O documento apresenta um resumo sobre o método numérico dos trapézios para aproximar o valor de uma integral definida. O método aproxima a função pelo polinômio de grau 1 que passa pelos pontos iniciais e finais do intervalo, permitindo calcular a integral desse polinômio. A fórmula resultante para a aproximação da integral é a média ponderada das avaliações da função nos extremos do intervalo.

1. Cálculo Numérico I
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
7 de maio de 2021
Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento

2. Introdução
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

3. Introdução
Vimos, em cursos de Cálculo Diferencial e Integral, que o valor da integral definida de
uma função f, contínua no intervalo [a, b], pode ser determinada através da fórmula de
Newton-Leibnitz:
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

4. Introdução
Vimos, em cursos de Cálculo Diferencial e Integral, que o valor da integral definida de
uma função f, contínua no intervalo [a, b], pode ser determinada através da fórmula de
Newton-Leibnitz:
Z b
a
f(x) dx = F(b) − F(a),
Desde que a primitiva F da função f seja conhecida e que um dos métodos de
integração a resolva.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

5. Introdução
Vimos, em cursos de Cálculo Diferencial e Integral, que o valor da integral definida de
uma função f, contínua no intervalo [a, b], pode ser determinada através da fórmula de
Newton-Leibnitz:
Z b
a
f(x) dx = F(b) − F(a),
Desde que a primitiva F da função f seja conhecida e que um dos métodos de
integração a resolva.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

6. Introdução
Vimos, em cursos de Cálculo Diferencial e Integral, que o valor da integral definida de
uma função f, contínua no intervalo [a, b], pode ser determinada através da fórmula de
Newton-Leibnitz:
Z b
a
f(x) dx = F(b) − F(a),
Desde que a primitiva F da função f seja conhecida e que um dos métodos de
integração a resolva.
Em muitos casos é muito difícil ou às vezes até impossível determinarmos a primitiva
de f.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

7. Introdução
Vimos, em cursos de Cálculo Diferencial e Integral, que o valor da integral definida de
uma função f, contínua no intervalo [a, b], pode ser determinada através da fórmula de
Newton-Leibnitz:
Z b
a
f(x) dx = F(b) − F(a),
Desde que a primitiva F da função f seja conhecida e que um dos métodos de
integração a resolva.
Em muitos casos é muito difícil ou às vezes até impossível determinarmos a primitiva
de f.
Portanto, nosso objetivo aqui é o de estudar métodos numéricos de integração na
determinação de aproximações para os valores das integrais definidas através dos
valores da imagem da função do integrando para valores uniformemente espaçados de
seu domínio.
2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

8. Introdução
Vimos, em cursos de Cálculo Diferencial e Integral, que o valor da integral definida de
uma função f, contínua no intervalo [a, b], pode ser determinada através da fórmula de
Newton-Leibnitz:
Z b
a
f(x) dx = F(b) − F(a),
Desde que a primitiva F da função f seja conhecida e que um dos métodos de
integração a resolva.
Em muitos casos é muito difícil ou às vezes até impossível determinarmos a primitiva
de f.
Portanto, nosso objetivo aqui é o de estudar métodos numéricos de integração na
determinação de aproximações para os valores das integrais definidas através dos
valores da imagem da função do integrando para valores uniformemente espaçados de
seu domínio.
Mais especificamente, os métodos de Newton-Côtes, em que utilizam polinômios
interpoladores da função do integrando para obter tal aproximação.
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9. Integração Numérica Polinomial
Neste método numérico de integração, a aproximação para o problema de
determinação da integral definida é feita através da substituição do integrando f
por um polinômio pn de grau n suficientemente próximo, ou seja,
|f(x) − pn(x)| < ε, x ∈ [a, b].
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10. Método do Trapézio
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

11. Método do Trapézio
Seja I =
Z b
a
f(x) dx. Neste método escolhe-se um polinômio interpolador de grau 1
como sendo uma aproximação à função f. Assim, por Lagrange, temos que:
4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

