SlideShare uma empresa Scribd logo
109
5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS
5.1- INTEGRAÇÃONUMÉRICA
Integrar numericamente uma função y = f(x) num dado intervalo [a, b] é integrar
um polinômio Pn(x) que aproxime f(x) no dado intervalo.
Em particular, se y = f(x) for dada por uma tabela ou, por um conjunto de pares
ordenados (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn))(onde os xi podem ser supostos em ordem
crescente) , x0 = a, xn = b, podemos usar como polinômio de aproximação para a função y =
f(x) no intervalo [a, b] o seu polinômio de interpolação.
Em particular, o polinômio de interpolação para a função y = f(x) no intervalo [a,
b], a = x0, b = xn é um polinômio de aproximação para f(x) em qualquer subintervalo[xi, xj],
0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ n do intervalo [a, b].
Podemos então usar o polinômio Pn(x) para integrar f(x) em qualquer desses
subintervalos.
As vantagens de se integrar um polinômio que aproxima y = f(x) ao invés de f(x)
são principalmente duas:
a) f(x) pode ser uma função de difícil integração ou de integração praticamente
impossível, enquanto que um polinômio é sempre de integração imediata;
b) As vezes a função é dada simplesmente através de uma tabela-conjunto de
pares ordenados obtidos como resultados de experiências. Aí não se conhece a
expressão analítica da função em termos do argumento x.
As fórmulas de integração são de manejo fácil e prático e nos permite, quando a
função f(x) é conhecida, ter uma idéia do erro cometido na integração numérica, como
veremos mais adiante.
Os argumentos xi podem ser ou não igualmente espaçados, mas estudaremos aqui
somente fórmulas de integração para o caso de argumentos xi igualmente espaçados.
5.2– FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA PARA ARGUMENTOS XI IGUALMENTE
ESPAÇADOS (FÓRMULAS DE NEWTON-COTES)
Seja y = f(x) uma função cujo valores f(x0), f(x1), ..., f(xn) são conhecidos (por
exemplo por meio de uma tabela).
Seu polinômio de interpolação sobre [x0, xn] se escreve na forma de Lagrange:
Pn(x) = ∑=
n
k
kk xLf
0
)(
Sabemos que: f(x) = Pn(x) + Rn(x), ou que f(x) ≅ Pn(x).
Então:
∫ ∑∫∫∫ =
=≅=
nnn x
x
n
k
kk
x
x
n
x
x
b
a
dxxLfdxxPdxxfdxxf
000
))(()()()(
0
(4.1)
110
Supondo os argumentos xi igualmente espaçados de h e considerando-se
u =
h
xx 0−
(4.2)
temos que
dx = hdu; e quando x = x0 ⇒ u = 0
x = xn ⇒ u = n
Relembrando que, Lk (x) = ∏
≠
= −
−n
ki
k 0 ik
k
)x(x
)x(x
, (4.3)
substituindo-se a (4.2) na (4.3) tem-se:
Lk (x) = λk(u) = ∏
≠
= −
−n
ki
k 0 i)(k
k)(u
(4.4)
ou ainda,
λk(u) = ∏
≠
= −
−n
ki
k 0 i)(k
k)(u
=
)nk)......(1k(k))(1k(k)......(1k)(0k(
)nu)......(1k(u))(1k(u)......(1u)(0u(
−+−−−−−
−+−−−−−
Então, substituindo a (4.4) na (4.1) resulta:
=λ==≅ ∫∑∫∫ ∑∑∫ ===
n
0
k
n
0k
k
x
x
k
x
x
n
0k
k
n
0k
kk
x
x
hdu)u(fdx)x(Lfdx))x(Lf(dx)x(f
n
0
n
0
n
0
du)u(hf
n
0
k
n
0k
k ∫∑ λ=
=
Fazendo-se:
n
k
n
0
k Cdu)u( =λ∫ ; temos:
∑∫ =
≅
n
0k
n
kk
x
x
Cfhdx)x(f
n
0
(4.5)
Trataremos de obter, agora, algumas fórmulas de integração. Mais adiante
analisaremos o termo do resto.
111
5.2.1- 1º Caso: Regra dos Trapézios
Para n = 1; isto é, queremos obter uma fórmula para integrar f(x) entre dois pontos
consecutivos x0 e x1, usando polinômio do primeiro grau.
Temos, em vista de (4.5) que, ∑∫ =
≅
n
0k
n
kk
x
x
Cfhdx)x(f
n
0
:
∑∫ =
≅
1
0k
1
kk
x
x
Cfhdx)x(f
1
0
; onde, de
n
k
n
0
k Cdu)u( =λ∫ ,
2
1
du)u1(du
10
1u
du)u(C
1
0
1
0
1
0
0
1
0 =−=
−
−
=λ= ∫∫∫
2
1
du
01
0u
du)u(C
1
0
1
0
1
1
1 =
−
−
=λ= ∫∫
Portanto
)]x(f)x(f[
2
