inicial em que t0 = 0.