12. Método do Trapézio
Seja I =
Z b
a
f(x) dx. Neste método escolhe-se um polinômio interpolador de grau 1
como sendo uma aproximação à função f. Assim, por Lagrange, temos que:
p1(x) = y0 · L0(x) + y1 · L1(x) = f(x0) ·
x − x1
x0 − x1
+ f(x1) ·
x − x0
x1 − x0
.
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13. Método do Trapézio
Seja I =
Z b
a
f(x) dx. Neste método escolhe-se um polinômio interpolador de grau 1
como sendo uma aproximação à função f. Assim, por Lagrange, temos que:
p1(x) = y0 · L0(x) + y1 · L1(x) = f(x0) ·
x − x1
x0 − x1
+ f(x1) ·
x − x0
x1 − x0
.
Fazendo-se a = x0, b = x1, h = x1 − x0 e z =
x − x0
h
, temos, z − 1 =
x − x1
h
, dx = hdz
e:
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14. Método do Trapézio
Seja I =
Z b
a
f(x) dx. Neste método escolhe-se um polinômio interpolador de grau 1
como sendo uma aproximação à função f. Assim, por Lagrange, temos que:
p1(x) = y0 · L0(x) + y1 · L1(x) = f(x0) ·
x − x1
x0 − x1
+ f(x1) ·
x − x0
x1 − x0
.
Fazendo-se a = x0, b = x1, h = x1 − x0 e z =
x − x0
h
, temos, z − 1 =
x − x1
h
, dx = hdz
e:
I =
Z b
a
f(x) dx ≈
Z x1
x0
p1(x) dx =
Z x1
x0
f(x0) ·
x − x1
x0 − x1
+ f(x1) ·
x − x0
x1 − x0
dx
=
Z x1
x0
f(x0) ·
x − x1
−h
+ f(x1) ·
x − x0
h
dx
= −f(x0)
Z 1
0
h(z − 1) dz + f(x1)
Z 1
0
hz dx
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15. Método do Trapézio
= −hf(x0)
z2
2
− z

18. 1
0
+ hf(x1)
z2
2

21. 1
0
=
f(x0) + f(x1)
2h
(x2
0 + x2
1 − 2x0x1) =
f(x0) + f(x1)
2h
(x1 − x0)2 =
h
2
[f(x0) + f(x1)]
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22. Método do Trapézio
= −hf(x0)
z2
2
− z

25. 1
0
+ hf(x1)
z2
2

28. 1
0
=
f(x0) + f(x1)
2h
(x2
0 + x2
1 − 2x0x1) =
f(x0) + f(x1)
2h
(x1 − x0)2 =
h
2
[f(x0) + f(x1)]
Portanto, o método do trapézio em [a, b] obtém a seguinte aproximação:
Z b
a
f(x) dx ≈
h
2
[f(a) + f(b)]
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29. Cota para o Erro na Fórmula do Trapézio
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

30. Cota para o Erro na Fórmula do Trapézio
Theorem
Seja f uma função duas vezes derivável. O erro obtido ao utilizarmos o método do
trapézio em um intervalo [a, b] é dado por
E = −
h3
12
· f′′
(c), c ∈ (a, b). (1)
Assim, I =
Z b
a
f(x) dx =
h
2
[f(a) + f(b)] −
h3
12
· f′′
(c), para algum c no intervalo (a, b).
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31. Cota para o Erro na Fórmula do Trapézio
Demonstração.
Z b
a
f(x) dx =
Z x1
x0
[p1(x) + Ep(x)] dx →
Z b
a
f(x) dx −
Z x1
x0
p1(x) dx =
Z x1
x0
Ep(x) dx.
Logo, fazendo EI(x) =
Z b
a
f(x) dx −
Z x1
x0
p1(x) dx, o erro na integração utilizando
trapézio, temos
EI(x) =
Z x1
x0
Ep(x) dx.
Como o erro na interpolação polinomial através de um polinômio de grau um é dado
por
Ep(x) =
f′′(c)
2
(x − x0) · (x − x1),
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32. Cota para o Erro na Fórmula do Trapézio
Demonstração.
temos que
EI(x) =
Z x1
x0
Ep(x) dx =
Z x1
x0
f′′(c)
2
(x − x0) · (x − x1) dx
=
f′′(c)
2
Z x1
x0
x3
3
− (x0 + x1)
x2
2
+ x0x1x
dx
=
f′′(c)
2
x3
1 − x3
0
3
− (x0 + x1)
x2
1 − x2
0
2
+ x0x1(x1 − x0)
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33. Cota para o Erro na Fórmula do Trapézio
Demonstração.
=
f′′(c)
12
2x3
1 − 2x3
0 − 3x0x2
1 + 3x3
0 − 3x3
1 + 3x1x2
0 + 6x0x2
1 − 6x2
0x1
=
f′′(c)
12
(−x3
1 + x3
0 + 3x0x2
1 − 3x2
0x1)
=
f′′(c)
12
(x0 − x1)3
Como x1 − x0 = h → x0 − x1 = −h, temos que
EI(x) = −
f′′(c)
12
h3
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34. Cota para o Erro na Fórmula do Trapézio
Demonstração.
Devido a impossibilidade de se obter o valor para c tal que a equação (1) seja
satisfeita, fazemos uma estimativa do valor do erro EI, substituindo-se f′′(c) por
max
x∈[a,b]
{|f′′
(x)|}. Assim, o erro máximo ao aplicarmos a regra do trapézio na integração
definida em [a, b] é
EImax = max
x∈[a,b]
{|f′′
(x)|}
h3
12
.
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35. Cota para o Erro na Fórmula do Trapézio
Example
Calcule, aproximadamente,
Z 0,1
0
x2
dx utilizando o método do trapézio, em seguida,
estime o erro e determine-o.
Example
Calcule, aproximadamente,
Z 0,1
0
x3
dx utilizando o método do trapézio, em seguida,
estime o erro e determine-o.
5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

