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1. REVISÃO DA TEORIA MA11
UNIDADE 12 FUNÇÕES POLINOMIAIS
1 Funções Polinomiais vs Polinômios
 Diz-se que p: IRIR é uma função polinomial quando existem números a0, a1,..., an tais que, para todo x
 R, tem-se
p(x) = anxn
+ an – 1xn – 1
+ . . . + a1x + a0
Se an  0, dizemos que p tem grau n.
 Um exemplo interessante de produto é:
(x – )(xn – 1
+ xn – 2
+ . . . + n – 2
x + n – 1
) = xn
– n
Dizemos então que xn
– n
é divisível por x – .
 1, 2,..., k são raízes de p se, e somente, para todo x  IR vale
p(x) = (x – 1)(x – 2) ... (x – k)q(x)
onde q é uma função polinomial de grau n – k se p tem grau n. Daí resulta que uma função polinomial de
grau n não pode ter mais do que n raízes.
 Uma função polinomial chama-se identicamente nula quando se tem p(x) = 0 para todo x  IR. Nesse
caso p tem uma infinidade de raízes, ou seja, todo número real é raiz de p. Assim:
p(x) = anxn
+ an – 1xn – 1
+ . . . + a1x + a0
tem todos os coeficientes an, an – 1, ... a1, a0 são iguais a zero.
 Se os polinômios p(x) = anxn
+ an – 1xn – 1
+ . . . + a1x + a0 e q(x) = bnxn
+ bn – 1xn – 1
+ . . . + b1x + b0
segue que:
an = bn, an – 1 = bn – 1, ... , a1 = b1, a0 = b0.
 A cada polinômio p(X) = anXn
+ an – 1Xn – 1
+ . . . + a1X + a0 faz-se corresponder a função polinomial p (x)
= anxn
+ an – 1xn – 1
+ . . . + a1x + a0, para todo x  IR. Esta correspondência (polinômio)  (função
polinomial) é sobrejetiva.
2 Determinando um Polinômio a Partir de Seus Valores
 Dados n + 1 números reais distintos x0, x1, ..., xn e fixados arbitrariamente os valores y0, y1, ..., yn, existe
um, e somente um, polinômio p, de grau  n, tal que
p(x0) = y0, p(x1) = y1, ..., p(xn) = yn.
 Fórmula de interpolação de Lagrange:
n = 1:   01
0 1
0 1 1 0
x xx x
p x y y
x x x x

 
 

2. CONTINUAÇÃO DA REVISÃO DE MA 11 - PROFMAT – UFPI – Marcos Nery 2
n = 2:  
  
  
  
  
  
  
1 2 0 2 0 1
0 1 2
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
x x x x x x x x x x x x
p x y y y
x x x x x x x x x x x x
     
  
     
Caso geral:
 
0
n
k
i
i k i i k
x x
p x y
x x 
 
   
 
 
3 Gráficos de Polinômios
 Seja p(x) = anxn
+ an – 1xn – 1
+ . . . + a1x + a0, com a  0.
Se n é par então, para |x| suficientemente grande, p(x) tem o mesmo sinal de an. Este sinal é, portanto,
o mesmo, não importando se x < 0 ou x > 0, desde que |x| seja suficientemente grande.
Se, entretanto, n é ímpar, p(x) tem o mesmo sinal de an para valores positivos muito grandes de x e tem
o sinal oposto de an para valores negativos muito grandes de an.
Em ambos os casos (n par ou n ímpar), quando |x| cresce ilimitadamente, |p(x)| também cresce
ilimitadamente.
 Um exemplo de algoritmo grandemente eficiente para obter uma raiz da equação p(x) = 0 é o método
de Newton. Segundo este método, se x1 é um valor próximo de uma raiz, a sequência x1, x2, ..., xn, ...de
números reais obtidos pela fórmula iterativa
 
 1
'
n
n n
n
p x
x x
p x
  
 Um caso particular do método de Newton já era conhecido pelos babilônios, que calculavam a raiz
quadrada de um número positivo a (ou seja, uma raiz da equação x2
– a = 0) tomando um valor inicial x1
e, a partir dele, construir as aproximações x1, x2, ..., xn, ... de a pela fórmula iterativa:
1
1
2
n n
n
a
x x
x

 
  
 
UNIDADE 13 FUNÇÃO EXPONENCIAL
1 Introdução
 O modelo matemático conveniente para descrever a variação de um capital aplicado a juros fixos, em
função do tempo, deve ser uma função crescente c(t) tal que o acréscimo relativo
   
 
c t h c t
c t
 
dependa apenas de h, mas não de t.
 As únicas funções com estas propriedades são as da forma   0
t
c t c a  .
 Uma situação análoga ocorre quando se estuda a desintegração radioativa. De um modo geral, se
designarmos por m = m(t) a massa da substância radioativa presente no corpo no instante t, veremos
que m é uma função decrescente de t e, além disso, a perda relativa
   
 
m t h m t
m t
 
, ocorrida após o
decurso do tempo h, depende apenas de h mas não do instante inicial t, ou seja, da massa m(t)
existente naquela ocasião.

