1) O documento apresenta a resolução de um problema envolvendo um cilindro rolando sem deslizar sobre um plano inclinado. 2) São apresentadas as equações de translação e rotação para o cilindro e plano inclinado. 3) Após decompor os vetores nas componentes cartesianas, as equações são manipuladas para encontrar a aceleração do plano inclinado, que é a resposta do problema.

1. Quest˜o 1 Um cilindro de massa m e raio a, rola sem deslizar sobre o plano inclinado mostrado na
a
figura, que por sua vez desliza sobre uma mesa sem atrito. Quanto vale a acelera¸˜o do plano inclinado?
ca
Solu¸˜o
ca
Baseando-se na figura acima, temos que :
rGm/O = rM + b + rGm/A
E derivando essa equa¸˜o temos:
ca
d2 rGm/O d2 rM d2 rGm/A
= +
dt2 dt2 dt2
Para resolver este problema, vamos primeiro ilustrar as equa¸˜es centrais que envolvem o problema:
co
1.Equa¸ao de transla¸˜o para o cilindro:
c˜ ca
d2 rGm/O
N + fat + mg = m
dt2
2.Equa¸ao de transla¸˜o apra o plano:
c˜ ca
d2 rM
N1 + M g − fat − N = M
dt2
3.Equa¸ao de rota¸˜o para o cilindro:
c˜ ca
rB/Gm X fat = IGm α
Antes de manipular essas equa¸oes, vamos escrever os vetores nas suas componentes cartesianas:
c˜
N = N cos αˆy − N sin αˆx
u u

2. fat = f sin αˆy + f cos αˆx
u u
g = −gˆy
u
N1 = N1 uy
ˆ
d2 rGm/A
= aA cos αˆx + aA sin αˆy
u u
dt2
d2 rGm/O d2 rM d2 rGm/A
= +
dt2 dt2 dt2
d2 rGm/O
= Aˆx + aA cos αˆx + aA sin αˆy
u u u
dt2
Agora, iremos voltar as 3 equa¸oes anteriores e substituir os vetores decompostos obtidos acima, afim
` c˜
de resolver e encontrar as inc´gnitas α,f e A(resposta do problema):
o
Transla¸ao do plano:
c˜
d2 rM
N1 + M g − fat − N = M
dt2
Equa¸oes escalares:
c˜
N1 − M g − f sin α − N cos α = 0
−f cos α + N sin α = M A
Transla¸ao do cilindro:
c˜
d2 rGm/O
N + fat + mg = m
dt2
Equa¸oes escalares:
c˜
N cos α + f sin α − mg = maA sin α
−N sin alpha + f cos alpha = mA + maA cos α
Rota¸ao do cilindro:
c˜
d2 rG m/A
−αˆz XrB/Gm =
u
dt2
−αˆz X(−a cos αˆy + a sin αˆy ) = aA cos αˆx + aA sin αˆy
u u u u u
aA
α=−
a
Ainda da rota¸˜o do cilindro:
ca
rB/Gm X fat = IGm α
a2
(−a cos αˆy + a sin αˆy )X(f sin αˆy + f cos αˆy ) = m αˆz
u u u u u
2
a2
af = m α
2
maA
f =−
2
Substituindo f nas rela¸oes anteriores, teremos as equa¸˜es
c˜ co
maA cos α + 2N sin α = 2M A (equa¸ao 1)
c˜
2N cos α − 2mg = 3maA sin α (equa¸ao 2)
c˜
−2N sin α = 2mA + 3maA cos α (equa¸ao 3)
c˜