36. Método dos Trapézios Repetidos
6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

37. Método dos Trapézios Repetidos
Podemos intuir, pela expressão do erro, que o método do trapézio só se torna
interessante em casos os quais o intervalo [a, b] é relativamente pequeno. Nos casos
em que o intervalo [a, b] é grande, devemos dividi-lo em n partes iguais de modo a
aplicar a regra do trapézio repetidas vezes, em cada um desses intervalos.
Seja I =
Z b
a
f(x) dx. Considere uma subdivisão do intervalo [a, b] em n subintervalos
[xi, xi+1] de comprimento h 0. Assim,
h =
(b − a)
m
e xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , m.
Denotando Ii =
Z xi+1
xi
f(x) dx, temos que
I =
Z b
a
f(x) dx =
m−1
X
i=0
Z xi+1
xi
f(x) dx =
m−1
X
i=0
Ii.
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38. Método dos Trapézios Repetidos
O método dos Trapézios consiste em substituir, no intervalo [xi, xi+1], a função f(x)
por um polinômio p1i(x) de grau 1 que interpola os pontos (xi, fi), (xi+1, fi+1). Assim,
I =
∫ b
a
f(x) dx =
m−1
∑
i=0
∫ xi+1
xi
[p1i(x) + Ei] dx =
m−1
∑
i=0
(
h
2
· [f(xi) + f(xi+1)] −
h3
12
· f
′′
(ci)
)
=
h
2
[
(f(x1) + f(x2)) + (f(x2) + f(x3)) + (f(x3) + f(x4)) + . . . + (f(xm−1) + f(xm))
]
−
m−1
∑
i=0
h3
12
· f
′′
(ci)
=
h
2
[
f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + . . . + 2f(xn−1) + f(xm)
]
−
m−1
∑
i=0
h3
12
· f
′′
(ci)
=
h
2

f(x1) + f(xm) + 2
m−1
∑
i=2
f(xi)

 −
m−1
∑
i=0
h3
12
· f
′′
(ci), ci ∈ (xi; xi+1)
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39. Método dos Trapézios Repetidos
A seguinte aproximação pode ser então considerada
I =
Z b
a
f(x) dx ≈
h
2
f(x0) + f(xm) + 2
m−1
X
i=2
f(xi)
#
.
Como estamos supondo f′′(x) contínua em [a, b], uma generalização do teorema do
valor médio nos garante que existe um c ∈ [a, b] tal que
m−1
X
i=0
f′′
(ci) = k · f′′
(c)
e o erro cometido nessa aproximação é dado por
E = −
mh3
12
f′′
(c).
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40. Cota para o Erro na Fórmula do Trapézio Repetido
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

