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Curso: Ciência da Computação
      Turma: 3º/4º Semestre


       Matemática Discreta

             Aula 10

Recursão e Relação de Recorrência
Notas de Aula
✔
    O conteúdo da aula de hoje está no capítulo 2 do livro
    do Gersting.




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Definições Recursivas
Uma definição na qual o item que está sendo definido aparece como parte da definição é
 chamada definição indutiva ou definição recursiva. À primeira vista isto pode parecer
 sem sentido — como algo pode ser definido em termos dele próprio? Este
 procedimento funciona porque as definições recursivas são compostas de duas partes:


(1) uma base, onde alguns casos simples do item que está sendo definido são dados
  explicitamente, e
(2) um passo indutivo ou recursivo, onde outros casos do item que está sendo definido
  são dados em termos dos casos anteriores.



A parte 1 nos fornece um ponto de partida na medida em que trata alguns casos simples;
  enquanto a parte 2 nos permite construir novos casos a partir desses casos simples,
  para então construir outros casos a partir desses novos, e assim por diante. (A analogia
  com demonstrações por indução matemática justifica o nome "definição indutiva". Em
  uma demonstração por indução, existe a base da indução, isto é, a demonstração de
  P(1) — ou a demonstração de P para algum outro valor inicial — e existe a hipótese
  indutiva, onde a validade de P(k+1) é deduzida da validade de P para valores
  menores.) A recursão é uma ideia importante que pode ser utilizada para definir
  sequências de objetos, coleções mais gerais de objetos e operações sobre objetos.
  Até mesmo algoritmos podem ser definidos recursivamente.

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Sequências Recursivas
Uma sequência S é uma lista de objetos que são enumerados segundo alguma ordem;
  existe um primeiro objeto, um segundo, e assim por diante. S(k) denota o k-ésimo
  objeto da sequência. Uma sequência é definida recursivamente, explicitando-se seu
  primeiro valor (ou seus primeiros valores) e, a partir daí, definindo-se outros valores
  na sequência em termos dos valores iniciais.
Exemplo:
A sequência S é definida recursivamente por:
1. S(1) = 2
2. S(2) = 2 S(n-1) para n ≥ 2
Pela afirmação 1, S(1), o primeiro objeto em S, é 2. Então pela sentença 2, o segundo
   objeto em S é S(2)=2S(1) = 2(2) = 4.
Novamente por 2, S(3) = 2S(2) = 2(4) = 8. Dessa forma podemos deduzir que S é a
  sequência:
              2,4,8,16,32,...
Uma regra semelhante à da sentença 2 desse exemplo , na qual se define um valor da
  sequência a partir de um ou mais valores anteriores, é chamada relação de
  recorrência.

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Exercício
A sequência T é definida recursivamente como se
  segue:
1. T(1) = 1
2. T(n) = T(n-1) + 3 para n ≥ 2


Escreva os primeiros cinco valores da sequência
 T.




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                      Matemática Discreta
Sequência de Fibonacci
A famosa sequência de Fibonacci é definida
  recursivamente por:
F(1) = 1
F(2) = 2
F(n) = F(n-2) + F(n-1) para n > 2
Aqui os primeiros dois valores na sequência são
 dados, e a relação de recursão define o
 n-ésimo termo a partir dos dois anteriores.




                                                  6/16
                     Matemática Discreta
Exercício
Escreva os oito primeiros valores da sequência
 de Fibonacci.
A sequência de Fibonacci tem sido estudada
  exaustivamente. Por ter sido definida de forma
  recursiva, podemos usar a indução para provar
  muitas de suas propriedades.
F(1) = 1
F(2) = 2
F(n) = F(n-2) + F(n-1) para n > 2


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Exercício
Escreva os oito primeiros valores da sequência de Fibonacci.
A sequência de Fibonacci tem sido estudada exaustivamente. Por ter sido definida de
  forma recursiva, podemos usar a indução para provar muitas de suas propriedades.
F(1) = 1
F(2) = 2
F(n) = F(n-2) + F(n-1) para n > 2