h
dx)x(f 10
x
x
1
0
+≅∫
Esta fórmula é conhecida como Regra do Trapézio.
Obs.: Se o intervalo [a, b] é pequeno, a aproximação é razoável; mas se [a, b] é
grande, o erro também pode ser grande. Neste caso dividimos o intervalo [a, b] em n
subintervalos de amplitude
n
ab
h
−
= de tal forma que x0 = a e xn = b e em cada
subintervalo [xj, xj+1], j = 0, 1, ..., n–1 aplicamos a Regra do Trapézio.
Assim obtemos:
2
h
dx)x(f
n
0
x
x
≅∫ [f(x0) + f(x1)] +
2
h
[f(x1) + f(x2)] + ... +
2
h
[f(xn–1) + f(xn)] =
=
2
h
[f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + ... + f(xn–1)) + f(xn)]
Esta é a fórmula do Trapézio Generalizada.
112
Exemplo 5.2.1:
Calcular pela regra do Trapézio ∫ +
4
0
dx)x1(nl usando 5 pontos e sabendo-se que:
x 0 1 2 3 4
nl (1 + x) 0 0.693 1.1 1.387 1.61
Temos:
≅+∫
4
0
dx)x1(nl
2
h
[f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + f(x3)) + f(x4)]
=
2
1
[0 + 2(0.693 + 1.1 + 1.387) + 1.61]
=
2
1
[2(3.180) + 1.61] =
2
1
[7.970]
= 3.985.
4.2.2- 2º Caso: Regra 1/3 de Simpson
Para n = 2; isto é, queremos obter uma fórmula para integrar f(x) entre três pontos
consecutivos x0, x1 e x2, usando polinômio de 2º grau.
Temos de (4.5) que:
∑∫
=
≅
2
0k
2
kk
x
x
hCfdx)x(f
2
0
onde
3
1
du)2u3u(
2
1
du
)20)(10(
)2u)(1u(
du)u(C
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0 =+−=
−−
−−
=λ= ∫∫∫
3
4
du)u2u(du
)21)(01(
)2u)(0u(
du)u(C
2
0
2
2
0
2
0
1
2
1 =−−=
−−
−−
=λ= ∫∫∫
e pelo exercício [4.1] temos
3
1
CC 2
0
2
2 == .
Então:
)]x(f
3
1
)x(f
3
4
)x(f
3
1
[hdx)x(f 21
x
x
0
2
0
++≅∫
Esta fórmula é conhecida como Regra
3
1
de Simpson.
113
De maneira análoga à regra do Trapézio, a generalização da regra
3
1
de Simpson
para integração ao longo de um intervalo [a, b], é feita dividindo-se [a, b] num número par
2n (por que?) de subintervalos de amplitude h =
n2
ab −
de tal forma que x0 = a e x2n = b.
Usando a regra
3
1
de Simpson ao longo do intervalo [xj, xj+2], j = 0, 2, ..., 2n–2,
temos:
)]x(f)x(f4)x(f2...)x(f2)x(f4)x(f2)x(f4)x(f[
3
h
dx)x(f n21n22n243210
x
x
n2
0
++++++++≅ −−∫
Esta é a fórmula
3
1
de Simpson Generalizada.
Exemplo 5.2.2:
Calcular ∫
3
2
2
x
dxxe pela regra
3
1
de Simpson, dada a tabela:
x 2 2.25 2.5 2.75 3.0
2
x
e
2.71 3.08 3.49 3.96 4.48
Assim, temos
∫
3
2
2
x
dxxe )]x(f)x(f4)x(f2)x(f4)x(f[
3
h
43210 ++++≅
=
3
25.0
[5.42 + 4(6.93 + 10.89) + 2(8.725) + 13.44]
=
3
25.0
[5.42 + 71.28 + 17.45 + 13.44]
=
3
25.0
[107.59]
= 8.965833
4.2.3- 3º Caso: Regra 3/8 de Simpson
Para n = 3; isto é, queremos obter uma fórmula para integrar f(x) entre 4 pontos
consecutivos x0, x1, x2 e x3, usando polinômio do 3º grau. Temos
∑∫
=
≅
3
0k
3
kk
x
x
hCfdx)x(f
3
0
onde
114
8
3
du)6u11u6u(
6
1
du)u(C
3
0
23
3
0
0
3
0 =−+−−=λ= ∫∫
8
9
du)u6u5u(
2
1
du)u(C
3
0
23
3
0
1
3
1 =+−=λ= ∫∫
Pelo exercício [4.1], temos:
8
3
CC 3
0
3
3 ==
e
8
9
CC 3
1
3
2 ==
Assim
)]x(f))x(f)x(f(3)x(f[h
8
3
dx)x(f 3210
x
x
3
0
+++≅∫
Essa fórmula é conhecida como Regra
8
3
de Simpson.
Para generalizar a regra
8
3
de Simpson devemos dividir o intervalo [a, b] em um
número conveniente de subintervalos, de amplitude h de tal forma que x0 = a e x3n = b.
Usando a regra
8
3
de Simpson ao longo do intervalo [xj, xj+3], j = 0, 3, 6, ..., 3n–3,
obtemos:
)]x(f))x(f)x(f(3)x(f2...
)x(f2))x(f)x(f(3)x(f2))x(f)x(f(3)x(f[h
8
3
dx)x(f
n31n32n33n3
6543210
x
x
n3
0
+++++
+++++++≅
−−−
∫
Esta é a fórmula
8
3
de Simpson Generalizada.
Exemplo 5.2.3:
Calcular ∫ +
6.0
0
x1
dx
pela regra
8
3
de Simpson e h = 0.1.
Solução: Construímos a tabela de f(x) =
x1
1
+
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