41. Cota para o Erro na Fórmula do Trapézio Repetido
Theorem
Seja f uma função duas vezes derivável. O erro obtido ao utilizarmos o método do
trapézios em um intervalo [a, b] dividido em m partes é dado por
E = −
mh3
12
· f′′
(c), c ∈ (a, b). (2)
Assim, I =
Z b
a
f(x) dx ≈
h
2
f(x1) + f(xn) + 2
m−1
X
i=2
f(xi)
#
−
mh3
12
· f′′
(c), para algum c
no intervalo (a, b).
7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

42. Cota para o Erro na Fórmula do Trapézio Repetido
Theorem
Seja f uma função duas vezes derivável. O erro obtido ao utilizarmos o método do
trapézios em um intervalo [a, b] dividido em m partes é dado por
E = −
mh3
12
· f′′
(c), c ∈ (a, b). (2)
Assim, I =
Z b
a
f(x) dx ≈
h
2
f(x1) + f(xn) + 2
m−1
X
i=2
f(xi)
#
−
mh3
12
· f′′
(c), para algum c
no intervalo (a, b).
Devido a impossibilidade de se obter o valor para c tal que a equação (2) seja
satisfeito, fazemos uma estimativa do valor do erro E, substituindo-se f′′(c) por
max
x∈[a,b]
{|f′′
(x)|}.
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43. Método 1/3 de Simpson
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

44. Método 1/3 de Simpson
Seja Ii =
Z x2i+2
x2i
f(x) dx. O método de 1/3 de Simpson consiste em aproximar a função
f(x) no intervalo [x2i, x2i+2] pelo polinômio interpolador de grau 2 que passa pelos
pontos (x2i, f2i), (x2i+1, f2i+1) e (x2i+2, f2i+2). Assim, temos
Ii ≈
Z x2i+2
x2i
p2(x) dx
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45. Método 1/3 de Simpson
Seja Ii =
Z x2i+2
x2i
f(x) dx. O método de 1/3 de Simpson consiste em aproximar a função
f(x) no intervalo [x2i, x2i+2] pelo polinômio interpolador de grau 2 que passa pelos
pontos (x2i, f2i), (x2i+1, f2i+1) e (x2i+2, f2i+2). Assim, temos
Ii ≈
Z x2i+2
x2i
p2(x) dx
Como já fizemos anteriormente no caso do método do trapézio, vamos determinar
p2(x) utilizando uma fórmula de interpolação e a mudança de variável z = (x − x2i)/h,
pois, assim, temos dz = dx/h e
x = x2i → z = 0
x = x2i+2 → z = 2
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46. Método 1/3 de Simpson
Ii =
Z x2i+2
x2i
f(x) dx =
Z x2i+2
x2i
[p2i(x) + Ei] dx
=
Z x2i+2
x2i
[y2i · L2i(x) + y2i+1 · L2i+1(x) + y2i+2 · L2i+2(x) + Ei] dx
=
Z x2i+2
x2i
f(x2i)
(x − x2i+1)(x − x2i+2)
(x2i − x2i+1)(x2i − x2i+2)
+ f(x2i+1)
(x − x2i)(x − x2i+2)
(x2i+1 − x2i)(x2i+1 − x2i+2)
+f(x2i+2)
(x − x2i)(x − x2i+1)
(x2i+2 − x2i)(x2i+2 − x2i+1)
+ Ei
dx
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47. Método 1/3 de Simpson
Segue que
Ii =
∫ x2i+2
x2i
[
f(x2i)
(x − x2i+1)(x − x2i+2)
(−h)(−2h)
+ f(x2i+1)
(x − x2i)(x − x2i+2)
(h)(−h)
+ f(x2i+2)
(x − x2i)(x − x2i+1)
(2h)(h)
+ Ei
]
dx
=
f(x2i)
2h2
∫ x2i+2
x2i
(x − x2i+1)(x − x2i+2) dx −
f(x2i+1)
h2
∫ x2i+2
x2i
(x − x2i)(x − x2i+2) dx +
f(x2i+2)
2h2
∫ x2i+2
x2i
(x − x2i)(x − x2i+2) + Ei dx
.
.
.
8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

