1. O documento contém três provas de cálculo de diferentes anos com questões sobre cálculo diferencial, integral e vetorial. 2. A primeira prova pede para calcular o comprimento de arco de uma cicloide, os pontos de máxima curvatura e vetores de uma hélice cônica. 3. A segunda prova pede para calcular a área de uma superfície limitada, fluxo de um campo ao longo de uma espiral e trabalho realizado por uma força.

1. 2da prova de mat 0121 Cálculo difrencial e integra, II
17.10.2005
IME
Q N
Nome :
1
Nro. USP :
2
Professor :
3
Turma :
Total
1. A)Seja C R2 a cicloide (t) = (t sin t; 1 cos t), t 2 [0; 2 ]. (a)Ache o com-
primento de arco de (0) até ( ). (b)Ache os pontos (x; y) 2 C onde a curvatura
k 2 [0; +1], é máxima.
a)4 b) k = k (0) = k (2 ) = 1 em (0) = (0; 0) e (2 ) = (2 ; 0).
2. A)Ache os vetores: tangente unitário T , normal principal N , y binormal B, da hélice
conica em t = 0, (t) = (t cos t; t sin t; t)
p
SOL.-T (0) = (1;0;1) , B (0) = ( 2; 0; 2) = 8 e N = B T = (0; 1; 0)
p
2
3. A)Uma partícula parte da origem de coordenadas e se movimenta no grá…co de y = ex ,
x 0. A rapidez da projeção sobre o eixo X, esto é x0 (t), da partícula é constante
e igual a 2cm=seg. Ache a aceleração, e as suas componentes normal e tangencial,
quando a partícula passa pelo ponto (0; 1). Esboçe a curva e os vetores 00 , T , e N
em este ponto.
p q p 2 p
00
SOL.-aT = compT (t) 2 2 e aN = 42 2 2 =2 2
2da prova de MAT-0228-Cálculo IV
18.09.2007
IME
Q N
Nome :
1
Nro. USP :
2
Professor : Humberto Carrion
3
Turma :
Total
1. (3pts)Seja S a super…cie que é parte do cilindro x2 +y 2 = 4y, limitado inferiormente
pelo plano XY e superiormente pelo hiperboloide z = 20 + xy. Calcule a área de S.
R ( 1;0; )
2. (3pts)Calcule (1;0;0) F d do campo F = (y cos (x + z) x; sin (x + z) ; y cos (x + z))
ao longo da espiral (t) = (cos t; sin t; t) ; t 2 [0; ]
3. (4pts)
1

2. y
(a) Seja F (x; y) = ; x
x2 +y 2 x2 +y 2
e C a curva mostrada na …gura orientada de
tal forma que, cada segmento de reta é percorrido uma única vez, en sentido
R
antihorario, vista desde a origem de coordenadas. Calcule C F d .
(b) Calcule a area da cardioide dada em coordenadas polares por r ( ) = 1 + cos ,
usando o teorema de Green.
3ra prova de Mat0211 cálculo III
2003
IME
Q N
Nome :
1
Nro. USP :
2
Professor : Humberto Carrion
3
Turma :
Total
1. Uma párticula se moviemnta ao longo de uma curva lisa y = f (x) de (a; f (a)) até
(b; f (b)). A força que move a pártícula tem mõdulo constante igual a k e aponta no
sentido contrario ao da origem. Mostre que o trabalho realizado pela força é
Z q q
Fd = k b2 + (f (b))2 a2 + (f (a))2
C
2. .
(a) Seja C uma curva fechada simples contida no plano P , limitando uma região
S P . Se R é a projeção no plano XY , mostre que
Area (R) = area (S) jn:kj
(b) Seja C a curva interseção do hiperboloide x2 + y 2 + a2 = z 2 e o plano z = a + ay,
R
a < 1. Calcular C F d onde F = (ex sin y cos z; z + ex cos y cos z; x ex sin y sin z).
(V vista da origem esta orientada em sentido antihorario)
5
R: (1 a2 )a 1 a2
p
3. Seja S a super…cie esférica x2 + y 2 + z 2 = a2 situada no primeiro octante. Calcule a
R
~
integral de super…cie S F dS onde F = (x sin y + 1; x cos y + zy; z (x 1) sin y). OP
vetor normal unitario satisfaz n:k < 0.
a2
R: 48
(3 a2 + 16a + 12 )
2