f(x) 1 0.9091 0.8333 0.7692 0.7143 0.6666 0.625
115
Assim, temos
)]x(f))x(f)x(f(3)x(f2))x(f)x(f(3)x(f[h
8
3
x1
dx
6543210
6.0
0
++++++≅
+∫
=
8
)1.0(3
[1 + 3(0.9091 + 0.8333 + 0.7143 + 0.6666) + 2(0.7692) + 0.625]
=
8
3.0
[12.5333] = 0.469999
Obs.: Calcule diretamente ∫ +
6.0
0
x1
dx
e compare os resultados.
As fórmulas vistas são chamadas fórmulas de Newton-Cotes.
5.3 – ERRO NA INTERPOLAÇÃO E NA INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
5.3.1 – Erro na Interpolação
Quando aproximamos a função f por Pn, ou seja, f(x) ≅ Pn(x), existe um erro
cometido na interpolação expresso por Rn(x), assim, é válida a seguinte relação;
f(x) = Pn(x) + Rn(x),
Rn(x) é definido pelo fórmula do Resto de Lagrange, expresso por:
Teorema 5.3.1.1 - fórmula do Resto de Lagrange
Rn(x) =
)!1n(
)xx)(xx)(xx( n10
+
−−−
f(n + 1)
(ξ) ≤
≤
)!1n(
)xx)(xx)(xx( n10
+
−−−
)t(f )1n(
]x,...,x[t
maxn0
+
∈
;
A fórmula dada é válida quando conhecemos a lei de f.
Se não conhecemos esta lei, Rn(x) pode ser estimado por :
Teorema 5.3.1.2 – Lei de f desconhecida
( )( ) ( )n10 xxxxxx −−−≈ L(x)Rn (maxj
| f[x0 ,x1 ,...,xj ]|/((n+1)!) ).
Se os pontos são igualmente espaçados, vale também que:
Teorema 5.3.1.3 – Lei de f desconhecida e pontos igualmente espaçados.
Rn(x) ≤
( )1n4
Mh j
1n
+
+
, onde Mj = maxj
| ∆j
f[x0 ]|.
116
5.3.2 – Erro na Integração Numérica
Integrando-se ambos os lados de f(x) = Pn(x) + Rn(x), obtemos:
∫∫∫ +=
b
a
n
b
a
n
b
a
dx)x(Rdx)x(Pdx)x(f
Seja Tn = ∫
b
a
n dx)x(R , o termo complementar.
Enunciaremos dois teoremas, cujas demonstrações aqui serão omitidas.
Teorema 5.3.2.1 – Se os pontos xj = x0 + jh, j = 0, 1, ..., n dividem [a, b] em um número
ímpar de intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem (n + 1) contínua em [a, b], então a
expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes com n ímpar é dada por:
Tn = ∫ −−
+
ξ++ n
0
)1n(2n
du)nu)...(1u(u
)!1n(
)(fh
para algum ponto ξ ∈ [a, b].
Teorema 5.3.2.2 – Se os pontos xj = x0 + jh, j = 0, 1, ..., n dividem [a, b] em um número
par de intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem (n + 2) contínua em [a, b], então a
expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes com n par é dada por:
Tn = ∫ −−−
+
ξ++ n
0
)2n(3n
du)nu)...(1u(u)
2
n
u(u
)!2n(
)(fh
para algum ponto ξ ∈ [a, b].
Exemplo 5.3.1:
Determinar o menor número de intervalos em que podemos dividir [1, 2] para
obter ∫
2
1
dx)x(nl pela regra do Trapézio com erro ≤ 10–4
.
Solução: T1 ≤ )t´´(fmax
12
nh
2t1
3
≤≤
Temos que
f(t) = nl t, f´(t) =
t
1
, f´´(t) =
2
t
1
−
∴ 1)t´´(fmax
2t1
=
≤≤
∴ T1 ≤ 4
3
101
12
nh −
≤
Mas h =
n
ab −
⇒ h =
n
12−
⇒ h =
n
1
117
∴ n
4
3
10
12n
1 −
≤
∴ 4
2
10
n12
1 −
≤
⇒ n2
≥
12
104
⇒ n2
= 834
∴ nmin = 29
Assim devemos dividir o intervalo [1, 2] em 29 subintervalos iguais para obter
∫
2
1
dx)x(nl pela regra do trapézio com erro ≤ 10–4
.
5.4- Exercícios:
5.4.1) Provar que:
n
kn
n
k CC −=
(Sugestão: Faça a mudança de variável: u = n – v em n
kC )
5.4.2) Determine h de modo que a regra do trapézio forneça o valor de
I = ∫
−
1
0
x
dxe
2
, com erro inferior a 0.5
6
10−
× .
5.4.3) Achar o número mínimo de intervalos que se pode usar para, utilizando a regra
3
1
de
Simpson, obter ∫
π
−
2
0
x
xdxcose com erro inferior a 10–3
.
5.4.4) Nos exercícios [4.2] e [4.3], resolva as integrais numericamente pelas regras
citadas de modo a satisfazer os limites de erros impostos.
5.4.5) Calcular ∫
3
2
2
x
dxxe pela regra
8
3
de Simpson, sobre 07 pontos e dar um limitante
para o erro cometido.