48. Método 1/3 de Simpson
Segue que
Ii =
∫ x2i+2
x2i
[
f(x2i)
(x − x2i+1)(x − x2i+2)
(−h)(−2h)
+ f(x2i+1)
(x − x2i)(x − x2i+2)
(h)(−h)
+ f(x2i+2)
(x − x2i)(x − x2i+1)
(2h)(h)
+ Ei
]
dx
=
f(x2i)
2h2
∫ x2i+2
x2i
(x − x2i+1)(x − x2i+2) dx −
f(x2i+1)
h2
∫ x2i+2
x2i
(x − x2i)(x − x2i+2) dx +
f(x2i+2)
2h2
∫ x2i+2
x2i
(x − x2i)(x − x2i+2) + Ei dx
.
.
.
Definimos, então, a fórmula de Simpson no intervalo [x2i, x2i+2] como
IS
i =
h
3
(f2i + 4f2i+1 + f2i+2)
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49. Método 1/3 de Simpson Repetido
Vamos, agora, determinar a fórmula do método 1/3 de Simpson Repetido para o
intervalo [a, b]. Para isso, é necessário que tenhamos uma subdivisão do intervalo [a, b]
em um número par de subintervalos, ou seja, m = 2k, com k ∈ N.
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

50. Método 1/3 de Simpson Repetido
Vamos, agora, determinar a fórmula do método 1/3 de Simpson Repetido para o
intervalo [a, b]. Para isso, é necessário que tenhamos uma subdivisão do intervalo [a, b]
em um número par de subintervalos, ou seja, m = 2k, com k ∈ N.
Fazendo h = (b − a)/m ∴ xi = a + ih, em que i = 0, 1, . . . , m. Observe, neste caso,
que temos m + 1 pontos (xi, fi), i = 0, . . . , m. Como
IS
i =
h
3
(f2i + 4f2i+1 + f2i+2),
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

51. Método 1/3 de Simpson Repetido
i = 0 → IS
0 =
h
3
(f0 + 4f1 + f2)
i = 1 → IS
1 =
h
3
(f2 + 4f3 + f4)
i = 2 → IS
2 =
h
3
(f4 + 4f5 + f6)
.
.
.
i = j → IS
j =
h
3
(f2j + 4f2j+1 + f2j+2)
.
.
.
i = (m − 2)/2 → IS
(m−1)/2 =
h
3
(fm−2 + 4fm−1 + fm)
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52. Método 1/3 de Simpson Repetido
A soma de todas as parcelas acima é:
IS
m =
h
3
[(f0 + 4f1 + f2) + (f2 + 4f3 + f4) + (f4 + 4f5 + f6) + · · · + (fm−2 + 4fm−1 + fm)]
Observando que os valores de f com índice par, excetuando-se os índices 0 e m,
aparecem sempre duplicados, teremos:
IS
m =
h
3
[(f0 + fm) + 2
(m−2)/2
X
i=1
f2i + 4
m/2
X
i=1
f2i−1].
9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 7 de maio de 2021