3. CONTINUAÇÃO DA REVISÃO DE MA 11 - PROFMAT – UFPI – Marcos Nery 3
 As únicas funções com essas propriedades são as do tipo   t
m t b a  .
2 Potências de Expoente Racional
 Seja a um número real positivo. Para todo n  IN, a potência an
, de base a e expoente n é definida
como o produto de n fatores iguais a a.
 Para quaisquer m; n  IN tem-se m n m n
a a a 
  . Segue-se que, para m1, m2, ..., mk quaisquer vale:
1 21 2 ...
... k km m m mm m
a a a a   
   
 Em particular, se m1 = m2 = ... = mk = m, vem  
k
m mk
a a .
 Se 2 1
1 1 ... ....n n
a a a a a 
       
 Além disso, 2 1
0 1 1 ... ....n n
a a a a a 
        
 Como a igualdade a0
 a1
= a0+1
deve ser válida, teremos a0
 a = a, logo a única definição possível é a0
=
1.
 Dado qualquer n  IN, devemos ter 0
1n n n n
a a a a  
    , logo
1n
n
a
a

 .
 Que sentido pode ser dado à potência ar
quando
m
r
n
 é um número racional (onde m  Z e n  N), de
modo que continue válida a regra r s r s
a a a 
  . Desta igualdade resulta, que se deve ter, para
m
r
n
 :
  ...
...
n
r r r r r r r rn m
a a a a a a a  
      
Portanto ar
é o número real positivo cuja n-ésima potência é igual a am
. Por definição de raiz, este
número é n m
a , a raiz n-ésima de am
. Assim, a única maneira de definir a potência ar
, com
m
r
n
 , m 
Z, n  IN, consiste em pôr
m
n mn
a a
 Lema: Fixado o número real positivo a  1, em todo intervalo de R+
existe alguma potência ar
, com r 
Q.
UNIDADE 14 FUNÇÃO EXPONENCIAL
1 A Função Exponencial
 Seja a um número real positivo, que suporemos sempre diferente de 1. A função exponencial de base a,
f: IR  IR+
, indicada pela notação f(x) = ax
, deve ser definida de modo a ter as seguintes propriedades,
para quaisquer x; y  IR:
1) x y x y
a a a 
 
2) 1
a a
3) x y
x y a a   quando 1a  e y x
x y a a   quando 0 1a  .
4) A função f: IR  IR+
, definida por f(x) = ax
, é ilimitada superiormente.
5) A função exponencial é contínua.
6) A função exponencial f: IR  IR+
, f(x) = ax
, a  1 é sobrejetiva.
 Vemos, pois, que para todo número real positivo a, diferente de 1, a função exponencial f: IR  IR+
,
dada por f(x) = ax , é uma correspondência biunívoca entre IR e IR+
, crescente se a > 1, decrescente se
0 < a < 1, com a propriedade adicional de transformar somas em produtos, isto é,
     f x y f x f y   .

4. CONTINUAÇÃO DA REVISÃO DE MA 11 - PROFMAT – UFPI – Marcos Nery 4
 A injetividade da função x  ax
decorre da sua monotonicidade. Se a > 1, por exemplo, então:
x y
x y a a   e x y
x y a a   , portanto x y
x y a a   .
2 Caracterização da Função Exponencial
 Teorema: (Caracterização da função exponencial.) Seja f: IR  IR+
uma função monótona injetiva (isto
é, crescente ou decrescente). As seguintes afirmações são equivalentes:
(1)    
n
f nx f x para todo n  Z e todo x  IR.
(2)   x
f x a para todo x  IR, onde  1a f .
(3)      f x y f x f y   para quaisquer x,y  IR.
UNIDADE 15 FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO INVERSA
1 Funções Exponenciais e Progressões
 Seja f: IR  IR, f(x) = bax
, uma função de tipo exponencial. Se x1, x2, ..., xn, ... é uma progressão
aritmética de razão h, isto é, xn+1 = xn + h, então os valores
  1
1
x
f x ba ,   2
2
x
f x ba , ...,   nx
nf x ba , ..., formam uma progressão geométrica de razão ah
pois:
   1
1
n n nx x h x h
nf x ba ba ba a 
    