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Cálculo usando MatLab
Cálculo usando MatLabCálculo usando MatLab
Cálculo usando MatLab
antonio sérgio nogueira
 
Zero de função
Zero de funçãoZero de função
Zero de função
Herlan Ribeiro de Souza
 
Funções e suas propriedades analíticas
Funções e suas propriedades analíticasFunções e suas propriedades analíticas
Funções e suas propriedades analíticas
Carlos Campani
 
Lista de exercícios 8 - Mat Elem
Lista de exercícios 8 - Mat ElemLista de exercícios 8 - Mat Elem
Lista de exercícios 8 - Mat Elem
Carlos Campani
 
Max min ime
Max min   imeMax min   ime
Max min ime
Diogo Edler Menezes
 
Funções, suas propriedades e gráfico
Funções, suas propriedades e gráficoFunções, suas propriedades e gráfico
Funções, suas propriedades e gráfico
Carlos Campani
 
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕESPROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
Carlos Campani
 
1 interpol polinomial_met_lagrange_newton
1 interpol polinomial_met_lagrange_newton1 interpol polinomial_met_lagrange_newton
1 interpol polinomial_met_lagrange_newton
Claudiana Furtado
 
Limites
LimitesLimites
Os Teoremas de Euler e Wilson
Os Teoremas de Euler e WilsonOs Teoremas de Euler e Wilson
Os Teoremas de Euler e Wilson
Luciana Martino
 
ANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃO
ANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃOANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃO
ANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃO
Carlos Campani
 
Cl interpolao
Cl interpolaoCl interpolao
Cl interpolao
Fernando Loureiro
 
Ger numaleat(1)
Ger numaleat(1)Ger numaleat(1)
Ger numaleat(1)
Iago Lira
 
Aula 05 derivadas - conceitos iniciais
Aula 05   derivadas - conceitos iniciaisAula 05   derivadas - conceitos iniciais
Congruências
CongruênciasCongruências
Congruências
Luciana Martino
 
Aula 1 a 15 vol1
Aula 1 a 15 vol1Aula 1 a 15 vol1
Aula 1 a 15 vol1
Claudio IPQM da Silva
 
Derivada
DerivadaDerivada
Derivada
Carlos Campani
 
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
David Azevedo
 
Aula 9 - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17
Aula 9  - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17Aula 9  - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17
Aula 9 - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17
Aline Guedes
 
03 calculo diferencial-parte2
03 calculo diferencial-parte203 calculo diferencial-parte2
03 calculo diferencial-parte2
Sandra Gaspar Martins
 

Mais procurados (20)

Cálculo usando MatLab
Cálculo usando MatLabCálculo usando MatLab
Cálculo usando MatLab
 
Zero de função
Zero de funçãoZero de função
Zero de função
 
Funções e suas propriedades analíticas
Funções e suas propriedades analíticasFunções e suas propriedades analíticas
Funções e suas propriedades analíticas
 
Lista de exercícios 8 - Mat Elem
Lista de exercícios 8 - Mat ElemLista de exercícios 8 - Mat Elem
Lista de exercícios 8 - Mat Elem
 
Max min ime
Max min   imeMax min   ime
Max min ime
 
Funções, suas propriedades e gráfico
Funções, suas propriedades e gráficoFunções, suas propriedades e gráfico
Funções, suas propriedades e gráfico
 
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕESPROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES
 
1 interpol polinomial_met_lagrange_newton
1 interpol polinomial_met_lagrange_newton1 interpol polinomial_met_lagrange_newton
1 interpol polinomial_met_lagrange_newton
 
Limites
LimitesLimites
Limites
 
Os Teoremas de Euler e Wilson
Os Teoremas de Euler e WilsonOs Teoremas de Euler e Wilson
Os Teoremas de Euler e Wilson
 
ANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃO
ANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃOANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃO
ANÁLISE COMPLETA DE UMA FUNÇÃO
 
Cl interpolao
Cl interpolaoCl interpolao
Cl interpolao
 
Ger numaleat(1)
Ger numaleat(1)Ger numaleat(1)
Ger numaleat(1)
 
Aula 05 derivadas - conceitos iniciais
Aula 05   derivadas - conceitos iniciaisAula 05   derivadas - conceitos iniciais
Aula 05 derivadas - conceitos iniciais
 
Congruências
CongruênciasCongruências
Congruências
 
Aula 1 a 15 vol1
Aula 1 a 15 vol1Aula 1 a 15 vol1
Aula 1 a 15 vol1
 
Derivada
DerivadaDerivada
Derivada
 
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
ResoluExame, Matemática A, 2011_2011
 
Aula 9 - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17
Aula 9  - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17Aula 9  - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17
Aula 9 - profmat - os teoremas de euler e wilson 27 10-17
 
03 calculo diferencial-parte2
03 calculo diferencial-parte203 calculo diferencial-parte2
03 calculo diferencial-parte2
 

Semelhante a 1 integr num_simples

Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8
Carlos Campani
 
Integraldefinida
IntegraldefinidaIntegraldefinida
Integraldefinida
Vismael Santos
 
Integracaonumerica
IntegracaonumericaIntegracaonumerica
Integracaonumerica
Paulo Nascimento
 
Fourier
FourierFourier
Sries de taylor e de maclaurin
Sries de taylor e de maclaurinSries de taylor e de maclaurin
Sries de taylor e de maclaurin
Luciana Costa
 