53. Método 1/3 de Simpson Repetido
Example
Vamos utilizar a fórmula 1/3 de Simpson para determinar uma aproximação para
π
4
=
Z 1
0
dx
1 + x2
, usando m = 10.
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54. Método 1/3 de Simpson Repetido
Example
Solução: Seja f(x) =
1
1 + x2
. Então
i xi f(xi)
0 0, 0 1, 00000000
1 0, 1 0, 99009901
2 0, 2 0, 96153846
3 0, 3 0, 91743119
4 0, 4 0, 86206897
5 0, 5 0, 80000000
6 0, 6 0, 73529412
7 0, 7 0, 67114094
8 0, 8 0, 60975610
9 0, 9 0, 55248619
10 1, 0 0, 50000000
Compare o resultado da aproximação 0, 78539815 com o valor exato de
π
4
, com 8
casas decimais e cujo valor é
π
4
= 0, 78539816.
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55. Cota para o Erro na Fórmula de Simpson
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56. Cota para o Erro na Fórmula de Simpson
Vamos determinar ES
i que é o erro cometido na aproximação IS
i .
ES
i =
Z xi+1
xi−1
Ei(x) dx =
h
6
Z 2
0
z(z − 1)(z2)f′′′
(µ)h3
dz.
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57. Cota para o Erro na Fórmula de Simpson
Vamos determinar ES
i que é o erro cometido na aproximação IS
i .
ES
i =
Z xi+1
xi−1
Ei(x) dx =
h
6
Z 2
0
z(z − 1)(z2)f′′′
(µ)h3
dz.
Como a função g(z) = z(z − 1)(z − 2) troca de sinal em [0, 2] não é possível utilizar a
mesma técnica utilizada na dedução do erro para a fórmula do trapézio.
Na demonstração que segue, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo Integral.
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58. Cota para o Erro na Fórmula de Simpson
Vamos determinar ES
i que é o erro cometido na aproximação IS
i .
ES
i =
Z xi+1
xi−1
Ei(x) dx =
h
6
Z 2
0
z(z − 1)(z2)f′′′
(µ)h3
dz.
Como a função g(z) = z(z − 1)(z − 2) troca de sinal em [0, 2] não é possível utilizar a
mesma técnica utilizada na dedução do erro para a fórmula do trapézio.
Na demonstração que segue, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo Integral.
Demonstração.
Seja ψ(x) =
Z x
a
f(t)dt. Então
dψ
dx
(x) = f(x).
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59. Cota para o Erro na Fórmula de Simpson
Demonstração.
Como E(x) = f(x) − p2(x), temos que
ES
i = R(h) =
Z xi+h
xi−h
f(x) dx −
Z xi+h
xi−h
P2(x) dx
∴ R(h) =
Z xi+h
xi−h
f(x) dx −
h
3
(f(xi − h) + 4f(xi) + f(xi + h))
R′(h) = f(xi + h) + f(xi − h) − 1/3(f(xi − h) + 4f(xi) + f(xi + h))
−h/3(−f′(xi − h) + f′(xi + h))
∴ R′(h) = 2/3(f(xi + h) + f(xi − h)) − 4/3f(xi)
−h/3(f′(xi + h) − f′(xi − h))
Analogamente, temos:
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60. Cota para o Erro na Fórmula de Simpson
Demonstração.
R′′(h) = 1/3(f′(xi + h) − f′(xi − h)) − h/3(f′′(xi + h) + f′′(xi − h))
R′′′(h) = −h/3(f′′′(xi + h) − f′′′(xi − h))
Usando o teorema do valor médio do cálculo diferencial nesta equação, temos:
R′′′(h) = −
2
3
h3f(4)(ξ3), com ξ3 ∈ (xi − h, xi + h)).
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61. Cota para o Erro na Fórmula de Simpson
Demonstração.
R′′(h) = 1/3(f′(xi + h) − f′(xi − h)) − h/3(f′′(xi + h) + f′′(xi − h))
R′′′(h) = −h/3(f′′′(xi + h) − f′′′(xi − h))
Usando o teorema do valor médio do cálculo diferencial nesta equação, temos:
R′′′(h) = −
2
3
h3f(4)(ξ3), com ξ3 ∈ (xi − h, xi + h)).
A seguir, utilizaremos, repetidamente, o Teorema da Média e que
R(0) = 0; R′(0) = 0 e R′′(0) = 0
R′′(h) = R′′(0) +
Z h
0
R′′′
(t)dt = −2/3
Z h
0
t2
f(4)
(ξ3)dt
= −2/3f(4)(ξ2)
Z h
0
t2
dt = −2/9h3
f(4)
(ξ2), ξ2 ∈ (xi−1, xi)
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62. Cota para o Erro na Fórmula de Simpson
R′(h) = R′(0) +
Z h
0
R′′
(t)dt = −2/9
Z h
0
t3
f(4)
(ξ2)dt
= −2/9f(4)(ξ2)
Z h
0
t3
dt = −1/18h4
f(4)
(ξ1), ξ1 ∈ (xi−1, xi)
R(h) = R(0) +
Z h
0
R′
(t)dt = −1/18
Z h
0
t4
f(4)
(ξ1)dt
= −1/18f(4)(ξ1)
Z h
0
t4
dt = −1/90h5
f(4)
(µi), µi ∈ (xi−1, xi)
Assim, temos
ES
i = −
h5
90
f(4)
(µi); µi ∈ (xi−1, xi).
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63. Cota para o Erro na Fórmula de Simpson
