transmissao de calor

1. UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE – Faculdade de Engenharia
Transmissão de calor
Transmissão de calor
3º Ano
Prof. Dr. Engº Jorge Nhambiu & Engº Paxis
Roque 1

2. Aula 4 Aula Prática-1
Aula 4 Aula Prática-1
Equação Diferencial de Transmissão de Calor e
‰ Equação Diferencial de Transmissão de Calor e
as Condições de Contorno
2
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3. Problema -4.1
Um ferro de engomar com uma base
plana de área 120 cm2 é submetido a um
T2 =90°C
Q=1500 W
k
plana de área 120 cm2 é submetido a um
fluxo de calor de 1500 W na superfície
esquerda e a uma temperatura
A=120 cm2
L=0,8 cm
especificada de 90ºC na superfície direita
(veja esquema). Escreva a equação de
condução de calor para este caso sabendo
x
ç p
que a espessura da placa é de L=0,8 cm e
que o coeficiente de condutibilidade
térmica k= 25 W/m°C Determine a
térmica k= 25 W/m C. Determine a
temperatura na superfície esquerda e a
variação de temperatura na base do ferro.
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4. Problema -4.1 (Resolução I)
Assume-se:
1.Escoamento estacionário e unidimensional sendo a espessura
p
da base do ferro desprezível;
2 Condutibilidade térmica constante (k = 25 W/m °C);
2.Condutibilidade térmica constante (k = 25 W/m⋅ C);
3.Não há geração de calor no ferro;
4.Desprezam-se as perdas de calor na parte superior do ferro.
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5. Problema -4.1 (Resolução II)
Desprezando as perdas de calor, todo calor gerado pela resistência
eléctrica do ferro transfere-se para a base. O fluxo de calor no interior
2
0
0
1500 W
125.000 W/m
Q
q = = =
&
&
da base determina-se de:
0 4 2
base
125.000 W/m
120 10 m
q
A −
×
Assumindo que a direcção normal é a do eixo x, para x=0 a esquerda
d T
2
0
q ç , p q
da superfície, a equação de condução de calor para este caso será:
dx2
0
=
Pois, o regime é estacionário, não há geração de calor no interior da
b d ibilid d é i é
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base e a condutibilidade térmica é constante.

6. Problema -4.1 (Resolução III)
(0)
dT
Das condições iniciais e condições de fronteira obtém-se;
2
0
(0)
125.000 W/m
dT
k q
dx
− = =
&
E pode-se escrever que:
2
( ) 90 C
T L T
= = °
Integrando a equação diferencial duas vezes em função de x
p q
dT T C C
( )
Integrando a equação diferencial duas vezes em função de x,
resulta:
dT
dx
C
= 1
T x C x C
( ) = +
1 2
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.
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Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

7. Problema -4.1 (Resolução IV)
Aplicando as condições de fronteira tem-se:
x = 0:− = → = −
kC q C
q
k
1 0 1
0
&
&
pois 0
(0)
dT
k q
dx
− = &
x = L: T L C L C T C T C L C T
q L
k
( )
&
= + = → = − → = +
1 2 2 2 2 1 2 2
0
Substituindo os valores de C1 e C2 na equação:
T x C x C
( ) = +
1 2
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8. Problema -4.1 (Resolução V)
Resulta:
0 0 0
2 2
2
( )
( )
( / )( )
q q L q L x
T x x T T
k k k
−
= − + + = +
& & &
2
(125000 W/m )(0,008 )m
( ) 90 C
25 W/m C
( ) 5000(0,008 ) 90
x
T x
T x x
−
= + °
⋅°
= − +
( ) ( , )
A temperatura da placa quando x=0 será:
(0) 5000(0,008 0) 90 130
T C
= − + = °
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9. Problema -4.2 (I)
Ar comprimido escoa numa conduta submetida a uma fluxo
uniforme de calor na parte externa Escreva a equação de
uniforme de calor na parte externa. Escreva a equação de
condução para este caso. Determine a temperatura na superfície
externa da conduta e a variação de temperatura na conduta. O
coeficiente de transferência de calor por convecção é igual a 40
W/m⋅°C, o raio interno do cilindro igual a 3cm e o externo 4cm.
250 W
Ar, ‐5°C
r
r
r2
L=8 m
Ar, 5 C r1
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10. Problema -4.2 (Resolução I)
Assume-se:
1.Escoamento estacionário e unidimensional;
2.Condutibilidade térmica constante (k = 20 W/m⋅°C);
3.Não há geração de calor na conduta;
4.Todo o calor gerado no aquecimento transfere-se à conduta.
g q
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11. Problema -4.2 (Resolução II)
O fluxo de calor que atravessa a superfície da conduta
determina-se de:
2
2 2
250 W
124,33 W/m
2 2 (0,04 m)(8 m)
s s
s
Q Q
q
A r L
π π
= = = =
& &
&
determina se de:
Note-se que a transferência de calor é unidimensional na
direcção radial de r e o fluxo de calor é na direcção negativa de
r A equação matemática de condução de calor pode ser escrita
0
⎟
⎞
⎜
⎛ dT
d
r. A equação matemática de condução de calor pode ser escrita
como:
0
=
⎟
⎠
⎜
⎝ dr
r
dr
− = −
∞
k
dT r
h T T r
( )
[ ( )]
1
1
e
11
∞
k
dr
h T T r
[ ( )]
1
e
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12. Problema -4.2 (Resolução III)
E resulta:
k
dT r
dr
qs
( )
&
2
=
E resulta:
dT
Integrando a expressão diferencial em relação ao raio r obtém-se
r
dT
dr
C
= 1
Dividindo ambas partes da equação por r tem-se:
p q ç p
dT
dr
C
r
= 1
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dr r