Mn aula06-interpolacao
Mn aula06-interpolacaoMn aula06-interpolacao
Mn aula06-interpolacao
jadsons95
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
Aldo Brasil
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
mlthomaz
 
Integral
IntegralIntegral
Integral
Carlos Campani
 
Função Polinomial
Função PolinomialFunção Polinomial
Função Polinomial
Carlos Campani
 
Teste cálculo Jan2020 resolvido
Teste cálculo Jan2020 resolvidoTeste cálculo Jan2020 resolvido
Teste cálculo Jan2020 resolvido
Maths Tutoring
 
Funções Elementares
Funções ElementaresFunções Elementares
Funções Elementares
Carlos Campani
 
03 raizes
03 raizes03 raizes
03 raizes
Loraydan Soares
 
Teste Derivadas
Teste DerivadasTeste Derivadas
Teste Derivadas
Maths Tutoring
 
Ex algebra (7)
Ex algebra  (7)Ex algebra  (7)
Ex algebra (7)
Andrei Bastos
 
Funcao exponencial
Funcao exponencialFuncao exponencial
Funcao exponencial
slidericardinho
 
funcoes1_slides.pptx matematica,engenharia e afins
funcoes1_slides.pptx matematica,engenharia e afinsfuncoes1_slides.pptx matematica,engenharia e afins
funcoes1_slides.pptx matematica,engenharia e afins
JosJunior621067
 
3ee+gab
3ee+gab3ee+gab
3ee+gab
Rafael Lucian
 
Transformada de Fourrier
Transformada de FourrierTransformada de Fourrier
Transformada de Fourrier
João Batista
 
OperaçõEs Com PolinôMios2
OperaçõEs Com PolinôMios2OperaçõEs Com PolinôMios2
OperaçõEs Com PolinôMios2
guestd49fc4
 

Semelhante a 1 integr num_simples (20)

Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8Lista de exercícios 8
Lista de exercícios 8
 
Integraldefinida
IntegraldefinidaIntegraldefinida
Integraldefinida
 
Integracaonumerica
IntegracaonumericaIntegracaonumerica
Integracaonumerica
 
Fourier
FourierFourier
Fourier
 
Sries de taylor e de maclaurin
Sries de taylor e de maclaurinSries de taylor e de maclaurin
Sries de taylor e de maclaurin
 
Mn aula06-interpolacao
Mn aula06-interpolacaoMn aula06-interpolacao
Mn aula06-interpolacao
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
 
Integral
IntegralIntegral
Integral
 
Função Polinomial
Função PolinomialFunção Polinomial
Função Polinomial
 
Teste cálculo Jan2020 resolvido
Teste cálculo Jan2020 resolvidoTeste cálculo Jan2020 resolvido
Teste cálculo Jan2020 resolvido
 
Funções Elementares
Funções ElementaresFunções Elementares
Funções Elementares
 
03 raizes
03 raizes03 raizes
03 raizes
 
Teste Derivadas
Teste DerivadasTeste Derivadas
Teste Derivadas
 
Ex algebra (7)
Ex algebra  (7)Ex algebra  (7)
Ex algebra (7)
 
Funcao exponencial
Funcao exponencialFuncao exponencial
Funcao exponencial
 
funcoes1_slides.pptx matematica,engenharia e afins
funcoes1_slides.pptx matematica,engenharia e afinsfuncoes1_slides.pptx matematica,engenharia e afins
funcoes1_slides.pptx matematica,engenharia e afins
 
3ee+gab
3ee+gab3ee+gab
3ee+gab
 
Transformada de Fourrier
Transformada de FourrierTransformada de Fourrier
Transformada de Fourrier
 
OperaçõEs Com PolinôMios2
OperaçõEs Com PolinôMios2OperaçõEs Com PolinôMios2
OperaçõEs Com PolinôMios2
 

Mais de Heron Soares

2. juros simples e compostos
2. juros simples e compostos2. juros simples e compostos
2. juros simples e compostos
Heron Soares
 
Anexo2 tabela resistencia quimica
Anexo2 tabela  resistencia quimicaAnexo2 tabela  resistencia quimica
Anexo2 tabela resistencia quimica
Heron Soares
 
Tese
TeseTese
Traução cimentos
Traução cimentosTraução cimentos
Traução cimentos
Heron Soares
 
Emissao poluentes
Emissao poluentesEmissao poluentes
Emissao poluentes
Heron Soares
 
Tcc cal
Tcc calTcc cal
Tcc cal
Heron Soares
 
1 integr num_simples
1 integr num_simples1 integr num_simples
1 integr num_simples
Heron Soares
 
Termopar
TermoparTermopar
Termopar
Heron Soares
 
Balanço de massa_e_energia_roteiro_de_dinâmica
Balanço de massa_e_energia_roteiro_de_dinâmicaBalanço de massa_e_energia_roteiro_de_dinâmica
Balanço de massa_e_energia_roteiro_de_dinâmica
Heron Soares
 
Lista mc cabe thiele
Lista mc cabe thieleLista mc cabe thiele
Lista mc cabe thiele
Heron Soares
 

Mais de Heron Soares (10)

2. juros simples e compostos
2. juros simples e compostos2. juros simples e compostos
2. juros simples e compostos
 
Anexo2 tabela resistencia quimica
Anexo2 tabela  resistencia quimicaAnexo2 tabela  resistencia quimica
Anexo2 tabela resistencia quimica
 