 Teorema: Seja f: IR  IR uma função monótona injetiva (isto é, crescente ou decrescente) que
transforma toda progressão aritmética x1, x2, ..., xn,... numa progressão geométrica y1, y2, ..., yn, .... =
f(xn) . Se pusermos b = f(0) e a = f(1)/f(0) teremos f(x) = bax
para todo x  IR.
2 Função Inversa
 Diz-se que a função g: Y  X é a inversa da função f: X  Y quando se tem g(f(x)) = x e f(g(y)) = y para
quaisquer x  X e y  Y. Evidentemente, g é inversa de f se, e somente se, f é inversa de g. Quando g é
a inversa de f, tem-se g(y) = x se, e somente se, f(x) = y.
 Se g(f(x)) = x para todo x  X então a função f é injetiva, pois f(x1) = f(x2)  g(f(x1)) = g(f(x2))  x1 = x2.
 Por sua vez, a igualdade f(g(y)) = y, valendo para todo y  Y, implica que f é sobrejetiva pois, dado y 
Y arbitrário, tomamos x = g(y)  X e temos f(x) = y.
 Portanto, se a função f: X  Y possui inversa então f é injetiva e sobrejetiva, ou seja, é uma
correspondência biunívoca entre X e Y.
Observação. Se f: X  Y é sobrejetiva e g: Y  X é tal que g(f(x)) = x para todo x  X então tem-se
necessariamente f(g(y)) = y para todo y  Y e g = f –1
é a inversa de x. Com efeito, dado qualquer y  Y
existe x  X tal que f(x) = y, logo
f(g(y)) = f(g(f(x))) = f(x) = y.
UNIDADE 16 FUNÇÃO LOGARÍTMICA
1 Funções Logarítmicas
 A inversa da função exponencial de base a é a função loga: IR+
 IR, que associa a cada número real
positivo x o número real loga x, chamado o logaritmo de x na base a. Por definição de função inversa,
tem-se aloga x
= x e loga(ax
) = x.

5. CONTINUAÇÃO DA REVISÃO DE MA 11 - PROFMAT – UFPI – Marcos Nery 5
 Consequências da definição:
(1) 1,..01log *
 IRbb
(2) 1,..1log *
 IRbbb
(3) 1,..log *
 IRbnbn
b
(4) 1,.. *log
 IRbab ab
 Propriedades operatórias
Todas as propriedades abaixo são válidas 1..,,, *
  acomIRcba
(1) cbcb aaa loglog)(log 
(2) cb
c
b
aaa logloglog 





(3) INncnc a
n
a  ,..log)(log
(4)
a
b
b
c
c
a
log
log
log 
(5) cbcb aa  loglog
2 Caracterização das Funções Logarítmicas
 Teorema: (Caracterização das funções logarítmicas.) Seja f: IR+
 IR uma função monótona injetiva
(isto é, crescente ou decrescente) tal que f(xy) = f(x) + f(y) para quaisquer x; y  R+
. Então existe a > 0
tal que f(x) = loga x para todo x  R+
.
 Generalidades sobre a Função Logarítmica
Dado um número real ,1*
 IRa chamamos de função logarítmica de base a a função IRIRf 
*
:
que associa a cada x o número real ,log xa isto é, IRIRf 
*
: tal que xxf alog)(  .
 A função é crescente se 1a
 A função é decrescente se 10  a .
 Para resolver inequações logarítmicas, após igualar as bases, observamos o a .
Se 1a , 2121 loglog xxxx aa 
Se ,10  a 2121 loglog xxxx aa 
UNIDADE 17 LOGARITMOS NATURAIS
1 Logaritmos Naturais
 Pelo Teorema de Caracterização das funções logarítmicas, existe um número real positivo, que
chamaremos de e, tal que f(x) = loge x para todo x  R+
.
 Escreveremos ln x em vez de loge x e chamaremos o número ln x de logaritmo natural de x.
 O número e, base dos logaritmos naturais, é caracterizado pelo fato de que seu logaritmo natural é igual
a 1, ou seja ÁREA 1 1e
H  .

6. CONTINUAÇÃO DA REVISÃO DE MA 11 - PROFMAT – UFPI – Marcos Nery 6
 O número e é irracional. Um valor aproximado dessa importante constante é e = 2,718281828459.
 ln 1
1
x
x x
x
  

Dividindo por x:
 ln 11
1
1
x
x x

 

Tomando
1
x
n
 :
1
ln 1 1
1
n
n
n n
 
   
  
Portanto:
1
1 1
1 lim 1
n nn
n
n
e e e
n n


   
        
   