13. Problema -4.2 (Resolução IV)
Integrando obtém-se:
T r C r C
( ) ln
= +
1 2
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.
Aplicando as condições de fronteira tem-se:
p ca do as co d ções de o e a e se:
r = r2: k
C
q C
q r
s
s
1
1
2
= → =
&
&
r r2:
r = r1:
k
r
q C
k
s
2
1
→
k
r
q
hr
k
r
T
C
hr
k
r
T
C
C
r
C
T
h
r
C
k s 2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
ln
=
ln
)]
ln
(
[
&
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
→
+
−
=
− ∞
∞
∞
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14. Problema -4.2 (Resolução V)
Substituindo C1 e C2 na solução geral, a variação de temperatura
d i d
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
determina-se de:
2
1 1 1 1 1
1 1 1 1
2
( ) ln ln ln ln ln
20 W/m C (124,33 W/m )(0,04 m)
( ) 5 C l
s
q r
k k r k
T r C r T r C T r r C T
hr hr r hr k
r
T
∞ ∞ ∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + − − = + − + = + +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⋅°
° ⎜ ⎟
&
2
1
( , )( , )
( ) 5 C ln
(40 W/m C)(0,03 m) 20 W/m C
( ) 5 0,249 ln 16,67
T r
r
r
T r
= − ° + +
⎜ ⎟
⋅° ⋅°
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= − + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
r
⎜ ⎟
⎝ ⎠
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15. Problema -4.2 (Resolução VI)
A temperatura interna determina-se de:
( )
1
( ) 5 0 249 ln 16 67 5 0 249 0 16 67 0 85 º
r
T r C
⎛ ⎞
= + + = + + =
⎜ ⎟
(r = r1): ( )
1
1
( ) 5 0,249 ln 16,67 5 0,249 0 16,67 0,85
T r C
r
= − + + = − + + = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
E a temperat ra na s perfície de:
(r r1):
2
1
0,04
( ) 5 0,249 ln 16,67 5 0,249 ln 16,67 0,77 º
0 03
r
T r C
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + + = − + + = −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
(r = r2):
E a temperatura na superfície de:
1
1
( ) , , , , ,
0,03
r
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
(r r2):
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16. Problema -4.3 (I)
Um recipiente esférico é submetido a uma temperatura
especificada na superfície interna e arrefecido por ar na superfície
p p p p
externa. Formule a expressão matemática de condução de calor
para a esfera e determine a taxa de transferência de calor
considerando o escoamento unidimensional e o coeficiente de
considerando o escoamento unidimensional e o coeficiente de
troca de calor por convecção igual a 40 W/m⋅°C. A condutibilidade
térmica da esfera é de 18 W/m⋅°C. Os raios interno e externo da
f d 25 30 i
T1
k
esfera medem 25 cm e 30 cm respectivamente.
r1 r2
T∞
h
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17. Problema -4.3 (Resolução I)
Assume-se:
1 E i á i idi i l
1.Escoamento estacionário e unidimensional;
2.Condutibilidade térmica constante (k = 18 W/m⋅°C);
3.Não há geração de calor na esfera.
Note-se que a transferência de calor é unidimensional na
Note se que a transferência de calor é unidimensional na
direcção radial de r e o fluxo de calor é na direcção negativa de r.
A equação matemática de condução de calor pode ser escrita
como:
como:
0
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dr
dT
r
dr
d
Sendo: T r T
( )
1 1 0
= = °C
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⎠
⎝ dr
dr