Tese
TeseTese
Tese
 
Traução cimentos
Traução cimentosTraução cimentos
Traução cimentos
 
Emissao poluentes
Emissao poluentesEmissao poluentes
Emissao poluentes
 
Tcc cal
Tcc calTcc cal
Tcc cal
 
1 integr num_simples
1 integr num_simples1 integr num_simples
1 integr num_simples
 
Termopar
TermoparTermopar
Termopar
 
Balanço de massa_e_energia_roteiro_de_dinâmica
Balanço de massa_e_energia_roteiro_de_dinâmicaBalanço de massa_e_energia_roteiro_de_dinâmica
Balanço de massa_e_energia_roteiro_de_dinâmica
 
Lista mc cabe thiele
Lista mc cabe thieleLista mc cabe thiele
Lista mc cabe thiele
 

1 integr num_simples

  • 1. 109 5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 5.1- INTEGRAÇÃONUMÉRICA Integrar numericamente uma função y = f(x) num dado intervalo [a, b] é integrar um polinômio Pn(x) que aproxime f(x) no dado intervalo. Em particular, se y = f(x) for dada por uma tabela ou, por um conjunto de pares ordenados (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn))(onde os xi podem ser supostos em ordem crescente) , x0 = a, xn = b, podemos usar como polinômio de aproximação para a função y = f(x) no intervalo [a, b] o seu polinômio de interpolação. Em particular, o polinômio de interpolação para a função y = f(x) no intervalo [a, b], a = x0, b = xn é um polinômio de aproximação para f(x) em qualquer subintervalo[xi, xj], 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ n do intervalo [a, b]. Podemos então usar o polinômio Pn(x) para integrar f(x) em qualquer desses subintervalos. As vantagens de se integrar um polinômio que aproxima y = f(x) ao invés de f(x) são principalmente duas: a) f(x) pode ser uma função de difícil integração ou de integração praticamente impossível, enquanto que um polinômio é sempre de integração imediata; b) As vezes a função é dada simplesmente através de uma tabela-conjunto de pares ordenados obtidos como resultados de experiências. Aí não se conhece a expressão analítica da função em termos do argumento x. As fórmulas de integração são de manejo fácil e prático e nos permite, quando a função f(x) é conhecida, ter uma idéia do erro cometido na integração numérica, como veremos mais adiante. Os argumentos xi podem ser ou não igualmente espaçados, mas estudaremos aqui somente fórmulas de integração para o caso de argumentos xi igualmente espaçados. 5.2– FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA PARA ARGUMENTOS XI IGUALMENTE ESPAÇADOS (FÓRMULAS DE NEWTON-COTES) Seja y = f(x) uma função cujo valores f(x0), f(x1), ..., f(xn) são conhecidos (por exemplo por meio de uma tabela). Seu polinômio de interpolação sobre [x0, xn] se escreve na forma de Lagrange: Pn(x) = ∑= n k kk xLf 0 )( Sabemos que: f(x) = Pn(x) + Rn(x), ou que f(x) ≅ Pn(x). Então: ∫ ∑∫∫∫ = =≅= nnn x x n k kk x x n x x b a dxxLfdxxPdxxfdxxf 000 ))(()()()( 0 (4.1)
  • 2. 110 Supondo os argumentos xi igualmente espaçados de h e considerando-se u = h xx 0− (4.2) temos que dx = hdu; e quando x = x0 ⇒ u = 0 x = xn ⇒ u = n Relembrando que, Lk (x) = ∏ ≠ = − −n ki k 0 ik k )x(x )x(x , (4.3) substituindo-se a (4.2) na (4.3) tem-se: Lk (x) = λk(u) = ∏ ≠ = − −n ki k 0 i)(k k)(u (4.4) ou ainda, λk(u) = ∏ ≠ = − −n ki k 0 i)(k k)(u = )nk)......(1k(k))(1k(k)......(1k)(0k( )nu)......(1k(u))(1k(u)......(1u)(0u( −+−−−−− −+−−−−− Então, substituindo a (4.4) na (4.1) resulta: =λ==≅ ∫∑∫∫ ∑∑∫ === n 0 k n 0k k x x k x x n 0k k n 0k kk x x hdu)u(fdx)x(Lfdx))x(Lf(dx)x(f n 0 n 0 n 0 du)u(hf n 0 k n 0k k ∫∑ λ= = Fazendo-se: n k n 0 k Cdu)u( =λ∫ ; temos: ∑∫ = ≅ n 0k n kk x x Cfhdx)x(f n 0 (4.5) Trataremos de obter, agora, algumas fórmulas de integração. Mais adiante analisaremos o termo do resto.
