1. O documento contém duas provas de cálculo diferencial e integral com vários exercícios envolvendo cálculo de derivadas, áreas, comprimentos de arco de curvas, movimento de partículas, superfícies e planos tangentes. 2. As questões envolvem cálculo de derivadas, áreas limitadas por curvas, vetores tangente, normal e binormal em curvas, aceleração e componentes de aceleração em movimento de partículas, equações de planos tangentes em superfícies dadas implicitamente e dimens

1. B
1ra Prova de 0121 Cálculo diferencial e integral II
2.09.05
IME
Q N
Nome :
1
Nro. USP :
2
Professor :
3
Turma :
Total
R =2
1. (a) Calcular 0
ln (tan x) dx,
(b) Achar area limitada pelas cardioides r = 1 + cos e r = 1 + sin no primeiro
quadrante
2. .
R =2
(a) Calcular 0
ln (cot x) ;
(b) Achar area limitada pelas cardioides r = 1 + cos e r = 1 + sin no terceiro
quadrante
3. Um recipiente contem um volume de agua igual a "V ". Que volume de agua debe ser
retirado para que o nivel da agua se reduza a metade.?
Nota: O recipiente foi obtido pela rotaçao da curva y = x2 , x 0, en torno do eixo
Y.
B
2da prova de mat-0121 Cálculo diferencial e integral II
17.10.2005
IME
Q N
Nome :
1
Nro. USP :
2
Professor :
3
Turma :
Total
1. A)Seja C R2 a cicloide (t) = (t sin t; 1 cos t), t 2 [0; 2 ]. Ache o comprimento
de arco de (0) até ( ). Ache os pontos (x; y) 2 C onde a curvatura k 2 [0; +1],
é máxima.
2. Seja C R2 a cicloide (t) = (t sin t; 1 cos t), t 2 [0; 2 ]. Ache o comprimento
de arco de ( ) até (3 =2). Ache os pontos (x; y) 2 C onde a curvatura é mínima.
1

2. 3. A)Ache os vetores: tangente unitário T , normal principal N , y binormal B, da hélice
conica em t = 0 (t) = (t cos t; t sin t; t)
4. B)Ache os vetores: tangente unitário T , normal principal N , y binormal B, da hélice
conica em t = 0 (t) = (t sin t; t cos t; t)
5. A)Uma partícula parte da origem de coordenadas e se movimenta no grá…co de y = ex ,
x 0. A rapidez da projeção sobre o eixo X, esto é x0 (t), da partícula é constante
e igual a 2cm=seg. Ache a aceleração, e as suas componentes normal e tangencial,
quando a partícula passa pelo ponto (0; 1). Esboçe a curva e os vetores 00 , T , e N
em este ponto.
6. B)Uma partícula parte da origem de coordenadas e se movimenta no grá…co de y =
ln (x), x 0. A velocidade da projeção sobre o eixo X esto é x0 (t), da partícula
é constante e igual a 2cm=seg. Ache a aceleração, e as suas componentes normal e
tangencial, quando a partícula passa pelo ponto (1; 0). Esboçe a curva e os vetores
00
, T , e N em este ponto.
7. Ache as componentes normal e tangencial da curva (t) = (t; t3 ) em (1; 1). Esboçe a
curva e os vetores T , N e 00 no ponto dado. Ache a torção.
8. Ache as componentes normal e tangencial da curva (t) = (t3 ; t) em (1; 1). Esboçe a
curva e os vetores T , N e 00 no ponto dado. Ache a torção.
9. Uma particula se movimenta sobre a aparabola y 2 = x com velocidade constante igual
a 1cm=seg. Ache a componente da aceleração.
10. Uma particula se movimenta pela espiral r = ( 0)com rapidez constante igual a
1cm=seg. Ache as componentes tangencial e normal da acerelação. (a particula parte
da origem
B
3 ra
prova de mat-0121 Cálculo diferencial e integral II
7.12.2005
IME
Q N
Nome :
1
Nro. USP :
2
Professor :
3
Turma :
Total
1. A função z = z (x; y) (z 2 [0; ]), vem dada implicitamente pela equação
sin (z) + xyz = 1
2

3. (a) Para (x0 ; y0 ) = (0; 1) ache o correspondente valor de z0 .
(b) Calcular a derivada de Dz no ponto (0; 1).
SOL.-
2. A função z = z (x; y) vem dada implícitamente pela equação
z exp (z 2x) = y 2
(a) Para (x0 ; y0 ) = (2; 2) ache o correspondente valor de z0 . (Por que z0 é único?)
(b) Calcular a derivada de Dz no ponto (2; 2).
3. A função z = z (x; y) vem dada implícitamente pela equação
z exp (2z y) = x2
(a) Para (x0 ; y0 ) = (1; 2) ache o correspondente valor de z0 . (Por que z0 é único?)
(b) Calcular a derivada de Dz no ponto (1; 2).
4. Seja a super…cie S : x2 + y 2 + z 2 = a + x + y + z.
(a) Veri…que que a equação do plano tangente no ponto p = (x0 ; y0 ; z0 ) vem dada
por
Tp : (2x0 1) x + (2y0 1) y + (2z0 1) z = 2a + x0 + y0 + z0
(b) Ache um ponto p tal que o plano tangente Tp contenha o eixo Z
5. Seja a super…cie x2 + y 2 + z 2 = a + x + y + z.
(a) Veri…que que a equação do plano tangente no ponto p = (x0 ; y0 ; z0 ) vem dada
por
Tp : (2x0 1) x + (2y0 1) y + (2z0 1) z = 2a + x0 + y0 + z0
(b) Ache um ponto p tal que o plano tangente Tp contenha o eixo Y
6. Determine as dimensões de uma caixa rectangular fechada de volume máximo tal que
a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c.
3