F(1) = 1
F(2) = 2
F(3) = F(3-2)+F(3-1) = F(1)+F(2) = 1 + 2 = 3
F(4) = F(4-2) + F(4-1) = F(2)+F(3) = 2+3=5
F(5) = F(3)+F(4) = 3+5=8
F(6) = F(4)+F(5) = 5+8=13
F(7) = F(5)+F(6) = 8+13=21
F(8) = F(6)+F(7) = 13+21=34
F(9) = F(7)+F(8) = 21+34=55
F(10) = F(8)+F(9) = 34+55=89
                                                                                  8/16
                                     Matemática Discreta
Prove que na sequência de Fibonacci,
F(n+4) = 3F(n + 2) - F(n) para todo n ≥     Agora, mostremos o caso k+1, onde k+1 ≥ 3.
   1.                                         Então desejamos mostrar que:
                                            F(k + 1 + 4) = 3F(k + 1 + 2) - F(k + 1)
                                            ou
Para a base da indução, devemos
  mostrar dois casos, n = 1 e n = 2.        F(k + 5) = 3F(k + 3) - F(k+ 1)
                                            Da relação de recorrência na sequência de
Para n = 1, temos:                            Fibonacci temos:
F(5) = 3F(3) – F(1) → 8 = 3(3) – 1 →        F(k+5) = F(k+3) + F(k+4)
   que é verdadeiro.                        e, pela hipótese de indução, para r = k- 1 e r =
                                               k, respectivamente, vem:
Para n = 2,
                                            F(k+3) = 3F(k+1) - F(k-1)
F(6) = 3F(4) – F(2) → 13 = 3(5) – 2 →
   que também é verdadeiro.                 e
                                            F(k+4) = 3F(k+2) - F(k)
                                            Logo:
Suponhamos agora que para todo r, 1
  ≤r≤k                                      F(k+5) = 3 F(k+1) - F(k-1) + 3 F(k+2) - F(k)
                                            = 3[F(k+1) - F(k+2)] - [F(k-1) - F(k)]
F(r+4) = 3F(r+2) - F(r).
                                            = 3F(k+3) — F(k+1) (usando novamente a
                                               relação de recorrência)                     9/16
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Conjuntos Recursivos
Os objetos de uma sequência são ordenados -
 existe um primeiro objeto, um segundo, e assim
 por diante.
Um conjunto de objetos é uma coleção de objetos
 na qual nenhuma regra de ordenação é
 imposta. Alguns conjuntos podem ser definidos
 recursivamente.




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                    Matemática Discreta
Cadeias de Palavras Formam Conjuntos
Cadeias de símbolos obtidas a partir de um "alfabeto" finito
 são objetos normalmente encontrados na ciência da
 computação. Os computadores armazenam dados em
 cadeias binárias, ou seja, cadeias do alfabeto consistindo
 em Os e 1 s; os compiladores entendem as instruções de
 um programa como cadeias de tokens, tais como
 palavras-chave e identificadores. A coleção de todas as
 cadeias de tamanho finito de um alfabeto, normalmente
 chamadas de cadeias sobre um alfabeto, podem ser
 definidas recursivamente. Muitos conjuntos de cadeias
 de caracteres com propriedades especiais têm também
 definições recursivas.




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                         Matemática Discreta
Exemplo
O conjunto de todas as cadeias de símbolos (de tamanho
 finito) sobre um alfabeto A é denotado por A*. A
 definição recursiva de A* é:
1. A cadeia vazia λ (a cadeia sem símbolos) pertence a
  A*.
2. Qualquer elemento de A pertence a A*.
3. Se x e y são cadeias em A*, então a concatenação xy
  também pertence a A*.
As partes 1 e 2 constituem a base da recursão, e a parte
 3 é o passo recursivo desta definição. Perceba que para
 qualquer cadeia x, xλ = λx = x



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                        Matemática Discreta
Exercício
Se x = 1011 e y = 001, escreva as cadeias:
a) xy
b) yx
c) yxλx




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                    Matemática Discreta
Exercício
Se x = 1011 e y = 001, escreva as cadeias:
a) xy = 1011001
b) yx = 0011011
c) yxλx = 00110111011




                                             14/16
                    Matemática Discreta
Exemplo
Suponha que em uma certa linguagem de programação, os identificadores podem ser cadeias
 alfanuméricas de tamanho arbitrário, mas que devem começar com uma letra. Uma definição
 recursiva para um conjunto de cadeias desta natureza é:
1. Uma letra é um identificador.
2. Se A é um identificador, então a concatenação de A com qualquer letra ou dígito também é
  um identificador.
Uma notação mais simbólica para descrever conjuntos de cadeias que são definidas
 recursivamente é chamada forma de Backus Naur, ou BNF, originalmente desenvolvida para
 definir a linguagem de programação ALGOL. Na notação BNF, itens que são definidos em
 termos de outros itens são envolvidos por menor e maior (< >), enquanto itens específicos
 que não são definidos mais adiante não aparecem entre menor e maior. A linha vertical |
 indica uma escolha com o mesmo significado da palavra ou. A definição BNF de um
 identificador é:




Então o identificador me2 é obtido da definição por uma sequência de escolhas tais como:
<identificador> pode ser <identificador><dígito> que pode ser
<identificador>2 que pode ser <identificador><letra>2 que pode ser <identificador>e2 que pode
  ser <<letra>e2 que pode ser me2.
                                                                                           15/16
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Exercícios
1. Forme as palavras do conjunt M seguindo a
  definição:
      S→A
      A → 01|A|λ
2.Forneça uma definição recursiva para o
  conjunto de todas as cadeias binárias que são
  palíndromos, ou seja, cadeias iguais, se lidas
  do início para o fim ou ao contrário.