18. Problema -4.3 (Resolução II)
Das condições de contorno de convecção na parte exterior tem-
se:
− = − ∞
k
dT r
dr
h T r T
( )
[ ( ) ]
2
2
se:
dr
dT
C
2
Integrando a expressão diferencial em relação ao raio r obtém-se:
r
dr
C
2
1
=
Dividindo ambos os termos por r2 resulta que:
p q
dT
dr
C
r
= 1
2
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19. Problema -4.3 (Resolução III)
Integrando a expressão tem-se:
T r
C
r
C
( ) = − +
1
2
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias
Aplicando as condições de fronteira tem se:
Aplicando as condições de fronteira tem-se:
r = r1: T r
C
C T
( )
1
1
2 1
= − + =
r r1:
r = r2:
T r
r
C T
( )
1
1
2 1
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
− ∞
T
C
r
C
h
r
C
k 2
2
1
2
2
1
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20. Problema -4.3 (Resolução IV)
Escrevendo as equações em função de C1 e C2 tem-se:
2 1 1 1 2
1 2 1 1
2 2
1 1
1 2 1 2
( )
e
1 1
r T T C T T r
C C T T
r r
k k
r r
r hr r hr
∞ ∞
− −
= = + = +
− − − −
1 2 1 2
r hr r hr
Substituindo C2 e C2 na equação da solução geral, a variação de
temperatura determina-se de:
1 1 1 2 2
1 1 1 1
2
1 1 1
1 1
( )
1
C C T T r r
T r T C T T
r k
r r r r r r
r hr
∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−
= − + + = − + = − +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− −
1 2
2
(0 25) C 0,3 0,3 0,3
( ) 0 C 14,7(1,2 )
0,3 18 W/m C 0,25
1
0 25 (40 W/m C)(0 3 m)
r hr
T r
r r
− ° ⎛ ⎞
= − + ° = −
⎜ ⎟
⋅° ⎝ ⎠
− −
⋅°
20
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0,25 (40 W/m C)(0,3 m)

21. Problema -4.3 (Resolução V)
A taxa de transferência de calor através da parede da esfera será:
2 1 2 1
( )
(4 ) 4 4
C r T T
dT
Q kA k r kC k
π π π ∞
−
= − = − = − = −
&
de s e ê c de c o vés d p ede d es e se :
1
2
2
1 2
(4 ) 4 4
1
(0,3 m)(0 25) C
4 (18 W/ C) 997 9
Q kA k r kC k
r k
dx r
r hr
Q W
π π π
= = = =
− −
− °
°
&
2
(0,3 )(0 5) C
4 (18 W/m C) 997,9
0,3 18 W/m C
1
0,25 (40 W/m C)(0,3 m)
Q W
π
= − ⋅° =
⋅°
− −
⋅°
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22. Trabalho Para Casa 01
Considere uma grande parede plana de espessura L = 0,3 m, condutividade
térmica k = 2,5 W / m° C, e superfície A = 12 m2. O lado esquerdo da parede em
Considere uma grande parede plana de espessura L = 0,3 m, condutividade
térmica k = 2,5 W / m° C, e superfície A = 12 m2. O lado esquerdo da parede em
térmica k 2,5 W / m C, e superfície A 12 m . O lado esquerdo da parede em
x = 0 é submetido a um fluxo de calor de q0 = 700 W/m2, enquanto a temperatura
medida nessa superfície é T1 = 80 ° C. Assumindo que a condutividade térmica é
térmica k 2,5 W / m C, e superfície A 12 m . O lado esquerdo da parede em
x = 0 é submetido a um fluxo de calor de q0 = 700 W/m2, enquanto a temperatura
medida nessa superfície é T1 = 80 ° C. Assumindo que a condutividade térmica é
constante e que não há geração de calor na parede, (a) expresse a equação
diferencial e as condições de contorno para um regime estacionário unidimensional
d d ã d l é d d (b) b h ã i ã d
constante e que não há geração de calor na parede, (a) expresse a equação
diferencial e as condições de contorno para um regime estacionário unidimensional
d d ã d l é d d (b) b h ã i ã d
de condução de calor através da parede, (b) obtenha equação para a variação de
temperatura na parede, resolvendo a equação diferencial, e (c) calcule as
temperaturas desde o ponto x=0 até x=L com um incremento de 0,01 m (trace
de condução de calor através da parede, (b) obtenha equação para a variação de
temperatura na parede, resolvendo a equação diferencial, e (c) calcule as
temperaturas desde o ponto x=0 até x=L com um incremento de 0,01 m (trace
p p , (
um gráfico).
Enviar até as 5 horas de sexta-feira dia 5 de Março com o “subject”: TPC01
p p , (
um gráfico).
Enviar até as 5 horas de sexta-feira dia 5 de Março com o “subject”: TPC01
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