  • 3. 111 5.2.1- 1º Caso: Regra dos Trapézios Para n = 1; isto é, queremos obter uma fórmula para integrar f(x) entre dois pontos consecutivos x0 e x1, usando polinômio do primeiro grau. Temos, em vista de (4.5) que, ∑∫ = ≅ n 0k n kk x x Cfhdx)x(f n 0 : ∑∫ = ≅ 1 0k 1 kk x x Cfhdx)x(f 1 0 ; onde, de n k n 0 k Cdu)u( =λ∫ , 2 1 du)u1(du 10 1u du)u(C 1 0 1 0 1 0 0 1 0 =−= − − =λ= ∫∫∫ 2 1 du 01 0u du)u(C 1 0 1 0 1 1 1 = − − =λ= ∫∫ Portanto )]x(f)x(f[ 2 h dx)x(f 10 x x 1 0 +≅∫ Esta fórmula é conhecida como Regra do Trapézio. Obs.: Se o intervalo [a, b] é pequeno, a aproximação é razoável; mas se [a, b] é grande, o erro também pode ser grande. Neste caso dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos de amplitude n ab h − = de tal forma que x0 = a e xn = b e em cada subintervalo [xj, xj+1], j = 0, 1, ..., n–1 aplicamos a Regra do Trapézio. Assim obtemos: 2 h dx)x(f n 0 x x ≅∫ [f(x0) + f(x1)] + 2 h [f(x1) + f(x2)] + ... + 2 h [f(xn–1) + f(xn)] = = 2 h [f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + ... + f(xn–1)) + f(xn)] Esta é a fórmula do Trapézio Generalizada.
  • 4. 112 Exemplo 5.2.1: Calcular pela regra do Trapézio ∫ + 4 0 dx)x1(nl usando 5 pontos e sabendo-se que: x 0 1 2 3 4 nl (1 + x) 0 0.693 1.1 1.387 1.61 Temos: ≅+∫ 4 0 dx)x1(nl 2 h [f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + f(x3)) + f(x4)] = 2 1 [0 + 2(0.693 + 1.1 + 1.387) + 1.61] = 2 1 [2(3.180) + 1.61] = 2 1 [7.970] = 3.985. 4.2.2- 2º Caso: Regra 1/3 de Simpson Para n = 2; isto é, queremos obter uma fórmula para integrar f(x) entre três pontos consecutivos x0, x1 e x2, usando polinômio de 2º grau. Temos de (4.5) que: ∑∫ = ≅ 2 0k 2 kk x x hCfdx)x(f 2 0 onde 3 1 du)2u3u( 2 1 du )20)(10( )2u)(1u( du)u(C 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 =+−= −− −− =λ= ∫∫∫ 3 4 du)u2u(du )21)(01( )2u)(0u( du)u(C 2 0 2 2 0 2 0 1 2 1 =−−= −− −− =λ= ∫∫∫ e pelo exercício [4.1] temos 3 1 CC 2 0 2 2 == . Então: )]x(f 3 1 )x(f 3 4 )x(f 3 1 [hdx)x(f 21 x x 0 2 0 ++≅∫ Esta fórmula é conhecida como Regra 3 1 de Simpson.
  • 5. 113 De maneira análoga à regra do Trapézio, a generalização da regra 3 1 de Simpson para integração ao longo de um intervalo [a, b], é feita dividindo-se [a, b] num número par 2n (por que?) de subintervalos de amplitude h = n2 ab − de tal forma que x0 = a e x2n = b. Usando a regra 3 1 de Simpson ao longo do intervalo [xj, xj+2], j = 0, 2, ..., 2n–2, temos: )]x(f)x(f4)x(f2...)x(f2)x(f4)x(f2)x(f4)x(f[ 3 h dx)x(f n21n22n243210 x x n2 0 ++++++++≅ −−∫ Esta é a fórmula 3 1 de Simpson Generalizada. Exemplo 5.2.2: Calcular ∫ 3 2 2 x dxxe pela regra 3 1 de Simpson, dada a tabela: x 2 2.25 2.5 2.75 3.0 2 x e 2.71 3.08 3.49 3.96 4.48 Assim, temos ∫ 3 2 2 x dxxe )]x(f)x(f4)x(f2)x(f4)x(f[ 3 h 43210 ++++≅ = 3 25.0 [5.42 + 4(6.93 + 10.89) + 2(8.725) + 13.44] = 3 25.0 [5.42 + 71.28 + 17.45 + 13.44] = 3 25.0 [107.59] = 8.965833 4.2.3- 3º Caso: Regra 3/8 de Simpson Para n = 3; isto é, queremos obter uma fórmula para integrar f(x) entre 4 pontos consecutivos x0, x1, x2 e x3, usando polinômio do 3º grau. Temos ∑∫ = ≅ 3 0k 3 kk x x hCfdx)x(f 3 0 onde
  • 6. 114 8 3 du)6u11u6u( 6 1 du)u(C 3 0 23 3 0 0 3 0 =−+−−=λ= ∫∫ 8 9 du)u6u5u( 2 1 du)u(C 3 0 23 3 0 1 3 1 =+−=λ= ∫∫ Pelo exercício [4.1], temos: 8 3 CC 3 0 3 3 == e 8 9 CC 3 1 3 2 == Assim )]x(f))x(f)x(f(3)x(f[h 8 3 dx)x(f 3210 x x 3 0 +++≅∫ Essa fórmula é conhecida como Regra 8 3 de Simpson. Para generalizar a regra 8 3 de Simpson devemos dividir o intervalo [a, b] em um número conveniente de subintervalos, de amplitude h de tal forma que x0 = a e x3n = b. Usando a regra 8 3 de Simpson ao longo do intervalo [xj, xj+3], j = 0, 3, 6, ..., 3n–3, obtemos: )]x(f))x(f)x(f(3)x(f2... )x(f2))x(f)x(f(3)x(f2))x(f)x(f(3)x(f[h 8 3 dx)x(f n31n32n33n3 6543210 x x n3 0 +++++ +++++++≅ −−− ∫ Esta é a fórmula 8 3 de Simpson Generalizada. Exemplo 5.2.3: Calcular ∫ + 6.0 0 x1 dx pela regra 8 3 de Simpson e h = 0.1. Solução: Construímos a tabela de f(x) = x1 1 + x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 f(x) 1 0.9091 0.8333 0.7692 0.7143 0.6666 0.625
