1. EXERCITANDO (Aula 6)
1. A transformação T : R2
−→ R2
dada por T (x, y) = (x · y, x + y) é linear? Por que?
2. Seja T : R3
−→ R3
dada por T (x, y, z) = (z, x − y, −z).
(a) Mostre que T é linear.
(b) Determine dim N (T) e dim Im (T) .
(c) Qual a matriz que representa T?
3. Determine uma transformação linear T : R3
−→ R2
tal que T (3, 2, 1) = (1, 1) , T(0, 1, 0) = (0, −2) e T (0, 0, 1) =
(0, 0).
4. Sejam T : Rn
−→ Rm
e L : Rm
−→ Rp
transformações lineares. Demonstre que L ◦ T é linear.
5. Sejam T : Rn
−→ Rm
e L : Rm
−→ Rp
transformações lineares, e, A e B as respectivas matrizes que as representam.
Mostre que BA é a matriz que representa L ◦ T.
6. Dado θ ∈ R, seja Tθ : R2
−→ R2
a aplicação linear representada pela matriz
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
.
Demonstre que Tθ ◦ Tθ = Tθ+θ .
7. Seja T : R3
−→ R3
uma transformação linear tal que N (T) = {O}. Mostre que se os vetores v, w ∈ R3
são L.I.,
então T (v) e T (w) são também L.I.
8. Seja T : Rn
−→ Rm
uma transformação linear e suponha que T (X0) = B. Mostre que se T (X) = B, então
X = X0 + Y , em que Y ∈ N (T) .
9. Seja T : Rn
−→ Rn
uma transformação linear. Mostre que T é injetiva ⇔ T é sobrejetiva.
10. Qual a matriz que representa a homotetia T : Rn
−→ Rn
dada por T (X) = λX, ∀X ∈ Rn
?
11. Sejam β = {v1, v2, ..., vn} uma base de Rn
e w1, w2, ..., wn ∈ Rm
. Demonstre que existe uma única transformação
linear T : Rn
−→ Rm
tal que T (v1) = w1, T (v2) = w2, ..., T (vn) = wn.
.
RESPOSTAS
1) Não, pois (4, 4) = T (2, 2) = 2T (1, 1) = (2, 4); 2) b) dim N (T) = 1 e dim Im (T) = 2; c)


0 0 1
1 −1 0
0 0 −1

;
3) Escreva um vetor (x, y, z) qualquer como combinação linear dos vetores (3, 2, 1) , (0, 1, 0) e (0, 0, 1) e, em seguida, aplique T.
T (x, y, z) = 1
3 x, 5
3 x − 2y ;
5) Observe que (L ◦ T)(X) = B (AX);
6) Use o exercício anterior e identidades trigonométricas; 25) Subtraia, membro a membro, as igualdades T (X) = B e T (X0) = B;
9) Use o teorema da dimensão do núcleo e da imagem e o fato de que uma transformação linear só é injetiva se seu núcleo é nulo;
10) λIn;
11) Escreva um vetor v ∈ Rn
qualquer como combinação linear dos vetores da base β.
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