Vamos, agora, determinar ES
n. Para tanto, basta observar que:
ES
n =
k
X
i=1
ES
i ,
em que m = 2k, ou seja, k = m/2
k
X
i=1
f(4)
(µi) = kf(4)
(µ), para algum µ ∈ (a, b)
Logo,
ES
n = −
m
180
h5f(4)(µ) = −
(b − a)h4
180
f(4)(µ), µ ∈ (a, b)
= −
(b − a)5
180n4
f(4)(µ), para algum µ ∈ (a, b)
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64. Cota para o Erro na Fórmula de Simpson
ATENÇÃO! Observe que:
i. lim
m→∞
ES
m = 0
ii. ES
m = O(1/m4)
iii. Se M4 é uma cota para f(4)(x) em [a, b], então, temos
|ET
m| ≤
M4
180m4
(b − a)5
iv. Para determinar
Z b
a
f(x) dx com erro inferior à ϵ 0, determine m de
modo que m
4
r
M4(b − a)5
180m
e m par.
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65. Cota para o Erro na Fórmula de Simpson
Example
Considere a função densidade de probabilidade
ϕ(x) =
2
√
π
Z x
0
et2
dt.
Determine ϕ(1, 43) com erro inferior à 10−4.
Solução:
f(x) = e−t2
f′(t) = e−t2
(−2t)
f′′(t) = e−t2
(4t2 − 2)
f′′′(t) = e−t2
(12t − 8t3)
fiv(t) = e−t2
(16t4 − 48t2 + 12)
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66. Cota para o Erro na Fórmula de Simpson
Logo,
|fiv
(t)| = |4e−t2
||4t2
− 12t2
+ 3|
Como |4e−t2
| ≤ 4 e |4t2 − 12t2 + 3| ≤ 6, ∀ t ∈ (0, 1, 43), temos então que:
|fiv
(t)| ≤ 24∀ t ∈ (0, 1, 43)
Logo, devemos, então, determinar m, de modo que
m
4
s
24(1, 43)5
180 · 104
= 9, 45
Assim m = 10. Segue que
ϕ(1, 43) = 0, 95685505.
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67. Regra 3/8 de Simpson
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68. Regra 3/8 de Simpson
Na Regra regra 3/8 de Simpson, aproxima-se a função por um polinômio de terceiro
grau, de forma que são necessários 4 pontos para obter esse polinômio por
interpolação.
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69. Regra 3/8 de Simpson
Na Regra regra 3/8 de Simpson, aproxima-se a função por um polinômio de terceiro
grau, de forma que são necessários 4 pontos para obter esse polinômio por
interpolação.
Para ter os pontos, divide-se o intervalo [a, b] em três subintervalos igualmente
espaçados de h. Dessa forma,
h =
b − a
3
,
em que , x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h e x3 = a + 3h.
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70. Regra 3/8 de Simpson
Na Regra regra 3/8 de Simpson, aproxima-se a função por um polinômio de terceiro
grau, de forma que são necessários 4 pontos para obter esse polinômio por
interpolação.
Para ter os pontos, divide-se o intervalo [a, b] em três subintervalos igualmente
espaçados de h. Dessa forma,
h =
b − a
3
,
em que , x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h e x3 = a + 3h.
Assim, o polinômio de terceiro grau P3(x) pode ser obtido pela fórmula de Lagrange.
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71. Regra 3/8 de Simpson
Na Regra regra 3/8 de Simpson, aproxima-se a função por um polinômio de terceiro
grau, de forma que são necessários 4 pontos para obter esse polinômio por
interpolação.
Para ter os pontos, divide-se o intervalo [a, b] em três subintervalos igualmente
espaçados de h. Dessa forma,
h =
b − a
3
,
em que , x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h e x3 = a + 3h.
Assim, o polinômio de terceiro grau P3(x) pode ser obtido pela fórmula de Lagrange.
A integral pelo método 3/8 de Simpson
Z b
a
P3(x)dx =
3h
8
(y0 + 3y1 + 3y2 + y3).
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72. Regra 3/8 de Simpson
O erro pode de integração é estimado por:
E3/8 =
Z b
a
f(4)(ξ)
4!
(x − x0)(x − x1)(x − x2)(x − x3) dx.
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73. Regra 3/8 de Simpson
O erro pode de integração é estimado por:
E3/8 =
Z b
a
f(4)(ξ)
4!
(x − x0)(x − x1)(x − x2)(x − x3) dx.
Substituindo z =
x − a
h
e considerando xi = a + ih
E3/8 = −
3
80
f(4)
(ξ)h5
,
com ξ ∈ (a, b).
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