  • 7. 115 Assim, temos )]x(f))x(f)x(f(3)x(f2))x(f)x(f(3)x(f[h 8 3 x1 dx 6543210 6.0 0 ++++++≅ +∫ = 8 )1.0(3 [1 + 3(0.9091 + 0.8333 + 0.7143 + 0.6666) + 2(0.7692) + 0.625] = 8 3.0 [12.5333] = 0.469999 Obs.: Calcule diretamente ∫ + 6.0 0 x1 dx e compare os resultados. As fórmulas vistas são chamadas fórmulas de Newton-Cotes. 5.3 – ERRO NA INTERPOLAÇÃO E NA INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 5.3.1 – Erro na Interpolação Quando aproximamos a função f por Pn, ou seja, f(x) ≅ Pn(x), existe um erro cometido na interpolação expresso por Rn(x), assim, é válida a seguinte relação; f(x) = Pn(x) + Rn(x), Rn(x) é definido pelo fórmula do Resto de Lagrange, expresso por: Teorema 5.3.1.1 - fórmula do Resto de Lagrange Rn(x) = )!1n( )xx)(xx)(xx( n10 + −−− f(n + 1) (ξ) ≤ ≤ )!1n( )xx)(xx)(xx( n10 + −−− )t(f )1n( ]x,...,x[t maxn0 + ∈ ; A fórmula dada é válida quando conhecemos a lei de f. Se não conhecemos esta lei, Rn(x) pode ser estimado por : Teorema 5.3.1.2 – Lei de f desconhecida ( )( ) ( )n10 xxxxxx −−−≈ L(x)Rn (maxj | f[x0 ,x1 ,...,xj ]|/((n+1)!) ). Se os pontos são igualmente espaçados, vale também que: Teorema 5.3.1.3 – Lei de f desconhecida e pontos igualmente espaçados. Rn(x) ≤ ( )1n4 Mh j 1n + + , onde Mj = maxj | ∆j f[x0 ]|.
  • 8. 116 5.3.2 – Erro na Integração Numérica Integrando-se ambos os lados de f(x) = Pn(x) + Rn(x), obtemos: ∫∫∫ += b a n b a n b a dx)x(Rdx)x(Pdx)x(f Seja Tn = ∫ b a n dx)x(R , o termo complementar. Enunciaremos dois teoremas, cujas demonstrações aqui serão omitidas. Teorema 5.3.2.1 – Se os pontos xj = x0 + jh, j = 0, 1, ..., n dividem [a, b] em um número ímpar de intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem (n + 1) contínua em [a, b], então a expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes com n ímpar é dada por: Tn = ∫ −− + ξ++ n 0 )1n(2n du)nu)...(1u(u )!1n( )(fh para algum ponto ξ ∈ [a, b]. Teorema 5.3.2.2 – Se os pontos xj = x0 + jh, j = 0, 1, ..., n dividem [a, b] em um número par de intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem (n + 2) contínua em [a, b], então a expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes com n par é dada por: Tn = ∫ −−− + ξ++ n 0 )2n(3n du)nu)...(1u(u) 2 n u(u )!2n( )(fh para algum ponto ξ ∈ [a, b]. Exemplo 5.3.1: Determinar o menor número de intervalos em que podemos dividir [1, 2] para obter ∫ 2 1 dx)x(nl pela regra do Trapézio com erro ≤ 10–4 . Solução: T1 ≤ )t´´(fmax 12 nh 2t1 3 ≤≤ Temos que f(t) = nl t, f´(t) = t 1 , f´´(t) = 2 t 1 − ∴ 1)t´´(fmax 2t1 = ≤≤ ∴ T1 ≤ 4 3 101 12 nh − ≤ Mas h = n ab − ⇒ h = n 12− ⇒ h = n 1
  • 9. 117 ∴ n 4 3 10 12n 1 − ≤ ∴ 4 2 10 n12 1 − ≤ ⇒ n2 ≥ 12 104 ⇒ n2 = 834 ∴ nmin = 29 Assim devemos dividir o intervalo [1, 2] em 29 subintervalos iguais para obter ∫ 2 1 dx)x(nl pela regra do trapézio com erro ≤ 10–4 . 5.4- Exercícios: 5.4.1) Provar que: n kn n k CC −= (Sugestão: Faça a mudança de variável: u = n – v em n kC ) 5.4.2) Determine h de modo que a regra do trapézio forneça o valor de I = ∫ − 1 0 x dxe 2 , com erro inferior a 0.5 6 10− × . 5.4.3) Achar o número mínimo de intervalos que se pode usar para, utilizando a regra 3 1 de Simpson, obter ∫ π − 2 0 x xdxcose com erro inferior a 10–3 . 5.4.4) Nos exercícios [4.2] e [4.3], resolva as integrais numericamente pelas regras citadas de modo a satisfazer os limites de erros impostos. 5.4.5) Calcular ∫ 3 2 2 x dxxe pela regra 8 3 de Simpson, sobre 07 pontos e dar um limitante para o erro cometido.