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  • 1. Curso: Ciência da Computação Turma: 3º/4º Semestre Matemática Discreta Aula 10 Recursão e Relação de Recorrência
  • 2. Notas de Aula ✔ O conteúdo da aula de hoje está no capítulo 2 do livro do Gersting. 2/16 Matemática Discreta
  • 3. Definições Recursivas Uma definição na qual o item que está sendo definido aparece como parte da definição é chamada definição indutiva ou definição recursiva. À primeira vista isto pode parecer sem sentido — como algo pode ser definido em termos dele próprio? Este procedimento funciona porque as definições recursivas são compostas de duas partes: (1) uma base, onde alguns casos simples do item que está sendo definido são dados explicitamente, e (2) um passo indutivo ou recursivo, onde outros casos do item que está sendo definido são dados em termos dos casos anteriores. A parte 1 nos fornece um ponto de partida na medida em que trata alguns casos simples; enquanto a parte 2 nos permite construir novos casos a partir desses casos simples, para então construir outros casos a partir desses novos, e assim por diante. (A analogia com demonstrações por indução matemática justifica o nome "definição indutiva". Em uma demonstração por indução, existe a base da indução, isto é, a demonstração de P(1) — ou a demonstração de P para algum outro valor inicial — e existe a hipótese indutiva, onde a validade de P(k+1) é deduzida da validade de P para valores menores.) A recursão é uma ideia importante que pode ser utilizada para definir sequências de objetos, coleções mais gerais de objetos e operações sobre objetos. Até mesmo algoritmos podem ser definidos recursivamente. 3/16 Matemática Discreta
  • 4. Sequências Recursivas Uma sequência S é uma lista de objetos que são enumerados segundo alguma ordem; existe um primeiro objeto, um segundo, e assim por diante. S(k) denota o k-ésimo objeto da sequência. Uma sequência é definida recursivamente, explicitando-se seu primeiro valor (ou seus primeiros valores) e, a partir daí, definindo-se outros valores na sequência em termos dos valores iniciais. Exemplo: A sequência S é definida recursivamente por: 1. S(1) = 2 2. S(2) = 2 S(n-1) para n ≥ 2 Pela afirmação 1, S(1), o primeiro objeto em S, é 2. Então pela sentença 2, o segundo objeto em S é S(2)=2S(1) = 2(2) = 4. Novamente por 2, S(3) = 2S(2) = 2(4) = 8. Dessa forma podemos deduzir que S é a sequência: 2,4,8,16,32,... Uma regra semelhante à da sentença 2 desse exemplo , na qual se define um valor da sequência a partir de um ou mais valores anteriores, é chamada relação de recorrência. 4/16 Matemática Discreta
  • 5. Exercício A sequência T é definida recursivamente como se segue: 1. T(1) = 1 2. T(n) = T(n-1) + 3 para n ≥ 2 Escreva os primeiros cinco valores da sequência T. 5/16 Matemática Discreta
  • 6. Sequência de Fibonacci A famosa sequência de Fibonacci é definida recursivamente por: F(1) = 1 F(2) = 2 F(n) = F(n-2) + F(n-1) para n > 2 Aqui os primeiros dois valores na sequência são dados, e a relação de recursão define o n-ésimo termo a partir dos dois anteriores. 6/16 Matemática Discreta
  • 7. Exercício Escreva os oito primeiros valores da sequência de Fibonacci. A sequência de Fibonacci tem sido estudada exaustivamente. Por ter sido definida de forma recursiva, podemos usar a indução para provar muitas de suas propriedades. F(1) = 1 F(2) = 2 F(n) = F(n-2) + F(n-1) para n > 2 7/16 Matemática Discreta
  • 8. Exercício Escreva os oito primeiros valores da sequência de Fibonacci. A sequência de Fibonacci tem sido estudada exaustivamente. Por ter sido definida de forma recursiva, podemos usar a indução para provar muitas de suas propriedades. F(1) = 1 F(2) = 2 F(n) = F(n-2) + F(n-1) para n > 2 F(1) = 1 F(2) = 2 F(3) = F(3-2)+F(3-1) = F(1)+F(2) = 1 + 2 = 3 F(4) = F(4-2) + F(4-1) = F(2)+F(3) = 2+3=5 F(5) = F(3)+F(4) = 3+5=8 F(6) = F(4)+F(5) = 5+8=13 F(7) = F(5)+F(6) = 8+13=21 F(8) = F(6)+F(7) = 13+21=34 F(9) = F(7)+F(8) = 21+34=55 F(10) = F(8)+F(9) = 34+55=89 8/16 Matemática Discreta
