1) O campo magnético no instante e posição dada é de 2,5μT. As expressões para o campo elétrico E(x,t) e magnético B(x,t) são dadas por funções senoidais do tempo e espaço. 2) A densidade de energia eletromagnética total u é dada pela soma das densidades de energia elétrica uE e magnética uB. A densidade de energia magnética uB de um solenóide é dada por μ0B2/2. 3) A equação de conserv

1. Exercício Resolvido
Ex1. Uma onda eletromagnética harmônica com f = 40 MHz viaja no vácuo,
conforme se vê na figura abaixo. Qual a amplitude do campo magnético neste
instante e nesta posição? Quais as expressões de E (x,t) e B(x,t) ?
Em 750 N / C
Bm = = 8
= 2,5µT
c 3 x10 m / s
r
E ( x, t ) = (750 N / C ) cos(kx − t ) ˆ
j
r
B( x, t ) = (2,5µT ) cos(kx − ωt )z ˆ
ω = 2πf = 2,51x108 rad / s
ω
2,51x108 rad / s
k= = 8
= 0,84rad / m
c 3 x10 m / s

2. Balanço de energia e Vetor de Poynting
Campos quase - estacionários :
U  U 
u = uE + uB =   +  
 V E  V B
Para um capacitor de placas paralelas
Para um capacitor de placas paralelas :
CV 2 ε 0 AV 2 ε 0  V  ε 0 2
2
Q2 1 C 2V 2 1
uE = = = = =   = E
2C A.d 2C A.d 2 Ad d 2 Ad 2 d  2
Para um solenóide muito longo : ε0 1 2
u = uE + uB = E2 + B
uB =
Li 2 1 2 2 µ0
2 A.l ε0 r 2 1 r2
Mas, neste caso, B = µ0 ni e L = µ0 n 2 A.l , logo : ou E + B
2 2 µ0
µ0 n 2 A.l B 2 1 1 2 r r
uB = = B ∂u r ∂E 1 r ∂B
2 µ n A.l 2µ0
2 2
= ε 0 E. + B. (I)
∂t µ0
0
∂t ∂t
Mas, pela Lei de Ampère - Maxwell, E, pela Lei de Faraday,
r r r r r
r r r ∂E ∂E 1 r r r r r ∂B ∂B r r 1 ∂B 1 r r
∇ × B = µ0 J + µ 0ε 0 ⇒ ε0 = ∇× B − J ∇× E = − ⇒ = −∇ × E ⇒ = − ∇× E
∂t ∂t µ0 ∂t ∂t µ0 ∂t µ0
r r
r ∂E 1 r r r r r 1 r ∂B 1 r r r
⇒ ε 0 E. = E.(∇ × B) − E.J ⇒ B. = − B.(∇ × E )
∂t µ0 µ0 ∂t µ0

3. ∂u 1 r r r r r 1 r r r
= E.(∇ × B ) − E.J − B.(∇ × E )
∂t µ0 µ0
−
∂u 1 r r r
=
∂t µ0
[ r r r r r
B.(∇ × E ) − E.(∇ × B ) + E.J ]
r r r r r r r r r
Mas, ∇.(u × v ) = v .(∇ × u ) − u .(∇ × v ) , logo :
r r r r r r r r r
B.(∇ × E ) − E.(∇ × B) = ∇.( E × B)
∂u 1 r r r r r
− = ∇.( E × B) + E.J ,
∂t µ0
r 1 r r
onde S = E × B → Vetor de Poynting
µ0
∂u r r r r
logo, − = ∇.S + E.J (II)
∂t
r r
J = ρv → associada ao movimento de cargas livres; ρ = Q / V
r r rr
⇒ E.J = ρE.v
Por outro lado, pela Força de Lorentz :
r r r r r r r r
F = q( E + v × B) ⇒ f = ρE + J × B

4. dw
, realizado pelo campo eletromagnético sobre as cargas em movimento :
dt
dw r r rr r r r rr r r r rr
= f .v = ρE.v + ( J × B).v = ρE.v + ( ρv × B).v = ρE.v
dt
dw rr r r
= ρE.v = E.J
dt
Substituindo em (II) :
∂u v r dw
- = ∇.S +
∂t dt
∂ v r dw
- ∫ udV = ∫ ∇.SdV + ∫ dV
∂t V V V
dt