3. De (1) e (3) obteremos:
maA cos α = −(m + M )A
De (2) e (3):
2N − 2mg cos α = −2mA sin α
N = m(g cos α − A sin α)
Substituindo os valores em (1);
−(m + M )A + 2m(g cos α − A sin α) sin α = 2M A
o que resulta em
mg sin 2α
A= uz
ˆ
3M + 2m − m cos 2α
Uma r´pida an´lise da express˜o acima mostra que a acelera¸ao do plano ´ positiva,ou seja,para a
a a a c˜ e
esquerda, conforme o referencial adotado. O cilindro rola ao longo do plano inclinado, conforme mostra o
sinal de α.
Quest˜o 10.28 (Alonso e Finn) Um bast˜o de comprimento L e massa m repousa sobre um plano
a a
horizontal sem atrito (Fig. 10-34). Durante o curto intervalo de tempo ∆t o bast˜o ´ atingido por uma
a e
for¸a F que produz um impulso I. A for¸a age num ponto P situado a uma distˆncia a do centro de massa.
c c a
Procure (a) a velocidade do centro de massa, e b) a velocidade angular em torno do centro de massa. c)
Determine o ponto Q, que permance inicialmente em repouso no refencial do laborat´rio, mostrando que
o
K2
b = , onde K ´ o raio de gira¸˜o em torno do centro de massa. O ponto Q ´ chamado centro de
e ca e
a
percuss˜o.(Por exemplo, um jogador de basebol deve segurar o taco pelo centro de percuss˜o no sentido de
a a
evitar a desagrad´vel sensa¸ao de rea¸ao do taco quando ele atinge a bola.)Prove tamb´m que se a for¸a
a c˜ c˜ e c
for aplicada em Q, o centro de percuss˜o estar´ em P.
a a
Solu¸˜o
ca
a) Pelo princ´
ıpio do Impulso e Momento Linear:
t2
→
− →
− →
−
F dt = m V CM 2 − m V CM 1
t1
→
−
F dt(−ˆ = I = m V CM 2 − 0
j)
→
− I
V CM 2 = − ˆj
m

4. b) Se analizarmos o torque total relativamente ao centro de massa, temos que
→
−
→CM = d L CM
−τ
dt
E utilizando ICM como o momento de in´rcia do taco em rela¸ao ao eixo vertical que passa pelo centro de
e c˜
massa do taco, e lembrando que o impulso vale I:
t2
→CM dt = aF ∆t(−k) = ICM →2 − 0
−
τ ˆ −
ω
t1
→2 = − Ia k
−ω ˆ
ICM
Ou ainda, se utilizarmos o raio de gira¸ao K, atrav´s da rela¸ao ICM = mK 2 :
c˜ e c˜
→2 = − Ia k
−
ω ˆ
mK 2
c) O ponto Q ´ formado peloa composi¸ao dos movimentos de transla¸˜o e rota¸ao: Rota¸ao:→Q = →2 =
e c˜ ca c˜ c˜ −
ω −
ω
Ia ˆ →
− Iab ˆ →
− →
− Iˆ →
− →
−
− k logo V Q(rot) = j Transla¸˜o: V Q(trans) = V CM 2 = − j .Como V Q = 0, V Q(trans) +
ca
mK 2 mK 2 m
→
− Iab ˆ Iˆ K2
V Q(rot) = j − j = 0 .Portanto: b = Analogamente, se a for¸a for aplicada em Q, teremos (a
c
mK 2 m a
indica¸ao do ap´strofe significa em rela¸ao ´s aplica¸oes em Q) :
c˜ o c˜ a c˜
→
− →
− I
V CM 2 = V CM 2 = − ˆj
m
→ = − Ib
−
ω2
mK 2
E procedendo-se analogamente como no caso anterior, encontramos as contribui¸oes da velocidade linear
c˜
devido ` rota¸˜o e ` transla¸ao do centro de massa, que somadas devem resultar em 0, implicando final-
a ca a c˜
k2
mente em a = , ou seja, o centro de precess˜o estar´ em P .
a a
b
Quest˜o 10.31 (Alonso e Finn) Um cord˜o ´ enrolado no pequeno cilindro da Fig. 10.37. Supondo
a a e
que o puxemos com uma for¸a F , calcule a acelera¸˜o do cilindro. Determine o sentido do movimento.
c ca
Aqui, r = 3cm,R = 5cm,F = 0, 1kgf e m = 1kg (massa do cilindro).
Solu¸˜o
ca
Considerando-se que o cilindro rola sem deslizar, o ponto de contato com o solo pode ser considerado
um centro instantˆneo de rota¸ao. Al´m disso, seja α a acelera¸˜o angular em rela¸ao a esse ponto.
a c˜ e ca c˜
Assim, calculemos o torque total externo em rela¸ao a esse ponto:
c˜
τ = Iα
E pelo Teorema dos Eixos Paralelos, podemos obter I:
mR2 a
F (R − r) = ( + mR2 )
2 R
3R
F (R − r) = ma
2
2 r
a = F (1 − )m
3 R
Substituindo os valores:
2 3
a = .0, 1.0, 981(1 − ).1 = 0, 3m/s2
3 5