  • 9. Prove que na sequência de Fibonacci, F(n+4) = 3F(n + 2) - F(n) para todo n ≥ Agora, mostremos o caso k+1, onde k+1 ≥ 3. 1. Então desejamos mostrar que: F(k + 1 + 4) = 3F(k + 1 + 2) - F(k + 1) ou Para a base da indução, devemos mostrar dois casos, n = 1 e n = 2. F(k + 5) = 3F(k + 3) - F(k+ 1) Da relação de recorrência na sequência de Para n = 1, temos: Fibonacci temos: F(5) = 3F(3) – F(1) → 8 = 3(3) – 1 → F(k+5) = F(k+3) + F(k+4) que é verdadeiro. e, pela hipótese de indução, para r = k- 1 e r = k, respectivamente, vem: Para n = 2, F(k+3) = 3F(k+1) - F(k-1) F(6) = 3F(4) – F(2) → 13 = 3(5) – 2 → que também é verdadeiro. e F(k+4) = 3F(k+2) - F(k) Logo: Suponhamos agora que para todo r, 1 ≤r≤k F(k+5) = 3 F(k+1) - F(k-1) + 3 F(k+2) - F(k) = 3[F(k+1) - F(k+2)] - [F(k-1) - F(k)] F(r+4) = 3F(r+2) - F(r). = 3F(k+3) — F(k+1) (usando novamente a relação de recorrência) 9/16 Matemática Discreta
  • 10. Conjuntos Recursivos Os objetos de uma sequência são ordenados - existe um primeiro objeto, um segundo, e assim por diante. Um conjunto de objetos é uma coleção de objetos na qual nenhuma regra de ordenação é imposta. Alguns conjuntos podem ser definidos recursivamente. 10/16 Matemática Discreta
  • 11. Cadeias de Palavras Formam Conjuntos Cadeias de símbolos obtidas a partir de um "alfabeto" finito são objetos normalmente encontrados na ciência da computação. Os computadores armazenam dados em cadeias binárias, ou seja, cadeias do alfabeto consistindo em Os e 1 s; os compiladores entendem as instruções de um programa como cadeias de tokens, tais como palavras-chave e identificadores. A coleção de todas as cadeias de tamanho finito de um alfabeto, normalmente chamadas de cadeias sobre um alfabeto, podem ser definidas recursivamente. Muitos conjuntos de cadeias de caracteres com propriedades especiais têm também definições recursivas. 11/16 Matemática Discreta
  • 12. Exemplo O conjunto de todas as cadeias de símbolos (de tamanho finito) sobre um alfabeto A é denotado por A*. A definição recursiva de A* é: 1. A cadeia vazia λ (a cadeia sem símbolos) pertence a A*. 2. Qualquer elemento de A pertence a A*. 3. Se x e y são cadeias em A*, então a concatenação xy também pertence a A*. As partes 1 e 2 constituem a base da recursão, e a parte 3 é o passo recursivo desta definição. Perceba que para qualquer cadeia x, xλ = λx = x 12/16 Matemática Discreta
  • 13. Exercício Se x = 1011 e y = 001, escreva as cadeias: a) xy b) yx c) yxλx 13/16 Matemática Discreta
  • 14. Exercício Se x = 1011 e y = 001, escreva as cadeias: a) xy = 1011001 b) yx = 0011011 c) yxλx = 00110111011 14/16 Matemática Discreta
  • 15. Exemplo Suponha que em uma certa linguagem de programação, os identificadores podem ser cadeias alfanuméricas de tamanho arbitrário, mas que devem começar com uma letra. Uma definição recursiva para um conjunto de cadeias desta natureza é: 1. Uma letra é um identificador. 2. Se A é um identificador, então a concatenação de A com qualquer letra ou dígito também é um identificador. Uma notação mais simbólica para descrever conjuntos de cadeias que são definidas recursivamente é chamada forma de Backus Naur, ou BNF, originalmente desenvolvida para definir a linguagem de programação ALGOL. Na notação BNF, itens que são definidos em termos de outros itens são envolvidos por menor e maior (< >), enquanto itens específicos que não são definidos mais adiante não aparecem entre menor e maior. A linha vertical | indica uma escolha com o mesmo significado da palavra ou. A definição BNF de um identificador é: Então o identificador me2 é obtido da definição por uma sequência de escolhas tais como: <identificador> pode ser <identificador><dígito> que pode ser <identificador>2 que pode ser <identificador><letra>2 que pode ser <identificador>e2 que pode ser <<letra>e2 que pode ser me2. 15/16 Matemática Discreta
  • 16. Exercícios 1. Forme as palavras do conjunt M seguindo a definição: S→A A → 01|A|λ 2.Forneça uma definição recursiva para o conjunto de todas as cadeias binárias que são palíndromos, ou seja, cadeias iguais, se lidas do início para o fim ou ao contrário. 16/16 Matemática Discreta